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Lernmodul Mathematik

Übersicht:

 

26.1 Vektorrechnung - Aufgaben

1. Aufgabe

Berechnen Sie für die drei gegebenen Vektoren jeweils die gesuchte Linearkombination, wenn dies möglich ist!


1)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\cr\frac{1}{4}\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}1\cr1\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}-4\cr-9\end{pmatrix}
Gesucht: -10\vec{a} + 5\vec{b} + \vec{c}
 
2)
Gegeben: \vec{a} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}16\cr-24\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}-13\cr8\cr19\end{pmatrix} und \vec{c} = \frac{3}{4}\begin{pmatrix}34\cr-3\cr0\end{pmatrix}
Gesucht: 14\vec{a} + 7\vec{b} - 11\vec{c}
 
3)
Gegeben: \vec{a} = 3\begin{pmatrix}-2\cr-\frac{1}{3}\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}18\cr-15\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}-26\cr22\end{pmatrix}
Gesucht: 6\vec{a} + \dfrac{4}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{2}\vec{c}
 
4)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}27\cr-41\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}-25\cr-33\end{pmatrix} und \vec{c} = -\begin{pmatrix}-19\cr31\end{pmatrix}
Gesucht: 2\vec{a} - 3\vec{b} - 7\vec{c}
 
5)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}12\cr13\cr14\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}-8\cr21\end{pmatrix} und \vec{c} = -5\begin{pmatrix}1\cr-8\end{pmatrix}
Gesucht: -\vec{a} + 23\vec{b} + \vec{c}
 
6)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-16\cr-50\cr-5\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}1\cr-46\cr-6\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}-27\cr33\cr40\end{pmatrix}
Gesucht: 4\vec{a} + 9\vec{b} - 3\vec{c}
 
7)
Gegeben: \vec{v} = \begin{pmatrix}38\cr-37\cr24\end{pmatrix} , \vec{w} = \begin{pmatrix}-15\cr36\cr-27\end{pmatrix} und \vec{u} = \begin{pmatrix}-32\cr-2\cr-20\end{pmatrix}
Gesucht: \vec{v} - 8\vec{w} + 3 \vec{u}
 
8)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-4\cr-20\cr-17\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}-25\cr-29\cr23\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}16\cr-29\cr-35\end{pmatrix}
Gesucht: -6\vec{a} + 7\vec{b} - 2\vec{c}
 
9)
Gegeben: \vec{t} = \begin{pmatrix}-27\cr48\cr-38\end{pmatrix} , \vec{s} = \begin{pmatrix}\frac{31}{8}\cr0\cr\frac{1}{12}\end{pmatrix} und \vec{q} = \begin{pmatrix}-44\cr-6\cr \frac{3}{14}\end{pmatrix}
Gesucht: \dfrac 56 \vec{t} - 4\vec{s} + \dfrac{7}{2} \vec{q}
 
10)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\frac{16}{3}\cr-8\cr0\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}\frac{19}{4}\cr-2\cr-\frac{17}{2}\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{27}\cr\frac{11}{9}\cr-1\end{pmatrix}
Gesucht: -\dfrac{1}{4} \vec{a} + 12\vec{b} + 9\vec{c}

 

2. Aufgabe

Berechnen Sie jeweils den Betrag des Vektors \vec{a}! Runden Sie die Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.

1) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}5\cr-14\end{pmatrix}

   5) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}16\cr-12\cr-\frac{2}{7} \end{pmatrix}
2) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-\frac{3}{10}\cr \cr-\frac{7}{3} \end{pmatrix}

   6) 
Gegeben: \vec{a} = -\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix}48\cr-72\cr-12\end{pmatrix}
3) 
Gegeben: \vec{a} = -\begin{pmatrix}0\cr-17\end{pmatrix}

   7) 
Gegeben: \vec{a} = \dfrac{3}{4} \begin{pmatrix}\frac{8}{3}\cr32\cr16\end{pmatrix}
4) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}8\cr14\cr-17\end{pmatrix}

   8) 
Gegeben: \vec{a} = \dfrac{2}{5} \begin{pmatrix}-20\cr25\cr-9\end{pmatrix}

 

3. Aufgabe

Wie groß muss die Komponente x\in\mathbb{R} sein, damit der Betrag des Vektors jeweils den angegebenen Wert annimmt?

1) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}x\cr-6\cr11\end{pmatrix} und \left|\vec{a}\right|=15		   5) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}x\cr-13\cr3x\end{pmatrix} und \left|\vec{a}\right|=17
2) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-10\cr2x\cr9\end{pmatrix} und \left|\vec{a}\right|=21		   6) 
Gegeben: \vec{u} = \begin{pmatrix}-17\cr4x^2\cr14\end{pmatrix} und \left|\vec{a}\right|=25
3) 
Gegeben: \vec{AB} = \begin{pmatrix}-4\cr\cr\frac{x}{2}\cr\cr\frac{3x}{2}\end{pmatrix} und \left|\vec{AB}\right|=45		   7) 
Gegeben: \vec{z} = \begin{pmatrix}\sqrt{25}\cr x^3 \cr-\frac{1}{2}\end{pmatrix} und \left|\vec{z}\right|=11
4) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-1\cr15\cr12x\end{pmatrix} und \left|\vec{a}\right|=28		   8) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^3} \cr 12 \cr 12\end{pmatrix} und \left|\vec{a}\right|=\sqrt{504}

 

4. Aufgabe

Wie muss der Parameter \lambda gewählt werden, damit \left|\lambda\vec{a}\right| jeweils den Wert 1 annimmt?

1) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}7\cr-8\cr10\end{pmatrix}		   5) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}3\cr7\cr-1\end{pmatrix}
2) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-\frac{4}{9}\cr0\cr\frac{1}{3}\end{pmatrix}		   6) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-64\cr 14 \cr -10 \end{pmatrix}
3) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-40\cr-20\cr70\end{pmatrix}		   7) 
Gegeben: \vec{a} = -\dfrac{4}{5} \begin{pmatrix}15 \cr -\frac{5}{12} \cr 0 \end{pmatrix}
4) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}23\cr-35\cr-27\end{pmatrix}		   8)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-\sqrt{20}\cr 13 \cr 25 \end{pmatrix}

 

5. Aufgabe

Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt \vec{a}^{\,T} \cdot \vec{b}!

1)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}43\cr-45\cr11\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}2\cr-3\cr-4\end{pmatrix}		   5) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}121\cr-97\cr105\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-84\cr-113\cr96\end{pmatrix}
2)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-\frac{5}{8}\cr-13\cr20\end{pmatrix} und \vec{b} = \dfrac{4}{5} \begin{pmatrix}24\cr30\cr7\end{pmatrix}		   6)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\frac{4}{3} \cr 13 \cr 16 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}3\cr -37 \cr \frac{121}{4} \end{pmatrix}
3)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}12\cr14\cr-20\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-8\cr12\cr-18\end{pmatrix}		   7)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\frac{3}{5} \cr -28 \cr \frac{1}{3} \end{pmatrix} und \vec{b} = \dfrac{8}{3} \begin{pmatrix}-30\cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}
4) 
Gegeben: \vec{x} = \begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\cr0\cr36\end{pmatrix} und \vec{y} = \begin{pmatrix}4\cr-7\cr\frac{1}{6}\end{pmatrix}		   8)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} 3t \cr -9 \cr -14 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}225 \cr -256 \cr 289 \end{pmatrix}

 

6. Aufgabe

Berechnen Sie jeweils den Winkel \varphi, der von den Vektoren \vec{a} und \vec{b} eingeschlossen wird!

1) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}4\cr4\cr-6\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-1\cr-9\cr-5\end{pmatrix}		   5) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-15\cr-\frac{1}{4}\cr18\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}\frac{22}{5}\cr12\cr-\frac{7}{2}\end{pmatrix}
2)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}2\cr2\cr1\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-1\cr10\cr-1\end{pmatrix}		   6)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\frac{27}{11} \cr \sqrt{3} \cr 8 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}22\cr \sqrt{12} \cr 16 \end{pmatrix}
3) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-17\cr-7\cr-8\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}2\cr28\cr9\end{pmatrix}		   7)
Gegeben: \vec{m} = \begin{pmatrix}- \frac{5}{6} \cr \sqrt{8} \cr 0 \end{pmatrix} und \vec{n} = \begin{pmatrix}3\cr -\sqrt{2} \cr 5^3 \end{pmatrix}
4) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\frac{5}{4}\cr9\cr \frac{7}{2}\end{pmatrix} und \vec{b} = -\begin{pmatrix}\frac{8}{15}\cr \frac{4}{3}\cr10\end{pmatrix}		   8)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-2^7 \cr -7^3 \cr 0 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \cr 0 \cr \sqrt{15} \end{pmatrix}

 

7. Aufgabe

Sind die gegebenen Vektoren jeweils orthogonal?

1) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}1\cr0\cr-3\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}18\cr-10\cr6\end{pmatrix}		   5) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}9\cr-7\cr0\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}0\cr-\frac{9}{14}\cr\frac{8}{3}\end{pmatrix}
2)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\cr1\cr5\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-16\cr15\cr\frac{11}{10}\end{pmatrix}		   6)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{32} \cr z \cr -2{,}5 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \cr 0 \cr 4 \sqrt{2} \end{pmatrix}
3) 
Gegeben: \vec{DE} = \begin{pmatrix}13\cr-10\cr3\end{pmatrix} und \vec{FG} = \begin{pmatrix}2\cr2\cr-2\end{pmatrix}		   7)
Gegeben: \vec{0F} = \begin{pmatrix} 16 \cr \frac{3}{16} \cr 3 \end{pmatrix} und \vec{w} = \begin{pmatrix} \frac{3}{16} \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}
4) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}25\cr-30\cr-34\end{pmatrix} und \vec{b} = 3\begin{pmatrix}4\cr-3\cr6\end{pmatrix}		   8)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} 18 \cr -8 \cr 27 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 16 \cr 117 \cr 24 \end{pmatrix}

 

8. Aufgabe

Bestimmen Sie aus den gegebenen Punkten die Vektoren \vec{a}=\vec{AB} und \vec{b}=\vec{BC} und prüfen Sie diese auf lineare Unabhängigkeit!

1)
Gegeben: A\,\left(-45 \mid 15\right) , B\,\left(-12 \mid -36\right) und C\,\left(-78 \mid 66\right)
 
2)
Gegeben: A\,\left(-19 \mid 30\right) , B\,\left(-15 \mid 14\right) und C\,\left(-10 \mid 0\right)


Bestimmen Sie aus den gegebenen Punkten die Vektoren \vec{a}=\vec{AB}, \vec{b}=\vec{BC} und \vec{c}=\vec{CD} und prüfen Sie diese auf lineare Unabhängigkeit!
 
3)
Gegeben: A\,\left(\frac{10}{3} \mid -\frac{49}{8} \mid -\frac{651}{10}\right) , B\,\left(-\frac{5}{3} \mid \frac{71}{8} \mid -\frac{1}{10}\right) , C\,\left(-\frac{4}{3} \mid \frac{7}{8} \mid -\frac{1}{10}\right) und D\,\left(-\frac{1}{3} \mid \frac{7}{8} \mid -\frac{11}{10}\right)
 
4)
Gegeben: A\,\left(33 \mid -7 \mid -19\right) , B\,\left(15 \mid -1 \mid 5\right) , C\,\left(17 \mid -3 \mid -9\right) und D\,\left(1 \mid 1 \mid 1\right)
 
5)
Gegeben: A\,\left(19 \mid 21 \mid -3\right) , B\,\left(20 \mid 20 \mid -2\right) , C\,\left(10 \mid 15 \mid -9\right) und D\,\left(20 \mid 13 \mid -7\right)

 

9. Aufgabe

Bestimmen Sie aus den gegebenen Punkten die Vektoren \vec{a}=\vec{AB} und \vec{b}=\vec{BC} und prüfen Sie diese auf Parallelität bzw. Antiparallelität!

1)
Gegeben: A\,\left(-1 \mid 0 \mid -8\right) , B\,\left(14 \mid -5 \mid -2\right) und C\,\left(-31 \mid 10 \mid -20\right)
 
2)
Gegeben: A\,\left(-11 \mid \frac{11}{5} \mid -7\right) , B\,\left(-18 \mid \frac{16}{5} \mid -\frac{17}{2}\right) und C\,\left(24 \mid -\frac{14}{5} \mid \frac{1}{2}\right)
 
3)
Gegeben: A\,\left(1 \mid 6 \mid -16\right) , B\,\left(2 \mid 7 \mid -8\right) und C\,\left(-2 \mid 2 \mid -40\right)
 
4)
Gegeben: A\,\left(8 \mid -9 \mid 10\right) , B\,\left(12 \mid 2 \mid 0\right) und C\,\left(24 \mid 35 \mid -30\right)
 
5)
Gegeben: A\,\left(-9 \mid 12 \mid -31\right) , B\,\left(-12 \mid 9 \mid -23\right) und C\,\left(-39 \mid -18 \mid 49\right)
 
6)
Gegeben: A\,\left(14 \mid -4 \mid 7\right) , B\,\left(14 \mid 3 \mid 21\right) und C\,\left(14 \mid 0 \mid 20\right)

 

10. Aufgabe

Berechnen Sie das Vektorprodukt \vec{a} \times \vec{b}!

1) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}0 \cr \frac{4}{3}\cr-12\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-\frac{3}{4}\cr \frac{5}{6}\cr-\frac{9}{2}\end{pmatrix}		   5) 
Gegeben: \vec{a} = -\dfrac{5}{4} \begin{pmatrix}22\cr-13\cr-40\end{pmatrix} und \vec{b} = \dfrac{4}{5} \begin{pmatrix}0\cr-30\cr4\end{pmatrix}
2) 
Gegeben: \vec{o} = \begin{pmatrix}14\cr-7\cr6\end{pmatrix} und \vec{n} = \frac{3}{4} \begin{pmatrix}-4\cr12\cr-32\end{pmatrix}		   6) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \cr \frac{1}{2} \cr 14 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \cr 3 \cr 84 \end{pmatrix}
3)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-35\cr-45\cr-43\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}9\cr13\cr11\end{pmatrix}		   7) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} -\frac{11}{72}x \cr 0 \cr \frac{13}{2} \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \cr -\frac{15}{9} \cr 0 \end{pmatrix}
4) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{13}{6}\cr4\cr-12\end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix}-\frac{4}{3}\cr11\cr \frac{8}{5} \end{pmatrix}		   8) 
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} \cr 17 \cr 0 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \cr 10 \cr -66 \end{pmatrix}

 

11. Aufgabe

Berechnen Sie das Spatprodukt \vec{a}^{\,T} \cdot \left(\vec{b} \times \vec{c}\right)!

1)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}1\cr-1\cr2\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}10\cr0\cr-8\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}4\cr-5\cr0\end{pmatrix}
 
2)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-21\cr6\cr-35\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}-7\cr-18\cr28\end{pmatrix} und \vec{c} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}-21\cr18\cr48\end{pmatrix}
 
3)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}37\cr7\cr-32\end{pmatrix} , \vec{b} = \begin{pmatrix}-30\cr-5\cr13 \end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}-10\cr-45\cr-48\end{pmatrix}
  
4)
Gegeben: \vec{a} = \begin{pmatrix}-25\cr4\cr1\end{pmatrix} , \vec{b} = \dfrac{12}{5} \begin{pmatrix}-15\cr1\cr-\frac{15}{4}\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix}-10\cr11\cr\frac{3}{2}\end{pmatrix}
 
5)
Gegeben: \vec{e} = \begin{pmatrix}-12\cr2\cr-3\end{pmatrix} , \vec{f} = \begin{pmatrix}7\cr-9\cr-9\end{pmatrix} und \vec{g} = \begin{pmatrix}-6\cr-10\cr-14\end{pmatrix}