Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe

9.3 Quadratische Gleichungen - Lösungen

1. Aufgabe

1)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} x^2-49 &=& 0 & \vert & +49 \cr x^2 &=& 49 & \vert & \pm \sqrt{} \cr x &=& \pm \sqrt{49} \cr\cr x_1 &=& 7 \cr x_2 &=& -7 \end{array}$

Probe: Auch hier kann selbstverständlich eine Probe durchgeführt werden.
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} 7^2-49 &=& 0 \cr 49-49 &=& 0 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} (-7)^2-49 &=& 0 \cr 49-49 &=& 0 \end{array}$

Für $x_1 = 7$ sowie $x_2 = -7$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{-7; 7 \right\}$

 
2)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 5 x^2 - 80 &=& 0 & \vert & +80 \cr 5x^2 &=& 80 & \vert & :5 \cr x^2 &=& 16 & \vert & \pm \sqrt{} \cr x &=& \pm \sqrt{16} \cr\cr x_1 &=& 4 \cr x_2 &=& -4 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-4; 4\} \end{array}$

Probe: ...

 
3)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 2x^2+8 &=& 0 & \vert & -8 \cr 2x^2 &=& -8 & \vert & :2 \cr x^2 &=& -4 &\vert& \pm\sqrt{} \cr x &=& \pm\sqrt{-4} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

 
4)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} -3x^2+363 &=& 0 & \vert & -363 \cr -3x^2 &=& -363 & \vert & :(-3) \cr x^2 &=& 121 & \vert & \pm \sqrt{} \cr\cr x_1 &=& 11 \cr x_2 &=& -11 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-11;11\} \end{array}$

Probe: ...

5)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt reichen aus.
$\begin{array}{crclcl} & -2x^2 &=& -20x & \vert & +20x \cr & -2x^2+20x &=& 0 \cr & x(-2x+20) &=& 0 \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & -2x_2+20 &=& 0 \cr & x_2 &=& 10 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{0;10\} \end{array}$

Probe: ...

 
6)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt reichen aus.
$\begin{array}{crclcl} & x^2+9x &=& 0 \cr & x(x+9) &=& 0 \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & x_2+9 &=& 0 \cr & x_2 &=& -9 \cr\cr & \mathbb{L} &=& \{-9;0\} \end{array}$

Probe: ...

 
7)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} x^2+x-12 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2} \right)^2-\left(-12\right)} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+12} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1+48}{4}} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{7}{2} \cr\cr\cr x_1 &=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2} = 3 \cr\cr x_2 &=& -\dfrac{1}{2} -\dfrac{7}{2} = -4 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-4;3\} \end{array}$

Probe: ...

 
8)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} x^2+2x+2 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-2} \cr x_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{1-2} \cr x_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{-1} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

 
9)
Hier wird die a-b-c-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcc} 8x^2-3 &=& -2x & \vert & +2x \cr 8x^2+2x-3 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 8 \cdot (-3)}}{2 \cdot 8} \cr \cr x_{1,2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{4- (-96)}}{16} \cr \cr x_{1,2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{100}}{16} \cr \cr x_{1,2} &=& \dfrac{-2 \pm 10}{16} \cr \cr \cr x_1 &=& \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2} \cr \cr x_2 &=& \dfrac{-12}{16} = -\dfrac{3}{4} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2}\right\} \end{array}$

Probe: ...

10)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{1}{2}x^2+12x &=& -72 & \vert & \cdot 2 \cr x^2+24x &=& -144 & \vert & +144 \cr x^2+24x+144 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{24}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{24}{2}\right)^2-144} \cr x_{1,2} &=& -12 \pm \sqrt{12^2-144} \cr x_{1,2} &=& -12 \pm \sqrt{0} \cr x_{1,2} &=& -12 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-12\}\end{array}$

Probe: ...

11)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt reichen aus.
$\begin{array}{crclcl} & x^2+x &=& 6\sqrt{10}x &\vert& -6\sqrt{10}x \cr & x^2-6\sqrt{10}x+x &=& 0 \cr & x(x-6\sqrt{10}+1) &=& 0 \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & x_2-6\sqrt{10}+1 &=& 0 \cr & x_2 &=& 6\sqrt{10}-1 \cr\cr & \mathbb{L} &=& \left\{0; 6\sqrt{10}-1\right\} \end{array}$

Bemerkung: Beim Ausklammern die $1$ in der Klammer nicht vergessen!

Probe: ...

12)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 357-2x^2 &=& -35 & \vert & -357 \cr -2x^2 &=& -392 & \vert & :(-2) \cr x^2 &=& 196 & \vert & \pm \sqrt{} \cr x &=& \pm \sqrt{196} \cr\cr x_1 &=& 14 \cr x_2 &=& -14 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-14; 14\} \end{array}$

Probe: ...

13)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 24-x^2 &=& 2x & \vert & +x^2-24 \cr 0 &=& x^2+2x-24 \cr x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{1+24} \cr\cr x_1 &=& 4 \cr x_2 &=& -6 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-6;4\} \end{array}$

Probe: ...

14)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} -2x^2+6x-5 &=& 3 & \vert & +2x^2-6x+5 \cr 0 &=& 2x^2-6x+8 & \vert & :2 \cr 0 &=& x^2-3x+4 \cr x_{1,2} &=& \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-4} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{7}{4}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

15)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 5x^2-38x+225 &=& 4x^2-8x & \vert & -4x^2+8x \cr x^2-30x+225 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{-30}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-30}{2}\right)^2-225} \cr x_{1,2} &=& 15\pm\sqrt{0} \cr x_{1,2} &=& 15 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{15\} \end{array}$

Probe: ...

16)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 9x^2+18x &=& 81 & \vert & :9 \cr x^2+2x &=& 9 & \vert & -9 \cr x^2+2x-9 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{1^2+9} \cr\cr x_1 &=& -1+\sqrt{10} \cr x_2 &=& -1-\sqrt{10} \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-1+\sqrt{10};-1-\sqrt{10}\} \end{array}$

Probe: ...

17)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 0 &=& -301z+128z^2-95z^2+217z-33z^2+84z \cr 0 &=& 128z^2-95z^2-33z^2-301z+217z+84z \cr 0 &=& z^2(128-95-33)+z(-301+217+84) \cr 0 &=& 0z^2+0z \cr 0 &=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

18)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 809-9x^2 &=& -10x^2-215 & \vert & +10x^2-809 \cr x^2 &=& -1.024 &\vert& \pm\sqrt{} \cr x &=& \pm\sqrt{-1.024} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

19)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 16y^2+61y+169+97y &=& -201-24y^2+5-122y-125 \cr 16y^2+158y+169 &=& -24y^2-122y-321 & \vert & +24y^2+122y+321 \cr 40y^2+280y+490 &=& 0 &\vert& : 40 \cr y^2+7y+\dfrac{49}{4} &=& 0\cr y_{1,2} &=& -\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}} \cr y_{1,2} &=& -\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{0} \cr y_{1,2} &=& -\dfrac{7}{2} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{7}{2}\right\} \end{array}$

Probe: ...

20)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} -\dfrac{5}{4}x^2-\dfrac{1}{9}+\dfrac{7}{18}+\dfrac{x^2}{2} &=& \dfrac{5}{18}-\dfrac{9}{8}x^2+\dfrac{3x^2}{8} \cr -\dfrac{3}{4}x^2\dfrac{5}{18} &=& -\dfrac{6}{8}x^2+\dfrac{5}{18} & \vert & -\dfrac{5}{18} \cr -\dfrac{3}{4}x^2 &=& -\dfrac{6}{8}x^2 & \vert & \cdot 4 \cr -3x^2 &=& -3x^2 & \vert & +3x^2 \cr 0 &=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

2. Aufgabe

Bei dieser Aufgabe wurden die Lösungswege nicht mehr ganz so ausführlich aufgeschrieben wie oben. Sie kennen sich ja inzwischen aus ... Wenn Sie mit einem anderen Lösungsweg zum gleichen Ergebnis kommen, ist das natürlich auch völlig in Ordnung.

1)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 50\left(1-\dfrac{1}{5}x\right) &=& (x-5)^2 \cr 50-10x &=& x^2-10x+25 &\vert& +10x-25 \cr 25 &=& x^2 &\vert& \pm \sqrt{} \cr x &=& \pm \sqrt{25} \cr\cr x_1 &=& 5 \cr x_2 &=& -5 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-5; 5\} \end{array}$

 
2)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{2x^2-3}{3} &=& \dfrac{1}{5} (x^2-8)+\dfrac{1}{3} &\vert& \cdot 3 \cdot 5 \cr\cr 5(2x^2-3) &=& 3(x^2-8)+5 \cr 10x^2-15 &=& 3x^2-24+5 &\vert& -3x^2+15 \cr 7x^2 &=& -4 &\vert& :7 \cr x^2 &=& -\dfrac{4}{7} &\vert& \pm\sqrt{} \cr\cr x_{1,2} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{4}{7}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

3)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} -\dfrac{x}{16}(-32x+64)-x &=& 2x^2-5x \cr 2x^2-4x-x &=& 2x^2-5x \cr 2x^2-5x &=& 2x^2-5x & \vert & -2x^2+5x \cr 0 &=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

4)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 5x^2-\left(\sqrt{175}-15\right)x &=& \dfrac{15}{2}\sqrt{7} &\vert& -\dfrac{15}{2}\sqrt{7} \cr\cr 5x^2-\left(\sqrt{25\cdot 7}-15\right)x-\dfrac{15}{2}\sqrt{7} &=& 0 &\vert& :5 \cr\cr x^2-\dfrac{1}{5}\left(5\left(\sqrt{7}-3\right)\right)x-\dfrac{3}{2}\sqrt{7} &=& 0 \cr\cr x^2-\left(\sqrt{7}-3\right)x-\dfrac{3}{2}\sqrt{7} &=& 0 \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{\sqrt{7}-3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{7}-3}{2}\right)^2 -\left(-\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{7}-3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{7-6\sqrt{7}+9}{4} +\dfrac{6}{4}\sqrt{7}} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{7}-3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{16}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{7}-3}{2} \pm \sqrt{4} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{7}-3}{2} \pm 2 \cr\cr\cr x_1 &=& \dfrac{\sqrt{7}}{2}-\dfrac{3}{2}+2 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}+\dfrac{1}{2} \cr\cr x_2 &=& \dfrac{\sqrt{7}}{2}-\dfrac{3}{2}-2 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}-\dfrac{7}{2} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\sqrt{7}}{2}-\dfrac{7}{2}; \dfrac{\sqrt{7}}{2}+\dfrac{1}{2} \right\} \end{array}$

Bemerkung 1: Achten Sie beim zweiten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung mit $5$ zu multiplizieren.
Bemerkung 2: Die p-q-Formel funktioniert natürlich auch, wenn $p$ und $q$ so "unhandlich" sind wie hier ...

5)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 1+x^2 &=& 3x+36x\left(x-\dfrac{1}{8}\right)+\dfrac{3}{2}\left(x+\dfrac{2}{3}\right)-35x^2 \cr 1+x^2 &=& 3x+36x^2-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{3}{2}x+1-35x^2 \cr 1+x^2 &=& x^2+1 & \vert & -x^2-1 \cr 0 &=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

6)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} -12t(t-5)-47t &=& 13t \cr -12t^2+60t-47t &=& 13t \cr -12t^2+13t &=& 13t & \vert & -13t \cr -12t^2 &=& 0 & \vert & :(-12) \cr t^2 &=& 0 & \vert & \pm \sqrt{} \cr t &=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{0\} \end{array}$

7)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen, ausklammern und der Satz vom Nullprodukt reichen aus.
$\begin{array}{crclcl} & (x+2)^2 &=& 4(1-x) \cr & x^2+4x+4 &=& 4-4x & \vert & -4+4x \cr & x^2+8x &=& 0 \cr & x(x+8) &=& 0 \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & x+8 &=& 0 &\vert& -8 \cr & x_2 &=& -8 \cr\cr & \mathbb{L} &=& \{-8; 0\} \end{array}$

8)
Hier wird die a-b-c-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} (x+9)(x-9) &=& \dfrac{1}{2}(x+18)+\dfrac{11x}{2} \cr\cr x^2-81 &=& \dfrac{1}{2}(x+18)+\dfrac{11x}{2} & \vert & \cdot 2 \cr\cr 2x^2-162 &=& x+18+11x \cr\cr 2x^2-162 &=& 12x+18 & \vert & -12x-18 \cr\cr 2x^2-12x-180 &=& 0 \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{12 \pm \sqrt{144+1440}}{4} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{12}{4}+\dfrac{12\sqrt{11}}{4} = 3+3\sqrt{11} \cr\cr x_2 &=& \dfrac{12}{4}-\dfrac{12\sqrt{11}}{4} = 3-3\sqrt{11} \cr \cr \mathbb{L} &=& \{3-3\sqrt{11}; 3+3\sqrt{11}\} \end{array}$

Bemerkung: Achten Sie beim zweiten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung mit $2$ zu multiplizieren.

9)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} (8+3x)^2 &=& -2(19-12x-5x^2)-10 \cr 64+48x+9x^2 &=& -2(19-12x-5x^2)-10 \cr 64+48x+9x^2 &=& -38+24x+10x^2-10 & \vert & -10x^2 -24x+48 \cr -x^2+24x+112 &=& 0 & \vert & \cdot (-1) \cr x^2-24x-112 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& 12 \pm \sqrt{144+112} \cr\cr x_1 &=& 12+16 = 28 \cr x_2 &=& 12-16 = -4 \cr\cr \mathbb{L} &=& \{-4; 28\} \end{array}$

10)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 4x^2-69 &=& -5+2x(8+2x) \cr 4x^2-69 &=& -5+16x+4x^2 & \vert & -4x^2+5 \cr -64 &=& 16x & \vert & :16 \cr x &=& -4 \cr\cr \mathbb{L} &=& \{-4\} \end{array}$

11)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} (-7x+7)(7x-7)-31 &=& 21x^2+60 \cr -49x^2+49x+49x-49-31 &=& 21x^2+60 & \vert & -21x^2-60 \cr -70x^2+98x-140 &=& 0 & \vert & :(-70) \cr x^2-\dfrac{7}{5}x+2 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& \dfrac{7}{10} \pm \sqrt{\dfrac{49}{100}-2} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{7}{10} \pm \sqrt{-\dfrac{151}{100}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

Bemerkung: Achten Sie beim dritten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung durch $70$ zu dividieren.

12)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 5(-3x^2+11x-115)-2x^2 &=& 101-((4x-1)^2+5x-1) \cr -15x^2+55x-575-2x^2 &=& 101-(16x^2-8x+1+5x-1) \cr -17x^2+55x-575 &=& 101-(16x^2-3x) \cr -17x^2+55x-575 &=& 101-16x^2+3x & \vert & +16x^2-3x-101 \cr -x^2+52x-676 &=& 0 & \vert & \cdot (-1) \cr x^2-52x+676 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& 26 \pm \sqrt{676-676} \cr x_{1,2} &=& 26 \cr\cr \mathbb{L} &=& \{26\} \end{array}$

13)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} (x+33)^2 &=& -8(-47+x)^2 \cr x^2+66x+1.089 &=& -8(x^2-94x+2.209) \cr x^2+66x+1.089 &=& -8x^2+752x-17.672 & \vert & +8x^2-752x+17.672 \cr 9x^2-686x+18.761 &=& 0 & \vert & :9 \cr x^2-\dfrac{686}{9}x+\dfrac{18.761}{9} &=& 0 \cr x_{1,2} &=& \dfrac{343}{9} \pm \sqrt{\dfrac{117.649}{81}-\dfrac{18.761}{9}} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{343}{9} \pm \sqrt{-\dfrac{51.200}{81}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

Bemerkung: Achten Sie beim vierten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung durch $9$ zu dividieren.

14)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} (6+8y)^2 &=& 16(4y+3)\left(y+\dfrac{3}{4}\right) \cr\cr 36+96y+64y^2 &=& 16(4y+3)\left(y+\dfrac{3}{4}\right) & \vert & :4 \cr\cr 9+24y+16y^2 &=& 16 \left(y+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right) \cr\cr 9+24y+16y^2 &=& 16\left(y^2+\dfrac{3}{2}y+\dfrac{9}{16}\right) \cr\cr 9+24y+16y^2 &=& 16y^2+24y+9 &\vert& -16y^2-24y-9 \cr\cr 0 &=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung 1: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

Bemerkung 2: Achten Sie beim zweiten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung durch $4$ zu dividieren. Da auf der rechten Seite nur ein Summand steht (es wird ja multipliziert ...), muss dort natürlich nur einmal durch $4$ geteilt werden.

15)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen reicht aus.
$\begin{array}{rclcl} 12\left(\left(\dfrac{p}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}p^2\right)+12p^2 &=& 9 \cr\cr 12\left(\dfrac{1}{4}p^2-\dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{4}p^2\right)+12p^2 &=& 9 \cr\cr 12\left(-p^2-\dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{4}\right)+12p^2 &=& 9 \cr\cr -12p^2-6p+3+12p^2 &=& 9 & \vert & -3 \cr -6p &=& 6 & \vert & :(-6) \cr p &=& -1 \cr\cr \mathbb{L} &=& \{-1\} \end{array}$

16)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} -76(13+x)+87x^2 &=& 43x(-1+2x) \cr -988-76x+87x^2 &=& -43x+86x^2 & \vert & -86x^2+43x \cr x^2-33x-988 &=& 0 \cr x_{1,2} &=& \dfrac{33}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1.089}{4}+988} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{33}{2}+\dfrac{71}{2} = 52 \cr\cr x_2 &=& \dfrac{33}{2}-\dfrac{71}{2} = -19 \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-19; 52\} \end{array}$

17)
Hier ist die Anwendung der p-q- oder a-b-c-Formel nicht nötig. Umformen und der Satz vom Nullprodukt reichen aus.
$\begin{array}{crclcl} & x\left(\dfrac{31}{20}x-\dfrac{7}{40}\right)-x^2 &=& 0 \cr\cr & \dfrac{31}{20}x^2-\dfrac{7}{40}x-x^2 &=& 0 & \vert & \cdot 40 \cr\cr & 62x^2-7x-40x^2 &=& 0 \cr & 22x^2-7x &=& 0 \cr & x(22x-7) &=& 0 \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & 22x-7 &=& 0 &\vert& +7 \cr & 22x &=& 7 &\vert& :22 \cr & x_2 &=& \dfrac{7}{22} \cr\cr & \mathbb{L} &=& \left\{0;\dfrac{7}{22}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Achten Sie beim zweiten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung mit $40$ zu multiplizieren.

18)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} -\dfrac{12}{27}x^2 &=& \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{3}\left(15x^2-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{7}{2}x\right) \cr\cr -\dfrac{12}{27}x^2 &=& \dfrac{1}{27}\left(15x^2-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{7}{18}x \cr\cr -\dfrac{12}{27}x^2 &=& \dfrac{15}{27}x^2-\dfrac{2}{81}-\dfrac{7}{18}x &\vert& +\dfrac{12}{27}x^2 \cr\cr 0 &=& x^2-\dfrac{7}{18}x-\dfrac{2}{81} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{7}{36} \pm \sqrt{\dfrac{49}{1.296}+\dfrac{2}{81}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{7}{36}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{9} \cr\cr x_2 &=& \dfrac{7}{36}-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{18} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{1}{18};\dfrac{4}{9}\right\} \end{array}$

19)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{1}{2}(14x+x)x &=& -\dfrac{-21x^2+x}{6}+\dfrac{x^2+30}{3}+812{,}5 & \vert & \cdot 6 \cr\cr 3x\cdot(15x) &=& 21x^2-x+2x^2+60+4.875 \cr\cr 45x^2 &=& 23x^2-x+4.935 & \vert & -45x^2 \cr\cr 0 &=& -22x^2-x+4.935 & \vert & :(-22) \cr\cr 0 &=& x^2+\dfrac{1}{22}x-\dfrac{4.935}{22} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{44} \pm \sqrt{\dfrac{1}{1.936}+\dfrac{4.935}{22}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{329}{22} \cr\cr x_2 &=& -15 \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-15;\dfrac{329}{22}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Achten Sie beim ersten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung mit $6$ zu multiplizieren. Da auf der linken Seite nur ein Summand steht (es wird ja multipliziert ...), muss dort natürlich nur einmal durch $6$ geteilt werden. Beim vierten Umformungsschritt müssen dann alle Summanden der Gleichung durch $-22$ dividiert werden.

20)
Hier wird die p-q-Formel angewendet.
$\begin{array}{rclcl} 80+(11x-6)(11x+6)+4x^2 &=& 6\left(\dfrac{100}{3}x-6\right) \cr 80+121x^2-36+4x^2 &=& 200x-36 & \vert & +36 \cr 80+125x^2 &=& 200x & \vert & -125x^2-80 \cr 0 &=& -125x^2+200x-80 & \vert & :(-125) \cr 0 &=& x^2-\dfrac{8}{5}x+\dfrac{16}{25} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{4}{5} \pm \sqrt{\dfrac{16}{25}-\dfrac{16}{25}} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{4}{5} \cr\cr \mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{4}{5}\right\}\end{array}$

Bemerkung: Achten Sie beim vierten Umformungsschritt darauf, wirklich alle Summanden der Gleichung durch $-125$ zu dividieren.

3. Aufgabe

Sei $x$ die Länge der Quadratseiten (siehe Bemerkung zu Textaufgaben).
Dann ergeben sich folgende Terme:

• der Flächeninhalt des Quadrats: $x^2$
• der Flächeninhalt des Quadrats vermindert um $4\, cm^2$: $x^2-4$
• die um $8\, cm$ verlängerte Seite: $x+8$
• die um $6\, cm$ verkürzte Seite: $x-6$
• der Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks: $(x+8)(x-6)$

Zu lösen ist also die folgende Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} (x+8)(x-6) &=& x^2-4 \cr x^2+8x-6x-48 &=& x^2-4 \cr x^2+2x-48 &=& x^2-4 &\vert& -x^2 \cr 2x-48 &=& -4 &\vert& +48 \cr 2x &=& 44 &\vert& \cdot \dfrac{1}{2} \cr x &=& 22 \end{array}$

Das Quadrat hatte also eine Seitenlänge von $22\, cm$ und damit einen Flächeninhalt von $484\, cm^2$
Beim Rechteck sind die Seiten $16 \, cm$ und $30 \, cm$ lang. Sein Flächeninhalt beträgt $480\, cm^2$

Bemerkung: Beim Lösen von Textaufgaben dürfen in der Mathematik (im Gegensatz zur Physik) Einheiten weggelassen werden. Erst im Antwortsatz gehören auch die Einheiten wieder zur Lösung.