Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Das Summenzeichen
• Das Produktzeichen

19.2 Summen- und Produktzeichen - Erklärungen

Dass sich Mathematiker und Mathematikerinnen gerne abkürzende Schreibweisen "ausdenken", haben Sie in diesem Lernmodul ja schon kennengelernt, z. B. bei den Potenzen. Solche Schreibweisen haben den Nachteil, dass man explizit lernen muss, sie zu durchschauen. Sie haben den Vorteil, dass der Schreibaufwand geringer wird und die zugrunde liegende Struktur deutlicher sichtbar wird.
Hier kommen die nächsten zwei Abkürzungen ...

Das Summenzeichen

Das Summenzeichen wird häufig (vor allem in der Statistik und der Wirtschaftsmathematik) verwendet, um eine Summe mit mehreren Summanden, die eine gemeinsame Struktur haben, zusammengefasst aufzuschreiben. Als Formelzeichen wird der griechische Buchstabe $\Sigma$ (ein großes "Sigma") verwendet. Wenn man Summen in dieser Form schreibt, hat das den Vorteil, dass man auf einen Blick erkennen kann, welche "Bauanleitung" die Summanden haben. Das wird später bei Folgen und Reihen sehr hilfreich sein.

In einer Formel: $\sum\limits_{i=u}^o x_i$ (gesprochen: "Summe von i gleich u bis o über x i")
Dabei ist

• $i$: der Summationsindex oder einfach Index
• $u$: die untere Summationsgrenze oder einfach untere Grenze, eine ganze Zahl, oft $0$ oder $1$
• $o$: die obere Summationsgrenze oder einfach obere Grenze, eine ganze Zahl, mindestens so groß wie die untere Summationsgrenze
• $x_i$: der Summand

Bemerkung: Der Summationsindex muss nicht $i$ heißen. Üblich sind neben $i$ auch $j$ oder $k$.


Anhand des folgenden Beispiels soll gezeigt werden, wie beim Auflösen eines Summenzeichens vorgegangen wird: $\sum\limits_{i=0}^5 (2+i)x$

1. Setze den Summationsindex $i$ gleich der unteren Summationsgrenze $u$: $i=0$
2. Setze $i=0$ in den Summanden ein: $(2+0)x$
3. Vergrößere $i$ um $1$: $i=1$
4. Setze $i=1$ in den Summanden ein: $(2+1)x$
5. Vergrößere $i$ um $1$: $i=2$
6. Setze $i=2$ in den Summanden ein: $(2+2)x$
7. Vergrößere $i$ um $1$: $i=3$
8. Setze $i=3$ in den Summanden ein: $(2+3)x$
9. Vergrößere $i$ um $1$: $i=4$
10. Setze $i=4$ in den Summanden ein: $(2+4)x$
11. Vergrößere $i$ um $1$: $i=5$
12. Setze $i=5$ in den Summanden ein: $(2+5)x$
13. Brich ab, wenn der Summationsindex $i$ die obere Summationsgrenze $o$ erreicht, hier also wenn $i=5$
14. Addiere alle ermittelten Summanden: $\sum\limits_{i=0}^5 (2+i)x = (2+0)x+(2+1)x+(2+2)x+(2+3)x+(2+4)x+(2+5)x$
15. Vereinfache die Summanden: $\sum\limits_{i=0}^5 (2+i)x = 2x+3x+4x+5x+6x+7x$
16. Fasse zusammen: $\sum\limits_{i=0}^5 (2+i)x = 27x$

Das Produktzeichen

Das Produktzeichen wird häufig verwendet, um ein Produkt mit mehreren Faktoren, die eine gemeinsame Struktur haben, zusammengefasst aufzuschreiben. Als Formelzeichen wird der griechische Buchstabe $\prod$ (ein großes Pi) verwendet.

In einer Formel: $\prod\limits_{i=u}^o x_i$ (gesprochen: "Produkt von i gleich u bis o über x i")
Dabei ist

• $i$: der Multiplikationsindex oder einfach Index
• $u$: die untere Multiplikationsgrenze oder einfach untere Grenze, eine ganze Zahl, oft $0$ oder $1$
• $o$: die obere Multiplikationsgrenze oder einfach obere Grenze, eine ganze Zahl, mindestens so groß wie die untere Multiplikationsgrenze
• $x_i$: der Faktor

Beim Auflösen eines Produktzeichens wird genauso vorgegangen, wie beim Summenzeichen beschrieben. Einziger Unterschied: Bei Schritt 14 wird nicht addiert, sondern multipliziert.