Übersicht:

24.1 Integrale - Aufgaben

1. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Stammfunktion!

1) $f(x)=3x^3-2x^2+x$		11) $f(\xi)= \xi^x$
2) $f(x)=-x^2+x-1$		12) $f(y)=4e^{2y}$
3) $f(z)=\dfrac{1}{2}z+10$		13) $f(x)=\dfrac{x}{\cos^2(x)}$
4) $f(x)=4x^3-3x^2+2x-1$		14) $f(x)=\sin\left(14x+\pi\right)$
5) $f(x)=10x^5-\dfrac{8}{3}x^3+x-7$		15) $f(t)=\sqrt{3t+1}$
6) $f(x)=\sqrt{x}+2$		16) $f(x)=x^2 \cdot e^x$
7) $f(x)=18\sqrt[5]{x}$		17) $f(x)=13x\ln(x)$
8) $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$		18) $g(s)=\dfrac{1}{\tan(s)}$
9) $g(x)=\dfrac{10}{x^{11}}$		19) $f(x)=\cos^3(\pi)$
10) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$		20) $f(x)= \left(8x^3-9x^2\right)\sin(5x)$

2. Aufgabe

Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale!

1) $\displaystyle\int ax^{a+b} \, dx+\int bx^{a+b} \, dx+\int x^{a+b} \, dx$

2) $\displaystyle\int (yz^4+y^2z^2+y^4z) \, dy$

3) $\displaystyle\int (yz^4+y^2z^2+y^4z) \, dz$

3. Aufgabe

Bestimmen Sie unter allen möglichen Stammfunktionen jeweils diejenige, die durch den angegebenen Punkt verläuft!
1) $f(x)=x^2-9x+1$ mit $P(1\mid 1)$

2) $f(x)=\dfrac{x^3}{6}+x-\dfrac{1}{2}$ mit $P(0 \mid 12)$

3) $f(x)=\dfrac{18}{\sqrt[4]{x}}$ mit $P(4\mid 0)$

4) $f(x)=\dfrac{e^x}{2}$ mit $P(1 \mid 2e)$

5) $f(x)=2x-\cos(x)$ mit $P(\pi \mid \pi^2)$

4. Aufgabe

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale!

1) $\displaystyle\int \limits_2^3 2x \, dx$		11) $\displaystyle\int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos(x) \, dx$
2) $\displaystyle\int \limits_{-1}^0 x^7 \, dx$		12) $\displaystyle\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\left(3x- \dfrac{\pi}{8}\right) \, dx$
3) $\displaystyle\int \limits_0^4 \left( 2x - 3 \right) \, dx$		13) $\displaystyle\int \limits_0^2 \dfrac{1}{2}\left(x^2-e^x\right) \, dx$
4) $\displaystyle\int \limits_0^4 \left(3x^3+2x^2+1\right) \, dx$		14) $\displaystyle\int \limits_{-2}^1 e^{-12x+5} \, dx$
5) $\displaystyle\int \limits_{-3}^3 \left( 2z+z^3 \right) \, dz$		15) $\displaystyle\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx$
6) $\displaystyle\int \limits_1^2 \left(x+\dfrac{1}{x^2}\right) \, dt$		16) $\displaystyle\int \limits_1^8 \dfrac{5(x-7)^2}{\left(25x^4-350x^3+1.225x^2\right)\sqrt[3]{x}} \, dx$
7) $\displaystyle\int \limits_1^2 \left(x+\dfrac{1}{x^2}\right) \, dx$		17) $\displaystyle\int \limits_1^{11} \dfrac{3x^2}{2}\ln(x) \, dx$
8) $\displaystyle\int \limits_0^{10} \left( 5\sqrt{x}+4x \right) \, dx$		18) $\displaystyle\int \limits_2^4 42^y \, dy$
9) $\displaystyle\int \limits_2^5 \left( \dfrac{3}{8y^4} + \dfrac{12}{y^3} - \dfrac{7}{6y^2} \right) \, dy$		19) $\displaystyle\int \limits_4^6 \dfrac{x-3}{x^2-6x+9} \, dx$
10) $\displaystyle\int \limits_4^{10} \left( \dfrac{-8}{\sqrt[3]{t^2}} + 1 \right) \, dt$		20) $\displaystyle\int \limits_1^3 \left(\sin(u)+3x^2-e^{-3t}+\dfrac{1}{x}\right) \, dx$

5. Aufgabe

Bestimmen Sie den Parameter $t$ so, dass die folgenden Gleichungen stimmen!

1) $\displaystyle\int \limits_0^t x^2 \, dx = 72$

2) $\displaystyle\int \limits_\frac{1}{2}^t \left(\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{1}{x^2} \right) \, dx = 0$

3) $\displaystyle\int \limits_t^{10} 3\sqrt{x} \, dx = \sqrt{1000}$

4) $\displaystyle\int \limits_t^{2t} \left(6x-1\right) \, dx = 0$

5) $\displaystyle\int \limits_0^5 \left(3t x^2+2\right) \, dx = 35$

6) $\displaystyle\int \limits_{-2}^2 \left(-\dfrac{1}{4}x+t\right) \, dx = 200$

6. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Fläche, die von den beiden Graphen eingeschlossen wird!

1) $f(x)=x^2$ und $g(x)=-x^2+2x+4$

2) $f(x)=x^3-x+2$ und $g(x)= -x^3+x+2$

3)[1] Für Profis: $f(x)=-\dfrac{x^2}{t}+t$ und $g(x)=-t x^2+t^3$ mit $0 < t \leq 1$
Zusatzfrage: Für welchen Wert / welche Werte von $t$ wird der Flächeninhalt maximal?

[1] entnommen aus Wörle, Karl; Kratz, Johannes; Keil, Karl-August (1975): Infinitesimalrechnung. München (S. 183).