Lernmodul Mathematik

Übersicht:

16.1 Exponentialgleichungen und -funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen! Geben Sie jeweils den Definitionsbereich an!

1) $26^x = 15$		11) $-33+5^{3x-7}=12$
2) $2^{5+x}=8^x$		12) $7 \cdot e^{15x^2-30x}=21$
3) $27^x+4=0$		13) $5^{2t}-16 \cdot 5^t=0$
4) $e^{2x+3}=2 \cdot e^x$		14) $4 \cdot e^{25x+18}-1=51$
5) $10^x=100^{x+1}$		15) $e^x \cdot e^{2x}-e^{18}=0$
6) $11^{x+2}=8$		16) $2^{5z^2} \cdot 2^{95z-45} \cdot 2^{-55}=1$
7) $1{,}06^{x-1}=2{,}08^x$		17) $\dfrac{1.000^{x+1}}{10^{5x}}-12=43$
8) $17^s=e$		18) $2 \cdot 10^{2x} - 16 \cdot 10^x+30=0$
9) $66^y=1$		19) $-9 \cdot e^{4x}+45 \cdot e^{2x}=0$
10) $48^{\frac{1}{18}x-39}=48$		20) $3\left(\dfrac{1}{3} x^2-112\right) e^{2x+6} = -\dfrac{109x}{e^{-2x-6}}$

2. Aufgabe

$1000$ EUR werden zu einem Zinssatz von $2{,}5 \;\%$ p.a. angelegt. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf $5000$ EUR angewachsen?
Hinweis: Sie können diese Aufgaben rechnerisch oder grafisch lösen.

3. Aufgabe

Ermitteln Sie, ausgehend von der Funktion $f(x)=e^x$ , die Graphen der folgenden Funktionen!

1) $f_1(x)=e^x+2$		7) $f_7(x)=e^{x+2}$
2) $f_2(x)=e^x-2$		8) $f_8(x)=e^{x-2}$
3) $f_3(x)=2 e^x$		9) $f_9(x)=\left(2e\right)^x$
4) $f_4(x)= -2e^x$		10) $f_{10}(x)=\left(-2e\right)^x$
5) $f_5(x)=e^{2x}$		11) $f_{11}(x)=\dfrac{1}{e^{2x}}$
6) $f_6(x)=e^{-2x}$		12) $f_{12}(x)=\dfrac{1}{e^{-2x}}$

Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Graphen von $f_5(x)$ und $f_6(x)$ miteinander vergleichen?
Fällt Ihnen an $f_{11}(x)$ und $f_{12}(x)$ etwas auf?

4. Aufgabe

1) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{5^{x-1}}{10}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=0$ b) wenn $y=0{,}2$		6) Gegeben sei die Funktion $f(x)= -13 \cdot e^{22x}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=\dfrac{1}{11}$ b) wenn $y=-13$
2) Gegeben sei die Funktion $f(a)= 2^{5a-3}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(a\mid y)$ , a) wenn $a=-32$ b) wenn $y=8$		7) Gegeben sei die Funktion $f(x)= 10^{x^2-4}-1$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-9$ b) wenn $y=9$
3) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}5^{2x}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-14$ b) wenn $y=\dfrac{49}{8}$		8) Gegeben sei die Funktion $f(x)= 27 \cdot e^{x^3-x^2}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-0{,}5$ b) wenn $y=27$
4) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{100}{3^{x-5}}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=0{,}1$ b) wenn $y=8.100$		9) Gegeben sei die Funktion $g(y)= 2^{\frac{1}{2}y^2-1}+1$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=\dfrac{11}{10}$ b) wenn $y=1$
5) Gegeben sei die Funktion $f(x)= e^{7x-15}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=10$ b) wenn $y=-15$		10) Gegeben sei die Funktion $f(x)= 1+\dfrac{2.000}{4^{x+1}}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=17$ b) wenn $y=32.001$

5. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen die Nullstellen!

1) $f(x)=x e^x$		11) $f(z) = (-5z^2+35)\cdot e^{z}$
2) $f(x)=6e^x+xe^x+2e^x$		12) $f(a) = (a^2x-3a)\cdot e^{2-ax}$
3) $f(x)=123(x+13)10^{2x+5}$		13) $g(y) = \left(\dfrac{5}{3}y^2-\dfrac{7}{4}y+8\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}y^2+2}$
4) $f(x)=2x\left(2x^2e^{x^3+1}-9exe^{x^3}-5e^{x^3+1}\right)$		14) $f(x)=\dfrac{e^{x^2}\cdot e^{-2}}{e^x}-1$
5) $f(v) = (v^2+2v-2)\cdot e^{-6v}$		15) $g(x)=\dfrac{8}{2^{x^2}}-2^{-2x}$
6) $f(x)=3^x-2$		16) $f(a)=a\cdot4^a-2\dfrac{1}{4^{-a}}+a^2\cdot 4^a$
7) $f(y)=\dfrac{e^y}{e^{2y+1}}-{e^y}^2$		17) $g(t)=t\cdot e^{t-1}+e^t-e^{t-1}$
8) $f(x)=10^x+100^x-10$		18) $f(x)= \dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\cdot\left(e^{\frac{4}{5}x+3}-3\right)$
9) $f(x) = -12\cdot 5^{3x}\cdot 5^{-x+1}+60$		19) $f(y) = 3e^{-\frac{2}{3}y+5}\cdot\left(y^3+3y^2-4y\right)$
10) $f(x) = -2\cdot 3^x+9^x-2$		20) $f(x) = \dfrac{e^{13x}-64}{201e^{x+52}}$