Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Grundbegriffe
• Rechnen mit Variablen
• Lineare Gleichungen
• Lösen einer Gleichung
• Definitionsbereich und Lösungsmenge
• Probe
• Lösbarkeit linearer Gleichungen

5.2 Lineare Gleichungen - Erklärungen

Gleichungen sind etwas sehr Wichtiges in der Mathematik. Daher schauen wir uns in diesem Kapitel die grundlegenden Prinzipien und Vorgehensweisen anhand des einfachsten Gleichungstyps an. In späteren Kapiteln werden zwar die Gleichungen immer komplexer - an diesen Prinzipien und Vorgehensweisen ändert sich aber wenig. Insofern lohnt es sich, hier ganz genau hinzuschauen und mitzudenken.

Was ist ...

... eine Konstante?
Ein Platzhalter für einen festen Zahlenwert

... eine Variable?
Ein Platzhalter für einen veränderlichen Zahlenwert

... ein Koeffizient?
Die Zahl in einem Produkt aus Zahl und Variable

... ein Term?
Eine mathematisch sinnvolle Kombination aus Zahlen, Konstanten, Variablen, Klammern und Rechenoperationen

... eine Gleichung?
Etwas in der Art: "ein Term = ein (anderer) Term"

Um diese Begriffe etwas greifbarer zu machen ...: Terme sind so etwas wie die "Wörter" der Mathematik, aus denen dann komplexe "Texte", z. B. Gleichungen, zusammengesetzt werden. Ebenso wie Texte die Basis z. B. für literarische Untersuchungen sind, benötigt die Mathematik Gleichungen für Berechnungen und Analysen aller Art.

Bitte achten Sie auf den (wichtigen!) Unterschied zwischen Term und Gleichung: Simpel gesagt, besteht eine Gleichung aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Sie steht für die Aussage, dass irgendein Term gleich einem anderen Term oder einem bestimmten Zahlenwert ist oder sein soll. Das sagt ja bereits der Name … Meist gehört zu Gleichungen die Aufgabe, eine Lösung zu finden, also den Zahlenwert, für den die Terme tatsächlich gleich sind (dazu unten mehr).
Terme hingegen enthalten zunächst mal kein Gleichheitszeichen. Sie haben auch keine zugehörige Aufgabe, weil ihr Einsatzgebiet sehr vielfältig ist. Ein paar Beispiele, wo Terme mit ganz unterschiedlichen "typischen Aufgaben" auftauchen (auch wenn diese teilweise auf spätere Kapitel vorgreifen):

• Gerade wurde schon die Kombination von Termen zu Gleichungen mit der Aufgabe, Lösungen zu finden, erwähnt.
• Bei Funktionen werden Terme für verschiedene Ziele eingesetzt, z. B. Funktionswerte berechnen, Nullstellen bestimmen oder die Funktion ableiten.
• In dem Term $\pi r^2$ erkennen Sie vielleicht die Flächenformel für einen Kreis: Bei solchen Termen geht es meist darum, aus einem gegebenen Radius $r$ die Fläche $A_{Kreis}$ zu berechnen - wieder ein ganz anderer Anwendung von Termen.

Sie sehen an diesen Beispielen, dass der sinnvolle Umgang mit einem Term stark vom Kontext abhängt, in dem der Term steht. Es gibt ganz viele verschiedene Ansätze und Lösungsstrategien, die man ordentlich unterscheiden muss. Man darf daher z. B. nicht einfach $=0$ hinter einen Term schreiben, ihn damit als Gleichung verstehen und eine Lösung berechnen. Vielleicht war der Einsatzbereich ja ein ganz anderer.

Rechnen mit Variablen

So, nun sind die wichtigsten Begrifflichkeiten geklärt und wir können uns um das eigentliche Rechnen mit Variablen kümmern, ohne welches lineare Gleichungen nicht zu lösen sind.

Gleich zu Beginn eine gute Nachricht: Da Variablen ja nichts Anderes als Platzhalter für Zahlen sind, rechnet man mit Variablen im Großen und Ganzen genauso wie mit Zahlen. Man fasst einfach gleichartige Objekte zusammen, indem man sie quasi "zählt". Ein paar Beispiele:

Es gelten grundsätzlich - auch wenn Variablen ins Spiel kommen - die "ganz normalen" Rechenregeln, z. B. aus den Kapiteln Rechengesetze und Bruchrechnung, also Klammern auflösen, Brüche erweitern etc. Es gelten aber auch die gleichen Einschränkungen: Beispielsweise darf man auch bei Brüchen mit Variablen nicht aus Summen kürzen. Erst wenn neue Rechenkonzepte, wie Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, hinzukommen, werden neue Rechenregeln (natürlich mit neuen Einschränkungen ...) benötigt. Der Oberbegriff für die ganzen Verfahren, mit denen man einen Term in eine einfachere, kompaktere Form überführt, ist, "einen Term vereinfachen".
Wenn man einen Term vereinfacht, steht zwischen den verschiedenen Schritten natürlich ein Gleichheitszeichen - eine Umformung, die dazu führt, dass die Terme nicht mehr gleich sind, wäre ja nicht zielführend.
Ein Beispiel:
$\begin{array}{rclcl}-90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-(10-2b)(a-3)\right)+30ab &=& -90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-(10a-30-2ab+6b)\right)+30ab &\vert& \text{innere Klammern mit dem Distributivgesetz aufgelöst} \cr&=& -90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-10a+30+2ab-6b\right)+30ab &\vert& \text{Minusklammer aufgelöst, ebenfalls Distributivgesetz} \cr&=& -90b-3a+150a-450-30ab+90b+30ab &\vert& \text{ausmultipliziert} \cr&=& -3a+150a-30ab+30ab+90b-90b-450 &\vert& \text{"sortiert", also das Kommutativgesetz angewendet} \cr&=& 147a-450 &\vert& \text{zusammengefasst}\end{array}$
Wir haben nun eine einfachere, kürzere Variante des Ausgangsterms. Z. B. erkennt man, dass $b$ in diesem Term eigentlich gar keine Rolle spielt.
Wenn man Zahlen für die Variablen einsetzt und dann ausrechnet, erhält man in jeder Zeile das gleiche Ergebnis. Nehmen wir beispielsweise $a=-2$ und $b=9$:

Wenn Sie den Rechenaufwand in den einzelnen Zeilen vergleichen, wird vermutlich schnell klar, warum Termvereinfachungen keine so schlechte Idee sind … Machen Sie sich aber bitte klar, dass wir hier keinen Wert für die Variablen ausgerechnet haben (wie das beim Lösen einer Gleichung der Fall wäre). Stattdessen haben wir nur Beispielwerte eingesetzt, um zu zeigen, dass die verschiedenen Umformungsschritte tatsächlich den gleichen Wert liefern.

Damit haben wir auch gleich das Vorgehen geklärt, wenn man ausrechnen möchte (oder muss), welchen Wert ein Term annimmt, wenn man für die Variablen bestimmte Zahlenwerte einsetzt. Das wird z. B. weiter unten bei der Probe wichtig. Schauen wir uns jetzt noch an, wie man Terme in andere Terme einsetzt:

Gesucht ist $x$, welches folgendermaßen berechnet werden soll: $x=3y-10z$, dabei ist $y=-2z-4$ und $z=23$
$\begin{array}{cclll} x &=& 3y-10z & \vert & \text{Setze y ein} \cr x &=& 3\cdot(-2z-4)-10z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& 3\cdot(-2\cdot 23-4)-10\cdot 23 \cr x &=& 3 \cdot (-50)-230 \cr x &=& -380 \end{array}$

Am sinnvollsten ist es hier, Schritt für Schritt vorzugehen, also erst den komplizierteren Term (hier y) einzusetzen, sich alles hinzuschreiben und dann den anderen Term einzusetzen. Das Ausrechnen ist dann der letzte Schritt.
Ganz wichtig: Klammern nicht vergessen! Der y-Term besteht aus einer Differenz, die dann im Gesamtterm multipliziert werden muss. Also treffen hier Punkt- und Strichrechnung aufeinander und bekanntermaßen geht Punktrechnung vor Strichrechnung.

Der Wert, den ein Term beim Einsetzen von Zahlen, annimmt, ändert sich durch Termvereinfachungen nicht. Schauen wir uns nochmal das Beispiel von oben in einer leicht veränderten Form an: Gesucht ist $x$, welches folgendermaßen berechnet werden soll: $x=y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z$, dabei ist $y=-2z-4$ und $z=23$.
Es ist (hoffentlich) nicht so schwer zu erkennen, dass $x=y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z=3y-10z$. Dann gehen wir genauso vor wie oben:
$\begin{array}{cclll} x &=& y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z & \vert & \text{Setze y ein} \cr x &=& -2z-4+(-2z-4)+(-2z-4)-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& -2\cdot 23-4+(-2\cdot 23-4)+(-2\cdot 23-4)-23-23-23-23-23-23-23-23-23-23 \cr x &=& -50+(-50)+(-50)-23-23-23-23-23-23-23-23-23-23 \cr x &=& -380 \end{array}$
In dieser Variante muss man sich zwar nicht so sehr um Klammern kümmern - dafür ist es deutlich schwieriger, den Überblick zu behalten.

Achtung: Nicht jeder Buchstabe, der in der Mathematik auftaucht, ist eine Variable! Denken Sie beispielsweise an $\pi$.
Ebenso ist nicht alles, was einen Rechenoperator enthält, variabel: $\sqrt{23+2}=\sqrt{25}=5$

Lineare Gleichungen

Definition: Eine lineare Gleichung ist eine spezielle Form einer Gleichung, in der ausschließlich folgende Terme auftreten:

• Produkte aus einer Variablen und Konstanten/Zahlen
• Summen aus diesen Produkten und (anderen) Konstanten/Zahlen

Beispiele für lineare Gleichungen

• $3x+4=\dfrac{x}{3}-12$
  Diese Gleichung ist linear, da die einzige Variable $x$ nur mit Zahlenwerten multipliziert wird. $\frac{x} {3}$ ist dabei nichts Anderes als $\frac{1}{3} \cdot x$ . Dann werden noch Zahlen addiert. Das ist alles erlaubt.
  
  
• $-2(9t+1)-9 (12+3t)=0$
  Bei dieser Gleichung ist durch die Klammern nicht sofort zu erkennen, ob sie linear ist. Beim Ausmultiplizieren werden die Terme, die die Variable $t$ enthalten, aber nur mit weiteren Zahlen multipliziert, sodass auch diese Gleichung linear ist. Würden Terme dieser Art $-2t(9t+1)=-18t\cdot t-2t$ vorhanden sein, wäre das nicht der Fall.
  
  
• $\sqrt{16} \cdot x=8$
  Diese Gleichung ist tatsächlich linear, denn $\sqrt{16}$ (also "Wurzel aus $16$") sieht zwar kompliziert aus, ist aber einfach nur eine Zahl, nämlich $4$.
  
  
• $3x+9y-18z=20$
  Auch diese Gleichung ist linear, da die Variablen nur mit Zahlen multipliziert werden (es ist ja in der Definition nicht gesagt, dass es nur eine Variable geben darf). Anschließend werden diese Produkte addiert. Damit sind in dieser Gleichung nur erlaubte Terme enthalten. Nicht erlaubt wären beispielsweise die Terme $3x \cdot y$ oder $-18z \cdot z$ , da hier Variablen miteinander multipliziert werden.
  
  

Beispiele für nicht lineare Gleichungen

• $\dfrac{1}{x}-12=0$
  Hier wird durch eine Variable dividiert. Das ist in linearen Gleichungen nicht erlaubt.
  
  
• $3z^2-7=90$
  In linearen Gleichungen dürfen Variablen nur mit Zahlen, nicht aber mit Variablen multipliziert werden. $z^2$ ist ja eine abkürzende Schreibweise für $z \cdot z$.
  
  
• $\sqrt{16\cdot x}=8$
  Im Unterschied zu oben steht hier auch die Variable unter der Wurzel. Das verletzt die Bedingungen für lineare Gleichungen - Wurzeln sind ja etwas Anderes als Produkte bzw. Summen ...
  
  
• $\sin(x)-3x=4x-10$
  Eine lineare Gleichung darf keine trigonometrischen Funktionen, wie den Sinus, angewendet auf eine Variable enthalten.

Lösen einer Gleichung

Grundsätzlich bedeutet "Gleichung lösen", für die Variable alle Werte zu finden, die beim Einsetzen in die Gleichung beide Seiten der Gleichung gleich groß werden lassen.
Ein Beispiel: Offensichtlich ist $x=4$ eine Lösung der Gleichung $3\cdot x=12$ , denn $3\cdot 4=12$ . Setzt man $x=4$ in die Gleichung ein, werden also beide Seiten gleich groß. In diesem Fall steht dann auf beiden Seiten $12$. Alle Werte meint dabei, dass eine Gleichung durchaus mehrere Lösungen haben kann. Um diese Werte zu finden, wird die Gleichung durch Umformungen in eine Form gebracht, in der man diese Werte ablesen kann.
Dabei ist eines wichtig: Die Lösungen der Gleichung dürfen sich während der Umformungen nicht ändern, sonst wären die am Ende abgelesenen Zahlenwerte ja keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung! Das heißt: Es gibt Umformungen, die beim Lösen einer Gleichung weiterhelfen - bei anderen muss man vorsichtig sein. Die Umformungen, die einem weiterhelfen, weil sie die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Dazu gehören die folgenden Umformungen:

1. auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche reelle Zahl, egal welche, addieren
2. auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Vielfache einer Variablen addieren
3. beide Seiten der Gleichung mit der gleichen reellen Zahl, ausgenommen der $0$, multiplizieren
4. beide Seiten der Gleichung mit dem gleichen Term ungleich $0$ multiplizieren
5. Terme vereinfachen, wie Klammern auflösen, Variablen zusammenfassen und Zahlen ausrechnen
6. die beiden Seiten der Gleichung vertauschen

Bemerkung: Bitte beachten Sie, dass in Addieren und Multiplizieren (Äquivalenzumformungen 1. bis 4.) auch Subtrahieren und Dividieren enthalten sind. Statt $5$ zu subtrahieren, kann man ja $-5$ addieren. Statt durch $10$ zu dividieren, kann man ja mit $\frac{1}{10}$ multiplizieren.

Ganz wichtig:
Wird beim Lösen einer Gleichung etwas addiert oder multipliziert, muss dies immer auf beiden Seiten der Gleichung gemacht werden. Sonst ändert sich die Lösungsmenge und die Mühe, einen Wert auszurechnen, war umsonst.
Hier ein Beispiel, indem korrekterweise alle Summanden in der Gleichung mit $2$ multipliziert werden:
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{1}{2}x+13 &=& 9 &\vert& \cdot 2 \cr x+26 &=& 18 &\vert&-26 \cr x &=& -8 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-8)+13 &=& 9 \cr-4+13 &=& 9 \cr9 &=& 9 \end{array}$
Setzt man den berechneten Wert in die Gleichung ein, ergibt sich auf beiden Seiten die gleiche Zahl. Der berechnete Wert ist also die Lösung der linearen Gleichung.

Würde man fälschlicherweise nur die beiden Summanden auf der linken Seite mit $2$ multiplizieren, ergäbe sich folgende Rechnung:
$\begin{array}{rclcl} x+26 &=& 9 &\vert& -26 \cr x &=& -17 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-17)+13 &\neq& 9 \cr-8{,}5+13 &\neq& 9 \cr-4{,}5 &\neq& 9 \end{array}$

Würde man fälschlicherweise nur den ersten Summanden auf der linken Seite mit $2$ multiplizieren, ergäbe sich folgende Rechnung:
$\begin{array}{rclcl} x+13 &=& 9 &\vert& -13 \cr x &=& -4 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-4)+13 &\neq& 9 \cr-2+13 &\neq& 9 \cr11 &\neq& 9 \end{array}$
Man sieht in diesen beiden Fällen, dass man 1. für $x$ einen anderen Wert berechnet als oben und 2. die Überprüfung nicht aufgeht. Die Werte, die sich ergeben, wenn man nur einige Summanden mit $2$ multipliziert, können also nicht Lösung der Gleichung sein.

Berücksichtigen Sie daher bei solchen Umformungen immer alle Terme auf beiden Seiten der Gleichung!

Etwas ganz Ähnliches wird Ihnen bei weiteren Gleichungstypen in späteren Kapiteln wieder begegnen. Es ist also wichtig, dass Sie sich hier schon damit vertraut machen.

Vielleicht haben Sie sich gefragt, warum die Multiplikation mit $0$ keine Äquivalenzumformung ist. Nehmen wir die (sehr einfache) Beispielgleichung:
$8=7$
Dies ist offensichtlich falsch. Wenn wir nun beide Seiten mit $0$ multiplizieren, passiert das Folgende:
$8\cdot 0=7 \cdot 0$ vereinfacht also $0=0$
Das wiederum ist richtig ... Wenn eine Umformung aus einer falschen Aussage eine richtige macht, ändert sich offensichtlich die Lösungsmenge. Damit erfüllt die Multiplikation mit $0$ nicht das Kriterium für eine Äquivalenzumformung. Die Erkenntnis, die man aus der umgeformten Gleichung ziehen kann, hat nämlich nichts mehr mit der ursprünglichen Gleichung zu tun. Die Umformung hilft uns auf dem Weg zur Lösung nicht weiter.

Die gerade besprochenen Äquivalenzumformungen sind grundsätzlich bei allen Gleichungen zulässig; allerdings reichen sie bei nicht linearen Gleichungen (wie sie in späteren Kapiteln behandelt werden) nicht immer aus. Dann kommen weitere Umformungsmöglichkeiten hinzu.

Hier ein ungefährer Plan zum Lösen einer Gleichung:

1. Klammern auflösen
2. auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen (alle Zahlenwerte zusammenrechnen, alle Variablen zusammenrechnen)
3. "sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite
   Achtung: Die Variable muss nicht $x$ heißen!
4. durch den Koeffizienten der Variable dividieren

Ein 5. Schritt wird weiter unten noch hinzukommen.

Ein Beispiel:
$\begin{array}{rclcl}-\left(4x-9\right)-2\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)+7 &=& -11x-6+3x &\vert & \text{Klammern auflösen} \cr -4x+9+x-2+7 &=& -11x-6+3x &\vert & \text{zusammenfassen} \cr -3x+14 &=& -8x-6 &\vert & \text{"sortieren": } +3x+6 \cr 14+6 &=& -8x+3x &\vert & \text{zusammenfassen}\cr 20 &=& -5x &\vert & :\left(-5\right) \cr -4 &=& x \end{array}$

Das Entscheidende an diesen Gleichungen ist, dass sie alle die gleiche Lösung haben. Anders gesagt: Löst eine Zahl eine dieser Gleichungen, löst sie alle! Sie können das direkt nachrechnen: Wenn Sie die Lösung der letzten Gleichung $x=-4$ in die anderen einsetzen, muss das Ergebnis der linken Seite immer gleich dem Ergebnis der rechten Seite sein.

Zur Notation: Es hat sich eingebürgert, am Ende einer Gleichungszeile hinter einem senkrechten Strich anzugeben, welche Rechenoperationen / Umformungen auf die Gleichung in diesem Schritt angewendet werden. Das muss man nicht machen, ist aber gerade am Anfang meist ziemlich hilfreich.

Bemerkung 1: Je nach Art der Gleichung kann man manchmal einen oder mehrere Schritte überspringen.
Bemerkung 2: Es ist egal, ob die Variable auf der rechten oder der linken Seite der Gleichung "gesammelt" wird, da die beiden Seiten einer Gleichung ja getauscht werden dürfen. $x=-4$ meint das Gleiche wie $-4=x$

Definitionsbereich und Lösungsmenge

Das war (leider) noch nicht ganz alles, was man beim Lösen linearer (und auch anderer) Gleichungen beachten muss ...

Zu jeder Gleichung gehört die Angabe eines Definitionsbereichs (Formelzeichen: $\mathbb{D}$). Dieser gibt an, welche Zahlen grundsätzlich als Lösung infrage kommen. Wenn nichts weiter angegeben ist und keine inhaltlichen bzw. formalen Gründe dagegensprechen, kann man davon ausgehen, dass der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen ist, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

Stehen Aufgaben in einem inhaltlichen Zusammenhang, sind häufig nur Lösungen aus einem bestimmten Zahlenbereich sinnvoll. Ein Beispiel: Als Nervennahrung, um die Matheklausur zu bestehen, benötigt ein Student der TH Wildau $5$ Schokoriegel. In der Mensa zahlt er dafür $4{,}50\;\text{EUR}$. Wie teuer ist ein Schokoriegel?
Sei $s$ der Preis eines Schokoriegels. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen: $5\cdot s=4{,}50$
Es dürfte einleuchtend sein, dass die Lösung dieser Gleichung positiv sein muss - ok, $0$ ist als Lösung auch möglich, wenn auch (leider) unwahrscheinlich ... Mathematisch notiert man: $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$. Wenn man noch genauer sein möchte, kann man argumentieren, dass irrationale Zahlen, wie $\sqrt{2}$ und $\pi$, ebenfalls nicht als Preise infrage kommen (Wie sollte man die unendlich vielen Nachkommastellen bezahlen?), die positiven rationalen Zahlen reichen also als Definitionsbereich aus: $\mathbb{D}=\mathbb{Q}^+_0$.

Variieren wir das Beispiel ein bisschen: Eine Studentin der TH Wildau möchte $5{,}20 \;\text{EUR}$ für Gummibärchen ausgeben. Eine Packung kostet $1{,}30\;\text{EUR}$. Wie viele Packungen kann sie kaufen?
Sei $g$ die Anzahl der Gummibärchentüten. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen: $1{,}30\cdot g=5{,}20$
Hier gibt es noch mehr Einschränkungen: Weder negative noch gebrochene Zahlenwerte kommen als Lösung infrage. $0$ ist hier wieder theoretisch als Lösung möglich. Umgekehrt formuliert, benötigen wir für die Lösung nichtnegative, ganze Zahlen. Oder - noch anders formuliert - gesucht ist eine natürliche Zahl: $\mathbb{D}=\mathbb{N}$.

Auch aus formalen Gründen kann es notwendig sein, den Definitionsbereich einzuschränken: Da man durch $0$ ja nicht teilen darf, muss man dafür sorgen, dass der Nenner eines Bruches nie $0$ wird. Auch hier ein Beispiel: Bei der Gleichung $\frac{1}{x}=13$ muss $x=0$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Man schreibt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$.

Bei diesen Aufgaben sind die Beschränkungen des Definitionsbereichs alle relativ offensichtlich. Das liegt vor allem daran, dass die Beispiele recht einfach gewählt sind, um überhaupt erstmal das Prinzip deutlich zu machen. In späteren Kapiteln (insbesondere bei Wurzel- und Logarithmusgleichungen) werden Sie weitere Einschränkungen kennenlernen. So als Faustregel: Je komplexer die Gleichung wird, desto relevanter wird dabei auch der Definitionsbereich.

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge (Formelzeichen: $\mathbb{L}$).
Nach dem Lösen einer Gleichung muss immer noch geprüft werden, ob der berechnete Wert im Definitionsbereich liegt (vielleicht kommt er ja als Lösung gar nicht infrage ...). Daher ist die Zahl, die in der letzten Zeile steht, nicht automatisch eine Lösung der Gleichung! Nach dem Abgleich mit dem Definitionsbereich sollte die Lösung einer Gleichung dann immer in Form einer Lösungsmenge angegeben werden.
Zu den Beispielen von oben:
Schokoriegel: $\mathbb{L}_S=\{0{,}90\}$
Gummibärchen: $\mathbb{L}_G=\{4\}$

Der ungefähre Plan zum Lösen einer Gleichung lautet also:

1. Klammern auflösen
2. auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen (alle Zahlenwerte zusammenrechnen, alle Variablen zusammenrechnen)
3. "sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite.
   Achtung: Die Variable muss nicht $x$ heißen!
4. durch den Koeffizienten der Variable teilen
5. prüfen, ob die als Lösung ermittelte Zahl im Definitionsbereich liegt

Lösungsmenge aufschreiben nicht vergessen!

Überprüfen der gefundenen Lösungen

Um zu prüfen, ob die gefundene Zahl tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist, kann man die Probe machen, d. h. man setzt den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein und prüft, ob beide Seiten denselben Wert ergeben. Ist das nicht der Fall, sollte man noch mal nachrechnen ...

Betrachten wir noch einmal das Beispiel von oben: $-\left(4x-9\right)-2\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)+7 = -11x-6+3x$ mit der Lösung $x=-4$
Setzt man für jedes $x$ in der Gleichung $-4$ ein, erhält man
$\begin{array}{rcl}-\left(4\cdot (-4)-9\right)-2\left(-\dfrac{-4}{2}+1\right)+7 &=& -11\cdot (-4)-6+3\cdot (-4) \cr -\left(-16-9\right)-2\left(-(-2)+1\right)+7 &=& 44-6+(-12) \cr -(-25)-2\cdot 3+7 &=& 44-6-12 \cr 25-6+7 &=& 26 \cr 26 &=& 26 \end{array}$

Stimmt! Wobei man vielleicht dazu sagen sollte, dass diese Probe hier sehr ausführlich aufgeschrieben ist ... Nicht jeder dieser Schritte muss wirklich dringend notiert werden.

Hier kann man auch nochmal gut sehen, warum es wirklich keine gute Idee ist, durch $0$ zu dividieren: Wenn die Division durch $0$ irgendein Ergebnis $x$ ergäbe, also z. B. $10:0 = x$, dann müsste es möglich sein, die Probe zu machen. Das wäre in diesem Fall $0\cdot x = 10$. Das Produkt von $0$ mit irgendeiner reellen Zahl ist aber immer $0$. $0\cdot x$ kann also nie $10$ werden - egal, für welche Zahl $x$ steht.

Lösbarkeit linearer Gleichungen

Zum Abschluss noch die Frage: Ist jede lineare Gleichung lösbar? Anders formuliert: Lässt sich für jede lineare Gleichung (mit dem oben gezeigten Weg) eine Zahl finden, sodass beide Seiten gleich groß werden?

Schauen wir uns dafür beispielhaft die folgenden drei Gleichungen an:

$-2x+1 = -2x+2-1$
Diese lineare Gleichung ist mehrdeutig lösbar. D. h., es gibt mehr als eine Zahl, die diese Gleichung löst. Um genau zu sein, gibt es sogar unendlich viele Lösungen. Rechnet man nämlich die Zahlen auf der rechten Seite zusammen, erhält man $-2x+1 = -2x+1$ . Hier sieht man: Egal, welche Zahl man für $x$ einsetzt, man erhält immer auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis. Was sollte auch sonst passieren, wenn die beiden Seiten der Gleichung identisch sind? Jedes Element des Definitionsbereiches ist also Lösung der Gleichung.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$. Konkret ist die Lösungsmenge dieser Aufgabe $\mathbb{L} = \mathbb{R}$; bei eingeschränkten Definitionsbereichen natürlich entsprechend diese Mengen.


$3x-1 = 5$
Diese lineare Gleichung ist eindeutig lösbar. D. h., es gibt genau eine Zahl, die diese Gleichung löst. Es ist also der gleiche Fall wie in dem Beispiel oben. Formt man sie um, indem man erst $1$ addiert und anschließend durch $3$ teilt, erhält man nämlich $x=2$ . Dies ist die einzige Lösung, denn keine andere Zahl ergibt $5$, wenn man sie mit $3$ multipliziert und anschließend $1$ subtrahiert.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{2\}$


$4x = 4x+1$
Die lineare Gleichung ist nicht lösbar. D. h., es gibt keine Zahl, die diese Gleichung löst. Zieht man auf beiden Seiten $4x$ ab, erhält man $0 = 1$ . Das ist ein Widerspruch. Anders gesagt: Es gibt keine Zahl, die genauso groß ist wie ihr Nachfolger.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \emptyset$


Zusammenfassung: Lineare Gleichungen können nicht lösbar (d. h. es gibt keine Lösungen), eindeutig lösbar (d. h. es gibt genau eine Lösung) oder mehrdeutig lösbar mit unendlich vielen Lösungen sein. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.