Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe

19.3 Summen- und Produktzeichen - Lösungen

1. Aufgabe

1)
$\begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=1}^4 (2+i)x^i &=& (2+1)x^1+(2+2)x^2+(2+3)x^3+(2+4)x^4 \cr &=& 3x+4x^2+5x^3+6x^4 \cr &=& x(3+4x+5x^2+6x^3) \end{array}$

 
2)
$\begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=2}^6 4\cdot i^{-1} &=& 4 \cdot 2^{-1} + 4 \cdot 3^{-1} + 4 \cdot 4^{-1} + 4 \cdot 5^{-1} + 4 \cdot 6^{-1} \cr \cr &=& \frac{4}{2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{4} + \frac{4}{5} + \frac{4}{6} \cr \cr &=& 2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}+\frac{2}{3} \cr \cr &=& 3+\frac{20}{15}+\frac{12}{15}+\frac{10}{15} \cr \cr &=& 3+\frac{20+12+10}{15} \cr \cr &=& 3+\frac{42}{15} \cr \cr &=& \frac{29}{5} \end{array}$

3)
$\begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=394}^{399} x^2 &=& x^2+x^2+x^2+x^2+x^2+x^2 \cr &=& 6x^2 \end{array}$

Bemerkung: Der Summand hängt nicht vom Summationsindex $i$ ab. In einem solchen Fall berechnet sich die Summe als das Produkt aus dem Summanden und der Differenz aus oberer und untere Grenze plus 1. In diesem Fall: $(399-394+1) \cdot x^2 =6x^2$

4)
$\begin{array}{rcl} \sum\limits_{j=1}^3 (5j+1) &=& (5 \cdot 1+1)+(5 \cdot 2+1)+(5 \cdot 3+1) \cr &=& 6+11+16 \cr &=& 33 \end{array}$ 

5)
$\begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=0}^4 (-1)^{i+1}(i-2)x &=& (-1)^{0+1}(0-2)x+(-1)^{1+1}(1-2)x+(-1)^{2+1}(2-2)x+(-1)^{3+1}(3-2)x+(-1)^{4+1}(4-2)x \cr &=& (-1)^1 \cdot (-2)x+(-1)^2 \cdot (-1)x+(-1)^3 \cdot 0x+(-1)^4 \cdot 1x+(-1)^5 \cdot 2x \cr &=& -1 \cdot (-2)x+1 \cdot (-1)x+0+1 \cdot 1x+(-1) \cdot 2x \cr &=& 2x-1x+1x-2x \cr &=& 0 \end{array}$

2. Aufgabe

Bemerkung: Die hier gezeigten Ergebnisse sind nicht die einzig möglichen Lösungen. Setzt man z. B. die untere Grenze nicht gleich $1$ sondern gleich $0$, ergeben sich leichte Änderungen. Einige mögliche andere Ergebnisse sind bei Aufgabe $1$ aufgeschrieben.

1)
$7+7x+7x^2+7x^3+7x^4 = \sum\limits_{i=0}^4 7x^i$
oder
$7+7x+7x^2+7x^3+7x^4 = \sum\limits_{i=-1}^3 7x^{i+1}$
oder
$7+7x+7x^2+7x^3+7x^4 = \sum\limits_{i=5}^9 7x^{i-5}$
oder ...

2)
$-z-2z^2-3z^3-4z^4-5z^5-6z^6 = \sum\limits_{i=1}^6 -iz^i$
oder ...

3)
$2x+4x^2+8x^3+16x^4+32x^5 = (2x)^1+(2x)^2+(2x)^3+(2x)^4+(2x)^5 = \sum\limits_{i=1}^5 (2x)^i$
oder ...

4)
${-9+18-27+36-45+54-63 = (-1)^1 \cdot 9 \cdot 1+(-1)^2 \cdot 9 \cdot 2+(-1)^3 \cdot 9 \cdot 3+(-1)^4 \cdot 9 \cdot 4+(-1)^5 \cdot 9 \cdot 5+(-1)^6 \cdot 9 \cdot 6+(-1)^7 \cdot 9 \cdot 7 = \sum\limits_{i=1}^7 (-1)^i \cdot 9i}$
oder ...

5)
${1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2 = \sum\limits_{i=1}^{10} i^2}$
oder ...

3. Aufgabe

1)
$\begin{array}{rcl} \prod\limits_{i=1}^{10}i &=& 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cr &=& 3.628.800 \end{array}$

Bemerkung: Ein Produkt der Art: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ ist auch unter dem Namen Fakultät (Formelzeichen $n!$) bekannt.

 
2)
$\begin{array}{rcl} \prod\limits_{i=2}^5(i+1)x &=& (2+1)x \cdot (3+1)x \cdot (4+1)x \cdot (5+1)x \cr &=& 3x \cdot 4x \cdot 5x \cdot 6x \cr &=& 360x^4 \end{array}$

 
3)
$\begin{array}{rcl} \prod\limits_{k=1}^6(2k-7) &=& (2 \cdot 1-7)(2 \cdot 2-7)(2 \cdot 3-7)(2 \cdot 4-7)(2 \cdot 5-7)(2 \cdot 6-7) \cr &=& (-5) \cdot (-3) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cr &=& -225 \end{array}$

4)
$\begin{array}{rcl} \prod\limits_{i=0}^5x^i &=& x^0 \cdot x^1 \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot x^5 \cr &=& x^{0+1+2+3+4+5} \cr &=& x^{15} \end{array}$

5)
$\begin{array}{rcl} \prod\limits_{j=0}^{13}5j^2x^{j-7} &=& 5 \cdot 0^2 \cdot x^{0-7} \cdot \dots \cr &=& 0 \end{array}$

Bemerkung: Hier sieht man schon zu Beginn der Rechnung, dass dieses Produkt insgesamt nur $0$ sein kann, unabhängig davon, welche Faktoren noch hinzukommen (siehe Satz vom Nullprodukt). Es ist also unnötig, die Rechnung weiter fortzuführen.