TeX source:

\begin{array}{rcl} f'_y(x,y,z) &=& 2xy e^{-3xy} \ln(z) +xy^2 e^{-3xy}\cdot (-3x) \ln(z) \cr \cr &=& 2xy e^{-3xy} \ln(z) - 3x^2y^2 e^{-3xy} \ln(z) \cr \cr&=& \left(-3x^2y^2+2xy\right) e^{-3xy} \ln(z)\end{array}