Lernmodul Mathematik

Übersicht:

25.1 Komplexe Zahlen - Aufgaben

1. Aufgabe

Zeichnen Sie die gegebenen komplexen Zahlen in die gaußsche Zahlenebene ein und berechnen Sie die anderen Darstellungsformen!

1) $z_1=-10+7i$		9) $z_9=\dfrac{49}{10}\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\right)$
2) $z_2=-\dfrac{-18+37i}{8}$		10) $z_{10}=\dfrac{14}{3}\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)\right)$
3) $z_3=-4-\dfrac{21}{5}i$		11) $z_{11}=8e^{i\,\frac{17\pi}{10}}$
4) $z_4=\dfrac{13+3i}{2}$		12) $z_{12}=\dfrac{33}{4}\,e^{i\,\frac{41\pi}{22}}$
5) $z_5=-\dfrac{22}{3}-\dfrac{19}{4}i$		13) $z_{13}=\dfrac{27}{7}\,e^{i\,3\pi}$
6) $z_6=6\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right)$		14) $z_{14}=6e^{i\,\frac{7\pi}{9}}$
7) $z_7=\dfrac{12}{7}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$		15) $z_{15}=\dfrac{9}{2}\,e^{i\,8\pi}$
8) $z_8=\dfrac{30}{11}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$

2. Aufgabe

Wichtiger Rat: Lassen Sie bei diesen Aufgaben Ihren Taschenrechner in der Tasche und trainieren damit Ihre Kopfrechenfähigkeiten! Die Zahlenwerte sind alle so gewählt, dass das möglich ist. Sie benötigen nicht wesentlich mehr als das kleine Einmaleins und Addition / Subtraktion im Zahlenraum bis 100 ...

Berechnen Sie die folgenden Aufgaben!

1) $(7 \; ; \; 4) + (12 \; ; \; -35 )$		6) $\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) \cdot \left(\dfrac{7}{20} - \dfrac{1}{10}i \right)$
2) $-\dfrac{1}{21} + \dfrac{2}{5}i + \dfrac{2}{3} + \dfrac{7} {8}i$		7) $(11-10i) \cdot (-5-2i)$
3) $\left(\dfrac{3}{4} \; ; \; -5 \right) - \left(\dfrac{11}{8} \; ; \; \dfrac{5} {6} \right)$		8) $\dfrac{11-8i}{-4i}$
4) $7-4i - (18 -3i)$		9) $\dfrac{i-10}{-1-i}$
5) $(10-2i) \cdot (3-6i)$		10) $\dfrac{4}{2+\sqrt{2}i}$

Berechnen Sie die folgenden Produkte und Quotienten! Wählen Sie dabei den Winkel so, dass $\varphi \; \in \; [0 \, ; \, 2\pi[$ ist.

1) $\left(\cos(\pi) + i \sin(\pi)\right) \cdot 7 \left( \cos(\pi)+i \cdot \sin(\pi) \right)$		7) $4 \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{4} \right) \right) \; : \; \left( \dfrac{2}{5} \left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{5\pi} {12} \right) \right) \right)$
2) $\dfrac{1}{8} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{4} \right) \right) \; \cdot \; \dfrac{12}{11} \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \right)$		8) $\dfrac{8}{9} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) \right) \; : \; \left( \dfrac{16}{27} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{10} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{10} \right)\right) \right)$
3) $\dfrac{7}{5}\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)\right) \; \cdot \; \dfrac{20}{21}\left(\cos\left(\dfrac{21\pi}{20}\right)+i\sin\left(\dfrac{21\pi}{20}\right)\right)$		9) $\dfrac{45} {2} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{5} \right) \right) \; : \; \left(9\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi} {9} \right)\right)\right)$
4) $5 e^{i \, \frac{\pi}{10}} \cdot 12 e^{i \, \frac{\pi}{8}}$		10) $5 e^{i \, \frac{\pi}{10}} \; : \; \left( 12 e^{i \, \frac{\pi}{8}} \right)$
5) $\dfrac{4}{7} \, e^{i \, \frac{5\pi}{6}} \; \cdot \; \frac{21}{8} \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}}$		11) $\dfrac{3}{8} \, e^{i \, \frac{3\pi}{4}} \; : \; \left(\dfrac{9}{16} \, e^{i \, \frac{\pi}{6}} \right)$
6) $\dfrac{12}{5} \, e^{i \, \frac{3\pi}{10}} \cdot 15 e^{i \, \frac{5\pi}{12}}$		12) $\dfrac{1}{51} \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}} \; : \; \left(\dfrac{2}{17} \, e^{i \, \frac{3\pi} {4}} \right)$

3. Aufgabe

Berechnen Sie die folgenden Potenz- und Wurzelausdrücke!

1) $\left(\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{8} \right) \right) \right) ^4$		6) $\sqrt{\dfrac{1}{49}\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3} \right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} \right) \right)}$
2) $\left( \dfrac{2} {3} \left(\cos \left(\dfrac{7\pi} {12} \right)+i \sin \left(\dfrac{7\pi} {12} \right) \right) \right) ^3$		7) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{256}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{5} \right)+i\sin\left(\dfrac{8\pi}{5} \right) \right)}$
3) $\left( 8 e^{i \, \frac{4\pi}{3}} \right)^2$		8) $\sqrt{\dfrac{81} {4} \, e^{i \, \frac{\pi}{5}}}$
4) $\left( 2 e^{i \, \frac{7\pi}{5}} \right)^5$		9) $\sqrt[3]{e^{i \, \frac{3\pi}{4}}}$
5) $\sqrt[3]{64 \left(\cos(6 \pi)+i\sin(6 \pi) \right)}$		10) $\sqrt[5]{32 e^{i \, \frac{\pi}{3}}}$

4. Aufgabe

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen mit $\mathbb{D}=\mathbb{C}$ .
Für einige Aufgaben finden Sie Lösungshinweise am Ende der Seite.

1) $-3x^2+6x-8=0$		11) $-20x^2=4x^4+29$
2) $\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{289}{3}=16x$		12) $-2x(-ix+5x-10i)=x^3+10(5x-10i)$
3) $8x(2x-3)=-25$		13) $21x+125=x^2+3x+215$
4) $x(x^2-12(x-3))=6-2(6x^2+3)$		14) $x+4=\dfrac{-10}{x}+3+i^2$
5) $-\dfrac{1}{2}z-2i=-\dfrac{1}{8}z^2-iz+\dfrac{3}{2}$		15) $\dfrac{x^2}{i}+\dfrac{5x\cdot i^{i+1}}{i^i}-7i =0$
6) $-2\left(x^2 +\dfrac{5}{8}\right)=x^3+\dfrac{9}{4}x$		16) $0=z^3+64$
7) $3x-19x^2 = -18x^2 + \dfrac{10}{4}$		17) $7z^3-189i = 0$
8) $0=4z^3+20z^2+50z$		18) $\dfrac{2z}{3}+\dfrac{-\sqrt{36i}+45}{9} = 5$
9) $-217=7(x^2-4x)$		19) $-28z^4+7\sqrt{3}i = 7$
10) $-x^3+x^2i-4x^2+4xi-68x+68i=0$		20) $-3z^3+81-3i = 84$

Lösungshinweise

Aufgabe 4.6: $x_0=-1$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.10: $x_0=i$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.12: $x_0=2i$ ist eine Lösung der Gleichung.