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\begin{array}{lclcrcl}\quad\mathbb{D}&=&\mathbb{R}\cr \cr f(z) &=& \dfrac{2^{z} - 1}{4^{z}} \cr \cr \quad u(z) &=& 2^{z} - 1 & \Rightarrow & u'(z) &=&2^{z} \ln{\left(2 \right)}\cr \quad v(z) &=&4^{z} & \Rightarrow & v'(z) &=& 4^{z} \ln{\left(4 \right)}\cr \cr f'(z) &=& \dfrac{2^{z} \ln\left(2 \right)\cdot4^z-\left(2^{z} - 1 \right)\cdot 4^{z} \ln{\left(4 \right)}}{\left(4^{z}\right)^2}\cr \cr &=& \dfrac{8^{z} \ln{\left(2 \right)}-4^{z} \cdot 2^{z} \ln{\left(4 \right)}+4^z\ln{\left(4\right)}}{4^{2 z}} \cr \cr &=& \dfrac{8^{z} \ln{\left(2 \right)}-8^{z} \ln{\left(2^2 \right)}+4^z\ln{\left(2^2\right)}}{4^{2 z}} \cr\cr &=& \dfrac{8^{z} \ln{\left(2 \right)}-8^{z} \cdot 2\ln{\left(2 \right)}+4^z\cdot 2\ln{\left(2\right)}}{4^{2 z}} \cr \cr &=& \dfrac{\left(2 \cdot 4^{z} - 8^{z}\right) \ln{\left(2 \right)}}{16^z} \cr \cr &=& 16^{- z} \left(2 \cdot 4^{z} - 8^{z}\right) \ln{\left(2 \right)}\end{array}