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Lernmodul Mathematik

Übersicht:

 

24.1 Integrale - Aufgaben

1. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Stammfunktion!

1) f(x)=3x^3-2x^2+x

   11) f(\xi)= \xi^x
2) f(x)=-x^2+x-1   12) f(y)=4e^{2y}
3) f(z)=\dfrac{1}{2}z+10   13) f(x)=\dfrac{x}{\cos^2(x)}
4) f(x)=4x^3-3x^2+2x-1   14) f(x)=\sin\left(14x+\pi\right)
5) f(x)=10x^5-\dfrac{8}{3}x^3+x-7   15) f(t)=\sqrt{3t+1}
6) f(x)=\sqrt{x}+2   16) f(x)=x^2 \cdot e^x
7) f(x)=18\sqrt[5]{x}   17) f(x)=13x\ln(x)
8) f(x)=\dfrac{1}{x^3}   18) g(s)=\dfrac{1}{\tan(s)}
9) g(x)=\dfrac{10}{x^{11}}   19) f(x)=\cos^3(\pi)
10) f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}   20) f(x)= \left(8x^3-9x^2\right)\sin(5x)

 

2. Aufgabe

Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale!

1) \displaystyle\int ax^{a+b} \, dx+\int bx^{a+b} \, dx+\int x^{a+b} \, dx


2) \displaystyle\int (yz^4+y^2z^2+y^4z) \, dy


3) \displaystyle\int (yz^4+y^2z^2+y^4z) \, dz

 

3. Aufgabe

Bestimmen Sie unter allen möglichen Stammfunktionen jeweils diejenige, die durch den angegebenen Punkt verläuft!
1) f(x)=x^2-9x+1 mit P(1\mid 1)
 
2) f(x)=\dfrac{x^3}{6}+x-\dfrac{1}{2} mit P(0 \mid 12)
 
3) f(x)=\dfrac{18}{\sqrt[4]{x}} mit P(4\mid 0)
 
4) f(x)=\dfrac{e^x}{2} mit P(1 \mid 2e)
 
5) f(x)=2x-\cos(x) mit P(\pi \mid \pi^2)

 

4. Aufgabe

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale!

1) \displaystyle\int \limits_2^3 2x \, dx   11) \displaystyle\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos(x) \, dx
2) \displaystyle\int \limits_{-1}^0 x^7 \, dx   12)  \displaystyle\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\left(3x- \dfrac{\pi}{8}\right) \, dx
3) \displaystyle\int \limits_0^4 \left( 2x - 3 \right) \, dx   13) \displaystyle\int \limits_0^2 \dfrac{1}{2}\left(x^2-e^x\right) \, dx
4) \displaystyle\int \limits_0^4 \left(3x^3+2x^2+1\right) \, dx   14) \displaystyle\int \limits_{-2}^1 e^{-12x+5} \, dx
5) \displaystyle\int \limits_{-3}^3 \left( 2z+z^3 \right) \, dz   15) \displaystyle\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx
6) \displaystyle\int \limits_1^2 \left(x+\dfrac{1}{x^2}\right) \, dt   16) \displaystyle\int \limits_1^8 \dfrac{5(x-7)^2}{\left(25x^4-350x^3+1.225x^2\right)\sqrt[3]{x}} \, dx
7) \displaystyle\int \limits_1^2 \left(x+\dfrac{1}{x^2}\right) \, dx   17) \displaystyle\int \limits_1^{11} \dfrac{3x^2}{2}\ln(x) \, dx
8) \displaystyle\int \limits_0^{10} \left( 5\sqrt{x}+4x \right) \, dx   18) \displaystyle\int \limits_2^4 42^y \, dy
9) \displaystyle\int \limits_2^5 \left( \dfrac{3}{8y^4} + \dfrac{12}{y^3} - \dfrac{7}{6y^2} \right) \, dy   19) \displaystyle\int \limits_4^6 \dfrac{x-3}{x^2-6x+9} \, dx
10) \displaystyle\int \limits_4^{10} \left( \dfrac{-8}{\sqrt[3]{t^2}} + 1 \right) \, dt   20) \displaystyle\int \limits_1^3 \left(\sin(u)+3x^2-e^{-3t}+\dfrac{1}{x}\right) \, dx

 

5. Aufgabe

Bestimmen Sie den Parameter t so, dass die folgenden Gleichungen stimmen!

1) \displaystyle\int \limits_0^t x^2 \, dx = 72


2) \displaystyle\int \limits_\frac{1}{2}^t \left(\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2} \right) \, dx = 0


3) \displaystyle\int \limits_t^{10} 3\sqrt{x} \, dx = \sqrt{1000}


4) \displaystyle\int \limits_t^{2t} \left(6x-1\right) \, dx = 0


5) \displaystyle\int \limits_0^5 \left(3t x^2+2\right) \, dx = 35


6) \displaystyle\int \limits_{-2}^2 \left(-\dfrac{1}{4}x+t\right) \, dx = 200

 

6. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Fläche, die von den beiden Graphen eingeschlossen wird!

1) f(x)=x^2 und g(x)=-x^2+2x+4


2) f(x)=x^3-x+2 und g(x)= -x^3+x+2


3)[1] Für Profis: f(x)=-\dfrac{x^2}{t}+t und g(x)=-t x^2+t^3 mit 0 < t \leq 1
Zusatzfrage: Für welchen Wert / welche Werte von t wird der Flächeninhalt maximal?

[1] entnommen aus Wörle, Karl; Kratz, Johannes; Keil, Karl-August (1975): Infinitesimalrechnung. München (S. 183).