Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Das zweidimensionale Koordinatensystem
• Das dreidimensionale Koordinatensystem

2.5 Grundlagen - Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem ist ein geometrisches Schema, welches benutzt wird, um Punkte, Funktionsgraphen etc. eindeutig zu positionieren. In diesem Lernmodul werden nur Koordinatensysteme, bei denen die Achsen im rechten Winkel zueinanderstehen, verwendet. Man nennt sie auch kartesische Koordinatensysteme - nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes, der sich als einer der ersten intensiv mit ihnen beschäftigt hat und damit für ihre Verbreitung gesorgt hat.

Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem

Für zwei Dimensionen (sprich: für die Ebene) braucht man naheliegenderweise zwei Achsen. Die horizontale Achse nennen wir in einem solchen Fall Abszisse, die vertikale Achse Ordinate. Heißen die Variablen $x$ und $y$, sagt man statt Abszisse auch x-Achse und statt Ordinate auch y-Achse; bei anderen Variablenbezeichnungen entsprechend. Die Achsen sollten immer beschriftet werden. Wenn es sich anbietet, kann dazu der inhaltliche Zusammenhang einschließlich der entsprechenden Einheit verwendet werden, z. B. "Zeit in Stunden". Um die Darstellung im Koordinatensystem nicht zu verzerren, ist es meist hilfreich, auf beiden Achsen die gleiche Skaleneinteilung zu verwenden. Um das Koordinatensystem vollständig zu machen, bekommen die Achsen an ihrem positiven Ende einen kleinen Pfeil, der andeutet, dass auch größere Zahlenwerte betrachtet werden könnten.
Jeder Punkt in diesem Koordinatensystem hat eine eindeutige "Adresse", die aus zwei Koordinaten besteht: einer x-Koordinate und einer y-Koordinate. Man schreibt dafür $P \; (x \mid y)$. Wichtig dabei ist die Reihenfolge: Der erste Wert bezieht sich immer auf die x-Achse und gibt an, wie weit links oder rechts sich der Punkt befindet. Der zweite Wert bezieht sich immer auf die y-Achse und gibt an, wie weit oben oder unten sich der Punkt befindet. Formal gesehen ist ein Punkt also ein 2-Tupel oder Paar. Der Punkt $(0 \mid 0)$ heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung.
Punkte werden klassischerweise mit großen lateinischen Buchstaben, am liebsten mit $A$, $B$, $C$ und $D$ oder $P$, $Q$ und $R$, bezeichnet. Auch hier können Indizes verwendet werden. Für den Koordinatenursprung hat sich der Buchstabe $O$, vom lateinischen Wort origo für Ursprung, eingebürgert.

Schauen wir uns ein paar Punkte im Koordinatensystem (siehe Grafik rechts) an:

$P1 \; (1 \mid 2)$
$P2 \; (-3 \mid 8)$
$P3 \; (-6 \mid -4{,}5)$
$P4 \; (9 \mid -9)$

Das obere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 1. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte positiv.
Das obere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 2. Quadrant. Hier sind die x-Werte negativ und die y-Werte positiv.
Das untere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 3. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte negativ.
Das untere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 4. Quadrant. Hier sind die x-Werte positiv und die y-Werte negativ.

Bitte wundern Sie sich nicht über die Reihenfolge der Nummerierung. Drehungen entgegengesetzt des Uhrzeigersinns sind in der Mathematik die Regel und werden auch als "mathematisch positiv" bezeichnet. Warum man oben rechts angefangen hat zu zählen, ist vermutlich klar ;-).

Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem

Das Ganze gibt es (natürlich) auch mit drei Achsen, um mathematische Objekte im Raum beschreiben zu können. Wieder stehen (zumindest in diesem Lernmodul) diese Achsen senkrecht zueinander und schneiden sich im Punkt $O \; (0\mid 0 \mid 0)$. Sie können sich das wie die Ecke eines "normalen" Zimmers (ohne Dachschräge und so) vorstellen. In jeder Kante (Wand-Wand, Boden-Wand, Boden-andere Wand) liegt dann eine Achse.

Wenn wir bei den Bezeichnungen von oben bleiben, kommt zur x- und y-Achse nun die z-Achse hinzu. Gelegentlich werden sie auch $x_1$-, $x_2$- und $x_3$-Achse genannt oder die Bezeichnungen an den inhaltlichen Zusammenhang angepasst, aber das ändert logischerweise nichts an den Grundsätzen. Üblicherweise nutzt man die z-Achse, um die Höhe zu beschreiben, und die x- und y-Achse für die Grundfläche, wobei die x-Achse nach vorne und die y-Achse zur Seite zeigt. Dadurch entsteht ein so genanntes Rechtssystem oder auch rechtshändiges Koordinatensystem. D. h., wenn man den Daumen der rechten Hand in Richtung der x-Achse zeigen lässt, zeigen der Zeigefinger in Richtung der y-Achse und der Mittelfinger in Richtung der z-Achse.

Wichtig zu beachten ist, dass eine zweidimensionale Darstellung eines dreidimensionalen Objektes immer eine Verzerrung bewirkt. Im klassischen Schrägbild zeichnet man die x-Achse in einem Winkel von 135° zu den beiden anderen Achsen ein (schräg nach vorne), wobei die Einheiten dieser Achse um den Faktor $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ verkürzt werden. Meist beschränkt man sich auf die positiven Abschnitte der Achsen, weil das Gesamtbild sonst zu unübersichtlich würde.


Auch hier hat jeder Punkt anhand der Koordinaten eine "Adresse". Diese muss natürlich aus drei Komponenten bestehen - für jede Achsenrichtung eine. Um den Punkt $P \; (x\mid y \mid z)$ in das Koordinatensystem einzutragen, verfährt man folgendermaßen:

1. $x$ Einheiten parallel zur x-Achse abtragen (also nach vorne oder - wenn $x$ negativ ist - nach hinten)
2. von dort $y$ Einheiten parallel zur y-Achse abtragen (also nach rechts oder - wenn $y$ negativ ist - nach links)
3. von dort $z$ Einheiten parallel zur z-Achse abtragen (also nach oben oder - wenn $z$ negativ ist - nach unten)

Ein Beispiel: In dem Koordinatensystem ist der Punkt $P \; (4\mid 5 \mid 1)$ inklusive Hilfslinien eingezeichnet.

In dieser Grafik sieht man allerdings auch, welches Problem bei Punkten in einem solchen dreidimensionalen Koordinatensystem auftritt: Sie lassen sich zwar problemlos einzeichnen. Das Ablesen eines gegebenen Punktes liefert jedoch keine eindeutigen Koordinaten. Der eingezeichnete Punkt könnte beispielsweise auch die Koordinaten $(2\mid 4 \mid 0)$ oder $(5\mid 5{,}5 \mid 1{,}5)$ haben. Allein aus der Darstellung kann man den Unterschied nicht erkennen. Zur Veranschaulichung von Funktionsgebirgen (das sind Graphen von Funktionen mit mehreren Variablen) und Vektoren lohnt sich das Zeichnen solcher Koordinatensysteme trotzdem.