1. Zum Einstieg

Warum dieser Kurs?

Die Erfahrungen der letzten Jahre haben gezeigt, dass die Mathematik den Studienanfängerinnen und Studienanfängern leider zunehmend Schwierigkeiten bereitet. Die Gründe dafür sind vielfältig. Nur zum Teil fehlt es am grundlegenden mathematischen Verständnis. Ein weiteres Phänomen ist vielmehr, dass einfach zu wenig Übung / Routine / Erfahrung mit sogenannten elementaren Rechentechniken besteht. Wer darüber nachdenken muss, ob - und wenn ja wie - der Bruch $\frac{-1+2a-a^2}{a-1}$ gekürzt, d. h. vereinfacht werden kann ("Warum ist das dasselbe wie $1-a$???"), dem kann es schon passieren, bei den weiteren Ausführungen den Anschluss zu verlieren und schließlich nach und nach den Gesamtzusammenhang nicht mehr zu überblicken. Doch das muss nicht sein, deswegen sind Sie ja in diesem Kursraum ...

Sehen Sie diesen Kurs als eine Trainingseinheit, die Sie aufwärmt und oftmals schon in Vergessenheit geratene Gehirnzellen aktiviert. Dieses Training greift nicht dem anstehenden Wettkampf, sprich Studium, vorweg, sondern setzt deutlich davor an. Es hat auch nicht das Ziel, Sie alle zu "Mathematik-Weltmeistern" zu machen. Es geht vielmehr darum, eine gute Basis zu schaffen für alle Themen, die später darauf aufbauen. Nutzen Sie die Gelegenheit zur Übung und Wiederholung, scheuen Sie sich nicht, zu fragen, und setzen Sie sich (alleine oder in Gruppen) mit den Aufgaben ernsthaft auseinander - denn, wenn sich die ersten Erfolge einstellen, dann macht auch Mathematik Spaß!

Was ist vorab wichtig zu wissen?

• Auf den Kapitel-Startseiten erfahren Sie jeweils, welche Lernziele Sie mit diesem Kapitel erreichen sollen.
• Zusätzlich finden Sie auf (fast) allen Kapitel-Oberseiten eine Übersicht über typische Fehler zu den Inhalten des entsprechenden Kapitels. Bekanntermaßen sind die Möglichkeiten, in der Mathematik etwas falsch zu machen, ja sehr vielfältig. Um herauszufinden, welche Fehler am häufigsten auftreten, wurden daher Erstsemester-Klausuren untersucht.
  Selbst wenn Sie sich mit einem Thema schon ganz gut auskennen, lohnt es sich, bei den typischen Fehlern mal hineinzuschauen. Einige lassen sich leicht vermeiden, wenn man sie sich bewusst gemacht hat. Und man muss Fehler, die jemand anders schon gemacht hat, ja nicht unbedingt wiederholen …
• Alle Kapitel (einzige Ausnahme: "Grundlagen") sind in drei Seiten eingeteilt:
  • Die erste Seite enthält Aufgaben.
  • Die zweite Seite umfasst Erklärungen und Beispiele.
  • Auf der dritten Seite finden Sie die Lösungen der Aufgaben.
    
    
• Hier ein Vorschlag aus unserer Erfahrung, wie Sie Ihr Mathe-Training effektiv gestalten können:
  1. Versuchen Sie zunächst die Aufgaben zu lösen, ohne sich die Lösungen anzuschauen. Im Sport lernt man ja auch nicht, indem man der Nationalmannschaft im Fernsehen zuschaut - sondern indem man ganz viel selbst auf dem Sportplatz oder in der Turnhalle aktiv ist.
  2. Bei Schwierigkeiten mit den Aufgaben haben Sie die Möglichkeit, sich mithilfe der Hinweise und Erläuterungen auf der zweiten Seite ("Erklärungen") Lösungsstrategien zu erarbeiten. Dort werden natürlich auch die zum Thema gehörenden Fachbegriffe erläutert.
  3. Erst wenn auch das nicht hilft, sollten die Lösungen angeschaut werden. Selbstverständlich dienen die Lösungen auch zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
     
     
• Die Lösungswege sind in den meisten Fällen sehr ausführlich aufgeschrieben, ausführlicher, als es normalerweise notwendig ist. Das soll es Ihnen erleichtern, die Lösungswege nachzuvollziehen und mit Ihren Ergebnissen zu vergleichen. Umgekehrt bedeutet dies auch: Fehlen bei Ihnen einige Schritte, ist Ihr Lösungsweg nicht automatisch falsch. Gerade einfache Additionen, Multiplikationen etc. oder auch Umsortierungen der Variablen müssen nicht unbedingt hingeschrieben werden, wenn man geübt genug ist, den Lösungsweg auch so zu überblicken. Häufig ist der dargestellte Lösungsweg auch nicht der einzige Weg, der zum richtigen Ergebnis führt, z. B. können manchmal Schritte vertauscht werden. Wie im Sport führen auch hier manchmal mehrere Wege zum Trainings- bzw. Lernziel.
  
  
• Dieser Kurs kann der Reihe nach und vollständig bearbeitet werden. Vermutlich ist es für Ihr Training aber sinnvoller, wenn Sie sich gezielt die Kapitel heraussuchen, die Sie gerade benötigen.
  
• Die Navigation in diesem Kurs kann entweder über die Auswahl einzelner Kapitel im Inhaltsverzeichnis auf der rechten Seite erfolgen oder durch Nutzung der Vor- und Zurückpfeile zu Beginn jeder Seite. Im letzten Kapitel dieses Lernmoduls befindet sich ein Stichwortverzeichnis, über das Sie einzelne Begriffe, die im Lernmodul behandelt werden, direkt anwählen können.
• Wenn Sie die Materialien auf einem Smartphone nutzen, ist es sinnvoll, das Handy für eine größere Darstellung der Bilder und Tabellen quer zu halten.

Worauf sollten Sie achten?

Bitte beachten Sie Folgendes beim Bearbeiten der Übungsaufgaben:

• Es handelt sich eher um rein mathematische Aufgaben und weniger um Aufgaben mit einem wirklichen Anwendungsbezug. Reale Anwendungsaufgaben sind meist komplizierter als das, was wir in der Studienvorbereitung behandeln (können). Solche Aufgaben warten dann im Studium auf Sie.
• Gleichzeitig werden wir mit den Aufgaben und Erklärungen nicht in die mathematische Tiefe vordringen. Das Ziel dieses Lernmoduls ist, die Anforderungen, die im Studium auf Sie warten, möglichst verständlich vorzubereiten und zu begleiten. Dazu werden Konzepte erläutert, Zusammenhänge aufgezeigt und Rechenwege diskutiert. Das geht natürlich nicht ohne eine gewisse mathematische Basis und formale Genauigkeit. Der Fokus der folgenden Kapitel liegt aber immer auf Anschaulichkeit und Klarheit.
• Die Aufgaben sind zum großen Teil so gestaltet, dass sie ohne die Hilfe eines Taschenrechners zu lösen sind. Meistens benötigen Sie rechnerisch nicht (viel) mehr als Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 100 und das kleine Einmaleins. Gerade in diesem Trainingsbereich empfehlen wir es sehr, den Taschenrechner mal beiseitezulegen - aus folgenden Gründen:
  • Es ist sehr wichtig, Größenordnungen abschätzen bzw. überschlagen zu können, um Ergebnisse vom Taschenrechner zu plausibilisieren. Es ist ja nicht soooo unwahrscheinlich, dass man sich mal vertippt oder das Dezimalkomma vergisst ...
  • Spätestens wenn Variablen ins Spiel kommen, helfen "normale" wissenschaftliche Taschenrechner nur noch wenig weiter. "Moderne" wissenschaftliche Taschenrechner können zwar mit Variablen umgehen, aber das hilft in der Klausur meist nicht, da eigentlich immer ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert ist.
  • Es gibt Anhaltspunkte dafür, dass man mathematische Konzepte (wie beispielsweise "Wurzel ziehen") besser versteht, wenn man sie nicht von Anfang an mit einer Taste auf dem Taschenrechner verbindet.
  • Und zuletzt: Aus mathematisch-formaler Sicht ist es auch gar nicht nötig, Ergebnisse als Dezimalzahl darzustellen: $\frac {1}{3}$ bzw. $\sqrt{2}$ u. Ä. sind exakter als Dezimalzahlen - was in der Mathematik grundsätzlich begrüßt wird.
    
    
• Nicht alle Aufgaben, die Ihnen in den nächsten Kapiteln begegnen, sind lösbar. Die Erkenntnis, dass eine Aufgabe keine Lösung hat und welche Gründe das hat, ist ja auch nicht unwichtig oder uninteressant - eher im Gegenteil ...
• Ganz wichtig: Die Aufgaben beziehen sich immer auf alle Themen, die zuvor behandelt wurden, nicht nur auf das Thema des entsprechenden Kapitels.
• Teilweise hilft es, ein wenig "rückwärts" oder "um die Ecke" zu denken ...

Grundsätzliche Tipps - sowohl für die Studienvorbereitung als auch für das Studium:

• Lesen Sie sich die Aufgaben gründlich durch!
• Stellen Sie fest, was gegeben und was gesucht ist!
• Manche Aufgaben lassen sich eher mit etwas Nachdenken und weniger mit viel Rechnen lösen!
• Überprüfen Sie Ihre Lösungen kritisch!

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg mit der Mathematik!

Zum Abschluss des Einstiegs

Wenn Sie Fehler in den Kapiteln finden, die sich trotz aller Sorgfalt nie ganz ausschließen lassen, bin ich über eine kurze Rückmeldung an xenia.jeremias@th-wildau.de dankbar!

Autorin dieses Lernmoduls: Dr. Xenia Valeska Jeremias, bis 14.11.2011 Mitarbeiterin am FB Holztechnik der Hochschule für nachhaltige Entwicklung Eberswalde - seit 15.11.2011 Mitarbeiterin im Zentrum für Studium und Lehre der Technischen Hochschule Wildau

Danksagung: Ich danke Prof. Dr. Johannes Creutziger von der HNE Eberswalde, meinen Kolleginnen/Kollegen Roger Faulhaber, Frederik Freckmann, Johanna Gröpler, Jacqueline Pudör, Christian Rabe und Birgit Sellmer sowie meinen studentischen Hilfskräften der TH Wildau für viele Korrekturen und hilfreiche Anmerkungen!

Dieses Lernmodul ist lizenziert unter .

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Mengen
• Zahlenbereiche
• Intervalle
• n-Tupel

2.1 Grundlagen - Mengen u. a.

In den folgenden Abschnitten wird es um einige Grundlagenbegriffe gehen, die später in verschiedenen Zusammenhängen wichtig werden. Das Kapitel hat nicht den Anspruch, ein mathematisch umfassendes Bild von Mengen etc. aufzuzeigen, sondern vielmehr, Ihnen eine Idee zu vermitteln, was Ihre Mathematikdozenten und -dozentinnen meinen, wenn sie beispielsweise etwas in geschweifte Klammern schreiben oder von n-Tupel reden.

Vorab

Ist eine Zahl $x$ größer als $0$, geschrieben $x>0$, nennt man sie positiv.
Ist eine Zahl $x$ größer oder gleich $0$, geschrieben $x \geq 0$, nennt man sie nichtnegativ.
Ist eine Zahl $x$ kleiner als $0$, geschrieben $x < 0$, nennt man sie negativ.
Den Begriff nichtpositiv für Zahlen, die $x$ kleiner oder gleich $0$ sind, geschrieben $x \leq 0$, verwendet man nicht oder nur sehr selten - aus welchen Gründen auch immer ...

Wichtig: $0$ ist weder positiv noch negativ.

Und noch ein wichtiges Zeichen: $\neq$ bedeutet "ungleich". Beispielsweise ist $3\neq 14$, also "$3$ ungleich $14$".

Mengen

Grundlegendes zu Mengen

Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Es muss entscheidbar sein, ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht. Die Reihenfolge der Elemente ist hingegen nicht von Belang.
Die etwas "unmathematische" Vorstellung: Man hat einen Beutel, in den man Objekte hineinlegt. Entscheidend ist dann die Frage: Ist das Objekt im Beutel enthalten oder nicht? Diese Vorstellung passt auch deswegen, weil Objekte in einem Beutel durcheinander fallen, also keine festgelegte Reihenfolge haben.

Zur Notation: Mengen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, besonders $M$ wird (naheliegenderweise) gerne verwendet. Hat man mehrere Mengen, die $M$ heißen sollen, kann man für die Unterscheidung einen so genannten Index, also eine kleine, tiefgestellte Zahl, zum Durchnummerieren verwenden (Plural von Index ist Indizes, gesprochen: "Indizees"). Für die Angabe der Elemente verwendet man geschweifte Klammern, z. B.

• $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeutet: Die Menge, die die Elemente $1$, $2$ und $3$ (und sonst nichts) enthält.
• $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ bedeutet: Die Menge aller positiven, ungeraden Zahlen. Die drei Punkte $\ldots$ am Ende verwendet man, da es unendlich viele positive, ungerade Zahlen gibt und man eben nicht alle aufschreiben kann.  
• $M_3=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n,m \; \text{ungerade}\right\}$ bedeutet: Die Menge aller Brüche (das ist der Teil vor dem $\vert$ ) mit der Eigenschaft, dass Zähler und Nenner ungerade Zahlen sind (das ist der Teil nach dem $\vert$ ). Z. B. sind $\frac{1} {5}$ und $\frac{9}{3}=3$ in dieser Menge enthalten.

Es gibt verschiedene Aspekte, in denen sich Mengen unterscheiden können:

• Sie können entweder über eine Aufzählung von Elementen (wie bei Mengen $M_1$ und $M_2$) oder über erklärende Eigenschaften (wie bei Menge $M_3$) definiert werden.
• Mengen können endlich viele Elemente (siehe Menge $M_1$) oder unendlich viele Elemente (siehe Mengen $M_2$ und $M_3$) enthalten.

Vielleicht ist es überraschend: Eine ganz wichtige Menge ist die leere Menge, die keine Elemente enthält. Dafür schreibt man das Symbol $\emptyset$.

Und noch ein paar Symbole, die in diesem Zusammenhang wichtig sind:
Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man das Symbol $\in$. Z. B. meint $x \in M_1$ (gesprochen: "x ist Element von M 1"), dass $x$ Teil der Menge $M_1$ ist oder sein soll. $x$ könnte also $1$, $2$ oder $3$ sein.

Ein Symbol für das Gegenteil gibt es natürlich auch: Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert nicht Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man $\not \in$. Z. B. meint $0{,}5 \not\in M_2$ (gesprochen: "$0{,}5$ ist nicht Element von M 2"), dass $0{,}5$ nicht Teil der Menge $M_2$ ist. $0{,}5$ ist eben keine positive, ungerade Zahl.

Bemerkung 1: Um Missverständnissen vorzubeugen, ist es manchmal sinnvoll, Zahlen in einer Menge mit Semikolons zu trennen. Sonst könnte $M_1=\{1, 2, 3\}$ sowohl $M_1=\{1{,}2; 3\}$ als auch $M_1=\{1; 2{,}3\}$ oder $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeuten - und solche Mehrdeutigkeiten sind bei der Verständigung z. B. über Lösungswege sehr hinderlich und auch grundsätzlich in der Mathematik äußerst unbeliebt ...
Bemerkung 2: Üblich ist, die Elemente der Größe nach zu sortieren. Wenn Variablen enthalten sind, werden diese alphabetisch sortiert. Dies hat keine mathematischen Hintergründe (Die Reihenfolge spielt ja hier keine Rolle ...), sorgt aber dafür, dass man den Überblick behält - und das ist ja nie verkehrt!

Spezielle Mengen

Nun noch ein paar Begriffe, die wir später brauchen werden:
Die Schnittmenge $M_S$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Alle Elemente der Schnittmenge müssen in $A$ und in $B$ liegen. Mengen, deren Schnittmenge leer ist, nennt man disjunkt. Dann haben die Mengen keine gemeinsamen Elemente.
Beispiel: Nehmen wir $M_1$ und $M_2$ von oben. Nur die Elemente $1$ und $3$ sind in beiden Mengen enthalten, also besteht daraus ihre Schnittmenge. Mathematisch schreibt man das: $M_S=M_1\cap M_2=\{1;3\}$

Die Vereinigungsmenge $M_V$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in einer der beiden Mengen liegen.
Beispiel: Wir schauen wieder $M_1$ und $M_2$ von oben an. Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nehmen wir erst mal alle Elemente, die in $M_2$ enthalten sind (das sind schließlich mehr). Hinzukommt die $2$ aus der Menge $M_1$ . Um die $1$ und die $3$ aus $M_1$ brauchen wir uns nicht mehr zu kümmern, weil sie ja sowieso schon in $M_2$ enthalten sind. Mathematisch schreibt man das: $M_V=M_1\cup M_2=\{1; 2; 3; 5; 7; 9; \dots \}$

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn alle Elemente von $A$ auch in $B$ enthalten sind.
Beispiel: $M_4=\{3; 5; 9\}$ ist eine Teilmenge von $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ , weil $3$, $5$ und $9$ positive, ungerade Zahlen sind. Mathematisch schreibt man hier: $M_4 \subseteq M_2$ . Um genau zu sein, handelt es sich sogar um eine echte Teilmenge, da in $M_4$ nicht alle Elemente aus $M_2$ enthalten sind, z. B. ist die $1$ ein Element von $M_2$, aber nicht von $M_4$ . Auch hierfür gibt es (natürlich) eine mathematische Schreibweise: $M_4\subset M_2$ . Wenn man einfach von einer Teilmenge (ohne "echt") spricht, können die Mengen also auch gleich sein. Das deutet man bei $\subseteq$ durch den Strich unter dem Bogen an, der an ein Gleichheitszeichen erinnern soll.

Zahlenbereiche

Einige Mengen sind in der Mathematik so wichtig, dass sie eigene Symbole bekommen haben. Diese Symbole haben meistens irgendwo einen Doppelstrich. Beispiele für solch wichtige Mengen sind die verschiedenen Zahlenbereiche:

$\mathbb{N}$: Menge der natürlichen Zahlen, also $0$, $1$, $2$, ...

$\mathbb{Z}$: Menge der ganzen Zahlen, also ..., $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, ...

$\mathbb{Q}$: Menge der rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die sich als Bruch und damit als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen lassen, mathematisch formuliert: $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n, m \in \mathbb{Z}\textrm{; } m \neq 0 \right\}$, z. B. $-4$, $0$, $0{,}\overline{1}$, $0{,}3$, $\frac13$, $\frac22$, $2.000$, ...

$\mathbb{R}$: Menge der reellen Zahlen. Zusätzlich zu den rationalen Zahlen sind hier alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen enthalten, z. B. $0{,}1010010001...$, $\sqrt{2}$, $\sqrt [3]{5}$, $\pi$, ...
Diese "zusätzlichen" Zahlen werden irrationale Zahlen genannt.

Diese Zahlenbereiche sind so gestaltet, dass sie jeweils echte Teilmengen voneinander sind: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen und die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum ist das so? Da in den reellen Zahlen alle Brüche (und noch viel mehr Zahlen) enthalten sind, sind natürlich auch die periodischen und endlichen dabei, sprich die rationalen Zahlen. Bastelt man in den rationalen Zahlen einen Bruch mit dem Nenner $1$, also z. B. $\frac{4}{1}=4$ , landet man bei einer ganzen Zahl. Jede nichtnegative, ganze Zahl ist gleichzeitig eine natürliche Zahl.
Wer möchte, kann das mathematisch so aufschreiben: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Benennung von Variablen

Für den besseren Überblick werden Variablen

• aus der Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen meist $n$ oder $m$,
• aus der Menge der rationalen Zahlen meist $p$ oder $q$ sowie
• aus der Menge der reellen Zahlen meist $x$, $y$ oder $z$

genannt. Es ist natürlich nicht verpflichtend, Variablen so zu benennen - manchmal geht es auch gar nicht ... Diese Namenskonventionen haben sich nur eingebürgert, weil es damit einfacher ist, den Überblick zu behalten, welche Variable aus welchem Zahlenbereich stammt.

Zur Notation: Im Zusammenhang mit den Zahlenbereichen werden häufig weitere Symbole und Schreibweisen verwendet, u. a.

• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $+$ bedeutet, dass nur der positive Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ($0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^+$ (gesprochen: "R plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer als $0$ sind.
• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $-$ bedeutet, dass nur der negative Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ($0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^-$ (gesprochen: "R minus") die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als $0$ sind.
• Eine hinter dem Zahlenbereichssymbol tiefgestellte $0$ bedeutet, dass die $0$ in den Zahlenbereich eingeschlossen wird, z. B. meint $\mathbb{R}^+_0$ (gesprochen: "R null plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $0$ sind. Das ist natürlich nur dann nötig, wenn die $0$ ansonsten nicht in dem Zahlenbereich enthalten wäre.
• Möchte man einzelne Zahlen oder Intervalle aus einem Zahlenbereich ausschließen, verwendet man $\setminus$ , z. B. meint $\mathbb{R} \setminus_{ \{0\} }$ (gesprochen: "R ohne null") die Menge der reellen Zahlen ohne die Zahl $0$.

Bemerkung: Manchmal werden auch andere (ähnliche) Symbole verwendet. Es sollte dann zu Beginn des Textes erklärt sein, welches Symbol für welchen Zusammenhang verwendet wird.

Intervalle

Definition: Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei gegebenen Zahlen $a$ und $b$ liegen, wobei $a$ sein muss. Diese Bedingung $a$ bedeutet dabei nur, dass der untere Rand kleiner sein muss als der obere. Anders gesagt: Ein Intervall ist eine Menge von reellen Zahlen ohne Lücken.
Man unterscheidet abgeschlossene, halboffene und offene Intervalle: Bei offenen Intervallen sind die Randwerte nicht im Intervall enthalten. Abgeschlossene Intervalle umfassen auch die Randwerte. Halboffene Intervalle beinhalten einen der beiden Randwerte.

Zur Notation: Leider ist die Notation hier nicht ganz eindeutig: Man verwendet für die Darstellung von Intervallen eckige und teilweise auch runde Klammern. Nach innen gerichtete eckige Klammern schließen den Randwert in das Intervall ein. Nach außen gerichtete eckige Klammern und innen gerichtete runde Klammern schließen den Randwert aus. Da $+\infty$ (also "plus unendlich") und $-\infty$ (also "minus unendlich") keine (reellen) Zahlen sind, muss das Intervall hier immer offen bzw. halboffen sein. Hier ein paar Beispiele:

• Das abgeschlossene Intervall $\lbrack -1;2 \rbrack$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
  Wenn man die Mengenschreibweise von oben wiederholen möchte, kann man dafür auch $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x \leq 2\}$ schreiben.

• Das halboffene Intervall $[-1;2[$ bzw. $[-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner $2$ sind. Die $2$ selber ist in dem Intervall nicht enthalten. Wichtig: Das bedeutet nicht, dass das Intervall bei $1$ endet! Zwischen $1$ und $2$ liegen ja noch ganz viele weitere reelle Zahlen (z. B. $1{,}000001$; $\sqrt{2}$; $1{,}5$; $\frac{17}{9}$ ), die alle in diesem Intervall enthalten sind.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x < 2\}$
• Das halboffene Intervall $]-1;2]$ bzw. $(-1;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x \leq 2\}$
• Das halboffene Intervall $]-\infty;2]$ bzw. $(-\infty;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer $-\infty$ und kleiner oder gleich $2$ sind. Man benötigt diese Schreibweise z. B., wenn man mithilfe eines Intervalls alle Zahlen beschreiben möchte, die kleiner oder gleich $2$ sind. Da das Intervall ja auch eine untere Grenze braucht, nicht nur eine obere, schreibt man dort $-\infty$.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -\infty < x \leq 2\}$

• Das offene Intervall $]-1;2[$ bzw. $(-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner, aber nicht gleich $2$ sind. In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x < 2\}$

• So etwas wie $[5;2]$ geht nicht, weil der untere Randwert kleiner sein muss als der obere.

Bemerkung: Auch bei Intervallen können das $\in$-und das $\not \in$-Zeichen verwendet werden, z. B. gelten $1{,}5 \in [1;2[$ und $2 \not \in [1;2[$

n-Tupel

Definition: Ein n-Tupel ist eine geordnete Liste von $n$ Zahlen.
Geordnet bedeutet, dass (anders als bei Mengen) die Reihenfolge, in der die Zahlen notiert sind, wichtig ist. $(1;2)$ bedeutet also etwas Anderes als $(2;1)$. Deswegen darf man hier natürlich auch nicht der Größe nach sortieren, wie es für Mengen empfohlen wird.
Statt 2-Tupel sagt man Paar und statt 3-Tupel Tripel.

Kartesisches Produkt von Mengen: Möchte man die Zahlenbereiche festlegen, aus denen die einzelnen Komponenten eines n-Tupels stammen sollen, so notiert man die entsprechenden Zahlenbereichssymbole mit dem Symbol $\times$ dazwischen. Soll beispielsweise die erste Komponente eines Zahlenpaars ein Element der reellen Zahlen und die zweite Komponente ein Element der positiven reellen Zahlen sein, schreibt man $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$.

Zur Notation: Man verwendet für die Darstellung von n-Tupeln runde Klammern, z. B.

• $(1{,}5;-4{,}3)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $1{,}5$ und dessen zweite Komponente $-4{,}3$ ist. So könnte z. B. ein Punkt in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem beschrieben werden.
• $(7;7)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $7$ und dessen zweite Komponente auch $7$ ist. So etwas könnte bei Mengen nicht passieren.
• $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right)$ ist ein Zahlentripel, dessen erste Komponente $\frac{1} {2}$ , dessen zweite Komponente $\frac{1} {3}$ und dessen dritte Komponente $\frac{1} {4}$ ist. Hierbei könnte es sich um einen Punkt in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem handeln.
• $(-12;0;5;28;-35)$ ist ein 5-Tupel, dessen erste Komponente $-12$, dessen zweite Komponente $0$, dessen dritte Komponente $5$, dessen vierte Komponente $28$ und dessen fünfte Komponente $-35$ ist. Solche Angaben werden später bei Vektoren wichtig.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Bezeichnungen
• Rechnen mit rationalen Zahlen
• Quadratzahlen
• Teilbarkeitsregeln
• Runden

2.2 Grundlagen - Grundrechenarten

Wie der Name schon sagt, sind die Grundrechenarten die Grundlage aller weiteren Rechenoperationen. Daher lohnt es sich, einen Blick drauf zu werfen ... 

Bezeichnungen 

Die folgenden Bezeichnungen helfen, wenn über Rechnungen und Aufgaben gesprochen wird. Beispielsweise ist die Aussage "Einer der Summanden ist $3$." eindeutig und deutlich weniger umständlich als "Eine der Zahlen, die vor oder hinter dem Pluszeichen steht, ist $3$." Ebenso ist es bei "der Quotient aus $x$ und $y$" im Vergleich zu "das Ergebnis, das ich erhalte, wenn ich $x$ durch $y$ teile".
Die Bezeichnungen Minuend, Subtrahend, Dividend und Divisor werden weniger häufig verwendet. Man sollte aber zumindest wissen, zu welcher Rechenart sie gehören:

Dass man durch $0$ nicht teilen darf, ist hinlänglich bekannt. Warum ist das so? Die Division beantwortet die Frage "Wie oft muss man den Divisor vom Dividend abziehen, damit das Ergebnis $0$ ist?" Beispiel: $10 : 5$ Wir rechnen $10-5-5 = 0$. Die Antwort ist also $2$. Hätten wir $10 : 0$, kämen wir nie zu einer Antwort.
Ein praxisnäheres Beispiel: Wie verteilt man $10$ Objekte auf $5$ Plätze? Die Antwort: Auf jeden Platz kommen $2$ Objekte. Die Frage "Wie verteilt man $10$ Objekte auf $0$ Plätze?" lässt sich hingegen nicht sinnvoll beantworten.

Wichtig: Sobald Variablen ins Spiel kommen, sieht man manchmal nicht mehr so leicht, ob ein Divisor $0$ ist. Dann müssen spezielle Überlegungen angestellt werden, um diese Fälle auszuschließen.

Manchmal darf man auch ein bisschen faul sein bei der Notation: Solange Missverständnisse ausgeschlossen sind, darf der "Malpunkt" weggelassen werden:

• Beispielsweise meinen $a(b+c)$ und $a \cdot (b+c)$ dasselbe. Bei $5 \, t$ und $5 \cdot t$ ist das ebenso. Logischerweise muss bei Aufgaben wie $4 \cdot 7$ der "Malpunkt" immer hingeschrieben werden ...
• Auch kann der Faktor $1$ bei der Multiplikation weggelassen werden, z. B. ist $x = 1x = 1 \cdot x$.

Es ist in beiden Fällen natürlich nie falsch, den "Malpunkt" einfach mit hinzuschreiben.

Weitere Begriffe

Definition: Die Gegenzahl bzw. das Negative einer Zahl $a$ ist $-a$ . Es gilt: $a+(-a)=0$.
Bemerkung: $-a$ muss nicht kleiner $0$ sein. Im Gegenteil: Für alle negativen Zahlen ist die Gegenzahl positiv, z. B. ist $4$ die Gegenzahl zu $-4$.

Definition: Der Betrag einer Zahl $a$ , in einer Formel: $\left| a\right|$, ist ihr absoluter Wert. D. h. für positive Zahlen und $0$ entspricht der Betrag einer Zahl $a$ der Zahl selber, also $\left| a \right| = a$. Für negative Zahlen entspricht der Betrag einer Zahl $a$ ihrer Gegenzahl, also $\left| a \right| = -a$. Wichtig ist der Betrag z. B. bei Abstandsberechnungen, weil es dabei ja nur auf die absolute Entfernung ankommt und nicht auf die Richtung, in der diese Entfernung durchlaufen wird. Der Betrag, so wie er hier definiert ist, liefert für jede Zahl ihren Abstand vom Nullpunkt.

Definition: Der Kehrwert zu einer Zahl $a$ ist $\dfrac{1} {a}$. Man sagt auch $a$ und $\dfrac{1} {a}$ sind reziprok zueinander. Es gilt: $a \cdot \dfrac{1}{a}=1$.
Bemerkung 1: Da durch $0$ nicht geteilt werden darf, muss hierbei $a \neq 0$ gelten.
Bemerkung 2: $\frac {1}{a}$ muss nicht kleiner $1$ sein, z. B. ist $2$ der Kehrwert zu $\frac{1} {2}$.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Es ist sehr wichtig, die folgenden Rechenregeln zu kennen, auch wenn in vielen Fällen natürlich der Taschenrechner weiterhilft. Sobald nämlich Variablen in den Rechnungen auftauchen, stoßen Taschenrechner sehr schnell an ihre Grenzen ...

Rechenregeln für die Addition rationaler Zahlen

Haben die beiden Summanden das gleiche Vorzeichen, werden die Beträge addiert. Die Summe bekommt das gemeinsame Vorzeichen.
Haben die beiden Summanden unterschiedliche Vorzeichen, zieht man den betragsmäßig kleineren Summanden vom betragsmäßig größeren ab. Die Summe bekommt das Vorzeichen des Summanden, der den größeren Betrag hat.

Die Subtraktion entspricht der Addition der Gegenzahl.

Das bedeutet konkret:

$\begin{array}{rcrcccc} 20+7 &=& 27 &=& +20+(+7) &=& +20-(-7) \cr \cr 20-7 &=& 13 &=& +20+(-7) &=& +20-(+7) \cr \cr -20+7 &=& -13 &=& -20+(+7) &=& -20-(-7) \cr \cr -20-7 &=& -27 &=& -20+(-7) &=& -20-(+7) \end{array}$

Rechenregeln für die Multiplikation rationaler Zahlen

Haben die beiden Faktoren das gleiche Vorzeichen, werden die Beträge multipliziert. Das Produkt ist positiv.
Haben die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen werden die Beträge multipliziert. Das Produkt ist negativ.

Kurze Merkregeln:

• "minus mal minus ist plus" bzw. "plus mal plus ist plus"
• "plus mal minus ist minus" bzw. "minus mal plus ist minus"

Die Division entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert.

Das bedeutet konkret:

$\begin{array}{rcccrcccl} 3 \cdot 9 &=& +3 \cdot (+9) &=& 27 &=& +3 : \left(+\frac{1}{9}\right) &=& 3 : \frac{1}{9} \cr \cr3 \cdot (-9) &=& +3 \cdot (-9) &=& -27 &=& +3 : \left(-\frac{1}{9}\right) &=& 3 : \left(-\frac{1}{9}\right) \cr \cr -3 \cdot 9 &=& -3 \cdot (+9) &=& -27 &=& -3 : \left(+\frac{1}{9}\right) &=& -3 : \frac{1}{9} \cr \cr & & -3 \cdot (-9) &=& 27 &=& -3 : \left(-\frac{1}{9}\right) \end{array}$

Bemerkung 1: "Überzählige" Pluszeichen (also Pluszeichen, die nur eine Vorzeichen- und keine Rechenfunktion haben) müssen nicht hingeschrieben werden.
Bemerkung 2: Immer, wenn ein Rechen- und ein Vorzeichen aufeinandertreffen, werden Klammern gesetzt.

Um die Regel “minus mal plus ist minus” ein bisschen plausibler zu machen, schauen wir uns Addition und Subtraktion auf dem Zahlenstrahl an:
Addiert man eine positive Zahl, beispielsweise $2$, lässt sich dies auf dem Zahlenstrahl als $2$ Schritte nach rechts veranschaulichen. Addiert man die gleiche Zahl mehrfach, wiederholt man diese Schritte. Das kann man als Multiplikation auffassen. Beispiel: $2+2+2 = 6$ ergibt das Gleiche wie $3\cdot 2 = 6$.

Subtrahiert man eine positive Zahl, beispielsweise $2$, lässt sich dies auf dem Zahlenstrahl als $2$ Schritte nach links veranschaulichen. Subtrahiert man die gleiche Zahl mehrfach, wiederholt man ebenfalls diese Schritte. Auch das kann man als Multiplikation auffassen. Beispiel: $-2-2-2 = -6$ ergibt das Gleiche wie $3\cdot (-2) = -6$. Man sieht also, dass die Multiplikation einer positiven mit einer negativen Zahl zu einem negativen Ergebnis führt.

Wichtig sind auch die Quadrat- und Kubikzahlen:

Bemerkung: In vielen Fällen wird ein Punkt gesetzt, um die einzelnen Tausender voneinander abzugrenzen. Manchmal wird stattdessen auch eine kleine Lücke in der Zahl gelassen. Verpflichtend ist beides nicht. Hauptsache, große Zahlen bleiben übersichtlich ...

Teilbarkeitsregeln

Vorab ein paar Begriffe:
Eine Zahl, die ohne Rest durch $2$ teilbar ist, nennt man gerade Zahl. Bleibt beim Teilen durch $2$ ein Rest, nennt man die Zahl ungerade.
Die Quersumme einer Zahl berechnet man, indem man einfach alle Ziffern addiert, z. B. ist die Quersumme von $123$: $1+2+3=6$

Die folgenden Regeln sind insofern bemerkenswert, weil sie Aussagen über die Teilbarkeit kompletter Zahlen ermöglichen - und dafür nur Teilinformationen heranziehen. Z. B. reicht es für die Aussage "$123.456$ ist durch $2$ teilbar." aus, die letzte Ziffer, nämlich die $6$, zu betrachten. Alle anderen Ziffern müssen gar nicht angeschaut werden. Sie sind nicht relevant. "Teilbar" meint hier immer "teilbar ohne Rest".
Diese Regeln werden sowohl bei der Bruchrechnung als auch bei Potenzen sehr weiterhelfen.

Eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist, nennt man Primzahl. Jede Zahl ist durch $1$ und sich selbst teilbar - das Besondere an Primzahlen ist, dass sie keine weiteren Teiler haben.

Runden

Gerundet wird u. a., um die Anzahl der Nachkommastellen zu reduzieren oder wenn nur die Größenordnung einer Zahl, nicht aber der exakte Wert wichtig ist. Fürs Runden gibt es folgende Regeln:

• Abrunden: Ist die erste wegzulassende Dezimalstelle kleiner als $5$, wird abgerundet.
• Aufrunden: Ist die erste wegzulassende Dezimalstelle größer oder gleich $5$, wird aufgerundet.

Nach dem Runden ist es wichtig, das Ungefährzeichen $\approx$ anstelle des Gleichheitszeichens $=$ zu verwenden, weil durch das Runden ja Genauigkeit verloren geht.

Ein paar Beispiele:
Beim Runden auf eine Nachkommastelle ist die zweite Nachkommastelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{rcl}1{,}44 &\approx& 1{,}4 \cr 2{,}48 &\approx& 2{,}5 \cr 5{,}12693 &\approx& 5{,}1 \end{array}$

Beim Runden auf drei Nachkommastellen ist die vierte Nachkommastelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{ccrcl} & & 10{,}12348 &\approx& 10{,}123 \cr & & 8{,}8767 &\approx& 8{,}877 \cr 129{,} \overline3 &=& 129{,}3333 \ldots &\approx& 129{,}333 \end{array}$

Es kann auch auf ganze $100.000$ gerundet werden. Dann ist die $10.000$er Stelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{rcl}872.146 &\approx& 900.000 \cr 927.549 &\approx& 900.000 \cr 590.190{,}12 &\approx& 600.000 \end{array}$

Natürlich könnte man auch auf andere Stellen runden.

Wichtig: Runden Sie bei komplexeren Aufgaben nicht zu früh, sondern rechnen Sie so lange wie möglich mit den exakten Werten, weil sich sonst die Rundungsfehler sehr schnell zu problematischen Größenordnungen anhäufen. Ein (zugegebenermaßen leicht übertriebenes) Beispiel:
$1.200\cdot 0{,}003 = 3{,}6$
Rundet man die $0{,}003$ korrekt auf zwei Stellen nach dem Komma, erhält man $0$. Aus unserer Rechnung würde dann $1.200\cdot 0 = 0$
Dass dies kein geschicktes Vorgehen ist, wird spätestens dann deutlich, wenn man sich überlegt, was in dieser Rechnung mit anderen Faktoren passieren würde: Es ist nun völlig egal, ob man $1.200$ mit der "gerundeten $0{,}003$" multipliziert oder $-10.819$ oder $6{,}841841$ - das Ergebnis ist immer $0$.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Punkt- geht vor Strichrechnung
• Kommutativgesetz
• Assoziativgesetz
• Distributivgesetz
• Ausmultiplizieren
• Ausklammern
• Klammern

2.3 Grundlagen - Rechengesetze

Die Gesetze, die in diesem Kapitel besprochen werden, sind ein wenig wie die Regeln im Fußball: Im Sport wird mit den Regeln der zulässige Umgang mit dem Ball und den Mitspielenden festgelegt - in der Mathematik der zulässige Umgang mit Zahlen, Variablen etc. In beiden Fällen entscheidet die Einhaltung der Regeln darüber, ob man ein zulässiges Ergebnis erhält ...
Viele dieser Rechenregeln klingen eher unspektakulär - teilweise sicher auch, weil sie uns so in Fleisch und Blut übergegangen sind, dass wir gar nicht immer merken, wenn wir sie anwenden. Dieses Kapitel soll sie noch mal ins Bewusstsein rufen. Gleichzeitig macht es deutlich, dass diese Rechengesetze nicht selbstverständlich sind. Wenn im Verlauf der Mathematikausbildung weitere mathematische Objekte wie Vektoren und Matrizen hinzukommen, muss immer wieder die Frage gestellt werden, ob die Gesetze, die wir hier als "normal" ansehen, dafür auch gelten - und nicht überall ist das dann auch tatsächlich der Fall.

Das vielleicht wichtigste Rechengesetz zuerst: Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Das heißt: Eine Kombination aus Summe/Differenz und Produkt/Quotient lässt sich nicht einfach von links nach rechts zusammenfassen.
Nur Klammern können diese Reihenfolge ändern.

Klammern sind also in vielen Fällen unerlässlich, weil sie und zwar nur sie die "normale" Rangfolge der Rechenoperationen ändern können. Ein paar Beispiele:

Sie sehen, dass es tatsächlich einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge man die Rechenoperationen anwendet. Wichtig ist also, nicht einfach "drauf los" zu rechnen, sondern sich die Struktur der Aufgaben erst in Ruhe anzuschauen. Wenn man weiß, was auf einen zukommt, ist es viel einfacher, den Überblick zu behalten und die Rangfolge nicht durcheinander zu bringen.
Das ist nicht nur bei solch einfachen Rechnungen so, wo man den Unterschied recht schnell sieht, sondern erst recht dann, wenn die Rechnungen komplexer werden bzw. Variablen ins Spiel kommen. Anders gesagt: Beachtet man die Rangfolge der Rechenoperationen nicht, passieren quasi zwangsläufig Fehler. Manchmal sieht man die Fehler früher, manchmal später und manchmal fallen sie gar nicht auf ...
Das bedeutet zum Beispiel auch, dass Sie zwingend daran denken müssen, Klammern zu setzen, wenn im Laufe einer Rechnung mit einer Summe oder Differenz multipliziert werden muss. Dass Sie mit einer Summe oder Differenz multiplizieren müssen, wird häufig bei vielen verschiedenen Themen vorkommen, z. B. beim Lösen einer Bruchgleichung, wo mit dem Nenner multipliziert werden muss, oder beim Ableiten von verketteten Funktionen, wo mit der inneren Ableitung multipliziert werden muss. Es ist daher extrem wichtig, dass Sie sich jetzt schon mit diesen Rechenregeln vertraut machen - denn niemand wird Ihnen bei solchen Aufgaben im Studium sagen, dass Sie an die Klammern denken sollen …

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a,b \in \mathbb{R}$:

Im Gegensatz zur Addition und Multiplikation sind die Subtraktion, die Division und die Potenzierung im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ.

Hinweis: Bei allen folgenden Beispielen müssen die Gleichungen von außen nach innen gelesen werden.
Beispiele für kommutative Rechenoperationen

Beispiele für nicht kommutative Rechenoperationen

Das Kommutativgesetz ist nicht in allen Situationen so selbstverständlich, wie es manchmal scheint. Gerade im Alltag gibt es viele Situationen, in denen Handlungen oder Vorgehensweisen nicht vertauschbar sind. Denken Sie beispielsweise daran, was passieren würde, wenn Sie morgens erst die Jacke und dann das Unterhemd anziehen oder erst die Marmelade und dann die Butter aufs Brot streichen ...

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz wird auch Verknüpfungs- oder Klammergesetz genannt.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a, b \in \mathbb{R}$:

Im Gegensatz zur Addition und Multiplikation sind die Subtraktion, die Division und die Potenzierung im Bereich der reellen Zahlen nicht assoziativ.

Hinweis: Auch hier muss wieder von außen nach innen gelesen werden.
Beispiele für assoziative Rechenoperationen

Beispiele für nicht assoziative Rechenoperationen

Das Assoziativgesetz, das ja besagt, dass es in bestimmten Situationen egal ist, wie man bei gleichartigen Rechenoperationen die Klammern setzt, gilt glücklicherweise für sehr viele Rechenoperationen. Wichtig: Kommen verschiedene Rechenoperationen zusammen, ist es meist überhaupt nicht egal, wie die Klammern gesetzt werden!
Auch in der Sprache ist das grundsätzlich anders: Beim Wort "Wollhosenträger" kann man nicht ohne Weiteres entscheiden, ob es sich um einen Hosenträger aus Wolle oder um den Träger einer Wollhose handelt ...

Das Assoziativgesetz ist der Grund, warum $-(a \cdot b) = -1 \cdot (a \cdot b) = -1 \cdot a \cdot b = -ab$ gilt.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz stellt eine Verknüpfung zwischen verschiedenen Rechenoperationen her, z. B. zwischen Multiplikation und Addition bzw. Subtraktion.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a,b,c \in \mathbb{R}$:

Erklärung: Das Zeichen $\pm$ (gesprochen: "plusminus") ist eine abkürzende Schreibweise und bedeutet, dass die Gleichung sowohl gilt, wenn an dieser Stelle ein $+$ steht als auch, wenn dort ein $-$ steht. Man liest in der Gleichung entweder bei allen Doppelzeichen das Obenstehende oder bei allen Doppelzeichen das Untenstehende.

Hinweis: Lesen Sie bitte wieder von außen nach innen.
Beispiele für distributive Rechenoperationen

Beispiel für nicht distributive Rechenoperationen

Eine direkte Folge des Distributivgesetzes ist das sogenannte Ausmultiplizieren (auch "Klammern auflösen" genannt): $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.
Beim Ausmultiplizieren muss man also jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multiplizieren. Beispiel:
$\begin{array}{rcl}(5-14)\cdot(-10+1) &=& 5\cdot(-10) + 5\cdot 1+(-14)\cdot(-10)+(-14)\cdot 1 \cr &=& -50+5+140-14 \cr &=& 81 \end{array}$
Alternativ hätte man hier natürlich auch einfach $(5-14)\cdot(-10+1) = -9\cdot(-9) = 81$ rechnen können ... Sobald Variablen ins Spiel kommen, geht es aber nicht mehr ohne die Formel oben.

Wendet man die Rechenvorschrift von rechts nach links an, heißt der Vorgang Ausklammern oder Faktorisieren. Der Begriff "Faktorisieren" macht deutlich, dass dadurch ein Produkt entsteht.
Beim Ausklammern muss man zuerst alle Summanden so weit wie möglich in Faktoren zerlegen. Der größte gemeinsame Faktor kann dann vor die Klammer gezogen werden. Den "Rest" jedes Summanden schreibt man in die Klammer. Alternativ kann man jeden Summanden durch den größten gemeinsamen Faktor dividieren, um zu ermitteln, was in der Klammer stehen bleibt. Beispiel:
$\begin{array}{rcl} -60-\dfrac{5}{2}+35 &=& -5\cdot 12+(-5)\cdot\dfrac{1}{2}-5\cdot (-7) \cr &=& -5\left(12+\dfrac{1}{2}-7\right) \end{array}$
Wenn man jede Seite zusammenrechnet, erhält man $-\dfrac{55}{2} = -5\cdot\dfrac{11}{2}$. Passt!

Ausmultiplizieren und Ausklammen sind Gegenoperationen. Das bedeutet, dass sie sich gegenseitig aufheben. Wenn Sie also unsicher sind, ob Sie richtig ausgeklammert haben, können Sie die Probe durchführen, indem Sie die Klammer wieder ausmultiplizieren.

Das Distributivgesetz ist der Grund, warum ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen in der Klammer ändert: $-(-a+b) = -1 \cdot (-a+b) = -1 \cdot (-a) + (-1) \cdot (+b) = a-b$

Bitte beachten Sie den Unterschied zum roten Kasten beim Assoziativgesetz!

Bei $-x$ versteckt sich diese Rechenregel ein bisschen, aber $-x$ meint ja $-1\cdot x$ und ist damit auch eine Multiplikation. Wenn $x$ irgendeine Summe ist, z. B. $x = -4+17y$, müssen also unbedingt Klammern gesetzt werden: $-x = -(-4+17y) = -1\cdot(-4+17y) = -1\cdot(-4)+(-1)\cdot(+17y) = 4-17y$

Klammern sind wichtig!

Last but not least: Ein paar grundsätzliche Dinge zu Klammern:

• Da Klammern die einzige Möglichkeit sind, Einfluss auf die Rechenreihenfolge zu nehmen (siehe oben), sollte man sich immer sorgfältig überlegen, ob welche gebraucht werden. Das gilt vor allem dann, wenn verschiedene Rechenoperationen aufeinandertreffen. Dabei gilt: Einmal Klammern zu viel ist fast immer besser als einmal Klammern zu wenig! Wenn Sie sich nicht sicher sind, schreiben Sie also lieber Klammern hin.
  Auch der Taschenrechner berechnet exakt das, was Sie eingeben, und achtet dabei peinlich genau auf jede einzelne Klammer …
  
  
• Wenn ein Term ansonsten zu unübersichtlich werden würde, können Sie verschiedene Arten von Klammern nutzen, z. B. runde, eckige, geschweifte, spitze.
  Achtung: Bei Mengen, Intervallen und n-Tupel haben verschiedene Arten von Klammern unterschiedliche Bedeutungen! Hier darf also nicht "einfach so" eine andere Klammerart genutzt werden.
  
  
• Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst! Ein Beispiel:
  

  $4\cdot\left(\right.-$

  $\left(20\right.$

  $-$

  $\left(7+8\right)$

  $\left.\right)$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(2-6\right)$

  $\cdot$

  $\left(\frac{1}{2}+1\right)$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $\left(20\right.$

  $-$

  $15$

  $\left.\right)$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(2-6\right)$

  $\cdot$

  $\left(\frac{1}{2}+1\right)$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $5$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(-4\right)$

  $\cdot$

  $\frac{3}{2}$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $5$

  $-$

  $18$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.$

  $-22$

  $\left.\right)$

  $=$

  $-88$

  Achten Sie bitte darauf, dass in der dritten Zeile natürlich "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" gilt! Das Produkt $3\cdot\left(-4\right)\cdot\frac{3}{2}$ muss daher zuerst berechnet werden.
  
  
• Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Dafür wird es im Kapitel Bruchrechnung noch ein paar Beispiele geben.
  
  
• Und natürlich sollte es immer so viele öffnende Klammern wie schließende geben ...

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Proportional und Antiproportional
• Berechnung

2.4 Grundlagen - Dreisatz

Der Dreisatz, auch Verhältnisgleichung oder Schlussrechnung genannt, ist ein üblicherweise dreischrittiges Verfahren, mit dem aus drei gegebenen Größen eine vierte berechnet werden kann, wenn die Größen in einem bestimmten Verhältnis zueinanderstehen. Bereits Adam Ries beschrieb dieses Vorgehen im 16. Jahrhundert in seinen Rechenbüchlein.

Proportional und Antiproportional

Zunächst müssen wir zwei wichtige Formen von Verhältnissen klären.

Zwei Größen heißen proportional zueinander, wenn sie sich im gleichen Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Verdreifacht sich die eine Größe, verdreifacht sich auch die andere. Wird die eine Größe durch $5$ dividiert, wird auch die andere Größe durch $5$ dividiert. Und so weiter …
Merksätze: „Je mehr, desto mehr.“ oder „Je weniger, desto weniger.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Ursprungsgerade:

Zwei Größen heißen antiproportional (auch indirekt oder umgekehrt proportional) zueinander, wenn sie sich im umgekehrten Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Wird die eine Größe mit $3$ multipliziert, wird die andere durch $3$ dividiert. Wird die eine Größe durch $5$ dividiert, wird die andere mit $5$ multipliziert. Und so weiter …
Merksätze: „Je mehr, desto weniger.“ oder „Je weniger, desto mehr.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Hyperbel:

Berechnung

Ist ein Paar zusammengehörender Werte bekannt, kann über den Dreisatz ein zweites Paar berechnet werden, wenn dort nur ein Wert gegeben ist. Für die konkrete Berechnung schauen wir uns zwei Beispiele an.

Möchte man Eierkuchen für $3$ Personen backen, benötigt man $420\,g$ Mehl. Wie viel Mehl benötigt man für $8$ Personen?		Eine Tippgemeinschaft bestehend aus $5$ Personen hat im Lotto gewonnen. Jede/r von ihnen erhielt $55.800 \;\text{EUR}$. Wie viel Geld hätte jede/r gewonnen, wenn die Tippgemeinschaft aus $6$ Personen bestanden hätte?
Als erstes muss entschieden werden, ob eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung vorliegt.
Für doppelt so viele Personen werden doppelt so viele Eierkuchen, sprich doppelt so viel Mehl, benötigt. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung.		Besteht die Tippgemeinschaft aus doppelt so vielen Personen, ist der Gewinnanteil für jede Person nur halb so groß. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung.
1. Schritt: Zunächst müssen die gegebenen Werte in eine Art Gleichung geschrieben werden. Praktischerweise sollte dabei die Größe, deren Wert gesucht ist, auf der rechten Seite stehen. Bitte achten Sie darauf, dass zwischen den Werten kein Gleichheitszeichen, sondern ein "entspricht"-Zeichen $\begin{array}{rcl}\widehat{=}\end{array}$ stehen muss. $3$ Personen sind sicher nicht das Gleiche wie $420\,g$ Mehl ...
2. Schritt: Bei beiden Varianten wird als Zwischenschritt die Entspricht-Gleichung so umgeformt, dass auf der linken Seite $1$ "Einheit" steht, was auch immer diese Einheit ist. Hier wird also berechnet, wieviel Mehl für "$1$ Person" nötig ist bzw. wieviel Geld "$1$ Person" bekommen würde. Dazu wird der Wert auf der linken Seite entsprechend multipliziert oder dividiert. Achtung 1: Beim Dreisatz wird nur multipliziert und dividiert, nie addiert oder subtrahiert! Achtung 2: Abhängig davon, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, unterscheiden sich die Vorgehensweisen! Bei einer proportionalen Zuordnung wird auf der rechten Seite exakt die gleiche Rechenoperation durchgeführt wie links. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist die Gegenoperation nötig, sprich: Wird auf der linken Seite multipliziert, muss rechts dividiert werden und umgekehrt.
3. Schritt: Wir formen weiter um, sodass sich in der dritten Zeile links der aus der Aufgabenstellung gegebene Wert ergibt. Auf der rechten Seite steht dann das Ergebnis. Achtung: Ebenso wie oben unterscheiden sich hier die Vorgehensweisen für proportionale und antiproportionale Zuordnungen.
Ergebnis: Möchte man Eierkuchen für $8$ Personen backen, benötigt man $1.120\,g$ Mehl.		Ergebnis: Würde die Tippgemeinschaft aus $6$ Personen bestehen, bekäme jede/r nur $46.500\;\text{EUR}$.

Eine Erkenntnis zum Abschluss: Die Einheiten verändern sich bei Dreisatzrechnungen nicht. Das führt insbesondere dazu, dass untereinander immer gleiche Einheiten stehen.

Worauf man achten muss

Es gibt natürlich auch Fragestellungen, bei denen die Größen weder proportional noch antiproportional zueinander sind.

Ein Beispiel: Zwei Musiker spielen das Lied „Happy Birthday“ in $25$ Sekunden. Wie lange brauchen vier Musiker? Natürlich hat die Anzahl der Musizierenden keinen Einfluss auf die Dauer – die Aufgabe klingt also nur nach Dreisatz … Man muss sich also immer vor der Dreisatzrechnung davon überzeugen, dass die Größen tatsächlich voneinander abhängig sind.

Auch das Eierkuchenbeispiel von oben ist durchaus problematisch: Wir sind stillschweigend davon ausgegangen, dass die Portionsgrößen alle gleich sind, sprich dass alle gleich viel essen. Dies muss aber nicht so sein: Stellen Sie sich vor, es kommen zwei kleine Kinder und sechs ausgehungerte Jugendliche zum Essen … Dann werden die Portionsgrößen sehr unterschiedlich sein. Nur zu prüfen, ob es sich um eine "Je mehr, desto mehr"- oder um eine "Je mehr, desto weniger"-Zuordnung handelt, ist also zu wenig. Es muss sichergestellt sein, dass jede Einheit gleich groß ist, gleich viel kostet etc. Insbesondere wenn viele Faktoren eine Größe beeinflussen, ist das häufig schwierig festzustellen.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Das zweidimensionale Koordinatensystem
• Das dreidimensionale Koordinatensystem

2.5 Grundlagen - Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem ist ein geometrisches Schema, welches benutzt wird, um Punkte, Funktionsgraphen etc. eindeutig zu positionieren. In diesem Lernmodul werden nur Koordinatensysteme, bei denen die Achsen im rechten Winkel zueinanderstehen, verwendet. Man nennt sie auch kartesische Koordinatensysteme - nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes, der sich als einer der ersten intensiv mit ihnen beschäftigt hat und damit für ihre Verbreitung gesorgt hat.

Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem

Für zwei Dimensionen (sprich: für die Ebene) braucht man naheliegenderweise zwei Achsen. Die horizontale Achse nennen wir in einem solchen Fall Abszisse, die vertikale Achse Ordinate. Heißen die Variablen $x$ und $y$, sagt man statt Abszisse auch x-Achse und statt Ordinate auch y-Achse; bei anderen Variablenbezeichnungen entsprechend. Die Achsen sollten immer beschriftet werden. Wenn es sich anbietet, kann dazu der inhaltliche Zusammenhang einschließlich der entsprechenden Einheit verwendet werden, z. B. "Zeit in Stunden". Um die Darstellung im Koordinatensystem nicht zu verzerren, ist es meist hilfreich, auf beiden Achsen die gleiche Skaleneinteilung zu verwenden. Um das Koordinatensystem vollständig zu machen, bekommen die Achsen an ihrem positiven Ende einen kleinen Pfeil, der andeutet, dass auch größere Zahlenwerte betrachtet werden könnten.
Jeder Punkt in diesem Koordinatensystem hat eine eindeutige "Adresse", die aus zwei Koordinaten besteht: einer x-Koordinate und einer y-Koordinate. Man schreibt dafür $P \; (x \mid y)$. Wichtig dabei ist die Reihenfolge: Der erste Wert bezieht sich immer auf die x-Achse und gibt an, wie weit links oder rechts sich der Punkt befindet. Der zweite Wert bezieht sich immer auf die y-Achse und gibt an, wie weit oben oder unten sich der Punkt befindet. Formal gesehen ist ein Punkt also ein 2-Tupel oder Paar. Der Punkt $(0 \mid 0)$ heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung.
Punkte werden klassischerweise mit großen lateinischen Buchstaben, am liebsten mit $A$, $B$, $C$ und $D$ oder $P$, $Q$ und $R$, bezeichnet. Auch hier können Indizes verwendet werden. Für den Koordinatenursprung hat sich der Buchstabe $O$, vom lateinischen Wort origo für Ursprung, eingebürgert.

Schauen wir uns ein paar Punkte im Koordinatensystem (siehe Grafik rechts) an:

$P1 \; (1 \mid 2)$
$P2 \; (-3 \mid 8)$
$P3 \; (-6 \mid -4{,}5)$
$P4 \; (9 \mid -9)$

Das obere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 1. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte positiv.
Das obere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 2. Quadrant. Hier sind die x-Werte negativ und die y-Werte positiv.
Das untere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 3. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte negativ.
Das untere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 4. Quadrant. Hier sind die x-Werte positiv und die y-Werte negativ.

Bitte wundern Sie sich nicht über die Reihenfolge der Nummerierung. Drehungen entgegengesetzt des Uhrzeigersinns sind in der Mathematik die Regel und werden auch als "mathematisch positiv" bezeichnet. Warum man oben rechts angefangen hat zu zählen, ist vermutlich klar ;-).

Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem

Das Ganze gibt es (natürlich) auch mit drei Achsen, um mathematische Objekte im Raum beschreiben zu können. Wieder stehen (zumindest in diesem Lernmodul) diese Achsen senkrecht zueinander und schneiden sich im Punkt $O \; (0\mid 0 \mid 0)$. Sie können sich das wie die Ecke eines "normalen" Zimmers (ohne Dachschräge und so) vorstellen. In jeder Kante (Wand-Wand, Boden-Wand, Boden-andere Wand) liegt dann eine Achse.

Wenn wir bei den Bezeichnungen von oben bleiben, kommt zur x- und y-Achse nun die z-Achse hinzu. Gelegentlich werden sie auch $x_1$-, $x_2$- und $x_3$-Achse genannt oder die Bezeichnungen an den inhaltlichen Zusammenhang angepasst, aber das ändert logischerweise nichts an den Grundsätzen. Üblicherweise nutzt man die z-Achse, um die Höhe zu beschreiben, und die x- und y-Achse für die Grundfläche, wobei die x-Achse nach vorne und die y-Achse zur Seite zeigt. Dadurch entsteht ein so genanntes Rechtssystem oder auch rechtshändiges Koordinatensystem. D. h., wenn man den Daumen der rechten Hand in Richtung der x-Achse zeigen lässt, zeigen der Zeigefinger in Richtung der y-Achse und der Mittelfinger in Richtung der z-Achse.

Wichtig zu beachten ist, dass eine zweidimensionale Darstellung eines dreidimensionalen Objektes immer eine Verzerrung bewirkt. Im klassischen Schrägbild zeichnet man die x-Achse in einem Winkel von 135° zu den beiden anderen Achsen ein (schräg nach vorne), wobei die Einheiten dieser Achse um den Faktor $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ verkürzt werden. Meist beschränkt man sich auf die positiven Abschnitte der Achsen, weil das Gesamtbild sonst zu unübersichtlich würde.


Auch hier hat jeder Punkt anhand der Koordinaten eine "Adresse". Diese muss natürlich aus drei Komponenten bestehen - für jede Achsenrichtung eine. Um den Punkt $P \; (x\mid y \mid z)$ in das Koordinatensystem einzutragen, verfährt man folgendermaßen:

1. $x$ Einheiten parallel zur x-Achse abtragen (also nach vorne oder - wenn $x$ negativ ist - nach hinten)
2. von dort $y$ Einheiten parallel zur y-Achse abtragen (also nach rechts oder - wenn $y$ negativ ist - nach links)
3. von dort $z$ Einheiten parallel zur z-Achse abtragen (also nach oben oder - wenn $z$ negativ ist - nach unten)

Ein Beispiel: In dem Koordinatensystem ist der Punkt $P \; (4\mid 5 \mid 1)$ inklusive Hilfslinien eingezeichnet.

In dieser Grafik sieht man allerdings auch, welches Problem bei Punkten in einem solchen dreidimensionalen Koordinatensystem auftritt: Sie lassen sich zwar problemlos einzeichnen. Das Ablesen eines gegebenen Punktes liefert jedoch keine eindeutigen Koordinaten. Der eingezeichnete Punkt könnte beispielsweise auch die Koordinaten $(2\mid 4 \mid 0)$ oder $(5\mid 5{,}5 \mid 1{,}5)$ haben. Allein aus der Darstellung kann man den Unterschied nicht erkennen. Zur Veranschaulichung von Funktionsgebirgen (das sind Graphen von Funktionen mit mehreren Variablen) und Vektoren lohnt sich das Zeichnen solcher Koordinatensysteme trotzdem.

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe
• 7. Aufgabe
• 8. Aufgabe
• 9. Aufgabe

3.1 Bruchrechnung - Aufgaben

Alle diese Aufgaben sollten Sie ohne Taschenrechner berechnen. Sinn der Übung ist ja nicht, dass Sie Ihren Taschenrechner bedienen lernen, sondern dass Sie den Umgang mit Brüchen trainieren. Spätestens in Kapitel 5, in dem Variablen ins Spiel kommen, hilft Ihnen der Taschenrechner ohnehin nur noch eingeschränkt weiter ... Wenn man dann den Umgang mit Brüchen nie geübt hat, gehen auch Ableitungen und Integrale leicht schief - selbst wenn man die wesentlich komplizierteren Ableitungs- und Integrationsregeln eigentlich kann.

1. Aufgabe

Erweitern Sie die folgenden Brüche mit der jeweils angegebenen Zahl!

2. Aufgabe

Erweitern Sie die folgenden Brüche so, dass sie gleichnamig werden.

3. Aufgabe

Kürzen Sie die folgenden Brüche so weit wie möglich!

4. Aufgabe

Wandeln Sie die folgenden unechten Brüche in gemischte Zahlen um und umgekehrt. Kürzen Sie die entstehenden Brüche, wenn möglich.

5. Aufgabe

Wandeln Sie folgende Brüche in Dezimalzahlen um (wenn nötig, gerundet auf 4 Stellen nach dem Komma) und umgekehrt.

6. Aufgabe

Berechnen Sie folgende Aufgaben.

7. Aufgabe

8. Aufgabe

Berechnen Sie so schnell wie möglich und ohne Hilfsmittel!
Wie viel ist die Hälfte von zwei Drittel von drei Viertel von vier Fünftel von fünf Sechstel von sechs Siebtel von sieben Achtel von acht Neuntel von neun Zehntel von $10$?

9. Aufgabe

Gesucht ist für jedes Sternchen eine Ziffer (also $0$, $1$, $2$, ... $9$) oder - falls sich keine Ziffer finden lässt - eine möglichst kleine natürliche Zahl, sodass die Rechnungen stimmen. Verschiedene Sternchen innerhalb einer Aufgabe können dabei durchaus verschiedene Ziffern / Zahlen bedeuten. Begründen Sie Ihre Ergebnisse!

Bemerkung: Diese Aufgaben sind ein bisschen tricky, führen aber gleichzeitig sehr schön in mathematische Denkweisen und Argumentationen ein - und benötigen dabei nicht mehr als die Grundrechenarten und Bruchrechnung.

1) $\dfrac{*}{11}-\dfrac{28}{*} \, = \, 0$

2) $\dfrac{*}{3}\cdot \dfrac{*}{8} \, = \, \dfrac{35}{*}$

3) $\dfrac{5}{*}+\dfrac{*}{5} \, = \, 4\dfrac{9}{10}$

4) $\dfrac{1}{5}-\dfrac{*}{9} \, = \, -\dfrac{1}{*}$

5) $\dfrac{*}{4}+\dfrac{13}{*} \, = \, \dfrac{0}{*}$

6) $\dfrac{5}{*1} : \dfrac{2}{*} \, = \, \dfrac{5}{2*}$

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Was ist ein Bruch?
• Welche Arten von Brüchen gibt es?
• Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"
• Rechenregeln für Brüche
• Brüche und Klammern
• Dezimalzahlen

3.2 Bruchrechnung - Erklärungen

Bei den Zahlenbereichen hatten wir schon gesehen, dass es nicht nur ganze Zahlen gibt, sondern auch gebrochene. In diesem Kapitel schauen wir uns diese Zahlen und den Umgang mit ihnen etwas genauer an.

Was ist ein Bruch?

Bei einem Bruch $\dfrac {p}{q}$ heißt $p$ Zähler und $q$ Nenner.
Der Bruchstrich steht dabei für eine Division. Auch wenn für $p$ und $q$ grundsätzlich beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden dürfen, ist es üblich, in Brüchen ganze Zahlen zu verwenden, also $p,q \in \mathbb{Z}$. Immer gilt, dass der Nenner $q \neq 0$ sein muss, da durch $0$ nicht geteilt werden darf!

Aufgrund der Rechenregeln für die Division gilt:

• $\dfrac{p}{p}=1$ für alle Zahlen $p \in \mathbb{R}\backslash_{ \{0\} }$
  
  
• $\dfrac{-3}{4}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$
  
  
• $\dfrac{3}{4}=\dfrac{+3}{+4}=\dfrac{-3}{-4}=+\dfrac{3}{4}$
  
  

Zur Schreibweise: Es ist egal, ob man $4 \cdot \dfrac{3}{10}$ oder $\dfrac{3}{10} \cdot 4$ oder $\dfrac{4 \cdot 3}{10}$ schreibt. Allerdings ist bei allen drei Schreibweisen der "Malpunkt" zwingend erforderlich, da $4 \dfrac{3}{10}$ als $4 + \dfrac{3}{10}$ verstanden wird. Bei $\dfrac{4 \cdot 3}{10}$ erklärt es sich eigentlich von selbst, warum der "Malpunkt" hier nicht einfach weggelassen werden darf ...

Bemerkung: Man kann Bruchstriche auch schräg schreiben. Das spart Platz und ist manchmal übersichtlicher.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Man unterscheidet folgende Arten von Brüchen:

Echte und unechte Brüche

Bei echten Brüchen ist der Betrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist kleiner als $1$, z. B. $\dfrac {3}{8}=0{,}375$ oder $-\dfrac {4}{5}=-0{,}8$.

Bei unechten Brüchen ist der Betrag des Zählers größer als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist größer als $1$, z. B. $\dfrac{11}{8}=1{,}375$ oder $-\dfrac{17}{5}=-3{,}4$.

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, z. B. $\dfrac {13}{6}=\dfrac{12}{6}+\dfrac{1}{6}=2+ \dfrac{1}{6} = 2 \dfrac{1}{6}$ oder $-\dfrac{13}{6}=-\left(2+\dfrac{1}{6}\right)$.

Ganz wichtig: Bitte beachten Sie, dass die ganze Zahl und der Bruch addiert werden, auch wenn das Pluszeichen weggelassen wird! Normalerweise werden in der Mathematik ausschließlich Malzeichen nicht geschrieben, wenn die Formel o. Ä. trotz des Weglassens eindeutig bleibt. Dies hier ist die große Ausnahme. Da das in vielen Fällen zu Verwirrung führt, sollte diese Schreibweise nur verwendet werden, wenn es dafür wichtige Gründe gibt! Und davon gibt es nicht sehr viele ...
Im Übrigen werden gemischte Zahlen eigentlich gar nicht benötigt. Echte und unechte Brüche reichen vollkommen aus, um alle Brüche abzubilden. Als Alternative gibt es auch noch die Dezimalzahlen. Statt einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, ist es üblicherweise besser, ihn einfach so stehen zu lassen.

Gleichnamige und ungleichnamige Brüche

Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Der entsprechende Nenner heißt Hauptnenner der Brüche. Z. B. sind die Brüche $\dfrac{1} {5}$ und $\dfrac{4} {5}$ gleichnamig. Ihr Hauptnenner ist $5$.

Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben, heißen ungleichnamig, z. B. sind die Brüche $\dfrac{2} {3}$ und $\dfrac{2} {7}$ ungleichnamig.

Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"

Für das Erweitern und Kürzen, worum es ein Stück weiter unten gehen wird, sind die Konzepte vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und vom größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ (also $a, b \in \mathbb {N}$) nützlich:

Definition: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $a$ und $b$ ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $a$ als auch ein Vielfaches von $b$ ist, z. B. ist das kgV von $3$ und $5$ gleich $15$.

Die Bestimmung des kgV hilft u. a., wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen, z. B. $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24}$. Natürlich wäre auch $48=6 \cdot 8$ ein Hauptnenner von $\dfrac {1}{6}$ und $\dfrac {1}{8}$. Allerdings wären dann die Zähler und Nenner jeweils doppelt so groß und üblicherweise rechnet es sich mit kleineren Zahlen leichter.

Definition: Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist die größte natürliche Zahl, durch die sich sowohl $a$ als auch $b$ ohne Rest teilen lässt, z. B. ist der ggT von $7$ und $21$ gleich $7$.

Zahlen, deren ggT gleich $1$ ist, heißen teilerfremd.

Rechenregeln für Brüche

Erweitern und Kürzen

Zwei Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. $\dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}=\dfrac{6}{16}$.

Zwei Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. $\dfrac{4}{12}=\dfrac{4 : 4} {12 : 4}=\dfrac{1}{3}$.
Wenn ein Bruch gekürzt werden soll, hilft die Bestimmung des ggT, z. B. ist $4$ der ggT von $4$ und $12$.

Es versteht sich (hoffentlich) von selbst, dass $0$ keine geeignete Zahl zum Erweitern oder Kürzen ist, weil man ja nun mal durch $0$ nicht teilen darf ...

Achtung: Aus Summen darf man nicht kürzen! Summen gehören ja schließlich zur Strichrechnung und das Kürzen zur Punktrechnung.

Noch ein paar Worte zum Kürzen aus Summen:
Auch wenn man es nicht auf den ersten Blick sieht, handelt es sich hierbei um eine Kombination von Addition/Subtraktion und Division, über die wir uns im Kapitel Rechengesetze schon Gedanken gemacht hatten. Wenn im Zähler oder Nenner eine Summe/Differenz steht, entsteht genau die Situation, in der wir auf die Rangfolge der Rechenoperationen achten müssen: Der Bruchstrich steht ja für eine Division und wirkt somit wie eine Klammer. Dazu kommt, dass auch das Kürzen eine Art von Dividieren ist. All das verträgt sich nicht mit der Strichrechnung ...
Käme man bei $\frac{4+11}{4}$ auf die Idee, die $4$ im Zähler mit der $4$ im Nenner zu „kürzen“, erhielte man als Ergebnis $11$.
Richtig ist aber $\frac{4+11}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$

Addition und Subtraktion

Zwei gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält, z. B. $\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{4+3}{10}=\dfrac{7}{10}$.

Zwei ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann addiert, z. B. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}+\dfrac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}$.

Zwei gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält, z. B. $\dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7-3}{10}=\dfrac{4}{10}$.

Zwei ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann subtrahiert, z. B. $\dfrac{4} {5}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12}{15}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12-1}{15}= \dfrac{11}{15}$.

Ganz wichtig: Es gibt keine Rechenregel, die besagt, dass die Nenner irgendwie addiert bzw. subtrahiert werden müssen. Die Addition und Subtraktion von Brüchen funktioniert wirklich nur auf dem Weg, der hier vorgestellt wurde. Das gilt auch, wenn die Brüche Variablen enthalten, wie das in späteren Kapiteln der Fall sein wird. Dann mag es manchmal etwas umständlich sein, die Brüche gleichnamig zu machen - es muss aber sein!
Was passiert, wenn man die Brüche nicht gleichnamig macht, sehen sie an folgendem Vergleich:
Richtig ist: $\frac{1}{2} +\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} > 1$
Addiert man - fälschlicherweise - Zähler und Nenner von $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ separat, erhält man $\frac{4}{6} < 1$. Da kann also was nicht stimmen…

Multiplikation und Division

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, z. B. $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 7}=\dfrac{3} {28}$.

Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert, z. B. $\dfrac{1}{6} : \dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{11}{2}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 2}=\dfrac{11}{12}$.

Bemerkung zur Multiplikation und Division: Nützlich ist, immer vor dem Multiplizieren zu überprüfen, ob die Brüche gegeneinander gekürzt werden können, da dadurch die Zahlen kleiner werden. Je früher in einer Rechnung gekürzt wird, desto handlicher bleibt die Aufgabe.
Beispiel: Multipliziert man bei $\dfrac{33}{14} \cdot \dfrac{280}{15}$ einfach die beiden Zähler und die beiden Nenner, erhält man $\dfrac{9{.}240}{210}$, wo nicht offensichtlich ist, durch welche Zahl gekürzt werden kann. Kürzt man vor dem Multiplizieren, sieht die Rechnung so aus: $\dfrac{33}{14} \cdot \dfrac{280}{15} = \dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{20}{5} = 11 \cdot 4 = 44$
Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $15$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ sowie die $14$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $280$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $14$ gekürzt.
Damit geht die gesamte Rechnung problemlos im Kopf ...

Bemerkung allgemein: Ist das Ergebnis einer Bruchrechnungsaufgabe ein Bruch, sollte dieser so weit wie möglich gekürzt werden. Abhängig von der Aufgabenstellung (z. B. wenn die Größenordnung von Bedeutung ist) kann es sinnvoll sein, das Ergebnis als Dezimalzahl oder in Ausnahmefällen als gemischte Zahl darzustellen. In anderen Situationen, z. B. beim Multiplizieren oder beim Abschätzen von Wurzeln, eignen sich Brüche wesentlich besser.

Brüche und Klammern

Im vorherigen Kapitel hieß es schon, dass ein Bruchstrich wie eine Klammer wirkt. Eine Klammer muss immer dann gesetzt werden, wenn der Bruchstrich durch : ersetzt wird bzw. wenn mehrere Brüche auf einem Bruchstrich zusammengefasst werden! Hier nun die versprochenen Beispiele:

• $\dfrac{x+10}{3x-17}=(x+10) : (3x-17)$
  Diese Schreibweise ist z. B. für die Polynomdivision wichtig.
  
  
• $\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{5\cdot (x+10)}{4\cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50}{12x-68}$
  Hier müssen im zweiten Bruch Klammern gesetzt werden, weil die Regel für die Multiplikation von Brüchen ja lautet "Zähler mal Zähler" und "Nenner mal Nenner". Ohne Klammern hätte man $5\cdot x+10$ und $4\cdot 3x -17$ , würde also nur einen Teil vom zweiten Zähler/Nenner mit dem Zähler/Nenner vom ersten Bruch multiplizieren.
  
  
• $\dfrac{5-8x}{7x+4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{(5-8x) \cdot (x+10)}{(7x+4) \cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50-8x\cdot x-80x}{21x\cdot x-119x+12x-68}$

Hier ist es ebenso. Zusätzlich gelten natürlich auch bei Brüchen die "ganz normalen" Rechengesetze, wie Distributiv-, Kommutativ- und Assoziativgesetz. Anders gesagt: Ausmultiplizieren funktioniert im Zähler und Nenner genauso wie ohne Bruch drumherum ...

Zum Abschluss noch ein Beispiel, nur mit Zahlen, damit leichter zu sehen ist, warum das mit den Klammern auch wirklich wichtig ist:

Dezimalzahlen

Auch bei den Dezimalzahlen, manchmal "Kommazahlen" genannt, unterscheidet man verschiedene "Sorten":

• Endliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen, z. B. $1{,}25$ oder $10 {,}123456789987654321$
  
  
• Unendliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen
  Hier unterscheidet man weiter:
  • Periodische Dezimalzahlen: Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich innerhalb der unendlichen Folge von Nachkommastellen ein bestimmtes Muster immer wieder, z. B. $0{,}33333...$ oder $0{,}142857\,142857...$ oder $0{,} 756565656...$. Dies macht man kenntlich, indem man nur das erste Auftreten dieser Periode notiert - mit einem horizontalen Strich darüber, z. B. $0{,}33333...=0{,}\overline{3}$ oder $0{,}142857142857...=0{,}\overline {142857}$ oder $0{,}756565656...=0{,}7\overline{56}$ . Dann benötigt man keine Pünktchen mehr dahinter. Sie sollen ja nur andeuten, dass die Zahl unendlich weitergeht und nicht nach den angegeben Nachkommastellen aufhört. Der (mathematische) Unterschied zwischen $0{,}33333$ und $0{,}33333...$ ist zwar nicht groß, aber er ist da ...
  • Nicht periodische Dezimalzahlen: Nicht periodische Dezimalzahlen haben kein solches Muster in ihrer unendlichen Folge von Nachkommastellen, z. B. $0{,}1010010001...$ oder $\sqrt{2}=1{,}414213562...$ oder $\pi=3{,} 141592653...$ (die beiden letzten Beispiele werden Sie in den Kapiteln Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bzw. Geometrie kennen lernen). Wichtig ist auch hier, dass die drei kleinen Pünktchen am Ende nicht vergessen werden. Benötigt man nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen (was ja meistens der Fall ist), muss entsprechend gerundet werden.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen: Dezimalzahlen erhält man, indem man den Zähler eines Bruches durch seinen Nenner teilt. Hier ein paar Beispiele:

Wie Sie sehen, entstehen auf diese Art und Weise endliche oder periodische Dezimalzahlen, aber keine nicht periodischen. 

Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche: Natürlich kann man endliche oder periodische Dezimalzahlen auch in Brüche "rück-umformen" ... Bei endlichen Dezimalzahlen nimmt man dafür die Nachkommastelle(n) der Dezimalzahl als Zähler und ergänzt im Nenner eine $10$, wenn der Zähler eine Stelle hat, eine $100$, wenn der Zähler zwei Stellen hat, eine $1.000$, wenn der Zähler drei Stellen hat, und so weiter ... Bei periodischen Dezimalzahlen funktioniert es genauso, nur dass im Nenner eine $9$, eine $99$, eine $999$ und so weiter ... stehen muss. Anschließend kann man häufig noch kürzen.
Auch hier ein paar Beispiele:

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe
• Lösung zur 7. Aufgabe
• Lösung zur 8. Aufgabe
• Lösung zur 9. Aufgabe

3.3 Bruchrechnung - Lösungen

1. Aufgabe

2. Aufgabe

1) $\dfrac{10}{13}=\dfrac{10 \cdot 3}{13 \cdot 3}=\dfrac{30}{39}$   und   $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13}= \dfrac{26}{39}$

2) $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5}=\dfrac{40}{45}$   und   $\dfrac{4}{15}= \dfrac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3}=\dfrac{12}{45}$

3) $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\dfrac{3} {24}$   und   $\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4}=\dfrac{20}{24}$

4) $\dfrac{99}{12}=\dfrac{99 \cdot 3}{12 \cdot 3}=\dfrac{297}{36}$   und   $\dfrac{5}{18}=\dfrac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2}=\dfrac{10}{36}$

5) $\dfrac{11}{20}=\dfrac{11 \cdot 19}{20 \cdot 19}=\dfrac{209}{380}$   und   $\dfrac{2}{19}=\dfrac{2 \cdot 20}{19 \cdot 20}=\dfrac{40}{380}$

6) $\dfrac{20}{7}=\dfrac{20 \cdot 50}{7 \cdot 50}=\dfrac{1000}{350}$   und   $\dfrac{7}{50}=\dfrac{7 \cdot 7}{50 \cdot 7}= \dfrac{49}{350}$

7) $\dfrac {17}{3}=\dfrac{17 \cdot 3}{3 \cdot 3}=\dfrac{51}{9}$   und   $\dfrac{10}{9}$

8) $\dfrac {3}{11}=\dfrac{3 \cdot 6}{11 \cdot 6}=\dfrac{18}{66}$   und   $\dfrac {1}{6}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11}=\dfrac{11}{66}$

9)  $\dfrac {32}{27}=\dfrac{32 \cdot 2}{27 \cdot 2}=\dfrac{64}{54}$   und   $\dfrac {3}{2}=\dfrac{3 \cdot 27}{2 \cdot 27}=\dfrac{81}{54}$ 

10) $\dfrac{3}{100}$   und   $\dfrac{7}{4}=\dfrac{7 \cdot 25}{4 \cdot 25}=\dfrac{175}{100}$

11) $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10}=\dfrac{10}{20}$   und   $\dfrac{1} {20}$ und $\dfrac{3}{10}=\dfrac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2}=\dfrac{6}{20}$

12) $\dfrac {1}{3}=\dfrac{1 \cdot 220}{3 \cdot 220}=\dfrac{220}{660}$   und   $\dfrac{7}{20}=\dfrac{7 \cdot 33}{20 \cdot 33}=\dfrac{231}{660}$ und $\dfrac {2}{11}=\dfrac{2 \cdot 60}{11 \cdot 60}=\dfrac{120}{660}$

13) $\dfrac {7}{4}=\dfrac{7 \cdot 5}{4 \cdot 5}=\dfrac{35}{20}$   und   $\dfrac{1}{20}$ und $\dfrac {132}{5}=\dfrac{132 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\dfrac{528}{20}$

14) $\dfrac {3}{70}=\dfrac{3 \cdot 6}{70 \cdot 6}=\dfrac{18}{420}$   und   $\dfrac{201}{30}=\dfrac{201 \cdot 14}{30 \cdot 14}=\dfrac{2814}{420}$ und $\dfrac {1}{14}=\dfrac{1 \cdot 30}{14 \cdot 30}=\dfrac{30}{420}$

15) $\dfrac {5}{21}=\dfrac{5 \cdot 4}{21 \cdot 4}=\dfrac{20}{84}$   und   $\dfrac {1}{12}=\dfrac{1 \cdot 7}{12 \cdot 7}=\dfrac{7}{84}$   und   $\dfrac {4}{3}=\dfrac{4 \cdot 28}{3 \cdot 28}=\dfrac{112}{84}$   und   $\dfrac {2}{21}=\dfrac{2 \cdot 4}{21 \cdot 4}=\dfrac{8}{84}$

16) $\dfrac {3}{4}=\dfrac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12}=\dfrac{36}{48}$   und   $\dfrac {1}{8}=\dfrac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6}=\dfrac{6}{48}$   und   $\dfrac {13}{16}=\dfrac{13 \cdot 3}{16 \cdot 3}=\dfrac{39}{48}$   und   $\dfrac {5}{24}=\dfrac{5 \cdot 2}{24 \cdot 2}=\dfrac{10}{48}$

17) $\dfrac {3}{5}=\dfrac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14}=\dfrac{42}{70}$   und   $\dfrac {20}{7}=\dfrac{20 \cdot 10}{7 \cdot 10}=\dfrac{200}{70}$   und   $\dfrac {13}{2}=\dfrac{13 \cdot 35}{2 \cdot 35}=\dfrac{455}{70}$   und   $\dfrac {54}{70}$

18) $\dfrac {19}{2}=\dfrac{19 \cdot 180}{2 \cdot 180}=\dfrac{3420}{360}$   und   $\dfrac {13}{6}=\dfrac{13 \cdot 60}{6 \cdot 60}=\dfrac{780}{360}$   und   $\dfrac {37}{120}=\dfrac{37 \cdot 3}{120 \cdot 3}=\dfrac{111}{360}$   und   $\dfrac {91}{180}=\dfrac{91 \cdot 2}{180 \cdot 2}=\dfrac{182}{360}$

19) $\dfrac {1}{7}=\dfrac{1 \cdot 72}{7 \cdot 72}=\dfrac{72}{504}$   und   $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8 \cdot 56}{9 \cdot 56}=\dfrac{448}{504}$   und   $\dfrac{33} {14}=\dfrac{33 \cdot 36}{14 \cdot 36}=\dfrac{1188}{504}$   und   $\dfrac{10}{63}=\dfrac{10 \cdot 8}{63 \cdot 8}=\dfrac{80}{504}$   und   $\dfrac {25}{24}=\dfrac{25 \cdot 21}{24 \cdot 21}=\dfrac{525}{504}$

20) $\dfrac {1}{2}=\dfrac{1 \cdot 90}{2 \cdot 90}=\dfrac{90}{180}$   und   $\dfrac{1} {3}=\dfrac{1 \cdot 60}{3 \cdot 60}=\dfrac{60}{180}$   und   $\dfrac{1} {4}=\dfrac{1 \cdot 45}{4 \cdot 45}=\dfrac{45}{180}$   und   $\dfrac{1} {5}=\dfrac{1 \cdot 36}{5 \cdot 36}=\dfrac{36}{180}$   und   $\dfrac {1} {6}=\dfrac{1 \cdot 30}{6 \cdot 30}=\dfrac{30}{180}$   und   $\dfrac{1} {15}=\dfrac{1 \cdot 12}{15 \cdot 12}=\dfrac{12} {180}$   und   $\dfrac{1} {36}=\dfrac{1 \cdot 5}{36 \cdot 5}=\dfrac{5}{180}$

3. Aufgabe

4. Aufgabe

5. Aufgabe

6. Aufgabe

Wichtig: Bei allen Multiplikations- und Divisionsaufgaben, in denen gemischte Zahlen enthalten sind, muss die gemischte Zahl vor dem Multiplizieren bzw. Dividieren in einen unechten Bruch umgewandelt werden, sonst kommen anschließend Punkt- und Strichrechnung durcheinander ...
Zur Wiederholung: Dies ist die einzige Stelle in der Mathematik, bei der nicht ein Malzeichen, sondern ein Pluszeichen weggelassen wird. Steht in einer Aufgabe z. B. die gemischte Zahl $1\dfrac{1}{2}$, ist damit die Summe $1+\dfrac{1} {2}$ gemeint. Diese Schreibweise verkompliziert Rechnungen also eher bzw. macht sie fehleranfälliger. Sie wird in diesem Lernmodul auch nur eingeführt, weil z. B. einige Taschenrechner sie verwenden und es deswegen nötig ist zu verstehen, wie sie gelesen werden muss.

1) $\dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{3}{2} \, = \, \dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} \, = \, \dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{6}{4} \, = \, \dfrac{9}{4} \, = \, 2\dfrac{1}{4}$ 

2) ${ 1\dfrac{5}{6}+2\dfrac{7}{8}=\dfrac{6}{6}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{16}{8}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{11}{6}+\dfrac{23}{8}=\dfrac{11 \cdot 4}{6 \cdot 4}+\dfrac{23 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\dfrac{44}{24}+\dfrac{69}{24}=\dfrac{113}{24}=4\dfrac{17}{24} }$ 

3) $\dfrac{3}{2} \, + \, 12 \, = \, \dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{24}{2} \, = \, \dfrac{27}{2}\, = \, 13 \dfrac{1} {2}$

4) $\dfrac{9}{11} \, + \, \dfrac{3}{4} \, = \, \dfrac{9\cdot 4}{11\cdot 4} \, + \, \dfrac{3\cdot 11}{4\cdot 11} \, = \, \dfrac{36}{44} \, + \, \dfrac{33}{44} \, = \, \dfrac{69}{44} \, = \, 1\dfrac{25}{44}$

5) $\dfrac{1}{7} \, - \, \dfrac{3}{5} \, = \, \dfrac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} \, - \, \dfrac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} \, = \, \dfrac{5}{35} \, - \, \dfrac{21}{35} \, = \, - \dfrac{16}{35}$

6) $11 \, - \, \dfrac{13}{3} \, = \, \dfrac{33}{3} \, - \, \dfrac{13}{3} \, = \, \dfrac{20}{3} \, = \, 6\dfrac{2}{3}$

7) ${4 \dfrac{2}{9} \, - \, 1 \dfrac{1}{3} \, = \, \dfrac{36}{9} \, + \, \dfrac{2}{9} \, - \, \left( \dfrac{3}{3} \, + \, \dfrac{1}{3} \right) \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{4}{3} \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{12}{9} \, = \, \dfrac{26}{9} \, = \, 2 \dfrac{8}{9}}$

8) $-\dfrac{20}{7} \, - \, \dfrac{7}{10} \, = \, -\dfrac{20\cdot 10}{7\cdot 10} \, -\, \dfrac{7\cdot 7}{10\cdot 7} \, =\, -\dfrac{200}{70} \, - \, \dfrac{49}{70} \, = \, -\dfrac{249}{70} \, = \, -3\dfrac{39}{70}$

9) $\dfrac{42}{5} \, \cdot \, \dfrac{10}{63} \, = \, \dfrac{2}{1} \, \cdot \, \dfrac{2}{3} \, = \, \dfrac{4}{3} \, = \, 1\dfrac{1}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $42$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $63$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $21$ sowie die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt. Das Kürzen kann natürlich auch schrittweise (z. B. erst durch $7$ und dann durch $3$ - kleines Einmaleins!) erfolgen, wenn man nicht sofort sieht, dass die $21$ sowohl in der $42$ als auch in der $63$ enthalten ist.

10) $\dfrac{7}{9} \, \cdot \, 6 \, = \, \dfrac{7}{9} \, \cdot \, \dfrac{6}{1} \, = \, \dfrac{7}{3} \, \cdot \, \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{14}{3} \, = \, 4 \dfrac{2}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $6$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

11) $34 \, \cdot \, \dfrac{1}{2} \, = \, \dfrac{34}{2} \, = \, 17$

12) $2\dfrac{1}{4} \, \cdot \, \dfrac{2}{7} \, = \, \dfrac{9}{4} \, \cdot \, \dfrac{2}{7} \, = \, \dfrac{9}{2} \, \cdot \, \dfrac{1}{7} \, = \, \dfrac{9}{14}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $2$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

13) $\dfrac{3}{8} \, : \, \dfrac{5}{4} \, = \, \dfrac{3}{8} \, \cdot \, \dfrac{4}{5} \, = \, \dfrac{3}{2} \, \cdot \, \dfrac{1}{5} \, = \, \dfrac{3}{10}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $4$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

14) $\dfrac{5}{6} \, : \, \dfrac{25}{12} \, = \, \dfrac{5}{6} \, \cdot \, \dfrac{12}{25} \, = \, \dfrac{1}{1} \, \cdot \dfrac{2}{5} \, = \, \dfrac {2}{5}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $25$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ sowie die $6$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $12$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $6$ gekürzt.

15) $\dfrac{8}{9} : \dfrac{4}{27} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{27}{4} = 6$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $4$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $4$ sowie die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $27$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

16) ${4\dfrac{2}{5} \, : \, 3\dfrac{1}{10} \, = \, \left(\dfrac{20}{5}\, +\, \dfrac{2}{5}\right) \, : \, \left(\dfrac{30}{10}\, +\, \dfrac{1}{10}\right) \, =\, \dfrac{22}{5} \, : \, \dfrac{31}{10} \, = \, \dfrac{22}{5} \, \cdot \, \dfrac{10}{31} \, = \, \dfrac{44}{31} = 1\dfrac {13}{31}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

17) $4 \, - \, \dfrac{2}{3} \, \cdot \, \dfrac{5}{8} \, = \, 4 \, - \, \dfrac{1}{3} \, \cdot \, \dfrac{5}{4} \, = \,\dfrac{16}{4} \, - \, \dfrac{5}{12} \, = \, \dfrac{48}{12} \, - \, \dfrac{5}{12} \, = \, \dfrac{43}{12} \, = \, 3\dfrac{7}{12}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $8$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

18) ${ \dfrac{1}{2} \, + \, 5 \, : \, \dfrac{10}{13} \, + \, 2\dfrac{1}{8} \, = \, \dfrac{1}{2} \, + \, 5 \, \cdot \, \dfrac{13}{10} \, + \, \dfrac{16}{8} \, + \, \dfrac{1}{8} \, = \, \dfrac{1}{2} \, + \, \dfrac{13}{2} \, + \, \dfrac{17}{8} \, = \, \dfrac{4}{8} \, + \, \dfrac{52}{8} \, + \, \dfrac{17}{8} \, = \, \dfrac{73}{8} \, = \, 9\dfrac{1}{8} }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (erster Faktor) mit der $10$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

19) ${\dfrac{13}{7} \, : \, \left(-\dfrac{26}{21}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, \dfrac{13}{7} \, \cdot \, \left(-\dfrac{21}{26}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, \dfrac{1}{1} \, \cdot \, \left(-\dfrac{3}{2}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, 1 \, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{1}\right) \, \cdot \, \dfrac{4}{9} \, = \, -\dfrac{4}{9} }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier der Übersichtlichkeit wegen in zwei Schritten gekürzt:
1. Es wurden die $13$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $26$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $13$ sowie die $7$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $21$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $7$ gekürzt.
2. Es wurden die $3$ (Zähler vom gekürzten zweiten Faktor) mit der $27$ (Nenner vom dritten Faktor) durch $3$ sowie die $2$ (Nenner vom gekürzten zweiten Faktor) mit der $8$ (Zähler vom dritten Faktor) durch $2$ gekürzt.

20) ${-\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{15}{4} \, \cdot \, \left(-\dfrac{16}{5}\right) \, - \, \dfrac{9}{6} \, : \, \left(-3\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{15}{4} \, \cdot \, \left(-\dfrac{16}{5}\right) \, - \, \dfrac{9}{6} \, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{3}\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{3}{1} \, \cdot \, \left(-\dfrac{4}{1}\right) -\dfrac{3}{6}\, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{1}\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \,- \, 12 \, + \, \dfrac{1}{2} \, = \, -\dfrac{26}{2} \, = \, -13 }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier in beiden Produkten gekürzt:
1. Produkt: Es wurden die $15$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $5$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ sowie die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $16$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.
2. Produkt: Es wurden die $9$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $3$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

7. Aufgabe

1) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{3}{2}}{\frac{7}{3}} = \dfrac{3}{2} : \dfrac{7}{3} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{14}$ 

2) $\genfrac{}{}{1pt}{0} {\frac{-5}{-3}}{-\frac{25}{4}} = \dfrac{-5}{-3} : \left( -\dfrac{25}{4} \right) = \dfrac{5}{3} \cdot \left( -\dfrac{4}{25} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \left( -\dfrac{4}{5} \right) = - \dfrac {4}{15}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $25$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

3) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-15}{\frac{11}{-30}} = -15 : \left(\dfrac{11}{-30} \right) = -15 \cdot \left(-\dfrac{30}{11} \right) = \dfrac{450}{11}$

4) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{8}{12}}{5} = \dfrac{8}{12} : \dfrac{5}{1} = \dfrac{8}{12} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{15}$

5) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{38}{-3}}{\frac{19}{4}} = \dfrac{38}{-3} : \dfrac{19}{4} = -\dfrac{38}{3} \cdot \dfrac{4}{19} = -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{1} = -\dfrac{8}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $38$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $19$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $19$ gekürzt.

6) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{27}{16}}{\frac{3}{11}} = \dfrac{27}{16} : \dfrac{3}{11} = \dfrac{27}{16} \cdot \dfrac{11}{3} = \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{11}{1} = \dfrac{99}{16}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $27$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $3$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

7) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{113}{\frac{17}{2}} = 113 : \dfrac{17}{2} = 113 \cdot \dfrac{2}{17} = \dfrac{226}{17}$

8) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-42}{5}}{102} = \dfrac{-42}{5} : \dfrac{102}{1} = -\dfrac{42}{5} \cdot \dfrac{1}{102} = -\dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{1}{17} = -\dfrac{7}{85}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $42$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $102$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $6$ gekürzt.

9) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{1}{9}}{\frac{1}{81}} = -\dfrac{1}{9} : \dfrac{1}{81} = -\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{81}{1} = -\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{9}{1} = -9$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $81$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

10) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14}{23}}{-6} = \dfrac{14}{23} : \left(-\dfrac{6}{1} \right) = \dfrac{14}{23} \cdot \left(-\dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{7}{23} \cdot \left( -\dfrac{1}{3} \right) = -\dfrac{7}{69}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $14$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $6$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

11) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{21}{8}}{-\frac{12}{5}} = -\dfrac{21}{8} : \left(-\dfrac{12}{5} \right) = -\dfrac{21}{8} \cdot \left(-\dfrac{5}{12} \right) = -\dfrac{7}{8} \cdot \left( -\dfrac{5}{4} \right) = \dfrac{35}{32}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $21$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $12$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

12) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-34}{\frac{-43}{-12}} = -34 : \left(\dfrac{-43}{-12}\right) = -34 \cdot \dfrac{12}{43} = -\dfrac{408}{43}$

13) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-5}{72}}{\frac{-40}{11}} = \dfrac{-5}{72} : \dfrac{-40}{11} = -\dfrac{5}{72} \cdot \left(-\dfrac{11}{40}\right) = -\dfrac{1}{72} \cdot \left(-\dfrac{11}{8}\right) = \dfrac{11}{576}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $40$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

14) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5}{4}}{-\frac{21}{52}} = \dfrac{5}{4} : \left(-\dfrac{21}{52}\right) = \dfrac{5}{4} \cdot \left(-\dfrac{52}{21}\right) = \dfrac{5}{1} \cdot \left( -\dfrac{13}{21} \right) = -\dfrac{65}{21}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $52$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

15) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{19}{15}}{\frac{-7}{102}} = \dfrac{19}{15} : \dfrac{-7}{102} = \dfrac{19}{15} \cdot \left(-\dfrac{102}{7}\right) = \dfrac{19}{5} \cdot \left(-\dfrac{34}{7}\right) = -\dfrac{646}{35}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $15$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $102$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

16) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-33}{16}}{-\frac{99}{14}} = -\dfrac{33}{16} : \left(-\dfrac{99}{14}\right) = -\dfrac{33}{16} \cdot \left(-\dfrac{14}{99}\right) = -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{7}{24}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $99$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $33$ sowie die $16$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $14$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

17) $-\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{121}{17}}{\frac{77}{170}} = -\left(-\dfrac{121}{17} : \dfrac{77}{170}\right) = -\left(-\dfrac{121}{17} \cdot \dfrac{170}{77}\right) = -\left(-\dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{10}{7}\right) = \dfrac{110}{7}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $121$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $77$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $11$ sowie die $17$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $170$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $17$ gekürzt.

18) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{142}{27}}{\frac{71}{72}} = \dfrac{142}{27} : \dfrac{71}{72} = \dfrac{142}{27} \cdot \dfrac{72}{71} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{8}{1} = \dfrac{16}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $142$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $71$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $71$ sowie die $27$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $72$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

19) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2}{15}}{\frac{-46}{-65}} = \dfrac{2}{15} : \dfrac{-46}{-65} = \dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{65}{46} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{13}{23} = \dfrac{13}{69}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $46$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ sowie die $15$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $65$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

20) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{25}{256}}{-\frac{225}{32}} = -\dfrac{25}{256} : \left(-\dfrac{225}{32}\right) = -\dfrac{25}{256} \cdot \left(-\dfrac{32}{225}\right) = -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{1}{9}\right) = \dfrac{1}{72}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $25$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $225$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $25$ sowie die $256$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $32$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $32$ gekürzt.

8. Aufgabe

Schreibt man die Rechnung mit Brüchen auf, kommt man mit viel Kürzen, dafür wenig Rechnen, zum Ergebnis: 
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{9}{10}\cdot 10 = 1$
An dieser Aufgabe wird auch offensichtlich, warum Brüche häufig einen Vorteil gegenüber Dezimalzahlen haben. Bei 
$0{,}5\cdot 0{,}666\ldots\cdot 0{,}75\cdot 0{,}8\cdot 0{,}833\ldots\cdot 0{,}857\ldots\cdot 0{,}875\cdot 0{,}888\ldots\cdot 0{,}9\cdot 10 = 1$
wäre die Logik der Rechnung nämlich nicht so deutlich wie oben. Mal abgesehen davon, dass Rundungsfehler meist dazu führen werden, dass die Lösung nicht exakt $1$ ist.

9. Aufgabe

Bemerkung 1: Grundsätzlich sind diese Aufgaben nicht eindeutig zu lösen. Neben der Anforderung, dass die Rechnungen stimmen sollen, ist daher die Vorgabe, dass möglichst kleine Ziffern gefunden werden sollen, entscheidend. Ein bisschen "Rumprobieren" wird aber auch so nötig sein.

Bemerkung 2: Auch wenn z. B. im Zähler "nur" ein Sternchen steht, muss dieses beim Erweitern mit der entsprechenden Zahl multipliziert werden, weil erweitern nun mal heißt "Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren". Das gilt auch für Sternchen!

1)
Überlegung: Damit eine Differenz $0$ ergibt, müssen Minuend und Subtrahend gleich sein. Die naheliegendste Lösung ist also $\dfrac{28}{11}-\dfrac{28}{11} \, = \, 0$
 
Bemerkung: Dies ist aber nicht die einzige Lösung, z. B. stimmt auch $\dfrac{14}{11}-\dfrac{28}{22} \, = \, 0$. Und es kann noch nicht mal entschieden werden, welche Zahlenkombination die kleinere ist ...

2)
1. Überlegung: Da beim Multiplizieren von Brüchen jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden, können sie separat betrachtet werden.
 
2. Überlegung: Im Nenner muss einfach nur multipliziert werden: $3 \cdot 8=24$, also ist $\dfrac{*}{3}\cdot \dfrac{*}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$
 
3. Überlegung: Die $35$ im Zähler des Bruches auf der rechten Seite kann im Bereich der natürlichen Zahlen nur auf genau eine Weise in Faktoren zerlegt werden, nämlich $35=5 \cdot 7$. Es kann allerdings nicht entschieden werden, welcher Faktor an erster und welcher Faktor an zweiter Stelle in der ursprünglichen Rechnung steht. Es gibt daher zwei Lösungen.
 
Lösung: $\dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{7}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$ oder $\dfrac{7}{3}\cdot \dfrac{5}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$

3)
1. Überlegung: Einfacher wird die Rechnung, wenn die gemischte Zahl auf der rechten Seite in einen unechten Bruch umgewandelt wird. Es ergibt sich: $\dfrac{5}{*}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac{49}{10}$
 
2. Überlegung: Die kleinste Ziffer, die für den Nenner des ersten Bruches infrage kommt, ist $1$. $0$ scheidet ja als Kandidat für einen Nenner aus. Er ergibt sich: $\dfrac{5}{1}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac {49}{10}$
 
3. Überlegung: Das lässt sich umformen zu $\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac {49}{10}-5$ oder $\dfrac{*}{5} \, = \, -\dfrac{1}{10}$. Dies ist (mathematisch gesprochen) die Frage, welche Zahl ergibt $-\dfrac{1}{10}$, wenn man sie durch $5$ teilt. Eigentlich muss man an dieser Stelle gar nicht weiterrechnen, weil nur eine negative Zahl hier für ein richtiges Ergebnis sorgen kann: Eine positive Zahl geteilt durch eine andere positive Zahl (und die $5$ ist ja hier als positive Zahl schon vorgegeben) wäre ja wieder positiv und nicht $-\dfrac{1}{10}$. Damit kann man die Vorgabe, dass für die Sternchen Ziffern eingesetzt werden sollen, nie erfüllen. Für diejenigen, die das genaue Ergebnis in diesem Fall wissen möchten: Für das Sternchen müsste $-\dfrac{1}{2}$ eingesetzt werden, damit die Rechnung stimmt, was auch deswegen nicht funktioniert, weil es nicht ganzzahlig ist.

4. Überlegung: Probieren wir es also mit der nächstgrößeren Ziffer $2$. Wir bekommen: $\dfrac{5}{2}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac{49}{10}$ oder (wenn wir alles auf den Hauptnenner bringen) $\dfrac{25}{10}+\dfrac{2\cdot *}{10} \, = \, \dfrac{49}{10}$

5. Überlegung: Da die Nenner nun gleich sind, können wir sie für den folgenden Schritt ignorieren. Es ergibt sich: $25+2\cdot *=49$. Daraus folgt: $2 \cdot *=24$ und damit $*=12$

Lösung: $\dfrac{5}{2}+\dfrac{12}{5} \, = \, 4\dfrac{9}{10}$

4)
1. Überlegung: Das Sternchen auf der rechten Seite muss für $45$ stehen, da dies der Hauptnenner von $5$ und $9$ ist. Es ergibt sich: $\dfrac{1}{5}-\dfrac{*}{9} \, = \, -\dfrac{1}{45}$ oder, wenn man gleich alles auf den Hauptnenner bringt, $\dfrac{9}{45}-\dfrac{5\cdot *}{45} \, = \, -\dfrac{1}{45}$
 
2. Überlegung: Da die Nenner nun gleich sind, können wir sie wieder ignorieren. Bleibt die Frage: $9-5\cdot *=-1$, die uns zu der Erkenntnis führt, dass $5\cdot *$ offensichtlich gleich $10$ sein muss. Wenn $5 \cdot *=10$ ist, ist $*=2$
 
Lösung: $\dfrac{9}{45}-\dfrac{10}{45} \, = \, -\dfrac{1}{45}$ oder $\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{9} \, = \, -\dfrac{1}{45}$

5)
1. Überlegung: Auf der rechten Seite hat das Sternchen im Nenner keine Auswirkungen auf die Rechnung, egal durch welche Zahl die $0$ im Zähler geteilt wird, das Ergebnis ist immer $0$; mit Ausnahme der $0$ selbst, denn $\frac{0}{0}$ ist nicht definiert. Da eine möglichst kleine Ziffer gefordert war, können wir die $1$ für dieses Sternchen nehmen - oder es einfach weglassen.
 
2. Überlegung: Damit das Ergebnis insgesamt $0$ ist, müsste auf der linken Seite eine der Zahlen negativ sein, denn die Summe von zwei positiven Zahlen ist wieder positiv. Negative Zahlen haben wir aber wegen der Einschränkung, dass Ziffern gesucht sind, nicht zur Verfügung. Insofern lassen sich hier keine passenden Zahlen finden.

6)
1. Überlegung: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das bedeutet hier: $\dfrac{5}{*1} \cdot \dfrac{*}{2} \, = \, \dfrac{5}{2*}$
 
2. Überlegung: Schauen wir uns die Rechnung im Zähler an: $5\cdot *=5$. Also muss dieses Sternchen gleich $1$ sein. Es ergibt sich: $\dfrac{5}{*1} \cdot \dfrac{1}{2} \, = \, \dfrac{5}{2*}$ bzw. in der Originalrechnung: $\dfrac{5}{*1} : \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{5}{2*}$
 
3. Überlegung: Für den Nenner folgt daraus: $*1\cdot 2=2*$. Für das rechte Sternchen berechnet man $1 \cdot 2 = 2$; für das linke umgekehrt. Das Ergebnis ist also $11\cdot 2=22$
 
Lösung: $\dfrac{5}{11} : \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{5}{22}$ bzw. $\dfrac{5}{11} : 2 \, = \, \dfrac{5}{22}$, was man natürlich auch dafür schreiben kann

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe

4.1 Prozentrechnung - Aufgaben

1. Aufgabe

Wie viel Prozent sind ...

1) $3$ von $24$?
 
2) $23$ von $46$?
 
3) $96{,}32$ von $112$?
 
4) $12$ von $50$?
 
5) $45$ von $120$?
 
6) In einem Affengehege leben $12$ Männchen und $15$ Weibchen. Wie groß ist der prozentuale Anteil der Weibchen?
 
7) Eine Sportmannschaft besteht aus $21$ Spielerinnen, davon sind $5$ Spielerinnen vor der Saison neu hinzugekommen. Gesucht ist der prozentuale Anteil der Neuzugänge.
 
8) Ein Autohersteller hat es geschafft, den Benzinverbrauch von durchschnittlich $5{,}6\,\text{l}$ pro $100\,\text{km}$ auf $4{,}9\,\text{l}$ pro $100\,\text{km}$ zu reduzieren. Wie viel Kraftstoff wird durchschnittlich eingespart?

9) Der Milchpreis ist von $1{,}20 \; \text{EUR}$ auf $1{,}30 \;\text{EUR}$ pro Liter gestiegen. Wie hoch ist der Preisanstieg in Prozent?

10) In einer Box befinden sich $50$ Kugeln, von denen $15$ schwarz und der Rest blau sind. Sie ziehen nun $4$ blaue Kugeln aus der Box. Wie hoch ist der Anteil an schwarzen Kugeln in der Box?

2. Aufgabe

Diese Prozente sollte man im Kopf wissen.

3. Aufgabe

Wie viel sind ...

1) $12 \,\%$ von $384$?
 
2) $67{,}1 \, \%$ von $1.250$?
 
3) $45 \, \%$ von $692$?
 
4) $73 \, \%$ von $14.600$?
 
5) $52{,}6 \, \%$ von $725$?
 
6) In einem Lager sind $72{,}3\,\%$ von $1.200\,\text{l}$ Saft ausgelaufen. Wie viel Saft ist verloren gegangen?
 
7) Es sind $95\,\%$ von $980$ Zügen pünktlich. Wie viele sind das?
 
8) Im Laufe der letzten Jahre ist eine Waschmaschine um $12\,\%$ teurer geworden. Nun kostet sie $357\,\text{EUR}$. Wie hoch ist der Preisanstieg bezogen auf den aktuellen Preis?

9) Ein Geschäft besitzt $500\;\text{kg}$ Reis. Davon verkauft es an einem Morgen $10 \,\%$ und nachmittags nochmal $15\, \%$ der restlichen Menge. Wie viele Kilogramm Reis liegen anschließend noch im Lager?

10) Ein rechteckiges Stück Land ist $15\;\text{m}$ lang und $12\;\text{m}$ breit. Der Grundstücksbesitzer möchte diese Fläche als Kleingarten bewirtschaften und plant $20 \,\%$ des Grundstücks für den Bau einer Gartenhütte ein. Wie groß kann die Grundfläche der Hütte werden?

4. Aufgabe

Wie groß ist der Ausgangswert?

1) $81 \, \%$ entsprechen $162$
 
2) $99 \, \%$ entsprechen $12{,}672$
 
3) $50{,}5 \, \%$ entsprechen $30{,}3$
 
4) $22{,}2 \, \%$ entsprechen $19{,}425$
 
5) $36{,}7 \, \%$ entsprechen $183{,}5$
 
6) Nach einer Grillparty sind noch $2$ Kisten Getränke übrig. Das sind $40\,\%$ der ursprünglich gekauften. Wie viele Kisten wurden eingekauft?
 
7) Der Preis eines Sessels wurde um $32\,\%$ reduziert, sodass er jetzt noch $150\,\text{EUR}$ kostet. Wie teuer war er ursprünglich?
 
8) Eine Wasserpumpe kostet $223\,\text{EUR}$, nachdem ihr Preis auf $75\,\%$ des Originalpreises herabgesetzt wurde. Wie hoch war der Originalpreis?

9) Ein Lebensmittelgeschäft erzielte nach dem Ausverkauf aller vorrätigen Waren Einnahmen in Höhe von $16.800\;\text{EUR}$. Diese Einnahmen betragen nach internen Kalkulationen $20 \,\%$ mehr, als für diese Waren ausgegeben wurde. Wie teuer waren die Waren beim Ankauf?

10) Eine Farm hat nach Geldengpässen $330$ Hühner verkauft. Die restlichen Hühner machen nur noch $40 \,\%$ der ursprünglichen Hühnerpopulation aus. Wie viele Hühner lebten einst auf der Farm?

5. Aufgabe

Ein paar gemischte Aufgaben ...

1) Jemand hat $65\,\%$ seiner Schulden in Höhe von insgesamt $450\,\text{EUR}$ bereits zurückgezahlt. Wie viel ist noch offen?
 
2) Bei einer Radtour sind ein paar Freunde bereits $60\,\text{km}$ geradelt. $20\,\%$ ihrer Strecke haben sie noch vor sich. Wie lang ist die Strecke insgesamt?
 
3) Der Preis einer Hose wurde im Schlussverkauf auf $85 \, \%$ des Originalpreises reduziert, sodass die Hose jetzt noch $59{,}50\,\text{EUR}$ kostet. Wie viel kostete die Hose ursprünglich?
 
4) Der Preis eines Pullovers, der vor dem Schlussverkauf $65{,}99\,\text{EUR}$ kostete, soll um $25 \, \%$ gesenkt werden. Wie teuer ist der Pullover jetzt?
 
5) Ein T-Shirt, das vormals $12\,\text{EUR}$ kostete, kostet nun noch $9\,\text{EUR}$. Um wie viel Prozent ist der Preis reduziert worden?
 
6) Eine Familie macht eine Wanderung von $14.600\,\text{m}$ Länge, von der sie $56\,\%$ bereits geschafft haben. Wie viele $\text{km}$ müssen sie noch laufen?
 
7) In den neuen Bundesländern leben etwa $12{,}5\,\text{Mio.}$ Menschen. Wie viele Personen leben dort prozentual gesehen - bezogen auf Gesamtdeutschland ($81{,}2\,\text{Mio.}$ Einwohner)?
 
8) Wenn in einer Schulklasse $3$ von $28$ Kindern mit der linken Hand schreiben, wie groß ist dann der prozentuale Anteil der Linkshänder/-innen in dieser Klasse?
 
9) Für ein Auto muss $1\,\%$ des Kaufpreises, also $190\,\text{EUR}$ angezahlt werden. Wie teuer ist es?

10) Meerwasser enthält ca. $4 \,\%$ Salz. Wie viele Gramm Süßwasser müssen zu $400\;\text{g}$ Meerwasser gegeben werden, um einen Salzanteil von nur noch $2{,}5 \,\%$ zu erhalten?

6. Aufgabe

Die Marketing-Abteilung der Hochschule hat für eine Veranstaltung $400$ kleine Schokotäfelchen bereitgestellt. $99\,\%$ davon enthalten Nüsse.

Wie viele Tafeln müssen gegessen werden, damit der Anteil von Schokolade mit Nüssen auf $98\,\%$ sinkt?

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Formel
• Berechnung

4.2 Prozentrechnung - Erklärungen

Die Prozentrechnung ist nützlich, wenn Größenverhältnisse verglichen werden sollen. Sie baut auf der Bruchrechnung auf.

Formel

Es gilt: $p =\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\%$ mit

• $p$: Prozentsatz in $\%$
• $W$: Prozentwert
• $G$: Grundwert

Diese Formel kann natürlich umgestellt werden. Man erhält dann $G= \dfrac{W}{p\,\%} \cdot 100$ bzw. $W = \dfrac{p\,\% \cdot G}{100}$

Bemerkung: Achten Sie immer genau darauf, was in der Aufgabe gegeben ist! Besonders Prozent- und Grundwert werden häufig verwechselt.

Berechnung

Eigentlich ist nicht viel zu tun ... Man setzt jeweils die gegebenen Werte in die passende Formel ein und rechnet aus.
Hier ein paar Beispiele:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$p=\dfrac{74}{512}\cdot 100\,\% \approx 14{,}45\,\%$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$G=\dfrac{125}{83\,\%}\cdot 100\,\% \approx 150{,}60$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$W=\dfrac{16\,\%\cdot 49}{100\,\%} = 7{,}84$


Alternative: Alle Prozentaufgaben können auch mit dem Dreisatz berechnet werden. Das macht weder vom Aufwand noch vom Ergebnis her einen Unterschied. Sie können daher einfach ausprobieren, welche Variante Sie bevorzugen.
Wir betrachten dafür noch einmal die Beispiele von oben:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$\begin{array}{rclcr}512 &\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1 &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{512} \cr \cr 74 &\widehat{=}& \dfrac{74 \cdot 100\,\%}{512} &\approx& 14{,}45\,\% \end{array}$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$\begin{array}{rclcr}83\,\% &\widehat{=}& 125 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{125}{83} &\approx& 1{,}51 \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 125}{83} &\approx& 150{,}60 \end{array}$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 49 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{49}{100} &=& 0{,}49 \cr \cr 16\,\% &\widehat{=}& \dfrac{16\cdot 49}{100} &=& 7{,}84 \end{array}$

Naja, ein bisschen mehr ist natürlich doch zu tun … Die bislang besprochenen Aufgaben in diesem Kapitel sind nicht besonders realistisch. Sowohl im Studium als auch in der Arbeitswelt wird Ihnen niemand sagen "Berechnen Sie hier doch mal den Prozentsatz!", sondern es wird sich eine Fragestellung ergeben, bei der Sie selbst auf die Idee kommen müssen, dass der Prozentsatz gesucht ist. Man muss sich also bei jeder Aufgabe genau klarmachen, was gegeben und was gesucht ist. Das ist besonders tricky bei Aufgaben, in denen der Grundwert gesucht ist.
Ein Beispiel:
Der Bambusbecher für Coffee to go kostet in der Mensa $6\;\text{EUR}$. Wie viel kostet er ohne Mehrwertsteuer ($19\,\%$)?
Klar ist, dass $p=19\,\%$, da $p$ immer der Wert mit dem $\%$ ist. Aber wie ist das mit den $6\;\text{EUR}$? In diesem Wert sind Grundwert und Mehrwertsteuer enthalten, die $6\;\text{EUR}$ entsprechen also $100\,\% + 19\,\% = 119\,\%$. Wir möchten den Grundwert ohne die Mehrwertsteuer berechnen. Damit haben wir den Ansatz:
$\begin{array}{rclcr}119\,\% &\widehat{=}& 6\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{6\;\text{EUR}}{119} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 6\;\text{EUR}}{119} &\approx& 5{,}04\;\text{EUR} \end{array}$

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe

4.3 Prozentrechnung - Lösungen

Eine Bemerkung vorab: Der Abwechslung halber und um Ihnen auch Beispiele für diesen Rechenweg zu zeigen, wurden alle Textaufgaben mit dem Dreisatz gelöst. Mit der Prozentformel geht es natürlich auch. Umgekehrt können natürlich auch die anderen Aufgaben mithilfe der Dreisatzrechnung gelöst werden.

Und noch eine Bemerkung: Bei Textaufgaben ist es üblich, einen Antwortsatz zu schreiben.

1. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

Die Prozentformel wird also in der Form $p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \%$ angewendet.

1) $3 \text{ von } 24 = \dfrac{3}{24} \cdot 100 \, \% = 12{,}5 \, \%$

2) $23 \text{ von }46 = \dfrac{23}{46} \cdot 100 \, \% = 50 \, \%$

3) $96{,}32 \text{ von } 112 = \dfrac{96{,}32}{112} \cdot 100 \, \% = 86 \, \%$

4) $12 \text{ von } 50 = \dfrac{12}{50} \cdot 100 \, \% = 24 \, \%$

5) $45 \text{ von } 120 = \dfrac{45}{120} \cdot 100 \, \% = 37{,}5 \, \%$

6)
$\begin{array}{rclcr}27\;\text{Affen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Affe}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{27} \cr \cr 15\;\text{Affen}&\widehat{=}& \dfrac{15\cdot 100\,\%}{27} &\approx& 55{,}56\,\% \end{array}$

Etwa $55{,}56\, \%$ der Affen in diesem Gehege sind weiblich.

7)
$\begin{array}{rclcr}21\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Spieler}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{21} \cr \cr 5\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& \dfrac{5\cdot 100\,\%}{21} &\approx& 23{,}81\,\% \end{array}$

Etwa $23{,}81\, \%$ der Spielerinnen sind neu im Team.

8)
Zunächst müssen wir die Ersparnis berechnen: $5{,}6\,\text{l}-4{,}9\,\text{l}=0{,}7\,\text{l}$

$\begin{array}{rclcr}5{,}6\,\text{l}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{5{,}6} \cr \cr 0{,}7\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{0{,}7\cdot 100\,\%}{5{,}6} &=& 12{,}5\,\% \end{array}$

Es werden $12{,}5\,\%$ Benzin eingespart.

9)
Zunächst muss die absolute Preisänderung berechnet werden: $1{,}30\;\text{EUR} - 1{,}20\;\text{EUR} = 0{,}10\;\text{EUR}$

$\begin{array}{rclcl} 1{,}20\;\text{EUR} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{1{,}2} \cr\cr 0{,}1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{0{,}1 \cdot 100\, \%}{1{,}2} &\approx& 8{,}33\% \end{array}$

Der Milchpreis ist um rund $8{,}33 \,\%$ gestiegen.

10)
Nachdem $4$ Kugeln gezogen wurden, befinden sich noch $46$ Kugeln in der Box. Davon sind immer noch $15$ schwarz und der Rest blau.

$\begin{array}{rclcl} 45 \;\text{Kugeln} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{Kugel} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{46} \cr\cr 15 \; \text{Kugeln} &\widehat{=}& \dfrac{15 \cdot 100\,\%}{46} &\approx& 32{,}61\, \% \end{array}$

Rund $32{,}61 \%$ der in der Box verbliebenen Kugeln sind schwarz.

2. Aufgabe

Bemerkung: Bitte achten Sie darauf, dass bei den Aufgaben 7) und 9) gerundet wurde und deshalb dort das Ungefährzeichen $\approx$ stehen muss.

3. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.

Die Prozentformel wird also in der Form $W = \dfrac{p \cdot G}{100}$ angewendet.

1) $12 \, \% \text{ von } 384 = \dfrac{12 \cdot 384}{100} = 46{,}08$

2) $67{,}1 \, \% \text{ von } 1.250 = \dfrac{67{,}1 \cdot 1.250}{100} = 838{,}75$

3) $45 \, \% \text{ von } 692 = \dfrac{45 \cdot 692}{100} = 311{,}4$

4) $73 \, \% \text{ von } 14.600 = \dfrac{73 \cdot 14.600}{100} = 10.658$

5) $52{,}6 \, \% \text{ von } 725 = \dfrac{52{,}6 \cdot 725}{100} = 381{,}35$

6)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 1.200\,\text{l} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{1.200\,\text{l}}{100} \cr \cr 72{,}3\,\% &\widehat{=}& \dfrac{72{,}3\cdot 1.200\,\text{l}}{100} &=& 867{,}6\,\text{l} \end{array}$

Es sind $867{,}6\,\text{l}$ Saft verloren gegangen.

 
7)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 980\;\text{Züge} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{980\;\text{Züge}}{100} \cr \cr 95\,\% &\widehat{=}& \dfrac{95\cdot 980\;\text{Züge}}{100} &=& 931\;\text{Züge} \end{array}$

Es waren 931 Züge pünktlich.

 
8)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 357\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{357\;\text{EUR}}{100} \cr \cr 12\,\% &\widehat{=}& \dfrac{12\cdot 357\;\text{EUR}}{100} &=& 42{,}84\;\text{EUR} \end{array}$

Der Preis ist um $42{,}84\;\text{EUR}$ angestiegen.

9)
1. Schritt:
Reismenge nach dem ersten Verkauf: $100\, \% - 10 \,\% = 90 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 500 \,\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{500}{100} \;\text{kg} \cr\cr 90 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{90 \cdot 500 \;\text{kg}}{100} &=& 450 \;\text{kg} \end{array}$

2. Schritt:
Die nach dem Morgen verbliebenen $450\;\text{kg}$ stellen nun $100 \,\%$ der Restmenge dar.
Reismenge nach dem zweiten Verkauf: $100 \,\% - 15 \,\% = 85 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\;\% &\widehat{=}& 450 \;\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{450}{100} \;\text{kg} \cr\cr 85 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{85 \cdot 450 \;\text{kg}}{100} &=& 382{,}5 \;\text{kg} \end{array}$

Nach beiden Verkäufen befinden sich noch $382{,}5\;\text{kg}$ Reis im Lager.

10)
Zunächst muss die Grundstücksfläche insgesamt berechnet werden: $15 \;\text{m} \cdot 12 \;\text{m} = 180 \;\text{m}^2$

Nun kann der Anteil der Fläche für die Hütte berechnet werden:
$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 180 \;\text{m}^2 \cr\cr 20 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{180\;\text{m}^2}{5} &=& 36 \;\text{m}^2 \end{array}$

Die Hütte kann eine Grundfläche von $36\;\text{m}^2$ haben.

4. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist