Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Formel
• Berechnung

4.2 Prozentrechnung - Erklärungen

Die Prozentrechnung ist nützlich, wenn Größenverhältnisse verglichen werden sollen. Sie baut auf der Bruchrechnung auf.

Formel

Es gilt: $p =\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\%$ mit

• $p$: Prozentsatz in $\%$
• $W$: Prozentwert
• $G$: Grundwert

Diese Formel kann natürlich umgestellt werden. Man erhält dann $G= \dfrac{W}{p\,\%} \cdot 100$ bzw. $W = \dfrac{p\,\% \cdot G}{100}$

Bemerkung: Achten Sie immer genau darauf, was in der Aufgabe gegeben ist! Besonders Prozent- und Grundwert werden häufig verwechselt.

Berechnung

Eigentlich ist nicht viel zu tun ... Man setzt jeweils die gegebenen Werte in die passende Formel ein und rechnet aus.
Hier ein paar Beispiele:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$p=\dfrac{74}{512}\cdot 100\,\% \approx 14{,}45\,\%$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$G=\dfrac{125}{83\,\%}\cdot 100\,\% \approx 150{,}60$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$W=\dfrac{16\,\%\cdot 49}{100\,\%} = 7{,}84$


Alternative: Alle Prozentaufgaben können auch mit dem Dreisatz berechnet werden. Das macht weder vom Aufwand noch vom Ergebnis her einen Unterschied. Sie können daher einfach ausprobieren, welche Variante Sie bevorzugen.
Wir betrachten dafür noch einmal die Beispiele von oben:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$\begin{array}{rclcr}512 &\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1 &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{512} \cr \cr 74 &\widehat{=}& \dfrac{74 \cdot 100\,\%}{512} &\approx& 14{,}45\,\% \end{array}$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$\begin{array}{rclcr}83\,\% &\widehat{=}& 125 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{125}{83} &\approx& 1{,}51 \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 125}{83} &\approx& 150{,}60 \end{array}$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 49 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{49}{100} &=& 0{,}49 \cr \cr 16\,\% &\widehat{=}& \dfrac{16\cdot 49}{100} &=& 7{,}84 \end{array}$

Naja, ein bisschen mehr ist natürlich doch zu tun … Die bislang besprochenen Aufgaben in diesem Kapitel sind nicht besonders realistisch. Sowohl im Studium als auch in der Arbeitswelt wird Ihnen niemand sagen "Berechnen Sie hier doch mal den Prozentsatz!", sondern es wird sich eine Fragestellung ergeben, bei der Sie selbst auf die Idee kommen müssen, dass der Prozentsatz gesucht ist. Man muss sich also bei jeder Aufgabe genau klarmachen, was gegeben und was gesucht ist. Das ist besonders tricky bei Aufgaben, in denen der Grundwert gesucht ist.
Ein Beispiel:
Der Bambusbecher für Coffee to go kostet in der Mensa $6\;\text{EUR}$. Wie viel kostet er ohne Mehrwertsteuer ($19\,\%$)?
Klar ist, dass $p=19\,\%$, da $p$ immer der Wert mit dem $\%$ ist. Aber wie ist das mit den $6\;\text{EUR}$? In diesem Wert sind Grundwert und Mehrwertsteuer enthalten, die $6\;\text{EUR}$ entsprechen also $100\,\% + 19\,\% = 119\,\%$. Wir möchten den Grundwert ohne die Mehrwertsteuer berechnen. Damit haben wir den Ansatz:
$\begin{array}{rclcr}119\,\% &\widehat{=}& 6\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{6\;\text{EUR}}{119} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 6\;\text{EUR}}{119} &\approx& 5{,}04\;\text{EUR} \end{array}$