Lernmodul Mathematik

Übersicht:

17.1 Logarithmusgleichungen und -funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Lösen Sie folgende Logarithmusgleichungen! Geben Sie jeweils den Definitionsbereich an!

1) $\lg(x-1)+\lg(x+2)=1$		11) $2\ln(x-1)+2\ln(3) = 2\ln(1)+3\ln(2)$
2) $x \cdot \ln(x)=2x$		12) $8\ln(ex+2) = 8$
3) $5 \lg(x)=3 \lg(12)+\lg(32)-3(\lg(4)+\lg(3))$		13) $\ln\left(\sqrt{-s+13}\right)+\ln\left(\sqrt[3]{-s+13}\right)-1 = 0$
4) $\log_3(x-75)-3=\log_3(x+3)$		14) $\ln\left(4x^{\frac{7}{8}}\right)+\ln\left(3x^{-\frac{1}{8}}\right)=\dfrac{7}{4}\ln\left(\sqrt[7]{16}x\right)$
5) $\ln(x-2)+\ln(x+3)=\ln(x^2+x-6)$		15) $\dfrac{\log_4(x-3)}{\log_4(x)}=-1$
6) $\log_2(16^x)+\log_5(25^{x^2})=16$		16) $\log_{27}\left(\sqrt[3]{9x^2}\right)=\log_{27}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
7) $\ln(\sqrt{5x+2})+\ln((5x+2)^2)=1$		17) $\log_{4}(-3x+15)=\ln(4)$
8) $\dfrac{1}{2}\log_5\left(\dfrac{x}{4}+1\right) = \dfrac{1}{4}$		18) $\ln\left(\dfrac{1}{5}e^7 \cdot 2x^2\right)=2\ln\left(6x\right)$
9) $\log_2(3)-\lg(100) = \log_2(2x-1)$		19) $x \cdot \log_{10}(4x)=6x\cdot\log_{10}\left(\sqrt{10}\right)$
10) $\lg\left(x^2+6x+9\right)-\log_3(81) = \lg(x+3)$		20) $\log_{\pi}(37x) =14\log_{\pi}(e)$

2. Aufgabe

Ermitteln Sie, ausgehend von der Funktion $f(x)= \ln(x)$ , die Graphen der folgenden Funktionen!

1) $f_1(x)=\ln(x)+3$		5) $f_5(x)=3\ln(x)$
2) $f_2(x)=\ln(x)-3$		6) $f_6(x)= -3\ln(x)$
3) $f_3(x)=\ln(x+3)$		7) $f_7(x)=\ln(3x)$
4) $f_4(x)=\ln(x-3)$		8) $f_8(x)=\ln(-3x)$

3. Aufgabe

1) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{1}{4} \ln(9x-10)$ mit $\mathbb{D} = \left\{x\in \mathbb{R} \mid x >\dfrac{10}{9}\right\}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=\dfrac{11}{9}$ b) wenn $y=0$		6) Gegeben sei die Funktion $f(x)= -\log_{2} \left( \dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{2}x \right)$ mit $\mathbb{D} = \left\{x\in\mathbb{R} \mid x < 0 \text{ oder } x>8 \right\}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=9$ b) wenn $y=4$
2) Gegeben sei die Funktion $f(x)= -\dfrac{\ln(x^2-8)+1}{20}$ mit $\mathbb{D} = \left\{x\in\mathbb{R}\mid x < -\sqrt{8} \text{ oder } x>\sqrt{8}\right\}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=8$ b) wenn $y=-\dfrac{1}{20}$		7) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \ln \left( \dfrac{-x+5}{12}\right)$ mit $\mathbb{D} = \left\{x\in \mathbb{R} \mid x < 5 \right\}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=3$ b) wenn $y=\ln(7)$
3) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \log_8(x^3)+15$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R^+}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=10$ b) wenn $y=2$		8) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \log_{10} (x)-3$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=1.000$ b) wenn $y=2$
4) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \log_5(x^2+2x)$ mit $\mathbb{D}=\left\{x\in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ oder } x>0 \right\}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-5$ b) wenn $y=23$		9) Gegeben sei die Funktion $f(x)= 10 \ln (x^2-4x+4)-10$ mit $\mathbb{D} =\mathbb{R}\setminus_{\{2\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-\dfrac{2}{5}$ b) wenn $y=30$
5) Gegeben sei die Funktion $f(x)= -2 \log_{10}\left(x^4-\dfrac{8}{5} \right)$ mit $\mathbb{D} =\left\{x\in\mathbb{R} \mid x < -\sqrt[4]{\dfrac{8}{5}} \text{ oder } x>\sqrt[4]{\dfrac{8}{5}}\right\}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-6$ b) wenn $y=0$		10) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{2}{3} \log_2 \left(\dfrac{2}{x}\right)+1$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=12$ b) wenn $y=-27$

4. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen den Definitionsbereich und die Nullstellen!

1) $f_1(x)=\ln\left((x-81)^2\right)$		11) $f(x)=2\log_{10}(5x)+3\log_{10}(x)+8$
2) $f_2(x)=x\ln(x)+x\ln\left(x^2\right)+x\ln(27)$		12) $f(x)=\ln(x-2)\cdot \dfrac{2x}{x^2-1}$
3) $f_3(x)=\log_7\left(6x^2+12x-17\right)$		13) $f(z)=\ln\left(\dfrac{3z}{44z+11}\right)-\ln\left(-\dfrac{9}{22z}\right)$
4) $f_4(x)=\left(x^3-8\right)\lg(x+2)$		14) $f(x)= 5\ln(-7+13x)+5\ln\left(\dfrac{x^2}{13x-7}\right)-10$
5) $f(x)=\left(x^2-4\right)\ln\left(x^2+x-6\right)$		15) $f(z)= \log_3\left(5z^2\right)-\log_3(10z)-3$
6) $g(x)=3x\log_8\left(2\right)+x\log_8\left(2x\right)+2x\log_8\left(10x\right)$		16) $f(x)= \dfrac{\log_4(-x+47)}{\log_4(e) \cdot \ln(-x+47)}\cdot \left(-14x^2+56x+98\right)$
7) $f(w)=(-100w^4-225)\cdot \log_7\left(w^2+17\right)$		17) $f(x)= \log_{76} \left(12x^2+18x-11\right)$
8) $f(x)=\left(x^2-2\right)\cdot\log_{11}\left(x^2+2x+2\right)$		18) $f(x)= \log_{28}\left(-\left(5x^2+1\right)\left(x^2+20\right)\right)$
9) $f(x)=\dfrac{\ln(6x)}{\sqrt{9}}+2$		19) $f(x)= \dfrac{5}{4}\log_{10}\left(16e^x+1\right)\cdot \ln\left(x^3+9\right)$
10) $f(x)=\dfrac{\log_{12}\left(\frac{5}{4}x\right)\cdot\ln(7)}{\ln(2x)}$		20) $g(k)= \log_{314}(-k+9)+\log_{314}(4k)$