Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe

25.3 Komplexe Zahlen - Lösungen

1. Aufgabe

Bemerkung: Bei den folgenden Lösungen wurde das Gradmaß verwendet, weil sich keine "vernünftigen" Vielfache von $\pi$ ergeben.

1) $z_1=-10+7i$
Betrag: $r=\sqrt{10^2+7^2}=\sqrt{149}\approx 12{,}21$
Argument: $\varphi=180^\circ-\arctan\left(\dfrac{7}{10}\right)\approx 145{,}01^\circ$

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: $z_1\approx 12{,}21\left(\cos\left(145{,}01^\circ\right)+i\sin\left(145{,}01^\circ\right)\right)$
Exponentielle Darstellung: $z_1\approx 12{,}21\,e^{i\,145{,}01^\circ}$
 
2) $z_2=-\dfrac{-18+37i}{8}=-\left(-\dfrac{18}{8}\right)-\dfrac{37}{8}i=\dfrac{9}{4}-\dfrac{37}{8}i$
Betrag: $r=\sqrt{\left(\dfrac{9}{4}\right)^2+\left(\dfrac{37}{8}\right)^2}\approx 5{,}14$
Argument: $\varphi=360^\circ-\arctan\left(\dfrac{37}{8}\cdot\dfrac{4}{9}\right)\approx 295{,}94^\circ$

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: $z_2\approx 5{,}14\left(\cos\left(295{,}94^\circ\right)+i\sin\left(295{,}94^\circ\right)\right)$
Exponentielle Darstellung: $z_2\approx 5{,}14e^{i\, 295{,}94^\circ}$
 
3) $z_3=-4-\dfrac{21}{5}i$
Betrag: $r=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{21}{5}\right)^2}=5{,}8$
Argument: $\varphi=180^\circ+\arctan\left(\dfrac{21}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\right)\approx 226{,}40^\circ$

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: $z_3\approx 5{,}8 \left(\cos\left(226{,}40^\circ\right)+i\sin\left(226{,}40^\circ\right)\right)$
Exponentielle Darstellung: $z_3\approx 5{,}8e^{i\, 226{,}40^\circ}$
 
4) $z_4=\dfrac{13+3i}{2}=\dfrac{13}{2}+\dfrac{3}{2}i$
Betrag: $r=\sqrt{\left(\dfrac{13}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}\approx 6{,}67$
Argument: $\varphi=\arctan\left(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{13}\right)\approx 12{,}99^\circ$

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: $z_4\approx 6{,}67\left(\cos\left(12{,}99^\circ\right)+i\sin\left(12{,}99^\circ\right)\right)$
Exponentielle Darstellung: $z_4\approx 6{,}67e^{i \, 12{,}99^\circ}$
 
5) $z_5=-\dfrac{22}{3}-\dfrac{19}{4}i$
Betrag: $r=\sqrt{\left(\dfrac{22}{3}\right)^2+\left(\dfrac{19}{4}\right)^2}\approx 8{,}74$
Argument: $\varphi=180^\circ+\arctan\left(\dfrac{19}{4}\cdot\dfrac{3}{22}\right)\approx 212{,}93^\circ$

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: $z_5\approx 8{,}74\left(\cos\left(212{,}93^\circ\right)+i\sin\left(212{,}93^\circ\right)\right)$
Exponentielle Darstellung: $z_5\approx 8{,}74e^{i\, 212{,}93^\circ}$

6) $z_6=6\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right)$
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: $z_6=6e^{i\,\frac{3\pi}{5}}$
Für die kartesische Form ergibt sich $\textit{Re}(z_6)=6\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\approx -1{,}85$ und $\textit{Im}(z_6)=6\sin\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\approx 5{,}70$ und daraus $z_6\approx -1{,}85+5{,}70i$
 
7) $z_7=\dfrac{12}{7}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: $z_7=\frac{12}{7}\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$
Für die kartesische Form ergibt sich $\textit{Re}(z_7)=\dfrac{12}{7}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ und $\textit{Im}(z_7)=\dfrac{12}{7}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{12}{7}$ und daraus $z_7=\dfrac{12}{7}i$
 
8) $z_8=\dfrac{30}{11}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: $z_8=\frac{30}{11}\,e^{i\,\frac{\pi}{6}}$
Für die kartesische Form ergibt sich $\textit{Re}(z_8)=\dfrac{30}{11}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{15\sqrt{3}}{11}$ und $\textit{Im}(z_8)=\dfrac{30}{11}\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{15}{11}$ und daraus $z_8=\dfrac{15\sqrt{3}}{11}+\dfrac{15}{11}i$
 
9) $z_9=\dfrac{49}{10}\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\right)$
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: $z_9=\dfrac{49}{10}\,e^{i\,\frac{9\pi}{8}}$
Für die kartesische Form ergibt sich $\textit{Re}(z_9)=\dfrac{49}{10}\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\approx -4{,}53$ und $\textit{Im}(z_9)=\dfrac{49}{10}\sin\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\approx -1{,}88$ und daraus $z_9\approx -4{,}53-1{,}88i$
 
10) $z_{10}=\dfrac{14}{3}\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)\right)$
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: $z_{10}=\dfrac{14}{3}\,e^{i\,\frac{5\pi}{2}}$
Für die kartesische Form ergibt sich $\textit{Re}(z_{10})=\dfrac{14}{3}\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=0$ und $\textit{Im}(z_{10})=\dfrac{14}{3}\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=\dfrac{14}{3}$ und daraus $z_{10}=\dfrac{14}{3}i$

11) $z_{11}=8e^{i\,\frac{17\pi}{10}}$
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: $z_{11}=8\left(\cos\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)+i\sin\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)\right)$
Für die kartesische Form berechnet man $\textit{Re}(z_{11})=8\cos\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)\approx 4{,}70$ und $\textit{Im}(z_{11})=8\sin\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)\approx -6{,}47$ und erhält damit $z_{11}\approx 4{,}70-6{,}47i$
 
12) $z_{12}=\dfrac{33}{4}\,e^{i\,\frac{41\pi}{22}}$
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: $z_{12}=\dfrac{33}{4}\left(\cos\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)+i\sin\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)\right)$
Für die kartesische Form berechnet man: $\textit{Re}(z_{12})=\dfrac{33}{4}\cos\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)\approx 7{,}50$ und $\textit{Im}(z_{12})=\dfrac{33}{4}\sin\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)\approx -3{,}43$ und erhält damit $z_{12}\approx 7{,}50-3{,}43i$
 
13) $z_{13}=\dfrac{27}{7}\,e^{i\,3\pi}$
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: $z_{13}=\dfrac{27}{7}\left(\cos\left(3\pi\right)+i\sin\left(3\pi\right)\right)$
Für die kartesische Form berechnet man: $\textit{Re}(z_{13})=\dfrac{27}{7}\cos\left(3\pi\right)=-\dfrac{27}{7}$ und $\textit{Im}(z_{13})=\dfrac{27}{6}\sin\left(3\pi\right)=0$ und erhält damit $z_{13}=-\dfrac{27}{7}$
 
14) $z_{14}=6e^{i\,\frac{7\pi}{9}}$
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: $z_{14}=6\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\right)$
Für die kartesische Form berechnet man: $\textit{Re}(z_{14})=6\cos\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\approx -4{,}60$ und $\textit{Im}(z_{14})=6\sin\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\approx 3{,}86$ und erhält damit $z_{14}\approx -4{,}60+3{,}86i$
 
15) $z_{15}=\dfrac{9}{2}\,e^{i\,8\pi}$
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: $z_{15}=\dfrac{9}{2}\left(\cos\left(8\pi\right)+i\sin\left(8\pi\right)\right)$
Für die kartesische Form berechnet man: $\textit{Re}(z_{15})=\dfrac{9}{2}\cos\left(8\pi\right)= \dfrac{9}{2}$ und $\textit{Im}(z_{15})=\dfrac{9}{2}\sin\left(8\pi\right)=0$ und erhält damit $z_{15}=\dfrac{9}{2}$

2. Aufgabe

Hinweis 1: Basale Umformungen, wie das Erweitern und Kürzen von Brüchen, das Zusammenfassen von Zahlenwerten, das Auflösen von Klammern etc. wurde hier nicht mehr extra aufgeschrieben und ausgewiesen. Bitte denken Sie daran, dass die "normalen" Regeln der Bruchrechnung auch hier gelten!
Hinweis 2: Auch hier gilt (nach wie vor) "Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung". Das bedeutet zum Beispiel: $-10$ und $10i$ lassen sich nicht zusammenfassen!

a)

1)
$(7 \; ; \; 4) + (12 \; ; \; -35 ) \; = \; (7+12 \; ; \; 4-35) \; = \; (19 \; ; \; -31)$

2)
$-\dfrac{1}{21} + \dfrac{2}{5}i + \dfrac{2}{3} + \dfrac{7} {8}i \; = \; -\dfrac{1}{21}+\dfrac{2}{3}+\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{7}{8}\right)i \; = \; \dfrac{13}{21}+\dfrac{51}{40}i$

3)
$\left(\dfrac{3}{4} \; ; \; -5 \right) - \left(\dfrac{11}{8} \; ; \; \dfrac{5} {6} \right) \; = \; \left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{8} \; ; \; -5-\dfrac{5}{6}\right) \; = \; \left(-\dfrac{5}{8} \; ; \; -\dfrac{35}{6}\right)$

4)
$7-4i - (18-3i) \; = \; 7-18+(-4+3)i \; = \; -11-i$

5)
$(10-2i) \cdot (3-6i) \; = \; 30-60i-6i+12i^2 \; = \; 18-66i$

6)
$\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) \cdot \left(\dfrac{7}{20} - \dfrac{1}{10}i \right) \; = \; -\dfrac{7}{40}+\dfrac{1}{20}i+\dfrac{7}{40}i-\dfrac{1}{20}i^2 \; = \; -\dfrac{1}{8}+\dfrac{9}{40}i$

7)
$(11-10i) \cdot (-5-2i) \; = \; -55-22i+50i+20i^2 \; = \; -75+28i$

8)
$\dfrac{11-8i}{-4i} \; = \; \dfrac{(11-8i)i}{(-4i)i} \; = \; \dfrac{11i-8i^2} {-4i^2} \; = \; \dfrac{11i+8}{4} \; = \; 2 + \dfrac{11}{4}i$

9)
${ \dfrac{i-10}{-1-i} \; = \; \dfrac{(-10+i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} \; = \; \dfrac{10-10i-i+i^2}{(-1)^2-i^2} \; = \; \dfrac{9-11i}{2} \; = \; \dfrac{9}{2} - \dfrac{11} {2} i }$

10)
${ \dfrac{4}{2+\sqrt{2}i} \; = \; \dfrac{4(2-\sqrt{2}i)}{(2+\sqrt{2}i)(2-\sqrt{2}i)} \; = \; \dfrac{8-4\sqrt{2}i}{2^2-(\sqrt{2}i)^2} \; = \; \dfrac{2(4-2\sqrt{2}i)}{6} \; = \; \dfrac{4} {3} - \dfrac{2\sqrt{2}}{3}i}$

Bemerkung: Bei der letzten Umformung wurde zusätzlich gekürzt.

b)

Bemerkung 1: Für diese Aufgaben benötigt man den Satz von de Moivre.

Bemerkung 2: Bitte beachten Sie, dass bei einigen Aufgaben eine letzte Umformung nötig wird, weil laut Aufgabenstellung gefordert ist, dass $\varphi \; \in \; [0 \, ; \, 2\pi[$.

1)
${ \left(\cos(\pi) + i \sin(\pi)\right) \cdot 7 \left( \cos(\pi)+i \sin(\pi) \right) \; = \; 7(\cos(\pi+\pi)+i\sin(\pi+\pi)) \; = \; 7(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)) \; = \; (7 \; ; \; 0) }$

2)
${ \dfrac{1}{8} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{4} \right) \right) \; \cdot \; \dfrac{12}{11} \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi} {5} \right) \right) \; = \; \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{12}{11} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{5} \right) \right) \; = \; \dfrac{3}{22} \left(\cos\left(\dfrac{13\pi}{20}\right)+i \sin\left(\dfrac{13\pi}{20}\right)\right)}$

3)
${\dfrac{7}{5}\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)\right) \; \cdot \; \dfrac{20}{21}\left(\cos\left(\dfrac{21\pi}{20}\right)+i\sin\left(\dfrac{21\pi}{20}\right)\right) \; = \; \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{20}{21} \left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}+\dfrac{21\pi}{20} \right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi}{5}+\dfrac{21\pi}{20} \right) \right) \; = \; \dfrac{4}{3} \left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{20}\right)+i \sin\left(\dfrac{49\pi}{20}\right)\right) \; = \; \dfrac{4}{3} \left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{20}\right)+i \sin\left(\dfrac{9\pi}{20}\right)\right)}$

4)
$5e^{i \, \frac{\pi}{10}} \; \cdot \; 12 e^{i \, \frac{\pi}{8}} \; = \; 5 \cdot 12 \, e^{i \, \left(\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{8}\right)} \; = \; 60 e^{i \, \frac{9 \pi}{40}}$

5)
$\dfrac{4}{7} \, e^{i \frac{5\pi}{6}} \; \cdot \; \dfrac{21}{8} \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}} \; = \; \dfrac{4}{7} \, \cdot \, \dfrac{21}{8} \, e^{i \, \left(\frac{5\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\right)} \; = \; \dfrac{3}{2} \, e^{i \, \frac{3\pi}{2}} \; = \; -\dfrac{3}{2} i$

6)
$\dfrac{12}{5} \, e^{i \, \frac{3\pi}{10}} \cdot 15 e^{i \, \frac{5\pi}{12}} \; = \; \dfrac{12}{5} \cdot 15 \, e^{i \, \left(\frac{3\pi}{10}+\frac{5\pi}{12}\right)} \; = \; 36 e^{i \, \frac{43 \pi}{60}}$

7)
${ 4 \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{4} \right) \right) \; : \; \left( \dfrac{2}{5} \left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{5\pi} {12} \right) \right) \right) \; = \; 4\cdot\dfrac{5}{2} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{12} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{12} \right) \right) \; = \; 10 \, \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi} {3}\right)\right) }$

8)
${ \dfrac{8}{9} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) \right) \; : \; \left( \dfrac{16}{27} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{10} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{10} \right) \right) \right)\; = \; \dfrac{8}{9} \cdot \, \dfrac{27}{16} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{10} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{10} \right) \right) \; = \; \dfrac{3}{2} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right)}$

 
9)
${ \dfrac{45} {2}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{5} \right) \right) \; : \; \left(9\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi} {9} \right)\right)\right) \; = \; \dfrac{45}{2} \cdot \, \dfrac{1}{9} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}-\dfrac{4\pi}{9} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{5}-\dfrac{4\pi}{9} \right) \right) \; = \; \dfrac{5}{2} \left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{45}\right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi} {45} \right)\right)}$

10)
$5 e^{i \, \frac{\pi}{10}} \; : \; \left( 12 e^{i \, \frac{\pi}{8}} \right) \; = \; \dfrac{5}{12} \, e^{i \, \left(\frac{\pi}{10}-\frac{\pi}{8}\right)} \; = \; \dfrac{5}{12} \, e^{i \, \left(-\frac{1\pi} {40}\right) } \; = \; \dfrac{5}{12} \, e^{i \, \frac{79\pi} {40} }$

11)
$\dfrac{3}{8} \, e^{i \, \frac{3\pi}{4}} \; : \; \left(\dfrac{9}{16} \, e^{i \, \frac{\pi}{6}} \right) \; = \; \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{16}{9} \, e^{i \, \left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)} \; = \; \dfrac{2}{3} \, e^{i \, \frac{7\pi}{12}}$

12)
$\dfrac{1}{51} \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}} \; : \; \left(\dfrac{2}{17} \, e^{i \, \frac{3\pi} {4}} \right) \; = \; \dfrac{1}{51} \cdot \dfrac{17}{2} \, e^{i \, \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{3\pi}{4}\right)} \; = \; \dfrac{1}{6} \, e^{i \, \left(-\frac{1\pi}{12}\right)} \; = \; \dfrac{1}{6} \, e^{i \, \frac{23\pi}{12}}$

3. Aufgabe

Bemerkung: Auch hier werden einige letzte Umformungen nötig, weil gefordert ist, dass $\varphi \; \in \; [0 \, ; \, 2\pi[$.

1)
${ \left(\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{8} \right) \right) \right)^4 \; = \; \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \left(\cos\left(4 \cdot \dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin\left(4 \cdot \dfrac{\pi}{8} \right) \right) \; = \; \dfrac{1}{16} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{16}i}$

2)
${\left(\dfrac{2}{3}\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\right)\right)^3 \; = \; \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \left(\cos\left(3 \cdot \dfrac{7\pi}{12}\right)+i \sin\left(3 \cdot \dfrac{7\pi}{12}\right)\right) \; = \; \dfrac{8}{27} \left( \cos\left( \dfrac{7 \pi} {4}\right)+i \sin \left( \dfrac{7\pi} {4} \right) \right)}$

3)
$\left(8 \, e^{i \, \frac{4\pi}{3}}\right)^2 \; = \; 8^2 \, e^{2 \cdot i \, \frac{4\pi}{3}} \; = \; 64 \, e^{i \, \frac{8\pi}{3}} \; = \; 64 \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}}$

4)
$\left(2 \, e^{i \, \frac{7\pi}{5}}\right)^5 \; = \; 2^5 \, e^{5 \cdot i \, \frac{7\pi}{5}}\; = \; 32 \, e^{i \cdot 7\pi} \; = \; 32 \, e^{i\pi} \; = \; -32$

Bemerkung: Für die letzte Umformung wurde die eulersche Identität $e^{i \, \pi}=-1$ verwendet.

5)
$\sqrt[3]{64(\cos(6\pi)+i \sin(6 \pi))}$

${z_0 \; = \; \sqrt[3]{64} \, \left(\cos\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right)\right) \; = \; 4(\cos(2\pi)+i \sin(2\pi)) \; = \; 4 }$
${z_1 \; = \; \sqrt[3]{64} \, \left(\cos\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) \right) \; = \; 4 \left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)\right) \; = \; 4\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) }$
${z_2 \; = \; \sqrt[3]{64} \, \left(\cos\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) \right) \; = \; 4\left(\cos\left(\dfrac{10\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{10\pi}{3}\right)\right) \; = \; 4\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right) }$

6)
$\sqrt{\dfrac{1}{49}\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)}$

${z_0 \; = \; \sqrt{\dfrac{1}{49}}\left(\cos\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 0\cdot \pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 0\cdot \pi}{2}\right)\right) \; = \; \dfrac{1}{7}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) }$
${z_1 \; = \; \sqrt{\dfrac{1}{49}}\left(\cos\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}\right)\right) \; = \; \dfrac{1}{7}\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right) }$

7)
$\sqrt[4]{\dfrac{1}{256}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{5} \right)+i\sin\left(\dfrac{8\pi}{5} \right) \right)}$

${z_0 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{4}\right)\right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\right)}$
${z_1 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{4}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{10}\right)+i \sin\left(\dfrac{9\pi}{10}\right)\right)}$
${z_2 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{4}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)\right)}$
${z_3 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 3 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 3 \cdot \pi}{4}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{19\pi}{10}\right)+i \sin\left(\dfrac{19\pi}{10}\right)\right)}$

8)
$\sqrt{\dfrac{81} {4} \, e^{i \, \frac{\pi}{5}}}$

$z_0 \; = \; \sqrt{\dfrac{81} {4}} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{5}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{2}} \; = \; \dfrac{9}{2} \, e^{i \, \frac{\pi}{10}}$
$z_1 \; = \; \sqrt{\dfrac{81} {4}} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{5}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}} \; = \; \dfrac{9}{2} \, e^{i \, \frac{11\pi}{10}}$

9)
$\sqrt[3]{e^{i \, \frac{3\pi}{4}}}$

$z_0 \; = \; e^{i \, \frac{\frac{3\pi}{4}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}} \; = \; e^{i \, \frac{\pi}{4}}$
$z_1 \; = \; e^{i \, \frac{\frac{3\pi}{4}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}} \; = \; e^{i \, \frac{11\pi}{12}}$
$z_2 \; = \; e^{i \, \frac{\frac{3\pi}{4}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}} \; = \; e^{i \, \frac{19\pi}{12}}$

10)
$\sqrt[5]{32 \, e^{i \, \frac{\pi}{3}}}$

$z_0 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{\pi}{15}}$
$z_1 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{7\pi}{15}}$
$z_2 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{13\pi}{15}}$
$z_3 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 3 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{19\pi}{15}}$
$z_4 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 4 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{5\pi}{3}}$

4. Aufgabe

Bemerkung: Es gibt absichtlich keine umfangreichen Erklärungen zu diesen Aufgaben, denn Gleichungen bleiben Gleichungen und komplexe Zahlen sind in erster Linie einmal Zahlen und erst in zweiter Linie komplex. Insofern ist hier vorab nicht viel zu sagen. Rechnen Sie einfach drauf los!
Wer Schwierigkeiten hat, schaue in den Kapiteln Quadratische Gleichungen bzw. Polynome nach.

1)
$\begin{array}{rclcl} -3x^2+6x-8 &=& 0 &\vert& :(-3) \cr x^2-2x-\dfrac{8}{3} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{1-\dfrac{8}{3}} \cr &=& 1 \pm \sqrt{-\dfrac{5}{3}} \cr \cr x_1 &=& 1+i\sqrt{\dfrac{5}{3}} \cr x_2 &=& 1-i\sqrt{\dfrac{5}{3}} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{1+i\sqrt{\dfrac{5}{3}} \; ; \; 1-i\sqrt{\dfrac{5}{3}}\right\} \end{array}$

2)
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{289}{3} &=& 16x &\vert& -16x \cr \dfrac{2}{3}x^2-16x+\dfrac{289}{3} &=& 0 &\vert& : \dfrac{2}{3} \cr x^2-24x+\dfrac{289}{2} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 12 \pm \sqrt{144-\dfrac{289}{2}} \cr &=& 12 \pm \sqrt{-\dfrac{1}{2}} \cr \cr x_1 &=& 12+\dfrac{i}{\sqrt{2}} \cr x_2 &=& 12-\dfrac{i}{\sqrt{2}} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{12+\dfrac{i}{\sqrt{2}} \; ; \; 12-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right\}\end{array}$

3)
$\begin{array}{rclcl} 8x(2x-3) &=& -25 &\vert& +25 \cr 16x^2-24x+25 &=& 0 &\vert& :16 \cr x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{25}{16} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{3}{4} \pm \sqrt{\dfrac{9}{16}-\dfrac{25}{16}} \cr &=& \dfrac{3}{4} \pm \sqrt{-1} \cr \cr x_1 &=& \dfrac{3}{4}+i \cr\cr x_2 &=& \dfrac{3}{4}-i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{3}{4}+i \; ; \; \dfrac{3}{4}-i\right\}\end{array}$

4)
$\begin{array}{crclcl} & x(x^2-12(x-3)) &=& 6-2(6x^2+3) \cr & x^3-12x^2+36x &=& 6-12x^2-6 &\vert&+12x^2 \cr & x^3+36x &=& 0 \cr & x(x^2+36) &=& 0 & \vert & \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & x^2+36 &=& 0 \cr & x^2 &=& -36 &\vert& \pm\sqrt{} \cr & x_{2,3} &=& \pm \sqrt{-36} \cr & &=& \pm 6i \cr \cr & \mathbb{L} &=& \left\{-6i \; ; \; 0 \; ; \; 6i \right\}\end{array}$

Bemerkung: Bislang war der Satz vom Nullprodukt zwar immer so formuliert worden: "Ein Produkt reeller Zahlen ist genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist." Er gilt aber natürlich auch für komplexe Zahlen.

5)
$\begin{array}{rclcl} -\dfrac{1}{2}z-2i &=& -\dfrac{1}{8}z^2-iz+\dfrac{3}{2} &\vert& +\dfrac{1}{8}z^2+iz-\dfrac{3}{2} \cr \dfrac{1}{8}z^2-\dfrac{1}{2}z+iz-\dfrac{3}{2}-2i &=& 0 \cr z^2+(-4+8i)z-12-16i &=& 0 \cr z_{1,2} &=& -\dfrac{-4+8i}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4+8i}{2}\right)^2-(-12-16i)} \cr &=& -\dfrac{-2(2-4i)}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16-64i-64}{4}+12+16i} \cr &=& 2-4i\pm\sqrt{-\dfrac{48}{4}-\dfrac{64}{4}i+12+16i} \cr &=& 2-4i\pm 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{2-4i\right\}\end{array}$

Bemerkung: $z=2-4i$ ist eine doppelte Lösung.

6)
$\begin{array}{rclcl} -2\left(x^2+\dfrac{5}{8}\right) &=& x^3+\dfrac{9}{4}x \cr -2x^2 -\dfrac{5}{4} &=& x^3+\dfrac{9}{4}x &\vert& +2x^2+\dfrac{5}{4} \cr x^3 + 2x^2 +\dfrac{9}{4}x + \dfrac {5}{4} &=& 0 \end{array}$

Durch Probieren finden wir die Lösung $x_1=-1$, denn
$\begin{array}{rcl}(-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 +\dfrac{9}{4}\cdot (-1) + \dfrac {5}{4} &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}$

Polynomdivision mit $x_1=-1$:


Lösung des reduzierten Polynoms:
$\begin{array}{rclcl} x^2+x+\dfrac{5}{4}&=&0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{2,3}&=&-\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}} \cr &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_2 &=& -\dfrac{1}{2}+i \cr \cr x_3 &=& -\dfrac{1}{2}-i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-1 \; ; \; -\dfrac{1}{2}+i \; ; \; -\dfrac{1}{2}-i\right\}\end{array}$

7)
$\begin{array}{rclcl} 3x-19x^2 &=& -18x^2+\dfrac{10}{4} &\vert& -3x + 19x^2 \cr\cr 0 &=& x^2 -3x+ \dfrac{10}{4} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 -\dfrac{10}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{1}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{-1\cdot\dfrac{1}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr\cr\cr x_1 &=& \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i \cr\cr x_2 &=& \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i \cr \cr\cr \mathbb{L} &=& \left\{ \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i \; ; \; \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i\right\} \end{array}$

8)
$\begin{array}{crclcl} & 0 &=& 4z^3 +20 z^2 +50z \cr & 0 &=& 4z \left( z^2 +5z + \dfrac{25}{2}\right) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \cr\cr \text{Faktor 1:} & 4z &=& 0 &\vert& : 4 \cr & z_1 &=& 0 \cr\cr\cr \text{Faktor 2:} & 0 &=& z^2+5z+\dfrac{25}{2} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr & z_{2,3} &=& -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}} \cr\cr& &=& -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{25}{4}}\cr\cr & &=& -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{-1\cdot\dfrac{25}{4}}\cr\cr& &=& -\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{5}{2}\sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr\cr & z_2 &=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}i \cr\cr & z_3 &=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}i \cr \cr\cr & \mathbb{L} &=& \left\{ 0 \; ; \; -\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}i \; ; \; -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}i\right\} \end{array}$

9)
$\begin{array}{rclcl} -217 &=& 7 (x^2-4x) \cr -217 &=& 7x^2-28x &\vert& +217 \cr0 &=& 7x^2-28x+217 &\vert& : 7 \cr0 &=& x^2-4x+31 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-31} \cr &=& 2\pm \sqrt{-27} \cr &=& 2 \pm \sqrt{9\cdot 3 \cdot (-1)} \cr &=& 2\pm 3 \cdot \sqrt{3} \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_1 &=& 2+3\sqrt{3} i \cr x_2 &=& 2-3\sqrt{3} i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{2+3\sqrt{3}i \; ; \; 2-3\sqrt{3}i \right\}\end{array}$

10)
$\begin{array}{rcl} -x^3+x^2i-4x^2+4xi-68x+68i &=& 0 \\-x^3+(-4+i)x^2+(-68+4i)x+68i &=& 0\end{array}$

Durch Probieren finden wir die Lösung $x_1=i$, denn
$\begin{array}{rcl}-i^3+(-4+i)\cdot i^2+(-68+4i)\cdot i +68i &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}$

Polynomdivision mit $x_1=i$:


Lösung des reduzierten Polynoms:
$\begin{array}{rclcl} -x^2-4x-68 &=& 0 &\vert& \cdot (-1) \cr x^2+4x+68 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{2,3}&=&-2\pm \sqrt{2^2-68} \cr &=& -2\pm \sqrt{-64} \cr &=& -2\pm \sqrt{-1\cdot 64} \cr &=& -2 \pm 8 \cdot \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}= i \cr \cr x_2 &=&-2+8i \cr x_3 &=&-2-8i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{ i \; ; \; -2+8i \; ; \; -2-8i \right\} \end{array}$

11)
$\begin{array}{rclcl} -20x^2 &=& 4x^4+29 &\vert& +20x^2 \cr 0 &=& 4x^4+20x^2+29 \cr 0 &=& 4\left(x^2\right)^2+20x^2+29\end{array}$

Substitution: $z = x^2$
$\begin{array}{rclcl}0 &=& 4z^2+20z+29 &\vert& :4 \cr 0 &=& z^2+5z+\dfrac{29}{4} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr z_{1,2}&=&-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{29}{4}} \cr &=& -\dfrac{5}{2}\pm \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr\cr z_1 &=& -\dfrac{5}{2}+i \cr z_2 &=& - \dfrac{5}{2}-i \end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclcl} z_1 = x^2 &=& -\dfrac{5}{2}+i &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_{1,2} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{5}{2}+i} \cr\cr z_2 =x^2 &=& -\dfrac{5}{2}-i &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_{3,4} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{5}{2}-i} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{ \sqrt{-\dfrac{5}{2}+i} \; ; \; -\sqrt{-\dfrac{5}{2}+i} \; ; \; \sqrt{-\dfrac{5}{2}-i} \; ; \; -\sqrt{-\dfrac{5}{2}-i} \right\}\end{array}$

12)
$\begin{array}{rclcl} -2x(-ix+5x-10i) &=& x^3+10(5x-10i) \cr 2ix^2-10x^2+20ix &=& x^3+50x-100i &\vert& -x^3-50x+100i \cr-x^3+2ix^2-10x^2+20ix-50x+100i &=& 0 \cr-x^3+(-10+2i)x^2+(-50+20i)x+100i &=& 0 \end{array}$

Durch Probieren finden wir die Lösung $x_1=2i$, denn
$\begin{array}{rcl}-(2i)^3+(-10+2i)\cdot (2i)^2+(-50+20i)\cdot 2i+100i &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}$

Polynomdivision mit $x_1=2i$:


Lösung des reduzierten Polynoms:
$\begin{array}{rclcl} -x^2-10x-50 &=& 0 &\vert& \cdot (-1) \cr x^2+10x+50 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{2,3} &=& -5\pm \sqrt{5^2-50} \cr &=& -5\sqrt{-25} \cr &=& -5\sqrt{-1\cdot 25} \cr&=& -5 \pm 5 \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_2 &=& -5+5i \cr x_3 &=& -5-5i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{2i \; ; \; -5+5i \; ; \; -5-5i \right\} \end{array}$

13)
$\begin{array}{rclcl} 21 x+125 &=& x^2+3x+215 &\vert& -21x-125 \cr 0 &=& x^2-18x+90 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 9\pm \sqrt{9^2-90} \cr &=& 9\pm \sqrt{-9} \cr &=& 9\pm \sqrt{-1\cdot 9} \cr&=& 9\pm 3 \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_1&=&9+3i \cr x_2 &=& 9-3i \cr \cr \mathbb{L} &=& \{9+3i \; ; \; 9-3i\}\end{array}$

14)
$\begin{array}{rclll}\mathbb{D} &=& \mathbb{C}\setminus_{\{0+0\cdot i\}} \\\\x+4 &=& \dfrac{-10}{x}+3+i^2 &\vert & i^2=-1 \\\\x+4 &=& \dfrac{-10}{x}+2 &\vert & -2 \\\\x+2 &=& \dfrac{-10}{x} &\vert & \cdot x\\x^2+2x &=& -10 &\vert & +10\\x^2+2x+10 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-10}\\&=& -1\pm\sqrt{-9}\\&=& -1\pm\sqrt{-1\cdot 9}\\&=& -1\pm i\cdot 3\\\\x_1 &=& -1+3i\\x_2 &=& -1-3i\\\\\mathbb{L} &=& \left\{-1+3i\; ; \; -1-3i \right\}\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $x$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0+0\cdot i \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

15)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x^2}{i}+\dfrac{5x\cdot i^{i+1}}{i^i}-7i &=& 0 \\\\\dfrac{x^2}{i}+5x\cdot i^{i+1-i}-7i &=& 0 &\vert & \cdot i\\\\x^2+5xi^2-7i^2 &=& 0 &\vert & i^2=-1\\x^2-5x+7 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel} \\x_{1,2} &=& \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-7}\\&=& \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{3}{4}}\\&=& \dfrac{5\pm\sqrt{-3}}{2}\\&=& \dfrac{5\pm\sqrt{-1\cdot 3}}{2} &\vert& \sqrt{-1}=i \\\\x_1 &=& \dfrac{5+\sqrt{3}\cdot i}{2}\\x_1 &=& \dfrac{5-\sqrt{3}\cdot i}{2}\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{5+\sqrt{3}\cdot i}{2}\; ; \; \dfrac{5-\sqrt{3}\cdot i}{2} \right\}\end{array}$

16)
$\begin{array}{rclcl} 0 &=& z^3 +64 &\vert& -64 \cr z^3 &=& -64 &\vert& \sqrt[3]{} \cr z &=& \sqrt[3]{-64}\end{array}$

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
$z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)$

Bestimmung von $\vert\omega\vert$ und $\varphi$:
$\begin{array}{rcl}\omega &=& -64 +0i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\left(-64\right)^2+0^2} \\\vert \omega \vert &=& 64\end{array}$

Da $\textit{Re}(\omega) < 0$ und $\textit{Im}(\omega)=0$ ist $\varphi = \pi$.

Berechnung der Wurzeln:
$\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[3]{64}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& 2+2\sqrt{3}i \\\\z_1 &=& \sqrt[3]{64}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\cos\left(\pi\right)+i\cdot\sin\left(\pi\right)\right) \\&=& 4\left(-1+i\cdot 0\right) \\&=& -4 \\\\z_2 &=& \sqrt[3]{64}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& 2-2\sqrt{3}i \\\\\mathbb{L} &=& \{2+2\sqrt{3}i \; ; \; -4 \; ; \; 2-2\sqrt{3}i\}\end{array}$

17)
$\begin{array}{rclll}7z^3-189i &=& 0 &\vert & +189i \\7z^3 &=& 189i &\vert & :7\\z^3 &=& 27i &\vert & \sqrt[3]{}\\z &=& \sqrt[3]{27i}\end{array}$

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
$z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)$

Bestimmung von $\vert\omega\vert$ und $\varphi$:
$\begin{array}{rcl}\omega &=& 0+27i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{0^2+27^2} \\\vert \omega \vert &=& 27 \\\end{array}$

Da $\textit{Re}(\omega)=0$ und $\textit{Im}(\omega) > 0$ ist $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$.

Berechnung der Wurzeln:
$\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[3]{27}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& \dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \\\\z_1 &=& \sqrt[3]{27}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \\\\z_2 &=& \sqrt[3]{27}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(0-i\right) \\&=& -3i \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \; ; \; -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \; ; \; -3i\right\}\end{array}$

18)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{2z}{3}+\dfrac{-\sqrt{36i}+45}{9} &=& 5 &\vert& \cdot 9 \\6z-\sqrt{36i}+45 &=& 45 &\vert& -45+\sqrt{36i} \\6z &=& \sqrt{36i} \\6z &=& 6\sqrt{i} &\vert& :6 \\z &=& \sqrt{i}\end{array}$

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
$z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)$

Bestimmung von $\vert\omega\vert$ und $\varphi$:
$\begin{array}{rcl}\omega &=& 0+1i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{0^2+1^2} \\\vert \omega \vert &=& 1 \\\end{array}$

Da $\textit{Re}(\omega)=0$ und $\textit{Im}(\omega) > 0$ ist $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$.

Berechnung der Wurzeln:
$\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt{1}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{2}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{2}\right)\right) \\&=& 1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \\&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \\\\z_1 &=& \sqrt{1}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{2}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{2}\right)\right) \\&=& 1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right) \\&=& -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \; ; \; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right\}\end{array}$

19)
$\begin{array}{rclll}-28z^4+7\sqrt{3}i &=& 7 &\vert& -7\sqrt{3}i \\-28z^4 &=& 7-7\sqrt{3}i &\vert& :(-28) \\z^4 &=& -\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i &\vert & \sqrt[4]{} \\z &=& \sqrt[4]{-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i}\end{array}$

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
$z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)$

Bestimmung von $\vert\omega\vert$ und $\varphi$:
$\begin{array}{rcl}\omega &=& -\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} \\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\\vert \omega \vert &=& \dfrac{1}{2}\end{array}$

Da $\textit{Re}(\omega) < 0$ und $\textit{Im}(\omega) > 0$ liegt $\omega$ im zweiten Quadranten.
$\begin{array}{rcl}\varphi &=& \pi-\arctan\left(\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}}\right) \\\varphi &=& \pi-\arctan\left(\sqrt{3}\right) \\\varphi &=& \pi-\dfrac{\pi}{3} \\\varphi &=& \dfrac{2\pi}{3}\end{array}$

Berechnung der Wurzeln:
$\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 0\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 0\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \\\\z_1 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 1\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 1\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& -\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \end{array}$

$\begin{array}{rcl}z_2 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& -\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \\\\z_3 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 3\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 3\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& \dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \; ; \; -\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \; ; \; -\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \; ; \; \dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \right\}\end{array}$

20)
$\begin{array}{rclll}-3z^3+81-3i &=& 84 & \vert & -81+3i \\-3z^3 &=& 3+3i &\vert & :(-3)\\z^3 &=& -1-i &\vert& \sqrt[3]{} \\z &=& \sqrt[3]{-1-i}\end{array}$

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
$z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)$

Bestimmung von $\vert\omega\vert$ und $\varphi$:
$\begin{array}{rcl}\omega &=& -1-1i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2} \\\vert \omega \vert &=& \sqrt{2}\end{array}$

Da $\textit{Re}(\omega) < 0$ und $\textit{Im}(\omega) < 0$ liegt $\omega$ im dritten Quadranten.
$\begin{array}{rcl}\varphi &=& \pi+\arctan\left(\dfrac{-1}{-1}\right) \\\varphi &=& \pi+\arctan{\left(1\right)} \\\varphi &=& \pi+\dfrac{\pi}{4} \\\\\varphi &=& \dfrac{5\pi}{4}\end{array}$

Berechnung der Wurzeln:
$\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} i\right) \\&=& \dfrac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \\\\z_1 &=& \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} i\right) \\&=& \dfrac{\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(-\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \\\\z_2 &=& \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right) \\&=& \dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}i \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \; ; \; \dfrac{\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(-\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \; ; \; \dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}i \right\}\end{array}$