Lernmodul Mathematik

Übersicht:

13.1 Polynomgleichungen und -funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils den Grad des Polynoms!

1) $p(x)=3x^2-2x+1$		6) $p(x)=0x^7-4x^6+17x^5-23x^4+109x^3+77x^2-x+48$
2) $p(x)=17x^4-x+\dfrac{2}{11}$		7) $p(x)=33x^7-\dfrac{2}{5} x^9+\dfrac{11}{30} x^{11}+100$
3) $p(x)=-180x^{21}-0{,}1x^{19}-13x^{13}+228$		8) $p(x)=-22x^{19}+x^{16}-\dfrac{22}{9} x^{13}-20$
4) $p(x)=87$		9) $p(x)=-x^{31}-x^{22}+\dfrac{41}{3} x^2-22$
5) $p(x)=-\dfrac{1}{6}x^{16}+\dfrac{2}{7}x^7-34x^5+15x^2-9$		10) $p(x)=-1+\dfrac{2}{30} x^2+\dfrac{4}{30} x^9-20x^{18}$

2. Aufgabe

Lösen Sie die folgenden Polynomgleichungen!
Lösungshinweise für die Aufgaben 3), 7), 11), 14) und 17) finden Sie am Ende der Seite.

1) $0=x^3-5x^2-6x$		11) $-12x\left(x^2-19\right) = 24\left(-x^2+10\right)$
2) $\dfrac{1}{3}x^4+12=0$		12) $-\dfrac{1}{81}z^3\left(9z\left(-9z^4+2\right)\right) = \dfrac{2}{27}$
3) $\dfrac{x^3}{8} = x^2+2x-16$		13) $2(x+5)^2-(x-4)(x+5) = (x-4)^2$
4) $2x^3-x^2+6x=3x^2$		14) $14x^2\left(x^2-2\right)+28x^3 = 14x$
5) $x^{10}+768=56x^5$		15) $\dfrac{9}{4}\left(\dfrac{4x}{3}\right)^4-4x\left(\dfrac{4x}{3}\right)^3 = -192$
6) $y^3+y^2+4 = -4y$		16) $\left(x^2-1\right)^2=x^3+1$
7) $\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{13}{2}x^2-2x = 26$		17) $\left(5x^2-\sqrt{5}x\right)\left(x^3+x^2-4x+2\right) = 0$
8) $11x^3+5x^5+2x=0$		18) $12x^2(x-1) = -\sqrt{144p} \cdot x (x-1)$ mit $p\in\mathbb{R}_0^+$ konstant
9) $x^4+5x^3-x^3\ln(5)-x^25\ln(5) = 0$		19) $0 = \left(-\pi-k^2+x^2\right)\left(x^2-\pi^2-kx^2+k^2\pi^2\right)$ mit $k\in\mathbb{R}$ konstant
10) $8\left(\dfrac{3}{8}x^4-6\right) = 3\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)$		20) $3x^{2n}=2x^{2n-1}+x^{2n-1}$ mit $n \in \mathbb{N}^+$

3. Aufgabe

Welche Eigenschaften haben die folgenden Polynomfunktionen (alle mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ )?
Es geht bei dieser Aufgabe darum, den Funktionsterm zu verstehen und daraus Informationen über den Funktionsgraphen abzulesen - und das Alles: Ohne zu rechnen!
Skizzieren Sie die Graphen anhand Ihrer Überlegungen zu den Eigenschaften!

1) $f(x)=-x^3+5x^2-x+5$

2) $f(x)=10x^4-3x^3+8x^2$

3) $f(x)=15x^4+21x^2-9$

4) $f(x)=2x^5+x^3-4x$

5) $f(x)=-x^6-x^4+4x^2+7$

4. Aufgabe

Lösungshinweise für die Aufgaben 3), 7) und 9) finden Sie am Ende der Seite.

1) Gegeben sei die Funktion $f(x)=3x^4-4x^3$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=1{,}5$ b) wenn $y=0$		6) Gegeben sei die Funktion $f(x)=3\left(\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+1\right)$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-\dfrac{3}{2}$ b) wenn $y=3$
2) Gegeben sei die Funktion $f(x)=2x^4-x^3+3x^2+13$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-\dfrac{1}{3}$ b) wenn $y=13$		7) Gegeben sei die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^3-12x^2+5x\right)+80$ mit $x\in \mathbb{R}$ Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-32$ b) wenn $y=5$
3) Gegeben sei die Funktion $f(x)=4x^3+7x^2-2x-5$ mit $x\in \mathbb{R}$ Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-11$ b) wenn $y=0$		8) Gegeben sei die Funktion $f(x)=5x^{13}-7x^9-7$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-1$ b) wenn $y=-7$
4) Gegeben sei die Funktion $f(x)=7x^6-4x^3+5$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=0{,}1$ b) \wenn $y=485$		9) Gegeben sei die Funktion $f(x)=3x^3-10x^2+7x-26$ mit $x\in \mathbb{R}$ Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=12$ b) wenn $y=-14$
5) Gegeben sei die Funktion $f(x)=x^{16}-x^8-256$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=0$ b) wenn $y=-256$		10) Gegeben sei die Funktion $f(x)=x^4-2x^2+1$ mit $x\in \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=5$ b) wenn $y=9$

5. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen die Nullstellen!
Lösungshinweise für die Aufgaben 3), 4), 5) und 10) finden Sie am Ende der Seite.

1) $f(a)=8a^5+6a^3-20a$		6) $f(x)=\dfrac{3}{4}x^4+2x^2-4$
2) $f(x)=3x^3+6x^2-3x^2-6x$		7) $f(y)=\left(y-3\right)\cdot\left(y^2-\dfrac{2}{3}y-3\right)$
3) $f(x)=x^3+4x^2-51x-54$		8) $f(x)=x^4-17x^2+16$
4) $f(x)=4x^3+8x^2-x-2$		9) $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3+x^2+x$
5) $f(x)=2x^3+12x^2-48x-128$		10) $f(x)=x^3+5x^2-2x-24$

Lösungshinweise:
Aufgabe 2.3: $x_0=4$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.7: $x_0=-13$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.11: $x_0=1$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.14: $x_0=1$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.17: $x_0=1$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.3: $x_0=-1$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.7: $x_0=5$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.9: $x_0=3$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.3: $x_0=-1$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.4: $x_0=-2$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.5: $x_0=4$ ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.10: $x_0=2$ ist eine Lösung der Gleichung.