1. Zum Einstieg

Warum dieser Kurs?

Die Erfahrungen der letzten Jahre haben gezeigt, dass die Mathematik den Studienanfängerinnen und Studienanfängern leider zunehmend Schwierigkeiten bereitet. Die Gründe dafür sind vielfältig. Nur zum Teil fehlt es am grundlegenden mathematischen Verständnis. Ein weiteres Phänomen ist vielmehr, dass einfach zu wenig Übung / Routine / Erfahrung mit sogenannten elementaren Rechentechniken besteht. Wer darüber nachdenken muss, ob - und wenn ja wie - der Bruch $\frac{-1+2a-a^2}{a-1}$ gekürzt, d. h. vereinfacht werden kann ("Warum ist das dasselbe wie $1-a$???"), dem kann es schon passieren, bei den weiteren Ausführungen den Anschluss zu verlieren und schließlich nach und nach den Gesamtzusammenhang nicht mehr zu überblicken. Doch das muss nicht sein, deswegen sind Sie ja in diesem Kursraum ...

Sehen Sie diesen Kurs als eine Trainingseinheit, die Sie aufwärmt und oftmals schon in Vergessenheit geratene Gehirnzellen aktiviert. Dieses Training greift nicht dem anstehenden Wettkampf, sprich Studium, vorweg, sondern setzt deutlich davor an. Es hat auch nicht das Ziel, Sie alle zu "Mathematik-Weltmeistern" zu machen. Es geht vielmehr darum, eine gute Basis zu schaffen für alle Themen, die später darauf aufbauen. Nutzen Sie die Gelegenheit zur Übung und Wiederholung, scheuen Sie sich nicht, zu fragen, und setzen Sie sich (alleine oder in Gruppen) mit den Aufgaben ernsthaft auseinander - denn, wenn sich die ersten Erfolge einstellen, dann macht auch Mathematik Spaß!

Was ist vorab wichtig zu wissen?

• Auf den Kapitel-Startseiten erfahren Sie jeweils, welche Lernziele Sie mit diesem Kapitel erreichen sollen.
• Zusätzlich finden Sie auf (fast) allen Kapitel-Oberseiten eine Übersicht über typische Fehler zu den Inhalten des entsprechenden Kapitels. Bekanntermaßen sind die Möglichkeiten, in der Mathematik etwas falsch zu machen, ja sehr vielfältig. Um herauszufinden, welche Fehler am häufigsten auftreten, wurden daher Erstsemester-Klausuren untersucht.
  Selbst wenn Sie sich mit einem Thema schon ganz gut auskennen, lohnt es sich, bei den typischen Fehlern mal hineinzuschauen. Einige lassen sich leicht vermeiden, wenn man sie sich bewusst gemacht hat. Und man muss Fehler, die jemand anders schon gemacht hat, ja nicht unbedingt wiederholen …
• Alle Kapitel (einzige Ausnahme: "Grundlagen") sind in drei Seiten eingeteilt:
  • Die erste Seite enthält Aufgaben.
  • Die zweite Seite umfasst Erklärungen und Beispiele.
  • Auf der dritten Seite finden Sie die Lösungen der Aufgaben.
    
    
• Hier ein Vorschlag aus unserer Erfahrung, wie Sie Ihr Mathe-Training effektiv gestalten können:
  1. Versuchen Sie zunächst die Aufgaben zu lösen, ohne sich die Lösungen anzuschauen. Im Sport lernt man ja auch nicht, indem man der Nationalmannschaft im Fernsehen zuschaut - sondern indem man ganz viel selbst auf dem Sportplatz oder in der Turnhalle aktiv ist.
  2. Bei Schwierigkeiten mit den Aufgaben haben Sie die Möglichkeit, sich mithilfe der Hinweise und Erläuterungen auf der zweiten Seite ("Erklärungen") Lösungsstrategien zu erarbeiten. Dort werden natürlich auch die zum Thema gehörenden Fachbegriffe erläutert.
  3. Erst wenn auch das nicht hilft, sollten die Lösungen angeschaut werden. Selbstverständlich dienen die Lösungen auch zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
     
     
• Die Lösungswege sind in den meisten Fällen sehr ausführlich aufgeschrieben, ausführlicher, als es normalerweise notwendig ist. Das soll es Ihnen erleichtern, die Lösungswege nachzuvollziehen und mit Ihren Ergebnissen zu vergleichen. Umgekehrt bedeutet dies auch: Fehlen bei Ihnen einige Schritte, ist Ihr Lösungsweg nicht automatisch falsch. Gerade einfache Additionen, Multiplikationen etc. oder auch Umsortierungen der Variablen müssen nicht unbedingt hingeschrieben werden, wenn man geübt genug ist, den Lösungsweg auch so zu überblicken. Häufig ist der dargestellte Lösungsweg auch nicht der einzige Weg, der zum richtigen Ergebnis führt, z. B. können manchmal Schritte vertauscht werden. Wie im Sport führen auch hier manchmal mehrere Wege zum Trainings- bzw. Lernziel.
  
  
• Dieser Kurs kann der Reihe nach und vollständig bearbeitet werden. Vermutlich ist es für Ihr Training aber sinnvoller, wenn Sie sich gezielt die Kapitel heraussuchen, die Sie gerade benötigen.
  
• Die Navigation in diesem Kurs kann entweder über die Auswahl einzelner Kapitel im Inhaltsverzeichnis auf der rechten Seite erfolgen oder durch Nutzung der Vor- und Zurückpfeile zu Beginn jeder Seite. Im letzten Kapitel dieses Lernmoduls befindet sich ein Stichwortverzeichnis, über das Sie einzelne Begriffe, die im Lernmodul behandelt werden, direkt anwählen können.
• Wenn Sie die Materialien auf einem Smartphone nutzen, ist es sinnvoll, das Handy für eine größere Darstellung der Bilder und Tabellen quer zu halten.

Worauf sollten Sie achten?

Bitte beachten Sie Folgendes beim Bearbeiten der Übungsaufgaben:

• Es handelt sich eher um rein mathematische Aufgaben und weniger um Aufgaben mit einem wirklichen Anwendungsbezug. Reale Anwendungsaufgaben sind meist komplizierter als das, was wir in der Studienvorbereitung behandeln (können). Solche Aufgaben warten dann im Studium auf Sie.
• Gleichzeitig werden wir mit den Aufgaben und Erklärungen nicht in die mathematische Tiefe vordringen. Das Ziel dieses Lernmoduls ist, die Anforderungen, die im Studium auf Sie warten, möglichst verständlich vorzubereiten und zu begleiten. Dazu werden Konzepte erläutert, Zusammenhänge aufgezeigt und Rechenwege diskutiert. Das geht natürlich nicht ohne eine gewisse mathematische Basis und formale Genauigkeit. Der Fokus der folgenden Kapitel liegt aber immer auf Anschaulichkeit und Klarheit.
• Die Aufgaben sind zum großen Teil so gestaltet, dass sie ohne die Hilfe eines Taschenrechners zu lösen sind. Meistens benötigen Sie rechnerisch nicht (viel) mehr als Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 100 und das kleine Einmaleins. Gerade in diesem Trainingsbereich empfehlen wir es sehr, den Taschenrechner mal beiseitezulegen - aus folgenden Gründen:
  • Es ist sehr wichtig, Größenordnungen abschätzen bzw. überschlagen zu können, um Ergebnisse vom Taschenrechner zu plausibilisieren. Es ist ja nicht soooo unwahrscheinlich, dass man sich mal vertippt oder das Dezimalkomma vergisst ...
  • Spätestens wenn Variablen ins Spiel kommen, helfen "normale" wissenschaftliche Taschenrechner nur noch wenig weiter. "Moderne" wissenschaftliche Taschenrechner können zwar mit Variablen umgehen, aber das hilft in der Klausur meist nicht, da eigentlich immer ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert ist.
  • Es gibt Anhaltspunkte dafür, dass man mathematische Konzepte (wie beispielsweise "Wurzel ziehen") besser versteht, wenn man sie nicht von Anfang an mit einer Taste auf dem Taschenrechner verbindet.
  • Und zuletzt: Aus mathematisch-formaler Sicht ist es auch gar nicht nötig, Ergebnisse als Dezimalzahl darzustellen: $\frac {1}{3}$ bzw. $\sqrt{2}$ u. Ä. sind exakter als Dezimalzahlen - was in der Mathematik grundsätzlich begrüßt wird.
    
    
• Nicht alle Aufgaben, die Ihnen in den nächsten Kapiteln begegnen, sind lösbar. Die Erkenntnis, dass eine Aufgabe keine Lösung hat und welche Gründe das hat, ist ja auch nicht unwichtig oder uninteressant - eher im Gegenteil ...
• Ganz wichtig: Die Aufgaben beziehen sich immer auf alle Themen, die zuvor behandelt wurden, nicht nur auf das Thema des entsprechenden Kapitels.
• Teilweise hilft es, ein wenig "rückwärts" oder "um die Ecke" zu denken ...

Grundsätzliche Tipps - sowohl für die Studienvorbereitung als auch für das Studium:

• Lesen Sie sich die Aufgaben gründlich durch!
• Stellen Sie fest, was gegeben und was gesucht ist!
• Manche Aufgaben lassen sich eher mit etwas Nachdenken und weniger mit viel Rechnen lösen!
• Überprüfen Sie Ihre Lösungen kritisch!

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg mit der Mathematik!

Zum Abschluss des Einstiegs

Wenn Sie Fehler in den Kapiteln finden, die sich trotz aller Sorgfalt nie ganz ausschließen lassen, bin ich über eine kurze Rückmeldung an xenia.jeremias@th-wildau.de dankbar!

Autorin dieses Lernmoduls: Dr. Xenia Valeska Jeremias, bis 14.11.2011 Mitarbeiterin am FB Holztechnik der Hochschule für nachhaltige Entwicklung Eberswalde - seit 15.11.2011 Mitarbeiterin im Zentrum für Studium und Lehre der Technischen Hochschule Wildau

Danksagung: Ich danke Prof. Dr. Johannes Creutziger von der HNE Eberswalde, meinen Kolleginnen/Kollegen Roger Faulhaber, Frederik Freckmann, Johanna Gröpler, Jacqueline Pudör, Christian Rabe und Birgit Sellmer sowie meinen studentischen Hilfskräften der TH Wildau für viele Korrekturen und hilfreiche Anmerkungen!

Dieses Lernmodul ist lizenziert unter CC BY-NC-SA 3.0.

2. Grundlagen - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie können Mengen, Zahlenbereiche, Intervalle und n-Tupel unterscheiden und mathematisch korrekt notieren.
• Sie können Elemente von gegebenen Mengen und Intervallen benennen und entscheiden, ob eine gegebene Zahl Element einer bestimmten Menge/eines bestimmten Intervalls ist.

• Sie erinnern sich an die Grundrechenarten und können mit rationalen Zahlen rechnen.
• Sie können Zahlen auf die angegebene Stelle runden.

• Sie können proportionale und antiproportionale Verhältnisse unterscheiden.
• Sie können in beiden Fällen den Dreisatz berechnen.

• Sie können die grundlegenden Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) anwenden.
• Sie wissen, dass Punktrechnung Vorrang vor Strichrechnung hat und wenden diese Regel in Rechnungen an.
• Sie wissen grundsätzlich, wann und wie Klammern gesetzt werden müssen.

• Sie kennen die Bestandteile eines kartesischen Koordinatensystems.
• Sie können Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnen und aus einem kartesischen Koordinatensystem ablesen.

Typische Fehler in diesem Kapitel sind:

• Die Rangfolge der Rechenoperationen wird nicht beachtet. Erklärung
• Notwendige Klammern werden nicht gesetzt. Erklärung 1 - Erklärung 2

Sonstige Fehler aus allen Kapiteln sind:

• Die Aufgabenstellung wird nicht ausreichend beachtet, z. B.
  • Teile der Aufgabenstellung werden nicht oder nicht zu Ende bearbeitet.
  • Es wird ein anderes Verfahren angewendet als gefordert.
  • Die Lösung wird nicht in der geforderten Form dargestellt.
  • Geforderte Lösungsmengen oder Antwortsätze werden nicht notiert.
  • Tipp: Lesen Sie sich die Aufgabenstellung gründlich durch und markieren Sie alle relevanten Anforderungen (ggf. farbig).
• Der Rechenweg wird nicht nachvollziehbar aufgeschrieben, z. B.
  • Es wird nicht deutlich gemacht, welche Struktur der Lösungsweg hat.
  • Es wird nicht deutlich gemacht, welche Schritte warum in welcher Reihenfolge durchgeführt werden.
  • Es wird nicht deutlich gemacht, welche Rechengesetze/Rechenoperationen angewendet wurden.
  • Tipp: Achten Sie darauf, den Lösungsweg kleinschrittig und ggf. mit Zwischenüberschriften aufzuschreiben, sodass Sie selbst den Überblick behalten und diejenigen, die die Aufgabe korrigieren, auch ...
• Es werden zu viele Rechenschritte auf einmal durchgeführt, was schnell dazu führt, dass man durcheinanderkommt - und am Ende keiner der Rechenschritte richtig ist. Nur wenn die Rechenschritte einzeln aufgeführt sind, kann es trotz Folgefehlern noch (Teil-)Punkte geben.
• Es wird nach Abschluss der Rechnung nicht überprüft, ob
  • das berechnet wurde, was gefordert war.
  • die Ergebnisse plausibel sind.
  • die Einheit des Ergebnisses zum geforderten Wert passt.
  • die Ergebnisse zur Skizze passen.
  • alle in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben in der Rechnung verwendet wurden.
• Zahlenwerte und/oder Variablen gehen im Laufe der Rechnung verloren oder ändern sich ohne ersichtlichen Grund ...

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Weitere Hinweise zum Lösen einer mathematischen Übungsaufgabe, zum Lesen eines mathematischen Lehrbuchtextes sowie zum Mathematisch korrekten Schreiben finden Sie in diesen Studientipps. Dort werden auch die gerade beschriebenen Fehler in den Blick genommen.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Mengen
• Zahlenbereiche
• Intervalle
• n-Tupel

2.1 Grundlagen - Mengen u. a.

In den folgenden Abschnitten wird es um einige Grundlagenbegriffe gehen, die später in verschiedenen Zusammenhängen wichtig werden. Das Kapitel hat nicht den Anspruch, ein mathematisch umfassendes Bild von Mengen etc. aufzuzeigen, sondern vielmehr, Ihnen eine Idee zu vermitteln, was Ihre Mathematikdozenten und -dozentinnen meinen, wenn sie beispielsweise etwas in geschweifte Klammern schreiben oder von n-Tupel reden.

Vorab

Ist eine Zahl $x$ größer als $0$, geschrieben $x>0$, nennt man sie positiv.
Ist eine Zahl $x$ größer oder gleich $0$, geschrieben $x \geq 0$, nennt man sie nichtnegativ.
Ist eine Zahl $x$ kleiner als $0$, geschrieben $x < 0$, nennt man sie negativ.
Den Begriff nichtpositiv für Zahlen, die $x$ kleiner oder gleich $0$ sind, geschrieben $x \leq 0$, verwendet man nicht oder nur sehr selten - aus welchen Gründen auch immer ...

Wichtig: $0$ ist weder positiv noch negativ.

Und noch ein wichtiges Zeichen: $\neq$ bedeutet "ungleich". Beispielsweise ist $3\neq 14$, also "$3$ ungleich $14$".

Mengen

Grundlegendes zu Mengen

Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Es muss entscheidbar sein, ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht. Die Reihenfolge der Elemente ist hingegen nicht von Belang.
Die etwas "unmathematische" Vorstellung: Man hat einen Beutel, in den man Objekte hineinlegt. Entscheidend ist dann die Frage: Ist das Objekt im Beutel enthalten oder nicht? Diese Vorstellung passt auch deswegen, weil Objekte in einem Beutel durcheinander fallen, also keine festgelegte Reihenfolge haben.

Zur Notation: Mengen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, besonders $M$ wird (naheliegenderweise) gerne verwendet. Hat man mehrere Mengen, die $M$ heißen sollen, kann man für die Unterscheidung einen so genannten Index, also eine kleine, tiefgestellte Zahl, zum Durchnummerieren verwenden (Plural von Index ist Indizes, gesprochen: "Indizees"). Für die Angabe der Elemente verwendet man geschweifte Klammern, z. B.

• $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeutet: Die Menge, die die Elemente $1$, $2$ und $3$ (und sonst nichts) enthält.
• $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ bedeutet: Die Menge aller positiven, ungeraden Zahlen. Die drei Punkte $\ldots$ am Ende verwendet man, da es unendlich viele positive, ungerade Zahlen gibt und man eben nicht alle aufschreiben kann.  
• $M_3=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n,m \; \text{ungerade}\right\}$ bedeutet: Die Menge aller Brüche (das ist der Teil vor dem $\vert$ ) mit der Eigenschaft, dass Zähler und Nenner ungerade Zahlen sind (das ist der Teil nach dem $\vert$ ). Z. B. sind $\frac{1} {5}$ und $\frac{9}{3}=3$ in dieser Menge enthalten.

Es gibt verschiedene Aspekte, in denen sich Mengen unterscheiden können:

• Sie können entweder über eine Aufzählung von Elementen (wie bei Mengen $M_1$ und $M_2$) oder über erklärende Eigenschaften (wie bei Menge $M_3$) definiert werden.
• Mengen können endlich viele Elemente (siehe Menge $M_1$) oder unendlich viele Elemente (siehe Mengen $M_2$ und $M_3$) enthalten.

Vielleicht ist es überraschend: Eine ganz wichtige Menge ist die leere Menge, die keine Elemente enthält. Dafür schreibt man das Symbol $\emptyset$.

Und noch ein paar Symbole, die in diesem Zusammenhang wichtig sind:
Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man das Symbol $\in$. Z. B. meint $x \in M_1$ (gesprochen: "x ist Element von M 1"), dass $x$ Teil der Menge $M_1$ ist oder sein soll. $x$ könnte also $1$, $2$ oder $3$ sein.

Ein Symbol für das Gegenteil gibt es natürlich auch: Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert nicht Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man $\not \in$. Z. B. meint $0{,}5 \not\in M_2$ (gesprochen: "$0{,}5$ ist nicht Element von M 2"), dass $0{,}5$ nicht Teil der Menge $M_2$ ist. $0{,}5$ ist eben keine positive, ungerade Zahl.

Bemerkung 1: Um Missverständnissen vorzubeugen, ist es manchmal sinnvoll, Zahlen in einer Menge mit Semikolons zu trennen. Sonst könnte $M_1=\{1, 2, 3\}$ sowohl $M_1=\{1{,}2; 3\}$ als auch $M_1=\{1; 2{,}3\}$ oder $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeuten - und solche Mehrdeutigkeiten sind bei der Verständigung z. B. über Lösungswege sehr hinderlich und auch grundsätzlich in der Mathematik äußerst unbeliebt ...
Bemerkung 2: Üblich ist, die Elemente der Größe nach zu sortieren. Wenn Variablen enthalten sind, werden diese alphabetisch sortiert. Dies hat keine mathematischen Hintergründe (Die Reihenfolge spielt ja hier keine Rolle ...), sorgt aber dafür, dass man den Überblick behält - und das ist ja nie verkehrt!

Spezielle Mengen

Nun noch ein paar Begriffe, die wir später brauchen werden:
Die Schnittmenge $M_S$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Alle Elemente der Schnittmenge müssen in $A$ und in $B$ liegen. Mengen, deren Schnittmenge leer ist, nennt man disjunkt. Dann haben die Mengen keine gemeinsamen Elemente.
Beispiel: Nehmen wir $M_1$ und $M_2$ von oben. Nur die Elemente $1$ und $3$ sind in beiden Mengen enthalten, also besteht daraus ihre Schnittmenge. Mathematisch schreibt man das: $M_S=M_1\cap M_2=\{1;3\}$

Die Vereinigungsmenge $M_V$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in einer der beiden Mengen liegen.
Beispiel: Wir schauen wieder $M_1$ und $M_2$ von oben an. Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nehmen wir erst mal alle Elemente, die in $M_2$ enthalten sind (das sind schließlich mehr). Hinzukommt die $2$ aus der Menge $M_1$ . Um die $1$ und die $3$ aus $M_1$ brauchen wir uns nicht mehr zu kümmern, weil sie ja sowieso schon in $M_2$ enthalten sind. Mathematisch schreibt man das: $M_V=M_1\cup M_2=\{1; 2; 3; 5; 7; 9; \dots \}$

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn alle Elemente von $A$ auch in $B$ enthalten sind.
Beispiel: $M_4=\{3; 5; 9\}$ ist eine Teilmenge von $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ , weil $3$, $5$ und $9$ positive, ungerade Zahlen sind. Mathematisch schreibt man hier: $M_4 \subseteq M_2$ . Um genau zu sein, handelt es sich sogar um eine echte Teilmenge, da in $M_4$ nicht alle Elemente aus $M_2$ enthalten sind, z. B. ist die $1$ ein Element von $M_2$, aber nicht von $M_4$ . Auch hierfür gibt es (natürlich) eine mathematische Schreibweise: $M_4\subset M_2$ . Wenn man einfach von einer Teilmenge (ohne "echt") spricht, können die Mengen also auch gleich sein. Das deutet man bei $\subseteq$ durch den Strich unter dem Bogen an, der an ein Gleichheitszeichen erinnern soll.

Zahlenbereiche

Einige Mengen sind in der Mathematik so wichtig, dass sie eigene Symbole bekommen haben. Diese Symbole haben meistens irgendwo einen Doppelstrich. Beispiele für solch wichtige Mengen sind die verschiedenen Zahlenbereiche:

$\mathbb{N}$: Menge der natürlichen Zahlen, also $0$, $1$, $2$, ...

$\mathbb{Z}$: Menge der ganzen Zahlen, also ..., $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, ...

$\mathbb{Q}$: Menge der rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die sich als Bruch und damit als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen lassen, mathematisch formuliert: $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n, m \in \mathbb{Z}\textrm{; } m \neq 0 \right\}$, z. B. $-4$, $0$, $0{,}\overline{1}$, $0{,}3$, $\frac13$, $\frac22$, $2.000$, ...

$\mathbb{R}$: Menge der reellen Zahlen. Zusätzlich zu den rationalen Zahlen sind hier alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen enthalten, z. B. $0{,}1010010001...$, $\sqrt{2}$, $\sqrt [3]{5}$, $\pi$, ...
Diese "zusätzlichen" Zahlen werden irrationale Zahlen genannt.

Diese Zahlenbereiche sind so gestaltet, dass sie jeweils echte Teilmengen voneinander sind: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen und die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum ist das so? Da in den reellen Zahlen alle Brüche (und noch viel mehr Zahlen) enthalten sind, sind natürlich auch die periodischen und endlichen dabei, sprich die rationalen Zahlen. Bastelt man in den rationalen Zahlen einen Bruch mit dem Nenner $1$, also z. B. $\frac{4}{1}=4$ , landet man bei einer ganzen Zahl. Jede nichtnegative, ganze Zahl ist gleichzeitig eine natürliche Zahl.
Wer möchte, kann das mathematisch so aufschreiben: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Benennung von Variablen

Für den besseren Überblick werden Variablen

• aus der Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen meist $n$ oder $m$,
• aus der Menge der rationalen Zahlen meist $p$ oder $q$ sowie
• aus der Menge der reellen Zahlen meist $x$, $y$ oder $z$

genannt. Es ist natürlich nicht verpflichtend, Variablen so zu benennen - manchmal geht es auch gar nicht ... Diese Namenskonventionen haben sich nur eingebürgert, weil es damit einfacher ist, den Überblick zu behalten, welche Variable aus welchem Zahlenbereich stammt.

Zur Notation: Im Zusammenhang mit den Zahlenbereichen werden häufig weitere Symbole und Schreibweisen verwendet, u. a.

• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $+$ bedeutet, dass nur der positive Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ($0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^+$ (gesprochen: "R plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer als $0$ sind.
• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $-$ bedeutet, dass nur der negative Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ($0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^-$ (gesprochen: "R minus") die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als $0$ sind.
• Eine hinter dem Zahlenbereichssymbol tiefgestellte $0$ bedeutet, dass die $0$ in den Zahlenbereich eingeschlossen wird, z. B. meint $\mathbb{R}^+_0$ (gesprochen: "R null plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $0$ sind. Das ist natürlich nur dann nötig, wenn die $0$ ansonsten nicht in dem Zahlenbereich enthalten wäre.
• Möchte man einzelne Zahlen oder Intervalle aus einem Zahlenbereich ausschließen, verwendet man $\setminus$ , z. B. meint $\mathbb{R} \setminus_{ \{0\} }$ (gesprochen: "R ohne null") die Menge der reellen Zahlen ohne die Zahl $0$.

Bemerkung: Manchmal werden auch andere (ähnliche) Symbole verwendet. Es sollte dann zu Beginn des Textes erklärt sein, welches Symbol für welchen Zusammenhang verwendet wird.

Intervalle

Definition: Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei gegebenen Zahlen $a$ und $b$ liegen, wobei $a$ sein muss. Diese Bedingung $a$ bedeutet dabei nur, dass der untere Rand kleiner sein muss als der obere. Anders gesagt: Ein Intervall ist eine Menge von reellen Zahlen ohne Lücken.
Man unterscheidet abgeschlossene, halboffene und offene Intervalle: Bei offenen Intervallen sind die Randwerte nicht im Intervall enthalten. Abgeschlossene Intervalle umfassen auch die Randwerte. Halboffene Intervalle beinhalten einen der beiden Randwerte.

Zur Notation: Leider ist die Notation hier nicht ganz eindeutig: Man verwendet für die Darstellung von Intervallen eckige und teilweise auch runde Klammern. Nach innen gerichtete eckige Klammern schließen den Randwert in das Intervall ein. Nach außen gerichtete eckige Klammern und innen gerichtete runde Klammern schließen den Randwert aus. Da $+\infty$ (also "plus unendlich") und $-\infty$ (also "minus unendlich") keine (reellen) Zahlen sind, muss das Intervall hier immer offen bzw. halboffen sein. Hier ein paar Beispiele:

• Das abgeschlossene Intervall $\lbrack -1;2 \rbrack$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
  Wenn man die Mengenschreibweise von oben wiederholen möchte, kann man dafür auch $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x \leq 2\}$ schreiben.

• Das halboffene Intervall $[-1;2[$ bzw. $[-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner $2$ sind. Die $2$ selber ist in dem Intervall nicht enthalten. Wichtig: Das bedeutet nicht, dass das Intervall bei $1$ endet! Zwischen $1$ und $2$ liegen ja noch ganz viele weitere reelle Zahlen (z. B. $1{,}000001$; $\sqrt{2}$; $1{,}5$; $\frac{17}{9}$ ), die alle in diesem Intervall enthalten sind.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x < 2\}$
• Das halboffene Intervall $]-1;2]$ bzw. $(-1;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x \leq 2\}$
• Das halboffene Intervall $]-\infty;2]$ bzw. $(-\infty;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer $-\infty$ und kleiner oder gleich $2$ sind. Man benötigt diese Schreibweise z. B., wenn man mithilfe eines Intervalls alle Zahlen beschreiben möchte, die kleiner oder gleich $2$ sind. Da das Intervall ja auch eine untere Grenze braucht, nicht nur eine obere, schreibt man dort $-\infty$.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -\infty < x \leq 2\}$

• Das offene Intervall $]-1;2[$ bzw. $(-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner, aber nicht gleich $2$ sind. In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x < 2\}$

• So etwas wie $[5;2]$ geht nicht, weil der untere Randwert kleiner sein muss als der obere.

Bemerkung: Auch bei Intervallen können das $\in$-und das $\not \in$-Zeichen verwendet werden, z. B. gelten $1{,}5 \in [1;2[$ und $2 \not \in [1;2[$

n-Tupel

Definition: Ein n-Tupel ist eine geordnete Liste von $n$ Zahlen.
Geordnet bedeutet, dass (anders als bei Mengen) die Reihenfolge, in der die Zahlen notiert sind, wichtig ist. $(1;2)$ bedeutet also etwas Anderes als $(2;1)$. Deswegen darf man hier natürlich auch nicht der Größe nach sortieren, wie es für Mengen empfohlen wird.
Statt 2-Tupel sagt man Paar und statt 3-Tupel Tripel.

Kartesisches Produkt von Mengen: Möchte man die Zahlenbereiche festlegen, aus denen die einzelnen Komponenten eines n-Tupels stammen sollen, so notiert man die entsprechenden Zahlenbereichssymbole mit dem Symbol $\times$ dazwischen. Soll beispielsweise die erste Komponente eines Zahlenpaars ein Element der reellen Zahlen und die zweite Komponente ein Element der positiven reellen Zahlen sein, schreibt man $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$.

Zur Notation: Man verwendet für die Darstellung von n-Tupeln runde Klammern, z. B.

• $(1{,}5;-4{,}3)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $1{,}5$ und dessen zweite Komponente $-4{,}3$ ist. So könnte z. B. ein Punkt in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem beschrieben werden.
• $(7;7)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $7$ und dessen zweite Komponente auch $7$ ist. So etwas könnte bei Mengen nicht passieren.
• $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right)$ ist ein Zahlentripel, dessen erste Komponente $\frac{1} {2}$ , dessen zweite Komponente $\frac{1} {3}$ und dessen dritte Komponente $\frac{1} {4}$ ist. Hierbei könnte es sich um einen Punkt in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem handeln.
• $(-12;0;5;28;-35)$ ist ein 5-Tupel, dessen erste Komponente $-12$, dessen zweite Komponente $0$, dessen dritte Komponente $5$, dessen vierte Komponente $28$ und dessen fünfte Komponente $-35$ ist. Solche Angaben werden später bei Vektoren wichtig.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Bezeichnungen
• Rechnen mit rationalen Zahlen
• Quadratzahlen
• Teilbarkeitsregeln
• Runden

2.2 Grundlagen - Grundrechenarten

Wie der Name schon sagt, sind die Grundrechenarten die Grundlage aller weiteren Rechenoperationen. Daher lohnt es sich, einen Blick drauf zu werfen ... 

Bezeichnungen 

Die folgenden Bezeichnungen helfen, wenn über Rechnungen und Aufgaben gesprochen wird. Beispielsweise ist die Aussage "Einer der Summanden ist $3$." eindeutig und deutlich weniger umständlich als "Eine der Zahlen, die vor oder hinter dem Pluszeichen steht, ist $3$." Ebenso ist es bei "der Quotient aus $x$ und $y$" im Vergleich zu "das Ergebnis, das ich erhalte, wenn ich $x$ durch $y$ teile".
Die Bezeichnungen Minuend, Subtrahend, Dividend und Divisor werden weniger häufig verwendet. Man sollte aber zumindest wissen, zu welcher Rechenart sie gehören:

Dass man durch $0$ nicht teilen darf, ist hinlänglich bekannt. Warum ist das so? Die Division beantwortet die Frage "Wie oft muss man den Divisor vom Dividend abziehen, damit das Ergebnis $0$ ist?" Beispiel: $10 : 5$ Wir rechnen $10-5-5 = 0$. Die Antwort ist also $2$. Hätten wir $10 : 0$, kämen wir nie zu einer Antwort.
Ein praxisnäheres Beispiel: Wie verteilt man $10$ Objekte auf $5$ Plätze? Die Antwort: Auf jeden Platz kommen $2$ Objekte. Die Frage "Wie verteilt man $10$ Objekte auf $0$ Plätze?" lässt sich hingegen nicht sinnvoll beantworten.

Wichtig: Sobald Variablen ins Spiel kommen, sieht man manchmal nicht mehr so leicht, ob ein Divisor $0$ ist. Dann müssen spezielle Überlegungen angestellt werden, um diese Fälle auszuschließen.

Manchmal darf man auch ein bisschen faul sein bei der Notation: Solange Missverständnisse ausgeschlossen sind, darf der "Malpunkt" weggelassen werden:

• Beispielsweise meinen $a(b+c)$ und $a \cdot (b+c)$ dasselbe. Bei $5 \, t$ und $5 \cdot t$ ist das ebenso. Logischerweise muss bei Aufgaben wie $4 \cdot 7$ der "Malpunkt" immer hingeschrieben werden ...
• Auch kann der Faktor $1$ bei der Multiplikation weggelassen werden, z. B. ist $x = 1x = 1 \cdot x$.

Es ist in beiden Fällen natürlich nie falsch, den "Malpunkt" einfach mit hinzuschreiben.

Weitere Begriffe

Definition: Die Gegenzahl bzw. das Negative einer Zahl $a$ ist $-a$ . Es gilt: $a+(-a)=0$.
Bemerkung: $-a$ muss nicht kleiner $0$ sein. Im Gegenteil: Für alle negativen Zahlen ist die Gegenzahl positiv, z. B. ist $4$ die Gegenzahl zu $-4$.

Definition: Der Betrag einer Zahl $a$ , in einer Formel: $\left| a\right|$, ist ihr absoluter Wert. D. h. für positive Zahlen und $0$ entspricht der Betrag einer Zahl $a$ der Zahl selber, also $\left| a \right| = a$. Für negative Zahlen entspricht der Betrag einer Zahl $a$ ihrer Gegenzahl, also $\left| a \right| = -a$. Wichtig ist der Betrag z. B. bei Abstandsberechnungen, weil es dabei ja nur auf die absolute Entfernung ankommt und nicht auf die Richtung, in der diese Entfernung durchlaufen wird. Der Betrag, so wie er hier definiert ist, liefert für jede Zahl ihren Abstand vom Nullpunkt.

Definition: Der Kehrwert zu einer Zahl $a$ ist $\dfrac{1} {a}$. Man sagt auch $a$ und $\dfrac{1} {a}$ sind reziprok zueinander. Es gilt: $a \cdot \dfrac{1}{a}=1$.
Bemerkung 1: Da durch $0$ nicht geteilt werden darf, muss hierbei $a \neq 0$ gelten.
Bemerkung 2: $\frac {1}{a}$ muss nicht kleiner $1$ sein, z. B. ist $2$ der Kehrwert zu $\frac{1} {2}$.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Es ist sehr wichtig, die folgenden Rechenregeln zu kennen, auch wenn in vielen Fällen natürlich der Taschenrechner weiterhilft. Sobald nämlich Variablen in den Rechnungen auftauchen, stoßen Taschenrechner sehr schnell an ihre Grenzen ...

Rechenregeln für die Addition rationaler Zahlen

Haben die beiden Summanden das gleiche Vorzeichen, werden die Beträge addiert. Die Summe bekommt das gemeinsame Vorzeichen.
Haben die beiden Summanden unterschiedliche Vorzeichen, zieht man den betragsmäßig kleineren Summanden vom betragsmäßig größeren ab. Die Summe bekommt das Vorzeichen des Summanden, der den größeren Betrag hat.

Die Subtraktion entspricht der Addition der Gegenzahl.

Das bedeutet konkret:

$\begin{array}{rcrcccc} 20+7 &=& 27 &=& +20+(+7) &=& +20-(-7) \cr \cr 20-7 &=& 13 &=& +20+(-7) &=& +20-(+7) \cr \cr -20+7 &=& -13 &=& -20+(+7) &=& -20-(-7) \cr \cr -20-7 &=& -27 &=& -20+(-7) &=& -20-(+7) \end{array}$

Rechenregeln für die Multiplikation rationaler Zahlen

Haben die beiden Faktoren das gleiche Vorzeichen, werden die Beträge multipliziert. Das Produkt ist positiv.
Haben die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen werden die Beträge multipliziert. Das Produkt ist negativ.

Kurze Merkregeln:

• "minus mal minus ist plus" bzw. "plus mal plus ist plus"
• "plus mal minus ist minus" bzw. "minus mal plus ist minus"

Die Division entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert.

Das bedeutet konkret:

$\begin{array}{rcccrcccl} 3 \cdot 9 &=& +3 \cdot (+9) &=& 27 &=& +3 : \left(+\frac{1}{9}\right) &=& 3 : \frac{1}{9} \cr \cr3 \cdot (-9) &=& +3 \cdot (-9) &=& -27 &=& +3 : \left(-\frac{1}{9}\right) &=& 3 : \left(-\frac{1}{9}\right) \cr \cr -3 \cdot 9 &=& -3 \cdot (+9) &=& -27 &=& -3 : \left(+\frac{1}{9}\right) &=& -3 : \frac{1}{9} \cr \cr & & -3 \cdot (-9) &=& 27 &=& -3 : \left(-\frac{1}{9}\right) \end{array}$

Bemerkung 1: "Überzählige" Pluszeichen (also Pluszeichen, die nur eine Vorzeichen- und keine Rechenfunktion haben) müssen nicht hingeschrieben werden.
Bemerkung 2: Immer, wenn ein Rechen- und ein Vorzeichen aufeinandertreffen, werden Klammern gesetzt.

Um die Regel “minus mal plus ist minus” ein bisschen plausibler zu machen, schauen wir uns Addition und Subtraktion auf dem Zahlenstrahl an:
Addiert man eine positive Zahl, beispielsweise $2$, lässt sich dies auf dem Zahlenstrahl als $2$ Schritte nach rechts veranschaulichen. Addiert man die gleiche Zahl mehrfach, wiederholt man diese Schritte. Das kann man als Multiplikation auffassen. Beispiel: $2+2+2 = 6$ ergibt das Gleiche wie $3\cdot 2 = 6$.

Subtrahiert man eine positive Zahl, beispielsweise $2$, lässt sich dies auf dem Zahlenstrahl als $2$ Schritte nach links veranschaulichen. Subtrahiert man die gleiche Zahl mehrfach, wiederholt man ebenfalls diese Schritte. Auch das kann man als Multiplikation auffassen. Beispiel: $-2-2-2 = -6$ ergibt das Gleiche wie $3\cdot (-2) = -6$. Man sieht also, dass die Multiplikation einer positiven mit einer negativen Zahl zu einem negativen Ergebnis führt.

Wichtig sind auch die Quadrat- und Kubikzahlen:

Bemerkung: In vielen Fällen wird ein Punkt gesetzt, um die einzelnen Tausender voneinander abzugrenzen. Manchmal wird stattdessen auch eine kleine Lücke in der Zahl gelassen. Verpflichtend ist beides nicht. Hauptsache, große Zahlen bleiben übersichtlich ...

Teilbarkeitsregeln

Vorab ein paar Begriffe:
Eine Zahl, die ohne Rest durch $2$ teilbar ist, nennt man gerade Zahl. Bleibt beim Teilen durch $2$ ein Rest, nennt man die Zahl ungerade.
Die Quersumme einer Zahl berechnet man, indem man einfach alle Ziffern addiert, z. B. ist die Quersumme von $123$: $1+2+3=6$

Die folgenden Regeln sind insofern bemerkenswert, weil sie Aussagen über die Teilbarkeit kompletter Zahlen ermöglichen - und dafür nur Teilinformationen heranziehen. Z. B. reicht es für die Aussage "$123.456$ ist durch $2$ teilbar." aus, die letzte Ziffer, nämlich die $6$, zu betrachten. Alle anderen Ziffern müssen gar nicht angeschaut werden. Sie sind nicht relevant.
Diese Regeln werden sowohl bei der Bruchrechnung als auch bei Potenzen sehr weiterhelfen.

Eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist, nennt man Primzahl. Jede Zahl ist durch $1$ und sich selbst teilbar - das Besondere an Primzahlen ist, dass sie keine weiteren Teiler haben.

Runden

Gerundet wird u. a., um die Anzahl der Nachkommastellen zu reduzieren oder wenn nur die Größenordnung einer Zahl, nicht aber der exakte Wert wichtig ist. Fürs Runden gibt es folgende Regeln:

• Abrunden: Ist die erste wegzulassende Dezimalstelle kleiner als $5$, wird abgerundet.
• Aufrunden: Ist die erste wegzulassende Dezimalstelle größer oder gleich $5$, wird aufgerundet.

Nach dem Runden ist es wichtig, das Ungefährzeichen $\approx$ anstelle des Gleichheitszeichens $=$ zu verwenden, weil durch das Runden ja Genauigkeit verloren geht.

Ein paar Beispiele:
Beim Runden auf eine Nachkommastelle ist die zweite Nachkommastelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{rcl}1{,}44 &\approx& 1{,}4 \cr 2{,}48 &\approx& 2{,}5 \cr 5{,}12693 &\approx& 5{,}1 \end{array}$

Beim Runden auf drei Nachkommastellen ist die vierte Nachkommastelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{ccrcl} & & 10{,}12348 &\approx& 10{,}123 \cr & & 8{,}8767 &\approx& 8{,}877 \cr 129{,} \overline3 &=& 129{,}3333 \ldots &\approx& 129{,}333 \end{array}$

Es kann auch auf ganze $100.000$ gerundet werden. Dann ist die $10.000$er Stelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{rcl}872.146 &\approx& 900.000 \cr 927.549 &\approx& 900.000 \cr 590.190{,}12 &\approx& 600.000 \end{array}$

Natürlich könnte man auch auf andere Stellen runden.

Wichtig: Runden Sie bei komplexeren Aufgaben nicht zu früh, sondern rechnen Sie so lange wie möglich mit den exakten Werten, weil sich sonst die Rundungsfehler sehr schnell zu problematischen Größenordnungen anhäufen. Ein (zugegebenermaßen leicht übertriebenes) Beispiel:
$1.200\cdot 0{,}003 = 3{,}6$
Rundet man die $0{,}003$ korrekt auf zwei Stellen nach dem Komma, erhält man $0$. Aus unserer Rechnung würde dann $1.200\cdot 0 = 0$
Dass dies kein geschicktes Vorgehen ist, wird spätestens dann deutlich, wenn man sich überlegt, was in dieser Rechnung mit anderen Faktoren passieren würde: Es ist nun völlig egal, ob man $1.200$ mit der "gerundeten $0{,}003$" multipliziert oder $-10.819$ oder $6{,}841841$ - das Ergebnis ist immer $0$.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Punkt- geht vor Strichrechnung
• Kommutativgesetz
• Assoziativgesetz
• Distributivgesetz
• Ausmultiplizieren
• Ausklammern
• Klammern

2.3 Grundlagen - Rechengesetze

Die Gesetze, die in diesem Kapitel besprochen werden, sind ein wenig wie die Regeln im Fußball: Im Sport wird mit den Regeln der zulässige Umgang mit dem Ball und den Mitspielenden festgelegt - in der Mathematik der zulässige Umgang mit Zahlen, Variablen etc. In beiden Fällen entscheidet die Einhaltung der Regeln darüber, ob man ein zulässiges Ergebnis erhält ...
Viele dieser Rechenregeln klingen eher unspektakulär - teilweise sicher auch, weil sie uns so in Fleisch und Blut übergegangen sind, dass wir gar nicht immer merken, wenn wir sie anwenden. Dieses Kapitel soll sie noch mal ins Bewusstsein rufen. Gleichzeitig macht es deutlich, dass diese Rechengesetze nicht selbstverständlich sind. Wenn im Verlauf der Mathematikausbildung weitere mathematische Objekte wie Vektoren und Matrizen hinzukommen, muss immer wieder die Frage gestellt werden, ob die Gesetze, die wir hier als "normal" ansehen, dafür auch gelten - und nicht überall ist das dann auch tatsächlich der Fall.

Das vielleicht wichtigste Rechengesetz zuerst: Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Das heißt: Eine Kombination aus Summe/Differenz und Produkt/Quotient lässt sich nicht einfach von links nach rechts zusammenfassen.
Nur Klammern können diese Reihenfolge ändern.

Klammern sind also in vielen Fällen unerlässlich, weil sie und zwar nur sie die "normale" Rangfolge der Rechenoperationen ändern können. Ein paar Beispiele:

Sie sehen, dass es tatsächlich einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge man die Rechenoperationen anwendet. Wichtig ist also, nicht einfach "drauf los" zu rechnen, sondern sich die Struktur der Aufgaben erst in Ruhe anzuschauen. Wenn man weiß, was auf einen zukommt, ist es viel einfacher, den Überblick zu behalten und die Rangfolge nicht durcheinander zu bringen.
Das ist nicht nur bei solch einfachen Rechnungen so, wo man den Unterschied recht schnell sieht, sondern erst recht dann, wenn die Rechnungen komplexer werden bzw. Variablen ins Spiel kommen. Anders gesagt: Beachtet man die Rangfolge der Rechenoperationen nicht, passieren quasi zwangsläufig Fehler. Manchmal sieht man die Fehler früher, manchmal später und manchmal fallen sie gar nicht auf ...
Das bedeutet zum Beispiel auch, dass Sie zwingend daran denken müssen, Klammern zu setzen, wenn im Laufe einer Rechnung mit einer Summe oder Differenz multipliziert werden muss. Dass Sie mit einer Summe oder Differenz multiplizieren müssen, wird häufig bei vielen verschiedenen Themen vorkommen, z. B. beim Lösen einer Bruchgleichung, wo mit dem Nenner multipliziert werden muss, oder beim Ableiten von verketteten Funktionen, wo mit der inneren Ableitung multipliziert werden muss. Es ist daher extrem wichtig, dass Sie sich jetzt schon mit diesen Rechenregeln vertraut machen - denn niemand wird Ihnen bei solchen Aufgaben im Studium sagen, dass Sie an die Klammern denken sollen …

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a,b \in \mathbb{R}$:

Im Gegensatz zur Addition und Multiplikation sind die Subtraktion, die Division und die Potenzierung im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ.

Hinweis: Bei allen folgenden Beispielen müssen die Gleichungen von außen nach innen gelesen werden.
Beispiele für kommutative Rechenoperationen

Beispiele für nicht kommutative Rechenoperationen

Das Kommutativgesetz ist nicht in allen Situationen so selbstverständlich, wie es manchmal scheint. Gerade im Alltag gibt es viele Situationen, in denen Handlungen oder Vorgehensweisen nicht vertauschbar sind. Denken Sie beispielsweise daran, was passieren würde, wenn Sie morgens erst die Jacke und dann das Unterhemd anziehen oder erst die Marmelade und dann die Butter aufs Brot streichen ...

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz wird auch Verknüpfungs- oder Klammergesetz genannt.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a, b \in \mathbb{R}$:

Im Gegensatz zur Addition und Multiplikation sind die Subtraktion, die Division und die Potenzierung im Bereich der reellen Zahlen nicht assoziativ.

Hinweis: Auch hier muss wieder von außen nach innen gelesen werden.
Beispiele für assoziative Rechenoperationen

Beispiele für nicht assoziative Rechenoperationen

Das Assoziativgesetz, das ja besagt, dass es in bestimmten Situationen egal ist, wie man bei gleichartigen Rechenoperationen die Klammern setzt, gilt glücklicherweise für sehr viele Rechenoperationen. Wichtig: Kommen verschiedene Rechenoperationen zusammen, ist es meist überhaupt nicht egal, wie die Klammern gesetzt werden!
Auch in der Sprache ist das grundsätzlich anders: Beim Wort "Wollhosenträger" kann man nicht ohne Weiteres entscheiden, ob es sich um einen Hosenträger aus Wolle oder um den Träger einer Wollhose handelt ...

Das Assoziativgesetz ist der Grund, warum $-(a \cdot b) = -1 \cdot (a \cdot b) = -1 \cdot a \cdot b = -ab$ gilt.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz stellt eine Verknüpfung zwischen verschiedenen Rechenoperationen her, z. B. zwischen Multiplikation und Addition bzw. Subtraktion.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a,b,c \in \mathbb{R}$:

Erklärung: Das Zeichen $\pm$ (gesprochen: "plusminus") ist eine abkürzende Schreibweise und bedeutet, dass die Gleichung sowohl gilt, wenn an dieser Stelle ein $+$ steht als auch, wenn dort ein $-$ steht. Man liest in der Gleichung entweder bei allen Doppelzeichen das Obenstehende oder bei allen Doppelzeichen das Untenstehende.

Hinweis: Lesen Sie bitte wieder von außen nach innen.
Beispiele für distributive Rechenoperationen

Beispiel für nicht distributive Rechenoperationen

Eine direkte Folge des Distributivgesetzes ist das sogenannte Ausmultiplizieren (auch "Klammern auflösen" genannt): $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.
Beim Ausmultiplizieren muss man also jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multiplizieren. Beispiel:
$\begin{array}{rcl}(5-14)\cdot(-10+1) &=& 5\cdot(-10) + 5\cdot 1+(-14)\cdot(-10)+(-14)\cdot 1 \cr &=& -50+5+140-14 \cr &=& 81 \end{array}$
Alternativ hätte man hier natürlich auch einfach $(5-14)\cdot(-10+1) = -9\cdot(-9) = 81$ rechnen können ... Sobald Variablen ins Spiel kommen, geht es aber nicht mehr ohne die Formel oben.

Wendet man die Rechenvorschrift von rechts nach links an, heißt der Vorgang Ausklammern oder Faktorisieren. Der Begriff "Faktorisieren" macht deutlich, dass dadurch ein Produkt entsteht.
Beim Ausklammern muss man zuerst alle Summanden so weit wie möglich in Faktoren zerlegen. Der größte gemeinsame Faktor kann dann vor die Klammer gezogen werden. Den "Rest" jedes Summanden schreibt man in die Klammer. Alternativ kann man jeden Summanden durch den größten gemeinsamen Faktor dividieren, um zu ermitteln, was in der Klammer stehen bleibt. Beispiel:
$\begin{array}{rcl} -60-\dfrac{5}{2}+35 &=& -5\cdot 12+(-5)\cdot\dfrac{1}{2}-5\cdot (-7) \cr &=& -5\left(12+\dfrac{1}{2}-7\right) \end{array}$
Wenn man jede Seite zusammenrechnet, erhält man $-\dfrac{55}{2} = -5\cdot\dfrac{11}{2}$. Passt!

Ausmultiplizieren und Ausklammen sind Gegenoperationen. Das bedeutet, dass sie sich gegenseitig aufheben. Wenn Sie also unsicher sind, ob Sie richtig ausgeklammert haben, können Sie die Probe durchführen, indem Sie die Klammer wieder ausmultiplizieren.

Das Distributivgesetz ist der Grund, warum ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen in der Klammer ändert: $-(-a+b) = -1 \cdot (-a+b) = -1 \cdot (-a) + (-1) \cdot (+b) = a-b$

Bitte beachten Sie den Unterschied zum roten Kasten beim Assoziativgesetz!

Bei $-x$ versteckt sich diese Rechenregel ein bisschen, aber $-x$ meint ja $-1\cdot x$ und ist damit auch eine Multiplikation. Wenn $x$ irgendeine Summe ist, z. B. $x = -4+17y$, müssen also unbedingt Klammern gesetzt werden: $-x = -(-4+17y) = -1\cdot(-4+17y) = -1\cdot(-4)+(-1)\cdot(+17y) = 4-17y$

Klammern sind wichtig!

Last but not least: Ein paar grundsätzliche Dinge zu Klammern:

• Da Klammern die einzige Möglichkeit sind, Einfluss auf die Rechenreihenfolge zu nehmen (siehe oben), sollte man sich immer sorgfältig überlegen, ob welche gebraucht werden. Das gilt vor allem dann, wenn verschiedene Rechenoperationen aufeinandertreffen. Dabei gilt: Einmal Klammern zu viel ist fast immer besser als einmal Klammern zu wenig! Wenn Sie sich nicht sicher sind, schreiben Sie also lieber Klammern hin.
  Auch der Taschenrechner berechnet exakt das, was Sie eingeben, und achtet dabei peinlich genau auf jede einzelne Klammer …
  
  
• Wenn ein Term ansonsten zu unübersichtlich werden würde, können Sie verschiedene Arten von Klammern nutzen, z. B. runde, eckige, geschweifte, spitze.
  Achtung: Bei Mengen, Intervallen und n-Tupel haben verschiedene Arten von Klammern unterschiedliche Bedeutungen! Hier darf also nicht "einfach so" eine andere Klammerart genutzt werden.
  
  
• Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst! Ein Beispiel:
  

  $4\cdot\left(\right.-$

  $\left(20\right.$

  $-$

  $\left(7+8\right)$

  $\left.\right)$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(2-6\right)$

  $\cdot$

  $\left(\frac{1}{2}+1\right)$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $\left(20\right.$

  $-$

  $15$

  $\left.\right)$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(2-6\right)$

  $\cdot$

  $\left(\frac{1}{2}+1\right)$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $5$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(-4\right)$

  $\cdot$

  $\frac{3}{2}$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $5$

  $-$

  $18$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.$

  $-22$

  $\left.\right)$

  $=$

  $-88$

  Achten Sie bitte darauf, dass in der dritten Zeile natürlich "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" gilt! Das Produkt $3\cdot\left(-4\right)\cdot\frac{3}{2}$ muss daher zuerst berechnet werden.
  
  
• Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Dafür wird es im Kapitel Bruchrechnung noch ein paar Beispiele geben.
  
  
• Und natürlich sollte es immer so viele öffnende Klammern wie schließende geben ...

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Proportional und Antiproportional
• Berechnung

2.4 Grundlagen - Dreisatz

Der Dreisatz, auch Verhältnisgleichung oder Schlussrechnung genannt, ist ein üblicherweise dreischrittiges Verfahren, mit dem aus drei gegebenen Größen eine vierte berechnet werden kann, wenn die Größen in einem bestimmten Verhältnis zueinanderstehen. Bereits Adam Ries beschrieb dieses Vorgehen im 16. Jahrhundert in seinen Rechenbüchlein.

Proportional und Antiproportional

Zunächst müssen wir zwei wichtige Formen von Verhältnissen klären.

Zwei Größen heißen proportional zueinander, wenn sie sich im gleichen Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Verdreifacht sich die eine Größe, verdreifacht sich auch die andere. Wird die eine Größe durch $5$ dividiert, wird auch die andere Größe durch $5$ dividiert. Und so weiter …
Merksätze: „Je mehr, desto mehr.“ oder „Je weniger, desto weniger.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Ursprungsgerade:

Zwei Größen heißen antiproportional (auch indirekt oder umgekehrt proportional) zueinander, wenn sie sich im umgekehrten Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Wird die eine Größe mit $3$ multipliziert, wird die andere durch $3$ dividiert. Wird die eine Größe durch $5$ dividiert, wird die andere mit $5$ multipliziert. Und so weiter …
Merksätze: „Je mehr, desto weniger.“ oder „Je weniger, desto mehr.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Hyperbel:

Berechnung

Ist ein Paar zusammengehörender Werte bekannt, kann über den Dreisatz ein zweites Paar berechnet werden, wenn dort nur ein Wert gegeben ist. Für die konkrete Berechnung schauen wir uns zwei Beispiele an.

Möchte man Eierkuchen für $3$ Personen backen, benötigt man $420\,g$ Mehl. Wie viel Mehl benötigt man für $8$ Personen?		Eine Tippgemeinschaft bestehend aus $5$ Personen hat im Lotto gewonnen. Jede/r von ihnen erhielt $55.800 \;\text{EUR}$. Wie viel Geld hätte jede/r gewonnen, wenn die Tippgemeinschaft aus $6$ Personen bestanden hätte?
Als erstes muss entschieden werden, ob eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung vorliegt.
Für doppelt so viele Personen werden doppelt so viele Eierkuchen, sprich doppelt so viel Mehl, benötigt. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung.		Besteht die Tippgemeinschaft aus doppelt so vielen Personen, ist der Gewinnanteil für jede Person nur halb so groß. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung.
1. Schritt: Zunächst müssen die gegebenen Werte in eine Art Gleichung geschrieben werden. Praktischerweise sollte dabei die Größe, deren Wert gesucht ist, auf der rechten Seite stehen. Bitte achten Sie darauf, dass zwischen den Werten kein Gleichheitszeichen, sondern ein "entspricht"-Zeichen $\begin{array}{rcl}\widehat{=}\end{array}$ stehen muss. $3$ Personen sind sicher nicht das Gleiche wie $420\,g$ Mehl ...
2. Schritt: Bei beiden Varianten wird als Zwischenschritt die Entspricht-Gleichung so umgeformt, dass auf der linken Seite $1$ "Einheit" steht, was auch immer diese Einheit ist. Hier wird also berechnet, wieviel Mehl für "$1$ Person" nötig ist bzw. wieviel Geld "$1$ Person" bekommen würde. Dazu wird der Wert auf der linken Seite entsprechend multipliziert oder dividiert. Achtung 1: Beim Dreisatz wird nur multipliziert und dividiert, nie addiert oder subtrahiert! Achtung 2: Abhängig davon, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, unterscheiden sich die Vorgehensweisen! Bei einer proportionalen Zuordnung wird auf der rechten Seite exakt die gleiche Rechenoperation durchgeführt wie links. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist die Gegenoperation nötig, sprich: Wird auf der linken Seite multipliziert, muss rechts dividiert werden und umgekehrt.
3. Schritt: Wir formen weiter um, sodass sich in der dritten Zeile links der aus der Aufgabenstellung gegebene Wert ergibt. Auf der rechten Seite steht dann das Ergebnis. Achtung: Ebenso wie oben unterscheiden sich hier die Vorgehensweisen für proportionale und antiproportionale Zuordnungen.
Ergebnis: Möchte man Eierkuchen für $8$ Personen backen, benötigt man $1.120\,g$ Mehl.		Ergebnis: Würde die Tippgemeinschaft aus $6$ Personen bestehen, bekäme jede/r nur $46.500\;\text{EUR}$.

Eine Erkenntnis zum Abschluss: Die Einheiten verändern sich bei Dreisatzrechnungen nicht. Das führt insbesondere dazu, dass untereinander immer gleiche Einheiten stehen.

Worauf man achten muss

Es gibt natürlich auch Fragestellungen, bei denen die Größen weder proportional noch antiproportional zueinander sind.

Ein Beispiel: Zwei Musiker spielen das Lied „Happy Birthday“ in $25$ Sekunden. Wie lange brauchen vier Musiker? Natürlich hat die Anzahl der Musizierenden keinen Einfluss auf die Dauer – die Aufgabe klingt also nur nach Dreisatz … Man muss sich also immer vor der Dreisatzrechnung davon überzeugen, dass die Größen tatsächlich voneinander abhängig sind.

Auch das Eierkuchenbeispiel von oben ist durchaus problematisch: Wir sind stillschweigend davon ausgegangen, dass die Portionsgrößen alle gleich sind, sprich dass alle gleich viel essen. Dies muss aber nicht so sein: Stellen Sie sich vor, es kommen zwei kleine Kinder und sechs ausgehungerte Jugendliche zum Essen … Dann werden die Portionsgrößen sehr unterschiedlich sein. Nur zu prüfen, ob es sich um eine "Je mehr, desto mehr"- oder um eine "Je mehr, desto weniger"-Zuordnung handelt, ist also zu wenig. Es muss sichergestellt sein, dass jede Einheit gleich groß ist, gleich viel kostet etc. Insbesondere wenn viele Faktoren eine Größe beeinflussen, ist das häufig schwierig festzustellen.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Das zweidimensionale Koordinatensystem
• Das dreidimensionale Koordinatensystem

2.5 Grundlagen - Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem ist ein geometrisches Schema, welches benutzt wird, um Punkte, Funktionsgraphen etc. eindeutig zu positionieren. In diesem Lernmodul werden nur Koordinatensysteme, bei denen die Achsen im rechten Winkel zueinanderstehen, verwendet. Man nennt sie auch kartesische Koordinatensysteme - nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes, der sich als einer der ersten intensiv mit ihnen beschäftigt hat und damit für ihre Verbreitung gesorgt hat.

Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem

Für zwei Dimensionen (sprich: für die Ebene) braucht man naheliegenderweise zwei Achsen. Die horizontale Achse nennen wir in einem solchen Fall Abszisse, die vertikale Achse Ordinate. Heißen die Variablen $x$ und $y$, sagt man statt Abszisse auch x-Achse und statt Ordinate auch y-Achse; bei anderen Variablenbezeichnungen entsprechend. Die Achsen sollten immer beschriftet werden. Wenn es sich anbietet, kann dazu der inhaltliche Zusammenhang einschließlich der entsprechenden Einheit verwendet werden, z. B. "Zeit in Stunden". Um die Darstellung im Koordinatensystem nicht zu verzerren, ist es meist hilfreich, auf beiden Achsen die gleiche Skaleneinteilung zu verwenden. Um das Koordinatensystem vollständig zu machen, bekommen die Achsen an ihrem positiven Ende einen kleinen Pfeil, der andeutet, dass auch größere Zahlenwerte betrachtet werden könnten.
Jeder Punkt in diesem Koordinatensystem hat eine eindeutige "Adresse", die aus zwei Koordinaten besteht: einer x-Koordinate und einer y-Koordinate. Man schreibt dafür $P \; (x \mid y)$. Wichtig dabei ist die Reihenfolge: Der erste Wert bezieht sich immer auf die x-Achse und gibt an, wie weit links oder rechts sich der Punkt befindet. Der zweite Wert bezieht sich immer auf die y-Achse und gibt an, wie weit oben oder unten sich der Punkt befindet. Formal gesehen ist ein Punkt also ein 2-Tupel oder Paar. Der Punkt $(0 \mid 0)$ heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung.
Punkte werden klassischerweise mit großen lateinischen Buchstaben, am liebsten mit $A$, $B$, $C$ und $D$ oder $P$, $Q$ und $R$, bezeichnet. Auch hier können Indizes verwendet werden. Für den Koordinatenursprung hat sich der Buchstabe $O$, vom lateinischen Wort origo für Ursprung, eingebürgert.

Schauen wir uns ein paar Punkte im Koordinatensystem (siehe Grafik rechts) an:

$P1 \; (1 \mid 2)$
$P2 \; (-3 \mid 8)$
$P3 \; (-6 \mid -4{,}5)$
$P4 \; (9 \mid -9)$

Das obere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 1. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte positiv.
Das obere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 2. Quadrant. Hier sind die x-Werte negativ und die y-Werte positiv.
Das untere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 3. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte negativ.
Das untere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 4. Quadrant. Hier sind die x-Werte positiv und die y-Werte negativ.

Bitte wundern Sie sich nicht über die Reihenfolge der Nummerierung. Drehungen entgegengesetzt des Uhrzeigersinns sind in der Mathematik die Regel und werden auch als "mathematisch positiv" bezeichnet. Warum man oben rechts angefangen hat zu zählen, ist vermutlich klar ;-).

Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem

Das Ganze gibt es (natürlich) auch mit drei Achsen, um mathematische Objekte im Raum beschreiben zu können. Wieder stehen (zumindest in diesem Lernmodul) diese Achsen senkrecht zueinander und schneiden sich im Punkt $O \; (0\mid 0 \mid 0)$. Sie können sich das wie die Ecke eines "normalen" Zimmers (ohne Dachschräge und so) vorstellen. In jeder Kante (Wand-Wand, Boden-Wand, Boden-andere Wand) liegt dann eine Achse.

Wenn wir bei den Bezeichnungen von oben bleiben, kommt zur x- und y-Achse nun die z-Achse hinzu. Gelegentlich werden sie auch $x_1$-, $x_2$- und $x_3$-Achse genannt oder die Bezeichnungen an den inhaltlichen Zusammenhang angepasst, aber das ändert logischerweise nichts an den Grundsätzen. Üblicherweise nutzt man die z-Achse, um die Höhe zu beschreiben, und die x- und y-Achse für die Grundfläche, wobei die x-Achse nach vorne und die y-Achse zur Seite zeigt. Dadurch entsteht ein so genanntes Rechtssystem oder auch rechtshändiges Koordinatensystem. D. h., wenn man den Daumen der rechten Hand in Richtung der x-Achse zeigen lässt, zeigen der Zeigefinger in Richtung der y-Achse und der Mittelfinger in Richtung der z-Achse.

Wichtig zu beachten ist, dass eine zweidimensionale Darstellung eines dreidimensionalen Objektes immer eine Verzerrung bewirkt. Im klassischen Schrägbild zeichnet man die x-Achse in einem Winkel von 135° zu den beiden anderen Achsen ein (schräg nach vorne), wobei die Einheiten dieser Achse um den Faktor $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ verkürzt werden. Meist beschränkt man sich auf die positiven Abschnitte der Achsen, weil das Gesamtbild sonst zu unübersichtlich würde.


Auch hier hat jeder Punkt anhand der Koordinaten eine "Adresse". Diese muss natürlich aus drei Komponenten bestehen - für jede Achsenrichtung eine. Um den Punkt $P \; (x\mid y \mid z)$ in das Koordinatensystem einzutragen, verfährt man folgendermaßen:

1. $x$ Einheiten parallel zur x-Achse abtragen (also nach vorne oder - wenn $x$ negativ ist - nach hinten)
2. von dort $y$ Einheiten parallel zur y-Achse abtragen (also nach rechts oder - wenn $y$ negativ ist - nach links)
3. von dort $z$ Einheiten parallel zur z-Achse abtragen (also nach oben oder - wenn $z$ negativ ist - nach unten)

Ein Beispiel: In dem Koordinatensystem ist der Punkt $P \; (4\mid 5 \mid 1)$ inklusive Hilfslinien eingezeichnet.

In dieser Grafik sieht man allerdings auch, welches Problem bei Punkten in einem solchen dreidimensionalen Koordinatensystem auftritt: Sie lassen sich zwar problemlos einzeichnen. Das Ablesen eines gegebenen Punktes liefert jedoch keine eindeutigen Koordinaten. Der eingezeichnete Punkt könnte beispielsweise auch die Koordinaten $(2\mid 4 \mid 0)$ oder $(5\mid 5{,}5 \mid 1{,}5)$ haben. Allein aus der Darstellung kann man den Unterschied nicht erkennen. Zur Veranschaulichung von Funktionsgebirgen (das sind Graphen von Funktionen mit mehreren Variablen) und Vektoren lohnt sich das Zeichnen solcher Koordinatensysteme trotzdem.

3. Bruchrechnung - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie erinnern sich an die Begriffe der Bruchrechnung.
• Sie wissen, was das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist und können dieses berechnen.
• Sie wissen, was der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist und können diesen berechnen.
• Sie verstehen Visualisierungen von Bruchteilen.
• Sie können Brüche erweitern und kürzen.
• Sie wissen, was ein Hauptnenner ist und wozu man ihn braucht.
• Sie können zwei Brüche gleichnamig machen.
• Sie können Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
• Sie können Brüche in gemischte Zahlen umwandeln und umgekehrt.
• Sie wissen, warum gemischte Zahlen mit Vorsicht zu behandeln sind.
• Sie können Brüche in Dezimalzahlen umrechnen und umgekehrt.

Typischer Fehler in diesem Kapitel ist:

• Brüche werden vor dem Addieren und Subtrahieren nicht gleichnamig gemacht. Erklärung

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe
• 7. Aufgabe
• 8. Aufgabe
• 9. Aufgabe

3.1 Bruchrechnung - Aufgaben

Alle diese Aufgaben sollten Sie ohne Taschenrechner berechnen. Sinn der Übung ist ja nicht, dass Sie Ihren Taschenrechner bedienen lernen, sondern dass Sie den Umgang mit Brüchen trainieren. Spätestens in Kapitel 5, in dem Variablen ins Spiel kommen, hilft Ihnen der Taschenrechner ohnehin nur noch eingeschränkt weiter ... Wenn man dann den Umgang mit Brüchen nie geübt hat, gehen auch Ableitungen und Integrale leicht schief - selbst wenn man die wesentlich komplizierteren Ableitungs- und Integrationsregeln eigentlich kann.

1. Aufgabe

Erweitern Sie die folgenden Brüche mit der jeweils angegebenen Zahl!

2. Aufgabe

Erweitern Sie die folgenden Brüche so, dass sie gleichnamig werden.

3. Aufgabe

Kürzen Sie die folgenden Brüche so weit wie möglich!

4. Aufgabe

Wandeln Sie die folgenden unechten Brüche in gemischte Zahlen um und umgekehrt. Kürzen Sie die entstehenden Brüche, wenn möglich.

5. Aufgabe

Wandeln Sie folgende Brüche in Dezimalzahlen um (wenn nötig, gerundet auf 4 Stellen nach dem Komma) und umgekehrt.

6. Aufgabe

Berechnen Sie folgende Aufgaben.

7. Aufgabe

8. Aufgabe

Berechnen Sie so schnell wie möglich und ohne Hilfsmittel!
Wie viel ist die Hälfte von zwei Drittel von drei Viertel von vier Fünftel von fünf Sechstel von sechs Siebtel von sieben Achtel von acht Neuntel von neun Zehntel von $10$?

9. Aufgabe

Gesucht ist für jedes Sternchen eine Ziffer (also $0$, $1$, $2$, ... $9$) oder - falls sich keine Ziffer finden lässt - eine möglichst kleine natürliche Zahl, sodass die Rechnungen stimmen. Verschiedene Sternchen innerhalb einer Aufgabe können dabei durchaus verschiedene Ziffern / Zahlen bedeuten. Begründen Sie Ihre Ergebnisse!

Bemerkung: Diese Aufgaben sind ein bisschen tricky, führen aber gleichzeitig sehr schön in mathematische Denkweisen und Argumentationen ein - und benötigen dabei nicht mehr als die Grundrechenarten und Bruchrechnung.

1) $\dfrac{*}{11}-\dfrac{28}{*} \, = \, 0$

2) $\dfrac{*}{3}\cdot \dfrac{*}{8} \, = \, \dfrac{35}{*}$

3) $\dfrac{5}{*}+\dfrac{*}{5} \, = \, 4\dfrac{9}{10}$

4) $\dfrac{1}{5}-\dfrac{*}{9} \, = \, -\dfrac{1}{*}$

5) $\dfrac{*}{4}+\dfrac{13}{*} \, = \, \dfrac{0}{*}$

6) $\dfrac{5}{*1} : \dfrac{2}{*} \, = \, \dfrac{5}{2*}$

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Was ist ein Bruch?
• Welche Arten von Brüchen gibt es?
• Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"
• Rechenregeln für Brüche
• Brüche und Klammern
• Dezimalzahlen

3.2 Bruchrechnung - Erklärungen

Bei den Zahlenbereichen hatten wir schon gesehen, dass es nicht nur ganze Zahlen gibt, sondern auch gebrochene. In diesem Kapitel schauen wir uns diese Zahlen und den Umgang mit ihnen etwas genauer an.

Was ist ein Bruch?

Bei einem Bruch $\dfrac {p}{q}$ heißt $p$ Zähler und $q$ Nenner.
Der Bruchstrich steht dabei für eine Division. Auch wenn für $p$ und $q$ grundsätzlich beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden dürfen, ist es üblich, in Brüchen ganze Zahlen zu verwenden, also $p,q \in \mathbb{Z}$. Immer gilt, dass der Nenner $q \neq 0$ sein muss, da durch $0$ nicht geteilt werden darf!

Aufgrund der Rechenregeln für die Division gilt:

• $\dfrac{p}{p}=1$ für alle Zahlen $p \in \mathbb{R}\backslash_{ \{0\} }$
  
  
• $\dfrac{-3}{4}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$
  
  
• $\dfrac{3}{4}=\dfrac{+3}{+4}=\dfrac{-3}{-4}=+\dfrac{3}{4}$
  
  

Zur Schreibweise: Es ist egal, ob man $4 \cdot \dfrac{3}{10}$ oder $\dfrac{3}{10} \cdot 4$ oder $\dfrac{4 \cdot 3}{10}$ schreibt. Allerdings ist bei allen drei Schreibweisen der "Malpunkt" zwingend erforderlich, da $4 \dfrac{3}{10}$ als $4 + \dfrac{3}{10}$ verstanden wird. Bei $\dfrac{4 \cdot 3}{10}$ erklärt es sich eigentlich von selbst, warum der "Malpunkt" hier nicht einfach weggelassen werden darf ...

Bemerkung: Man kann Bruchstriche auch schräg schreiben. Das spart Platz und ist manchmal übersichtlicher.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Man unterscheidet folgende Arten von Brüchen:

Echte und unechte Brüche

Bei echten Brüchen ist der Betrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist kleiner als $1$, z. B. $\dfrac {3}{8}=0{,}375$ oder $-\dfrac {4}{5}=-0{,}8$.

Bei unechten Brüchen ist der Betrag des Zählers größer als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist größer als $1$, z. B. $\dfrac{11}{8}=1{,}375$ oder $-\dfrac{17}{5}=-3{,}4$.

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, z. B. $\dfrac {13}{6}=\dfrac{12}{6}+\dfrac{1}{6}=2+ \dfrac{1}{6} = 2 \dfrac{1}{6}$ oder $-\dfrac{13}{6}=-\left(2+\dfrac{1}{6}\right)$.

Ganz wichtig: Bitte beachten Sie, dass die ganze Zahl und der Bruch addiert werden, auch wenn das Pluszeichen weggelassen wird! Normalerweise werden in der Mathematik ausschließlich Malzeichen nicht geschrieben, wenn die Formel o. Ä. trotz des Weglassens eindeutig bleibt. Dies hier ist die große Ausnahme. Da das in vielen Fällen zu Verwirrung führt, sollte diese Schreibweise nur verwendet werden, wenn es dafür wichtige Gründe gibt! Und davon gibt es nicht sehr viele ...
Im Übrigen werden gemischte Zahlen eigentlich gar nicht benötigt. Echte und unechte Brüche reichen vollkommen aus, um alle Brüche abzubilden. Als Alternative gibt es auch noch die Dezimalzahlen. Statt einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, ist es üblicherweise besser, ihn einfach so stehen zu lassen.

Gleichnamige und ungleichnamige Brüche

Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Der entsprechende Nenner heißt Hauptnenner der Brüche. Z. B. sind die Brüche $\dfrac{1} {5}$ und $\dfrac{4} {5}$ gleichnamig. Ihr Hauptnenner ist $5$.

Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben, heißen ungleichnamig, z. B. sind die Brüche $\dfrac{2} {3}$ und $\dfrac{2} {7}$ ungleichnamig.

Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"

Für das Erweitern und Kürzen, worum es ein Stück weiter unten gehen wird, sind die Konzepte vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und vom größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ (also $a, b \in \mathbb {N}$) nützlich:

Definition: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $a$ und $b$ ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $a$ als auch ein Vielfaches von $b$ ist, z. B. ist das kgV von $3$ und $5$ gleich $15$.

Die Bestimmung des kgV hilft u. a., wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen, z. B. $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24}$. Natürlich wäre auch $48=6 \cdot 8$ ein Hauptnenner von $\dfrac {1}{6}$ und $\dfrac {1}{8}$. Allerdings wären dann die Zähler und Nenner jeweils doppelt so groß und üblicherweise rechnet es sich mit kleineren Zahlen leichter.

Definition: Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist die größte natürliche Zahl, durch die sich sowohl $a$ als auch $b$ ohne Rest teilen lässt, z. B. ist der ggT von $7$ und $21$ gleich $7$.

Zahlen, deren ggT gleich $1$ ist, heißen teilerfremd.

Rechenregeln für Brüche

Erweitern und Kürzen

Zwei Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. $\dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}=\dfrac{6}{16}$.

Zwei Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. $\dfrac{4}{12}=\dfrac{4 : 4} {12 : 4}=\dfrac{1}{3}$.
Wenn ein Bruch gekürzt werden soll, hilft die Bestimmung des ggT, z. B. ist $4$ der ggT von $4$ und $12$.

Es versteht sich (hoffentlich) von selbst, dass $0$ keine geeignete Zahl zum Erweitern oder Kürzen ist, weil man ja nun mal durch $0$ nicht teilen darf ...

Achtung: Aus Summen darf man nicht kürzen! Summen gehören ja schließlich zur Strichrechnung und das Kürzen zur Punktrechnung.

Noch ein paar Worte zum Kürzen aus Summen:
Auch wenn man es nicht auf den ersten Blick sieht, handelt es sich hierbei um eine Kombination von Addition/Subtraktion und Division, über die wir uns im Kapitel Rechengesetze schon Gedanken gemacht hatten. Wenn im Zähler oder Nenner eine Summe/Differenz steht, entsteht genau die Situation, in der wir auf die Rangfolge der Rechenoperationen achten müssen: Der Bruchstrich steht ja für eine Division und wirkt somit wie eine Klammer. Dazu kommt, dass auch das Kürzen eine Art von Dividieren ist. All das verträgt sich nicht mit der Strichrechnung ...
Käme man bei $\frac{4+11}{4}$ auf die Idee, die $4$ im Zähler mit der $4$ im Nenner zu „kürzen“, erhielte man als Ergebnis $11$.
Richtig ist aber $\frac{4+11}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$

Addition und Subtraktion

Zwei gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält, z. B. $\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{4+3}{10}=\dfrac{7}{10}$.

Zwei ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann addiert, z. B. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}+\dfrac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}$.

Zwei gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält, z. B. $\dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7-3}{10}=\dfrac{4}{10}$.

Zwei ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann subtrahiert, z. B. $\dfrac{4} {5}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12}{15}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12-1}{15}= \dfrac{11}{15}$.

Ganz wichtig: Es gibt keine Rechenregel, die besagt, dass die Nenner irgendwie addiert bzw. subtrahiert werden müssen. Die Addition und Subtraktion von Brüchen funktioniert wirklich nur auf dem Weg, der hier vorgestellt wurde. Das gilt auch, wenn die Brüche Variablen enthalten, wie das in späteren Kapiteln der Fall sein wird. Dann mag es manchmal etwas umständlich sein, die Brüche gleichnamig zu machen - es muss aber sein!
Was passiert, wenn man die Brüche nicht gleichnamig macht, sehen sie an folgendem Vergleich:
Richtig ist: $\frac{1}{2} +\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} > 1$
Addiert man - fälschlicherweise - Zähler und Nenner von $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ separat, erhält man $\frac{4}{6} < 1$. Da kann also was nicht stimmen…

Multiplikation und Division

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, z. B. $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 7}=\dfrac{3} {28}$.

Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert, z. B. $\dfrac{1}{6} : \dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{11}{2}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 2}=\dfrac{11}{12}$.

Bemerkung zur Multiplikation und Division: Nützlich ist, immer vor dem Multiplizieren zu überprüfen, ob die Brüche gegeneinander gekürzt werden können, da dadurch die Zahlen kleiner werden. Je früher in einer Rechnung gekürzt wird, desto handlicher bleibt die Aufgabe.
Beispiel: Multipliziert man bei $\dfrac{33}{14} \cdot \dfrac{280}{15}$ einfach die beiden Zähler und die beiden Nenner, erhält man $\dfrac{9{.}240}{210}$, wo nicht offensichtlich ist, durch welche Zahl gekürzt werden kann. Kürzt man vor dem Multiplizieren, sieht die Rechnung so aus: $\dfrac{33}{14} \cdot \dfrac{280}{15} = \dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{20}{5} = 11 \cdot 4 = 44$
Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $15$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ sowie die $14$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $280$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $14$ gekürzt.
Damit geht die gesamte Rechnung problemlos im Kopf ...

Bemerkung allgemein: Ist das Ergebnis einer Bruchrechnungsaufgabe ein Bruch, sollte dieser so weit wie möglich gekürzt werden. Abhängig von der Aufgabenstellung (z. B. wenn die Größenordnung von Bedeutung ist) kann es sinnvoll sein, das Ergebnis als Dezimalzahl oder in Ausnahmefällen als gemischte Zahl darzustellen. In anderen Situationen, z. B. beim Multiplizieren oder beim Abschätzen von Wurzeln, eignen sich Brüche wesentlich besser.

Brüche und Klammern

Im vorherigen Kapitel hieß es schon, dass ein Bruchstrich wie eine Klammer wirkt. Eine Klammer muss immer dann gesetzt werden, wenn der Bruchstrich durch : ersetzt wird bzw. wenn mehrere Brüche auf einem Bruchstrich zusammengefasst werden! Hier nun die versprochenen Beispiele:

• $\dfrac{x+10}{3x-17}=(x+10) : (3x-17)$
  Diese Schreibweise ist z. B. für die Polynomdivision wichtig.
  
  
• $\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{5\cdot (x+10)}{4\cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50}{12x-68}$
  Hier müssen im zweiten Bruch Klammern gesetzt werden, weil die Regel für die Multiplikation von Brüchen ja lautet "Zähler mal Zähler" und "Nenner mal Nenner". Ohne Klammern hätte man $5\cdot x+10$ und $4\cdot 3x -17$ , würde also nur einen Teil vom zweiten Zähler/Nenner mit dem Zähler/Nenner vom ersten Bruch multiplizieren.
  
  
• $\dfrac{5-8x}{7x+4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{(5-8x) \cdot (x+10)}{(7x+4) \cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50-8x\cdot x-80x}{21x\cdot x-119x+12x-68}$

Hier ist es ebenso. Zusätzlich gelten natürlich auch bei Brüchen die "ganz normalen" Rechengesetze, wie Distributiv-, Kommutativ- und Assoziativgesetz. Anders gesagt: Ausmultiplizieren funktioniert im Zähler und Nenner genauso wie ohne Bruch drumherum ...

Zum Abschluss noch ein Beispiel, nur mit Zahlen, damit leichter zu sehen ist, warum das mit den Klammern auch wirklich wichtig ist:

Dezimalzahlen

Auch bei den Dezimalzahlen, manchmal "Kommazahlen" genannt, unterscheidet man verschiedene "Sorten":

• Endliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen, z. B. $1{,}25$ oder $10 {,}123456789987654321$
  
  
• Unendliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen
  Hier unterscheidet man weiter:
  • Periodische Dezimalzahlen: Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich innerhalb der unendlichen Folge von Nachkommastellen ein bestimmtes Muster immer wieder, z. B. $0{,}33333...$ oder $0{,}142857\,142857...$ oder $0{,} 756565656...$. Dies macht man kenntlich, indem man nur das erste Auftreten dieser Periode notiert - mit einem horizontalen Strich darüber, z. B. $0{,}33333...=0{,}\overline{3}$ oder $0{,}142857142857...=0{,}\overline {142857}$ oder $0{,}756565656...=0{,}7\overline{56}$ . Dann benötigt man keine Pünktchen mehr dahinter. Sie sollen ja nur andeuten, dass die Zahl unendlich weitergeht und nicht nach den angegeben Nachkommastellen aufhört. Der (mathematische) Unterschied zwischen $0{,}33333$ und $0{,}33333...$ ist zwar nicht groß, aber er ist da ...
  • Nicht periodische Dezimalzahlen: Nicht periodische Dezimalzahlen haben kein solches Muster in ihrer unendlichen Folge von Nachkommastellen, z. B. $0{,}1010010001...$ oder $\sqrt{2}=1{,}414213562...$ oder $\pi=3{,} 141592653...$ (die beiden letzten Beispiele werden Sie in den Kapiteln Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bzw. Geometrie kennen lernen). Wichtig ist auch hier, dass die drei kleinen Pünktchen am Ende nicht vergessen werden. Benötigt man nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen (was ja meistens der Fall ist), muss entsprechend gerundet werden.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen: Dezimalzahlen erhält man, indem man den Zähler eines Bruches durch seinen Nenner teilt. Hier ein paar Beispiele:

Wie Sie sehen, entstehen auf diese Art und Weise endliche oder periodische Dezimalzahlen, aber keine nicht periodischen. 

Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche: Natürlich kann man endliche oder periodische Dezimalzahlen auch in Brüche "rück-umformen" ... Bei endlichen Dezimalzahlen nimmt man dafür die Nachkommastelle(n) der Dezimalzahl als Zähler und ergänzt im Nenner eine $10$, wenn der Zähler eine Stelle hat, eine $100$, wenn der Zähler zwei Stellen hat, eine $1.000$, wenn der Zähler drei Stellen hat, und so weiter ... Bei periodischen Dezimalzahlen funktioniert es genauso, nur dass im Nenner eine $9$, eine $99$, eine $999$ und so weiter ... stehen muss. Anschließend kann man häufig noch kürzen.
Auch hier ein paar Beispiele:

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe
• Lösung zur 7. Aufgabe
• Lösung zur 8. Aufgabe
• Lösung zur 9. Aufgabe

3.3 Bruchrechnung - Lösungen

1. Aufgabe

2. Aufgabe

1) $\dfrac{10}{13}=\dfrac{10 \cdot 3}{13 \cdot 3}=\dfrac{30}{39}$   und   $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13}= \dfrac{26}{39}$

2) $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5}=\dfrac{40}{45}$   und   $\dfrac{4}{15}= \dfrac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3}=\dfrac{12}{45}$

3) $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\dfrac{3} {24}$   und   $\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4}=\dfrac{20}{24}$

4) $\dfrac{99}{12}=\dfrac{99 \cdot 3}{12 \cdot 3}=\dfrac{297}{36}$   und   $\dfrac{5}{18}=\dfrac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2}=\dfrac{10}{36}$

5) $\dfrac{11}{20}=\dfrac{11 \cdot 19}{20 \cdot 19}=\dfrac{209}{380}$   und   $\dfrac{2}{19}=\dfrac{2 \cdot 20}{19 \cdot 20}=\dfrac{40}{380}$

6) $\dfrac{20}{7}=\dfrac{20 \cdot 50}{7 \cdot 50}=\dfrac{1000}{350}$   und   $\dfrac{7}{50}=\dfrac{7 \cdot 7}{50 \cdot 7}= \dfrac{49}{350}$

7) $\dfrac {17}{3}=\dfrac{17 \cdot 3}{3 \cdot 3}=\dfrac{51}{9}$   und   $\dfrac{10}{9}$

8) $\dfrac {3}{11}=\dfrac{3 \cdot 6}{11 \cdot 6}=\dfrac{18}{66}$   und   $\dfrac {1}{6}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11}=\dfrac{11}{66}$

9)  $\dfrac {32}{27}=\dfrac{32 \cdot 2}{27 \cdot 2}=\dfrac{64}{54}$   und   $\dfrac {3}{2}=\dfrac{3 \cdot 27}{2 \cdot 27}=\dfrac{81}{54}$ 

10) $\dfrac{3}{100}$   und   $\dfrac{7}{4}=\dfrac{7 \cdot 25}{4 \cdot 25}=\dfrac{175}{100}$

11) $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10}=\dfrac{10}{20}$   und   $\dfrac{1} {20}$ und $\dfrac{3}{10}=\dfrac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2}=\dfrac{6}{20}$

12) $\dfrac {1}{3}=\dfrac{1 \cdot 220}{3 \cdot 220}=\dfrac{220}{660}$   und   $\dfrac{7}{20}=\dfrac{7 \cdot 33}{20 \cdot 33}=\dfrac{231}{660}$ und $\dfrac {2}{11}=\dfrac{2 \cdot 60}{11 \cdot 60}=\dfrac{120}{660}$

13) $\dfrac {7}{4}=\dfrac{7 \cdot 5}{4 \cdot 5}=\dfrac{35}{20}$   und   $\dfrac{1}{20}$ und $\dfrac {132}{5}=\dfrac{132 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\dfrac{528}{20}$

14) $\dfrac {3}{70}=\dfrac{3 \cdot 6}{70 \cdot 6}=\dfrac{18}{420}$   und   $\dfrac{201}{30}=\dfrac{201 \cdot 14}{30 \cdot 14}=\dfrac{2814}{420}$ und $\dfrac {1}{14}=\dfrac{1 \cdot 30}{14 \cdot 30}=\dfrac{30}{420}$

15) $\dfrac {5}{21}=\dfrac{5 \cdot 4}{21 \cdot 4}=\dfrac{20}{84}$   und   $\dfrac {1}{12}=\dfrac{1 \cdot 7}{12 \cdot 7}=\dfrac{7}{84}$   und   $\dfrac {4}{3}=\dfrac{4 \cdot 28}{3 \cdot 28}=\dfrac{112}{84}$   und   $\dfrac {2}{21}=\dfrac{2 \cdot 4}{21 \cdot 4}=\dfrac{8}{84}$

16) $\dfrac {3}{4}=\dfrac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12}=\dfrac{36}{48}$   und   $\dfrac {1}{8}=\dfrac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6}=\dfrac{6}{48}$   und   $\dfrac {13}{16}=\dfrac{13 \cdot 3}{16 \cdot 3}=\dfrac{39}{48}$   und   $\dfrac {5}{24}=\dfrac{5 \cdot 2}{24 \cdot 2}=\dfrac{10}{48}$

17) $\dfrac {3}{5}=\dfrac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14}=\dfrac{42}{70}$   und   $\dfrac {20}{7}=\dfrac{20 \cdot 10}{7 \cdot 10}=\dfrac{200}{70}$   und   $\dfrac {13}{2}=\dfrac{13 \cdot 35}{2 \cdot 35}=\dfrac{455}{70}$   und   $\dfrac {54}{70}$

18) $\dfrac {19}{2}=\dfrac{19 \cdot 180}{2 \cdot 180}=\dfrac{3420}{360}$   und   $\dfrac {13}{6}=\dfrac{13 \cdot 60}{6 \cdot 60}=\dfrac{780}{360}$   und   $\dfrac {37}{120}=\dfrac{37 \cdot 3}{120 \cdot 3}=\dfrac{111}{360}$   und   $\dfrac {91}{180}=\dfrac{91 \cdot 2}{180 \cdot 2}=\dfrac{182}{360}$

19) $\dfrac {1}{7}=\dfrac{1 \cdot 72}{7 \cdot 72}=\dfrac{72}{504}$   und   $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8 \cdot 56}{9 \cdot 56}=\dfrac{448}{504}$   und   $\dfrac{33} {14}=\dfrac{33 \cdot 36}{14 \cdot 36}=\dfrac{1188}{504}$   und   $\dfrac{10}{63}=\dfrac{10 \cdot 8}{63 \cdot 8}=\dfrac{80}{504}$   und   $\dfrac {25}{24}=\dfrac{25 \cdot 21}{24 \cdot 21}=\dfrac{525}{504}$

20) $\dfrac {1}{2}=\dfrac{1 \cdot 90}{2 \cdot 90}=\dfrac{90}{180}$   und   $\dfrac{1} {3}=\dfrac{1 \cdot 60}{3 \cdot 60}=\dfrac{60}{180}$   und   $\dfrac{1} {4}=\dfrac{1 \cdot 45}{4 \cdot 45}=\dfrac{45}{180}$   und   $\dfrac{1} {5}=\dfrac{1 \cdot 36}{5 \cdot 36}=\dfrac{36}{180}$   und   $\dfrac {1} {6}=\dfrac{1 \cdot 30}{6 \cdot 30}=\dfrac{30}{180}$   und   $\dfrac{1} {15}=\dfrac{1 \cdot 12}{15 \cdot 12}=\dfrac{12} {180}$   und   $\dfrac{1} {36}=\dfrac{1 \cdot 5}{36 \cdot 5}=\dfrac{5}{180}$

3. Aufgabe

4. Aufgabe

5. Aufgabe

6. Aufgabe

Wichtig: Bei allen Multiplikations- und Divisionsaufgaben, in denen gemischte Zahlen enthalten sind, muss die gemischte Zahl vor dem Multiplizieren bzw. Dividieren in einen unechten Bruch umgewandelt werden, sonst kommen anschließend Punkt- und Strichrechnung durcheinander ...
Zur Wiederholung: Dies ist die einzige Stelle in der Mathematik, bei der nicht ein Malzeichen, sondern ein Pluszeichen weggelassen wird. Steht in einer Aufgabe z. B. die gemischte Zahl $1\dfrac{1}{2}$, ist damit die Summe $1+\dfrac{1} {2}$ gemeint. Diese Schreibweise verkompliziert Rechnungen also eher bzw. macht sie fehleranfälliger. Sie wird in diesem Lernmodul auch nur eingeführt, weil z. B. einige Taschenrechner sie verwenden und es deswegen nötig ist zu verstehen, wie sie gelesen werden muss.

1) $\dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{3}{2} \, = \, \dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} \, = \, \dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{6}{4} \, = \, \dfrac{9}{4} \, = \, 2\dfrac{1}{4}$ 

2) ${ 1\dfrac{5}{6}+2\dfrac{7}{8}=\dfrac{6}{6}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{16}{8}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{11}{6}+\dfrac{23}{8}=\dfrac{11 \cdot 4}{6 \cdot 4}+\dfrac{23 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\dfrac{44}{24}+\dfrac{69}{24}=\dfrac{113}{24}=4\dfrac{17}{24} }$ 

3) $\dfrac{3}{2} \, + \, 12 \, = \, \dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{24}{2} \, = \, \dfrac{27}{2}\, = \, 13 \dfrac{1} {2}$

4) $\dfrac{9}{11} \, + \, \dfrac{3}{4} \, = \, \dfrac{9\cdot 4}{11\cdot 4} \, + \, \dfrac{3\cdot 11}{4\cdot 11} \, = \, \dfrac{36}{44} \, + \, \dfrac{33}{44} \, = \, \dfrac{69}{44} \, = \, 1\dfrac{25}{44}$

5) $\dfrac{1}{7} \, - \, \dfrac{3}{5} \, = \, \dfrac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} \, - \, \dfrac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} \, = \, \dfrac{5}{35} \, - \, \dfrac{21}{35} \, = \, - \dfrac{16}{35}$

6) $11 \, - \, \dfrac{13}{3} \, = \, \dfrac{33}{3} \, - \, \dfrac{13}{3} \, = \, \dfrac{20}{3} \, = \, 6\dfrac{2}{3}$

7) ${4 \dfrac{2}{9} \, - \, 1 \dfrac{1}{3} \, = \, \dfrac{36}{9} \, + \, \dfrac{2}{9} \, - \, \left( \dfrac{3}{3} \, + \, \dfrac{1}{3} \right) \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{4}{3} \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{12}{9} \, = \, \dfrac{26}{9} \, = \, 2 \dfrac{8}{9}}$

8) $-\dfrac{20}{7} \, - \, \dfrac{7}{10} \, = \, -\dfrac{20\cdot 10}{7\cdot 10} \, -\, \dfrac{7\cdot 7}{10\cdot 7} \, =\, -\dfrac{200}{70} \, - \, \dfrac{49}{70} \, = \, -\dfrac{249}{70} \, = \, -3\dfrac{39}{70}$

9) $\dfrac{42}{5} \, \cdot \, \dfrac{10}{63} \, = \, \dfrac{2}{1} \, \cdot \, \dfrac{2}{3} \, = \, \dfrac{4}{3} \, = \, 1\dfrac{1}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $42$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $63$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $21$ sowie die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt. Das Kürzen kann natürlich auch schrittweise (z. B. erst durch $7$ und dann durch $3$ - kleines Einmaleins!) erfolgen, wenn man nicht sofort sieht, dass die $21$ sowohl in der $42$ als auch in der $63$ enthalten ist.

10) $\dfrac{7}{9} \, \cdot \, 6 \, = \, \dfrac{7}{9} \, \cdot \, \dfrac{6}{1} \, = \, \dfrac{7}{3} \, \cdot \, \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{14}{3} \, = \, 4 \dfrac{2}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $6$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

11) $34 \, \cdot \, \dfrac{1}{2} \, = \, \dfrac{34}{2} \, = \, 17$

12) $2\dfrac{1}{4} \, \cdot \, \dfrac{2}{7} \, = \, \dfrac{9}{4} \, \cdot \, \dfrac{2}{7} \, = \, \dfrac{9}{2} \, \cdot \, \dfrac{1}{7} \, = \, \dfrac{9}{14}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $2$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

13) $\dfrac{3}{8} \, : \, \dfrac{5}{4} \, = \, \dfrac{3}{8} \, \cdot \, \dfrac{4}{5} \, = \, \dfrac{3}{2} \, \cdot \, \dfrac{1}{5} \, = \, \dfrac{3}{10}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $4$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

14) $\dfrac{5}{6} \, : \, \dfrac{25}{12} \, = \, \dfrac{5}{6} \, \cdot \, \dfrac{12}{25} \, = \, \dfrac{1}{1} \, \cdot \dfrac{2}{5} \, = \, \dfrac {2}{5}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $25$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ sowie die $6$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $12$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $6$ gekürzt.

15) $\dfrac{8}{9} : \dfrac{4}{27} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{27}{4} = 6$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $4$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $4$ sowie die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $27$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

16) ${4\dfrac{2}{5} \, : \, 3\dfrac{1}{10} \, = \, \left(\dfrac{20}{5}\, +\, \dfrac{2}{5}\right) \, : \, \left(\dfrac{30}{10}\, +\, \dfrac{1}{10}\right) \, =\, \dfrac{22}{5} \, : \, \dfrac{31}{10} \, = \, \dfrac{22}{5} \, \cdot \, \dfrac{10}{31} \, = \, \dfrac{44}{31} = 1\dfrac {13}{31}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

17) $4 \, - \, \dfrac{2}{3} \, \cdot \, \dfrac{5}{8} \, = \, 4 \, - \, \dfrac{1}{3} \, \cdot \, \dfrac{5}{4} \, = \,\dfrac{16}{4} \, - \, \dfrac{5}{12} \, = \,\dfrac{16}{4} \, - \, \dfrac{5}{12}\, = \, \dfrac{48}{12} \, - \, \dfrac{5}{12} \, = \, \dfrac{43}{12} \, = \, 3\dfrac{7}{12}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $8$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

18) ${ \dfrac{1}{2} \, + \, 5 \, : \, \dfrac{10}{13} \, + \, 2\dfrac{1}{8} \, = \, \dfrac{1}{2} \, + \, 5 \, \cdot \, \dfrac{13}{10} \, + \, \dfrac{16}{8} \, + \, \dfrac{1}{8} \, = \, \dfrac{1}{2} \, + \, \dfrac{13}{2} \, + \, \dfrac{17}{8} \, = \, \dfrac{4}{8} \, + \, \dfrac{52}{8} \, + \, \dfrac{17}{8} \, = \, \dfrac{73}{8} \, = \, 9\dfrac{1}{8} }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (erster Faktor) mit der $10$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

19) ${\dfrac{13}{7} \, : \, \left(-\dfrac{26}{21}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, \dfrac{13}{7} \, \cdot \, \left(-\dfrac{21}{26}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, \dfrac{1}{1} \, \cdot \, \left(-\dfrac{3}{2}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, 1 \, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{1}\right) \, \cdot \, \dfrac{4}{9} \, = \, -\dfrac{4}{9} }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier der Übersichtlichkeit wegen in zwei Schritten gekürzt:
1. Es wurden die $13$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $26$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $13$ sowie die $7$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $21$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $7$ gekürzt.
2. Es wurden die $3$ (Zähler vom gekürzten zweiten Faktor) mit der $27$ (Nenner vom dritten Faktor) durch $3$ sowie die $2$ (Nenner vom gekürzten zweiten Faktor) mit der $8$ (Zähler vom dritten Faktor) durch $2$ gekürzt.

20) ${-\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{15}{4} \, \cdot \, \left(-\dfrac{16}{5}\right) \, - \, \dfrac{9}{6} \, : \, \left(-3\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{15}{4} \, \cdot \, \left(-\dfrac{16}{5}\right) \, - \, \dfrac{9}{6} \, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{3}\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{3}{1} \, \cdot \, \left(-\dfrac{4}{1}\right) -\dfrac{3}{6}\, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{1}\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \,- \, 12 \, + \, \dfrac{1}{2} \, = \, -\dfrac{26}{2} \, = \, -13 }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier in beiden Produkten gekürzt:
1. Produkt: Es wurden die $15$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $5$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ sowie die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $16$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.
2. Produkt: Es wurden die $9$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $3$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

7. Aufgabe

1) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{3}{2}}{\frac{7}{3}} = \dfrac{3}{2} : \dfrac{7}{3} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{14}$ 

2) $\genfrac{}{}{1pt}{0} {\frac{-5}{-3}}{-\frac{25}{4}} = \dfrac{-5}{-3} : \left( -\dfrac{25}{4} \right) = \dfrac{5}{3} \cdot \left( -\dfrac{4}{25} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \left( -\dfrac{4}{5} \right) = - \dfrac {4}{15}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $25$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

3) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-15}{\frac{11}{-30}} = -15 : \left(\dfrac{11}{-30} \right) = -15 \cdot \left(-\dfrac{30}{11} \right) = \dfrac{450}{11}$

4) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{8}{12}}{5} = \dfrac{8}{12} : \dfrac{5}{1} = \dfrac{8}{12} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{15}$

5) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{38}{-3}}{\frac{19}{4}} = \dfrac{38}{-3} : \dfrac{19}{4} = -\dfrac{38}{3} \cdot \dfrac{4}{19} = -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{1} = -\dfrac{8}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $38$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $19$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $19$ gekürzt.

6) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{27}{16}}{\frac{3}{11}} = \dfrac{27}{16} : \dfrac{3}{11} = \dfrac{27}{16} \cdot \dfrac{11}{3} = \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{11}{1} = \dfrac{99}{16}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $27$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $3$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

7) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{113}{\frac{17}{2}} = 113 : \dfrac{17}{2} = 113 \cdot \dfrac{2}{17} = \dfrac{226}{17}$

8) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-42}{5}}{102} = \dfrac{-42}{5} : \dfrac{102}{1} = -\dfrac{42}{5} \cdot \dfrac{1}{102} = -\dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{1}{17} = -\dfrac{7}{85}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $42$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $102$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $6$ gekürzt.

9) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{1}{9}}{\frac{1}{81}} = -\dfrac{1}{9} : \dfrac{1}{81} = -\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{81}{1} = -\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{9}{1} = -9$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $81$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

10) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14}{23}}{-6} = \dfrac{14}{23} : \left(-\dfrac{6}{1} \right) = \dfrac{14}{23} \cdot \left(-\dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{7}{23} \cdot \left( -\dfrac{1}{3} \right) = -\dfrac{7}{69}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $14$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $6$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

11) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{21}{8}}{-\frac{12}{5}} = -\dfrac{21}{8} : \left(-\dfrac{12}{5} \right) = -\dfrac{21}{8} \cdot \left(-\dfrac{5}{12} \right) = -\dfrac{7}{8} \cdot \left( -\dfrac{5}{4} \right) = \dfrac{35}{32}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $21$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $12$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

12) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-34}{\frac{-43}{-12}} = -34 : \left(\dfrac{-43}{-12}\right) = -34 \cdot \dfrac{12}{43} = -\dfrac{408}{43}$

13) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-5}{72}}{\frac{-40}{11}} = \dfrac{-5}{72} : \dfrac{-40}{11} = -\dfrac{5}{72} \cdot \left(-\dfrac{11}{40}\right) = -\dfrac{1}{72} \cdot \left(-\dfrac{11}{8}\right) = \dfrac{11}{576}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $40$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

14) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5}{4}}{-\frac{21}{52}} = \dfrac{5}{4} : \left(-\dfrac{21}{52}\right) = \dfrac{5}{4} \cdot \left(-\dfrac{52}{21}\right) = \dfrac{5}{1} \cdot \left( -\dfrac{13}{21} \right) = -\dfrac{65}{21}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $52$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

15) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{19}{15}}{\frac{-7}{102}} = \dfrac{19}{15} : \dfrac{-7}{102} = \dfrac{19}{15} \cdot \left(-\dfrac{102}{7}\right) = \dfrac{19}{5} \cdot \left(-\dfrac{34}{7}\right) = -\dfrac{646}{35}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $15$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $102$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

16) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-33}{16}}{-\frac{99}{14}} = -\dfrac{33}{16} : \left(-\dfrac{99}{14}\right) = -\dfrac{33}{16} \cdot \left(-\dfrac{14}{99}\right) = -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{7}{24}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $99$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $33$ sowie die $16$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $14$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

17) $-\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{121}{17}}{\frac{77}{170}} = -\left(-\dfrac{121}{17} : \dfrac{77}{170}\right) = -\left(-\dfrac{121}{17} \cdot \dfrac{170}{77}\right) = -\left(-\dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{10}{7}\right) = \dfrac{110}{7}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $121$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $77$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $11$ sowie die $17$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $170$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $17$ gekürzt.

18) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{142}{27}}{\frac{71}{72}} = \dfrac{142}{27} : \dfrac{71}{72} = \dfrac{142}{27} \cdot \dfrac{72}{71} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{8}{1} = \dfrac{16}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $142$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $71$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $71$ sowie die $27$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $72$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

19) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2}{15}}{\frac{-46}{-65}} = \dfrac{2}{15} : \dfrac{-46}{-65} = \dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{65}{46} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{13}{23} = \dfrac{13}{69}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $46$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ sowie die $15$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $65$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

20) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{25}{256}}{-\frac{225}{32}} = -\dfrac{25}{256} : \left(-\dfrac{225}{32}\right) = -\dfrac{25}{256} \cdot \left(-\dfrac{32}{225}\right) = -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{1}{9}\right) = \dfrac{1}{72}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $25$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $225$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $25$ sowie die $256$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $32$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $32$ gekürzt.

8. Aufgabe

Schreibt man die Rechnung mit Brüchen auf, kommt man mit viel Kürzen, dafür wenig Rechnen, zum Ergebnis: 
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{9}{10}\cdot 10 = 1$
An dieser Aufgabe wird auch offensichtlich, warum Brüche häufig einen Vorteil gegenüber Dezimalzahlen haben. Bei 
$0{,}5\cdot 0{,}666\ldots\cdot 0{,}75\cdot 0{,}8\cdot 0{,}833\ldots\cdot 0{,}857\ldots\cdot 0{,}875\cdot 0{,}888\ldots\cdot 0{,}9\cdot 10 = 1$
wäre die Logik der Rechnung nämlich nicht so deutlich wie oben. Mal abgesehen davon, dass Rundungsfehler meist dazu führen werden, dass die Lösung nicht exakt $1$ ist.

9. Aufgabe

Bemerkung 1: Grundsätzlich sind diese Aufgaben nicht eindeutig zu lösen. Neben der Anforderung, dass die Rechnungen stimmen sollen, ist daher die Vorgabe, dass möglichst kleine Ziffern gefunden werden sollen, entscheidend. Ein bisschen "Rumprobieren" wird aber auch so nötig sein.

Bemerkung 2: Auch wenn z. B. im Zähler "nur" ein Sternchen steht, muss dieses beim Erweitern mit der entsprechenden Zahl multipliziert werden, weil erweitern nun mal heißt "Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren". Das gilt auch für Sternchen!

1)
Überlegung: Damit eine Differenz $0$ ergibt, müssen Minuend und Subtrahend gleich sein. Die naheliegendste Lösung ist also $\dfrac{28}{11}-\dfrac{28}{11} \, = \, 0$
 
Bemerkung: Dies ist aber nicht die einzige Lösung, z. B. stimmt auch $\dfrac{14}{11}-\dfrac{28}{22} \, = \, 0$. Und es kann noch nicht mal entschieden werden, welche Zahlenkombination die kleinere ist ...

2)
1. Überlegung: Da beim Multiplizieren von Brüchen jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden, können sie separat betrachtet werden.
 
2. Überlegung: Im Nenner muss einfach nur multipliziert werden: $3 \cdot 8=24$, also ist $\dfrac{*}{3}\cdot \dfrac{*}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$
 
3. Überlegung: Die $35$ im Zähler des Bruches auf der rechten Seite kann im Bereich der natürlichen Zahlen nur auf genau eine Weise in Faktoren zerlegt werden, nämlich $35=5 \cdot 7$. Es kann allerdings nicht entschieden werden, welcher Faktor an erster und welcher Faktor an zweiter Stelle in der ursprünglichen Rechnung steht. Es gibt daher zwei Lösungen.
 
Lösung: $\dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{7}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$ oder $\dfrac{7}{3}\cdot \dfrac{5}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$

3)
1. Überlegung: Einfacher wird die Rechnung, wenn die gemischte Zahl auf der rechten Seite in einen unechten Bruch umgewandelt wird. Es ergibt sich: $\dfrac{5}{*}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac{49}{10}$
 
2. Überlegung: Die kleinste Ziffer, die für den Nenner des ersten Bruches infrage kommt, ist $1$. $0$ scheidet ja als Kandidat für einen Nenner aus. Er ergibt sich: $\dfrac{5}{1}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac {49}{10}$
 
3. Überlegung: Das lässt sich umformen zu $\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac {49}{10}-5$ oder $\dfrac{*}{5} \, = \, -\dfrac{1}{10}$. Dies ist (mathematisch gesprochen) die Frage, welche Zahl ergibt $-\dfrac{1}{10}$, wenn man sie durch $5$ teilt. Eigentlich muss man an dieser Stelle gar nicht weiterrechnen, weil nur eine negative Zahl hier für ein richtiges Ergebnis sorgen kann: Eine positive Zahl geteilt durch eine andere positive Zahl (und die $5$ ist ja hier als positive Zahl schon vorgegeben) wäre ja wieder positiv und nicht $-\dfrac{1}{10}$. Damit kann man die Vorgabe, dass für die Sternchen Ziffern eingesetzt werden sollen, nie erfüllen. Für diejenigen, die das genaue Ergebnis in diesem Fall wissen möchten: Für das Sternchen müsste $-\dfrac{1}{2}$ eingesetzt werden, damit die Rechnung stimmt, was auch deswegen nicht funktioniert, weil es nicht ganzzahlig ist.

4. Überlegung: Probieren wir es also mit der nächstgrößeren Ziffer $2$. Wir bekommen: $\dfrac{5}{2}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac{49}{10}$ oder (wenn wir alles auf den Hauptnenner bringen) $\dfrac{25}{10}+\dfrac{2\cdot *}{10} \, = \, \dfrac{49}{10}$

5. Überlegung: Da die Nenner nun gleich sind, können wir sie für den folgenden Schritt ignorieren. Es ergibt sich: $25+2\cdot *=49$. Daraus folgt: $2 \cdot *=24$ und damit $*=12$

Lösung: $\dfrac{5}{2}+\dfrac{12}{5} \, = \, 4\dfrac{9}{10}$

4)
1. Überlegung: Das Sternchen auf der rechten Seite muss für $45$ stehen, da dies der Hauptnenner von $5$ und $9$ ist. Es ergibt sich: $\dfrac{1}{5}-\dfrac{*}{9} \, = \, -\dfrac{1}{45}$ oder, wenn man gleich alles auf den Hauptnenner bringt, $\dfrac{9}{45}-\dfrac{5\cdot *}{45} \, = \, -\dfrac{1}{45}$
 
2. Überlegung: Da die Nenner nun gleich sind, können wir sie wieder ignorieren. Bleibt die Frage: $9-5\cdot *=-1$, die uns zu der Erkenntnis führt, dass $5\cdot *$ offensichtlich gleich $10$ sein muss. Wenn $5 \cdot *=10$ ist, ist $*=2$
 
Lösung: $\dfrac{9}{45}-\dfrac{10}{45} \, = \, -\dfrac{1}{45}$ oder $\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{9} \, = \, -\dfrac{1}{45}$

5)
1. Überlegung: Auf der rechten Seite hat das Sternchen im Nenner keine Auswirkungen auf die Rechnung, egal durch welche Zahl die $0$ im Zähler geteilt wird, das Ergebnis ist immer $0$; mit Ausnahme der $0$ selbst, denn $\frac{0}{0}$ ist nicht definiert. Da eine möglichst kleine Ziffer gefordert war, können wir die $1$ für dieses Sternchen nehmen - oder es einfach weglassen.
 
2. Überlegung: Damit das Ergebnis insgesamt $0$ ist, müsste auf der linken Seite eine der Zahlen negativ sein, denn die Summe von zwei positiven Zahlen ist wieder positiv. Negative Zahlen haben wir aber wegen der Einschränkung, dass Ziffern gesucht sind, nicht zur Verfügung. Insofern lassen sich hier keine passenden Zahlen finden.

6)
1. Überlegung: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das bedeutet hier: $\dfrac{5}{*1} \cdot \dfrac{*}{2} \, = \, \dfrac{5}{2*}$
 
2. Überlegung: Schauen wir uns die Rechnung im Zähler an: $5\cdot *=5$. Also muss dieses Sternchen gleich $1$ sein. Es ergibt sich: $\dfrac{5}{*1} \cdot \dfrac{1}{2} \, = \, \dfrac{5}{2*}$ bzw. in der Originalrechnung: $\dfrac{5}{*1} : \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{5}{2*}$
 
3. Überlegung: Für den Nenner folgt daraus: $*1\cdot 2=2*$. Für das rechte Sternchen berechnet man $1 \cdot 2 = 2$; für das linke umgekehrt. Das Ergebnis ist also $11\cdot 2=22$
 
Lösung: $\dfrac{5}{11} : \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{5}{22}$ bzw. $\dfrac{5}{11} : 2 \, = \, \dfrac{5}{22}$, was man natürlich auch dafür schreiben kann

4. Prozentrechnung - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie erinnern sich an die Begriffe der Prozentrechnung.
• Sie können die Formel für die Prozentrechnung nennen und damit Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert berechnen.
• Sie können entscheiden, ob in einer Aufgabe Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert gesucht ist.
• Sie können entsprechende Textaufgaben lösen und die Lösungswege mathematisch vernünftig aufschreiben.

Typischer Fehler in diesem Kapitel ist:

• Erhöhte oder verminderte Grundwerte werden nicht beachtet. Erklärung

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe

4.1 Prozentrechnung - Aufgaben

1. Aufgabe

Wie viel Prozent sind ...

1) $3$ von $24$?
 
2) $23$ von $46$?
 
3) $96{,}32$ von $112$?
 
4) $12$ von $50$?
 
5) $45$ von $120$?
 
6) In einem Affengehege leben $12$ Männchen und $15$ Weibchen. Wie groß ist der prozentuale Anteil der Weibchen?
 
7) Eine Sportmannschaft besteht aus $21$ Spielerinnen, davon sind $5$ Spielerinnen vor der Saison neu hinzugekommen. Gesucht ist der prozentuale Anteil der Neuzugänge.
 
8) Ein Autohersteller hat es geschafft, den Benzinverbrauch von durchschnittlich $5{,}6\,\text{l}$ pro $100\,\text{km}$ auf $4{,}9\,\text{l}$ pro $100\,\text{km}$ zu reduzieren. Wie viel Kraftstoff wird durchschnittlich eingespart?

9) Der Milchpreis ist von $1{,}20 \; \text{EUR}$ auf $1{,}30 \;\text{EUR}$ pro Liter gestiegen. Wie hoch ist der Preisanstieg in Prozent?

10) In einer Box befinden sich $50$ Kugeln, von denen $15$ schwarz und der Rest blau sind. Sie ziehen nun $4$ blaue Kugeln aus der Box. Wie hoch ist der Anteil an schwarzen Kugeln in der Box?

2. Aufgabe

Diese Prozente sollte man im Kopf wissen.

3. Aufgabe

Wie viel sind ...

1) $12 \,\%$ von $384$?
 
2) $67{,}1 \, \%$ von $1.250$?
 
3) $45 \, \%$ von $692$?
 
4) $73 \, \%$ von $14.600$?
 
5) $52{,}6 \, \%$ von $725$?
 
6) In einem Lager sind $72{,}3\,\%$ von $1.200\,\text{l}$ Saft ausgelaufen. Wie viel Saft ist verloren gegangen?
 
7) Es sind $95\,\%$ von $980$ Zügen pünktlich. Wie viele sind das?
 
8) Im Laufe der letzten Jahre ist eine Waschmaschine um $12\,\%$ teurer geworden. Nun kostet sie $357\,\text{EUR}$. Wie hoch ist der Preisanstieg bezogen auf den aktuellen Preis?

9) Ein Geschäft besitzt $500\;\text{kg}$ Reis. Davon verkauft es an einem Morgen $10 \,\%$ und nachmittags nochmal $15\, \%$ der restlichen Menge. Wie viele Kilogramm Reis liegen anschließend noch im Lager?

10) Ein rechteckiges Stück Land ist $15\;\text{m}$ lang und $12\;\text{m}$ breit. Der Grundstücksbesitzer möchte diese Fläche als Kleingarten bewirtschaften und plant $20 \,\%$ des Grundstücks für den Bau einer Gartenhütte ein. Wie groß kann die Grundfläche der Hütte werden?

4. Aufgabe

Wie groß ist der Ausgangswert?

1) $81 \, \%$ entsprechen $162$
 
2) $99 \, \%$ entsprechen $12{,}672$
 
3) $50{,}5 \, \%$ entsprechen $30{,}3$
 
4) $22{,}2 \, \%$ entsprechen $19{,}425$
 
5) $36{,}7 \, \%$ entsprechen $183{,}5$
 
6) Nach einer Grillparty sind noch $2$ Kisten Getränke übrig. Das sind $40\,\%$ der ursprünglich gekauften. Wie viele Kisten wurden eingekauft?
 
7) Der Preis eines Sessels wurde um $32\,\%$ reduziert, sodass er jetzt noch $150\,\text{EUR}$ kostet. Wie teuer war er ursprünglich?
 
8) Eine Wasserpumpe kostet $223\,\text{EUR}$, nachdem ihr Preis auf $75\,\%$ des Originalpreises herabgesetzt wurde. Wie hoch war der Originalpreis?

9) Ein Lebensmittelgeschäft erzielte nach dem Ausverkauf aller vorrätigen Waren Einnahmen in Höhe von $16.800\;\text{EUR}$. Diese Einnahmen betragen nach internen Kalkulationen $20 \,\%$ mehr, als für diese Waren ausgegeben wurde. Wie teuer waren die Waren beim Ankauf?

10) Eine Farm hat nach Geldengpässen $330$ Hühner verkauft. Die restlichen Hühner machen nur noch $40 \,\%$ der ursprünglichen Hühnerpopulation aus. Wie viele Hühner lebten einst auf der Farm?

5. Aufgabe

Ein paar gemischte Aufgaben ...

1) Jemand hat $65\,\%$ seiner Schulden in Höhe von insgesamt $450\,\text{EUR}$ bereits zurückgezahlt. Wie viel ist noch offen?
 
2) Bei einer Radtour sind ein paar Freunde bereits $60\,\text{km}$ geradelt. $20\,\%$ ihrer Strecke haben sie noch vor sich. Wie lang ist die Strecke insgesamt?
 
3) Der Preis einer Hose wurde im Schlussverkauf auf $85 \, \%$ des Originalpreises reduziert, sodass die Hose jetzt noch $59{,}50\,\text{EUR}$ kostet. Wie viel kostete die Hose ursprünglich?
 
4) Der Preis eines Pullovers, der vor dem Schlussverkauf $65{,}99\,\text{EUR}$ kostete, soll um $25 \, \%$ gesenkt werden. Wie teuer ist der Pullover jetzt?
 
5) Ein T-Shirt, das vormals $12\,\text{EUR}$ kostete, kostet nun noch $9\,\text{EUR}$. Um wie viel Prozent ist der Preis reduziert worden?
 
6) Eine Familie macht eine Wanderung von $14.600\,\text{m}$ Länge, von der sie $56\,\%$ bereits geschafft haben. Wie viele $\text{km}$ müssen sie noch laufen?
 
7) In den neuen Bundesländern leben etwa $12{,}5\,\text{Mio.}$ Menschen. Wie viele Personen leben dort prozentual gesehen - bezogen auf Gesamtdeutschland ($81{,}2\,\text{Mio.}$ Einwohner)?
 
8) Wenn in einer Schulklasse $3$ von $28$ Kindern mit der linken Hand schreiben, wie groß ist dann der prozentuale Anteil der Linkshänder/-innen in dieser Klasse?
 
9) Für ein Auto muss $1\,\%$ des Kaufpreises, also $190\,\text{EUR}$ angezahlt werden. Wie teuer ist es?

10) Meerwasser enthält ca. $4 \,\%$ Salz. Wie viele Gramm Süßwasser müssen zu $400\;\text{g}$ Meerwasser gegeben werden, um einen Salzanteil von nur noch $2{,}5 \,\%$ zu erhalten?

6. Aufgabe

Die Marketing-Abteilung der Hochschule hat für eine Veranstaltung $400$ kleine Schokotäfelchen bereitgestellt. $99\,\%$ davon enthalten Nüsse.

Wie viele Tafeln müssen gegessen werden, damit der Anteil von Schokolade mit Nüssen auf $98\,\%$ sinkt?

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Formel
• Berechnung

4.2 Prozentrechnung - Erklärungen

Die Prozentrechnung ist nützlich, wenn Größenverhältnisse verglichen werden sollen. Sie baut auf der Bruchrechnung auf.

Formel

Es gilt: $p =\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\%$ mit

• $p$: Prozentsatz in $\%$
• $W$: Prozentwert
• $G$: Grundwert

Diese Formel kann natürlich umgestellt werden. Man erhält dann $G= \dfrac{W}{p\,\%} \cdot 100$ bzw. $W = \dfrac{p\,\% \cdot G}{100}$

Bemerkung: Achten Sie immer genau darauf, was in der Aufgabe gegeben ist! Besonders Prozent- und Grundwert werden häufig verwechselt.

Berechnung

Eigentlich ist nicht viel zu tun ... Man setzt jeweils die gegebenen Werte in die passende Formel ein und rechnet aus.
Hier ein paar Beispiele:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$p=\dfrac{74}{512}\cdot 100\,\% \approx 14{,}45\,\%$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$G=\dfrac{125}{83\,\%}\cdot 100\,\% \approx 150{,}60$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$W=\dfrac{16\,\%\cdot 49}{100\,\%} = 7{,}84$


Alternative: Alle Prozentaufgaben können auch mit dem Dreisatz berechnet werden. Das macht weder vom Aufwand noch vom Ergebnis her einen Unterschied. Sie können daher einfach ausprobieren, welche Variante Sie bevorzugen.
Wir betrachten dafür noch einmal die Beispiele von oben:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$\begin{array}{rclcr}512 &\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1 &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{512} \cr \cr 74 &\widehat{=}& \dfrac{74 \cdot 100\,\%}{512} &\approx& 14{,}45\,\% \end{array}$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$\begin{array}{rclcr}83\,\% &\widehat{=}& 125 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{125}{83} &\approx& 1{,}51 \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 125}{83} &\approx& 150{,}60 \end{array}$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 49 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{49}{100} &=& 0{,}49 \cr \cr 16\,\% &\widehat{=}& \dfrac{16\cdot 49}{100} &=& 7{,}84 \end{array}$

Naja, ein bisschen mehr ist natürlich doch zu tun … Die bislang besprochenen Aufgaben in diesem Kapitel sind nicht besonders realistisch. Sowohl im Studium als auch in der Arbeitswelt wird Ihnen niemand sagen "Berechnen Sie hier doch mal den Prozentsatz!", sondern es wird sich eine Fragestellung ergeben, bei der Sie selbst auf die Idee kommen müssen, dass der Prozentsatz gesucht ist. Man muss sich also bei jeder Aufgabe genau klarmachen, was gegeben und was gesucht ist. Das ist besonders tricky bei Aufgaben, in denen der Grundwert gesucht ist.
Ein Beispiel:
Der Bambusbecher für Coffee to go kostet in der Mensa $6\;\text{EUR}$. Wie viel kostet er ohne Mehrwertsteuer ($19\,\%$)?
Klar ist, dass $p=19\,\%$, da $p$ immer der Wert mit dem $\%$ ist. Aber wie ist das mit den $6\;\text{EUR}$? In diesem Wert sind Grundwert und Mehrwertsteuer enthalten, die $6\;\text{EUR}$ entsprechen also $100\,\% + 19\,\% = 119\,\%$. Wir möchten den Grundwert ohne die Mehrwertsteuer berechnen. Damit haben wir den Ansatz:
$\begin{array}{rclcr}119\,\% &\widehat{=}& 6\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{6\;\text{EUR}}{119} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 6\;\text{EUR}}{119} &\approx& 5{,}04\;\text{EUR} \end{array}$

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe

4.3 Prozentrechnung - Lösungen

Eine Bemerkung vorab: Der Abwechslung halber und um Ihnen auch Beispiele für diesen Rechenweg zu zeigen, wurden alle Textaufgaben mit dem Dreisatz gelöst. Mit der Prozentformel geht es natürlich auch. Umgekehrt können natürlich auch die anderen Aufgaben mithilfe der Dreisatzrechnung gelöst werden.

Und noch eine Bemerkung: Bei Textaufgaben ist es üblich, einen Antwortsatz zu schreiben.

1. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

Die Prozentformel wird also in der Form $p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \%$ angewendet.

1) $3 \text{ von } 24 = \dfrac{3}{24} \cdot 100 \, \% = 12{,}5 \, \%$

2) $23 \text{ von }46 = \dfrac{23}{46} \cdot 100 \, \% = 50 \, \%$

3) $96{,}32 \text{ von } 112 = \dfrac{96{,}32}{112} \cdot 100 \, \% = 86 \, \%$

4) $12 \text{ von } 50 = \dfrac{12}{50} \cdot 100 \, \% = 24 \, \%$

5) $45 \text{ von } 120 = \dfrac{45}{120} \cdot 100 \, \% = 37{,}5 \, \%$

6)
$\begin{array}{rclcr}27\;\text{Affen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Affe}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{27} \cr \cr 15\;\text{Affen}&\widehat{=}& \dfrac{15\cdot 100\,\%}{27} &\approx& 55{,}56\,\% \end{array}$

Etwa $55{,}56\, \%$ der Affen in diesem Gehege sind weiblich.

7)
$\begin{array}{rclcr}21\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Spieler}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{21} \cr \cr 5\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& \dfrac{5\cdot 100\,\%}{21} &\approx& 23{,}81\,\% \end{array}$

Etwa $23{,}81\, \%$ der Spielerinnen sind neu im Team.

8)
Zunächst müssen wir die Ersparnis berechnen: $5{,}6\,\text{l}-4{,}9\,\text{l}=0{,}7\,\text{l}$

$\begin{array}{rclcr}5{,}6\,\text{l}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{5{,}6} \cr \cr 0{,}7\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{0{,}7\cdot 100\,\%}{5{,}6} &=& 12{,}5\,\% \end{array}$

Es werden $12{,}5\,\%$ Benzin eingespart.

9)
Zunächst muss die absolute Preisänderung berechnet werden: $1{,}30\;\text{EUR} - 1{,}20\;\text{EUR} = 0{,}10\;\text{EUR}$

$\begin{array}{rclcl} 1{,}20\;\text{EUR} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{1{,}2} \cr\cr 0{,}1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{0{,}1 \cdot 100\, \%}{1{,}2} &\approx& 8{,}33\% \end{array}$

Der Milchpreis ist um rund $8{,}33 \,\%$ gestiegen.

10)
Nachdem $4$ Kugeln gezogen wurden, befinden sich noch $46$ Kugeln in der Box. Davon sind immer noch $15$ schwarz und der Rest blau.

$\begin{array}{rclcl} 45 \;\text{Kugeln} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{Kugel} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{46} \cr\cr 15 \; \text{Kugeln} &\widehat{=}& \dfrac{15 \cdot 100\,\%}{46} &\approx& 32{,}61\, \% \end{array}$

Rund $32{,}61 \%$ der in der Box verbliebenen Kugeln sind schwarz.

2. Aufgabe

Bemerkung: Bitte achten Sie darauf, dass bei den Aufgaben 7) und 9) gerundet wurde und deshalb dort das Ungefährzeichen $\approx$ stehen muss.

3. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.

Die Prozentformel wird also in der Form $W = \dfrac{p \cdot G}{100}$ angewendet.

1) $12 \, \% \text{ von } 384 = \dfrac{12 \cdot 384}{100} = 46{,}08$

2) $67{,}1 \, \% \text{ von } 1.250 = \dfrac{67{,}1 \cdot 1.250}{100} = 838{,}75$

3) $45 \, \% \text{ von } 692 = \dfrac{45 \cdot 692}{100} = 311{,}4$

4) $73 \, \% \text{ von } 14.600 = \dfrac{73 \cdot 14.600}{100} = 10.658$

5) $52{,}6 \, \% \text{ von } 725 = \dfrac{52{,}6 \cdot 725}{100} = 381{,}35$

6)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 1.200\,\text{l} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{1.200\,\text{l}}{100} \cr \cr 72{,}3\,\% &\widehat{=}& \dfrac{72{,}3\cdot 1.200\,\text{l}}{100} &=& 867{,}6\,\text{l} \end{array}$

Es sind $867{,}6\,\text{l}$ Saft verloren gegangen.

 
7)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 980\;\text{Züge} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{980\;\text{Züge}}{100} \cr \cr 95\,\% &\widehat{=}& \dfrac{95\cdot 980\;\text{Züge}}{100} &=& 931\;\text{Züge} \end{array}$

Es waren 931 Züge pünktlich.

 
8)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 357\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{357\;\text{EUR}}{100} \cr \cr 12\,\% &\widehat{=}& \dfrac{12\cdot 357\;\text{EUR}}{100} &=& 42{,}84\;\text{EUR} \end{array}$

Der Preis ist um $42{,}84\;\text{EUR}$ angestiegen.

9)
1. Schritt:
Reismenge nach dem ersten Verkauf: $100\, \% - 10 \,\% = 90 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 500 \,\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{500}{100} \;\text{kg} \cr\cr 90 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{90 \cdot 500 \;\text{kg}}{100} &=& 450 \;\text{kg} \end{array}$

2. Schritt:
Die nach dem Morgen verbliebenen $450\;\text{kg}$ stellen nun $100 \,\%$ der Restmenge dar.
Reismenge nach dem zweiten Verkauf: $100 \,\% - 15 \,\% = 85 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\;\% &\widehat{=}& 450 \;\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{450}{100} \;\text{kg} \cr\cr 85 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{85 \cdot 450 \;\text{kg}}{100} &=& 382{,}5 \;\text{kg} \end{array}$

Nach beiden Verkäufen befinden sich noch $382{,}5\;\text{kg}$ Reis im Lager.

10)
Zunächst muss die Grundstücksfläche insgesamt berechnet werden: $15 \;\text{m} \cdot 12 \;\text{m} = 180 \;\text{m}^2$

Nun kann der Anteil der Fläche für die Hütte berechnet werden:
$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 180 \;\text{m}^2 \cr\cr 20 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{180\;\text{m}^2}{5} &=& 36 \;\text{m}^2 \end{array}$

Die Hütte kann eine Grundfläche von $36\;\text{m}^2$ haben.

4. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.

Die Prozentformel wird also in der Form $G = \dfrac{W}{p} \cdot 100$ angewendet.
 
1) $81 \, \% \text{ entsprechen } 162 \Rightarrow G = \dfrac{162}{81} \cdot 100 = 200$

2) $99 \, \% \text{ entsprechen } 12{,}672 \Rightarrow G = \dfrac{12{,}672}{99} \cdot 100 = 12{,}8$

3) $50{,}5 \, \% \text{ entsprechen } 30{,}3 \Rightarrow G = \dfrac{30{,}3}{50{,}5} \cdot 100 = 60$

4) $22{,}2 \, \% \text{ entsprechen } 19{,}425 \Rightarrow G = \dfrac{19{,}425}{22{,}2} \cdot 100 = 87{,}5$

5) $36{,}7 \, \% \text{ entsprechen } 183{,}5 \Rightarrow G = \dfrac{183{,}5}{36{,}7} \cdot 100 = 500$

6)
$\begin{array}{rclcr}40\,\% &\widehat{=}& 2\;\text{Kisten} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{2\;\text{Kisten}}{40} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 2\;\text{Kisten}}{40} &=& 5\;\text{Kisten} \end{array}$

Es wurden 5 Kisten eingekauft.

7)
Hier sind der noch zu zahlende Preis und der Prozentsatz der Reduzierung gegeben. Zunächst muss daher ausgerechnet werden, wieviel Prozent dem noch zu zahlenden Preis entsprechen: $100\,\%-32\,\%=68\,\%$

$\begin{array}{rclcr}68\,\% &\widehat{=}& 150\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{150\;\text{EUR}}{68} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 150\;\text{EUR}}{68} &\approx& 220{,}59\;\text{EUR} \end{array}$

Der Sessel kostete ursprünglich $220{,}59\,\text{EUR}$.

 
8)
$\begin{array}{rclcr}75\,\% &\widehat{=}& 223\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{223\;\text{EUR}}{75} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 223\;\text{EUR}}{75} &\approx& 297{,}33\;\text{EUR} \end{array}$

Die Pumpe hat im Original $297{,}33\;\text{EUR}$ gekostet.

9)
$\begin{array}{rclcl} 120\,\% &\widehat{=}& 16.800 \;\text{EUR} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16.800}{120} \;\text{EUR} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{100 \cdot 16.800\;\text{EUR}}{120} &=& 14.000 \;\text{EUR} \end{array}$

Das Geschäft gab $14.000\;\text{EUR}$ für den Kauf der Waren aus.

10) 
Zunächst muss der Anteil der verkauften Hühner berechnet werden: $100\,\% - 40\, \% = 60\, \%$

$\begin{array}{rclcl} 60 \,\% &\widehat{=}& 330 \;\text{Hühner} \cr\cr 1 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{330}{60} \;\text{Hühner} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{100 \cdot 330\;\text{Hühner}}{60} &=& 550 \;\text{Hühner} \end{array}$

Die Farm besaß vor dem Verkauf $550$ Hühner.

5. Aufgabe

Eine Bemerkung vorab: Machen Sie sich zu Beginn jeder Aufgabe genau klar, was gegeben und was gesucht ist - das ist ja hier das Entscheidende!

Noch eine Bemerkung: Hier wurden manche Aufgaben mit dem Dreisatz und manche mit der Prozentformel berechnet. Es geht natürlich jede Variante bei jeder Aufgabe.

1)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.
Gefragt ist, wieviel Geld noch zurückgezahlt werden muss. Die $65\,\%$ beziehen sich allerdings auf den Betrag, der bereits zurückgezahlt wurde. Daher muss dies vorher noch umgerechnet werden: $100\,\%-65\,\%=35\,\%$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 450\,\text{EUR}\cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{450\,\text{EUR}}{100} \cr \cr 35\,\% &\widehat{=}& \dfrac{35\cdot 450\,\text{EUR}}{100} &=& 157{,}50\,\text{EUR} \end{array}$

Es müssen noch $157{,}50\,\text{EUR}$ zurückgezahlt werden.

2)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.
Da sich die Streckenangabe auf den bereits zurücklegten Teil der Tour bezieht und die Prozentangabe auf den noch vor ihnen liegenden, muss der Prozentsatz erst umgerechnet werden: $100\,\%-20\,\%=80\,\%$

$\begin{array}{rclcr}80\,\% &\widehat{=}& 60\,\text{km} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{60\,\text{km}}{80} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 60\,\text{km}}{80} &=& 75\,\text{km} \end{array}$

Die Strecke ist insgesamt $75\,\text{km}$ lang.

3)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.

$G = \dfrac{W}{p} \cdot 100 = \dfrac{59{,}5}{85} \cdot 100 = 70$

Die Hose kostete vor dem Ausverkauf $70\,\text{EUR}$. 

4)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.

$W = \dfrac{p \cdot G}{100} = \dfrac{25 \cdot 65{,}99}{100} = 16{,}4975$

Dies ist aber noch nicht der neue Preis, sondern der Betrag, um den der Preis des Pullovers reduziert wurde. Den neuen Preis erhält man durch $65{,}99 \text{ EUR }-16{,}4975 \text{ EUR } = 49{,}4925 \text{ EUR } \approx 49{,}49 \text{ EUR }$.

Alternative: $W = \dfrac{p \cdot G}{100} = \dfrac{75 \cdot 65{,}99}{100} = 49{,}4925$

 
5)
Gegeben sind $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

$p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \% = \dfrac{9}{12} \cdot 100 \, \% = 75 \, \%$

Auch dies ist noch nicht die Antwort auf die Frage, um wie viel Prozent der Preis reduziert worden ist. Da der neue Preis laut Rechnung $75 \, \%$ des alten Preises entspricht, beträgt der Preisnachlass also $25 \, \%$.

 
6)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.
Da sich die Prozentangabe auf den bereits zurücklegten Teil der Tour bezieht, die Frage aber auf den noch vor ihnen liegenden, muss der Prozentsatz erst umgerechnet werden: $100\,\%-56\,\%=44\,\%$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 14.600\,\text{m} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{14.600\,\text{m}}{100} \cr \cr 44\,\% &\widehat{=}& \dfrac{44\cdot 14.600\,\text{m}}{100} &=& 6.424\,\text{m} \end{array}$

Sie müssen noch $6{,}424\,\text{km}$ laufen.

Bemerkung: Bitte achten Sie auf die unterschiedlichen Einheiten (einmal Meter und einmal Kilometer)!

 
7)
Gegeben sind $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

$\begin{array}{rclcr}81{,}2\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{81{,}2\;\text{Mio.}} \cr \cr 12{,}5\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& \dfrac{12{,}5\;\text{Mio.}\cdot 100\,\%}{81{,}2\;\text{Mio.}} &\approx& 15{,}39\,\% \end{array}$

Etwa $15{,}39\, \%$ der Menschen in Deutschland leben in den neuen Bundesländern.

8)
Gegeben sind $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

$\begin{array}{rclcr}28\;\text{Kinder}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Kind}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{28} \cr \cr 3\;\text{Kinder}&\widehat{=}& \dfrac{3\cdot 100\,\%}{28} &\approx& 10{,}71\,\% \end{array}$

Der Anteil der Linkshänder/-innen in der Klasse beträgt etwa $10{,}71\, \%$.

9)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.

$\begin{array}{rclcr}1\,\% &\widehat{=}& 190\;\text{EUR} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& 100\cdot 190\;\text{EUR} &=& 19.000\;\text{EUR} \end{array}$

Das Auto kostet $19.000\;\text{EUR}$.

Bemerkung: Da in dieser Aufgabe netterweise bereits angegeben ist, wie der Prozentwert für $1\,\%$ lautet, vereinfacht sich die Rechnung.

10)
Zunächst berechnet man die Menge des tatsächlich vorhandenen Salzes im Meerwasser.
$\begin{array}{rclcl} 100 \,\% &\widehat{=}& 400 \;\text{g} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{400}{100} \;\text{g} \cr\cr 4 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{4 \cdot 400\;\text{g}}{100} &=& 16 \;\text{g} \end{array}$

Diese Menge Salz soll nun nicht $4 \,\%$, sondern nur $2{,}5 \,\%$ ausmachen.
$\begin{array}{rclcl} 2{,}5 \,\% &\widehat{=}& 16 \;\text{g} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16}{2{,}5} \;\text{g} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16 \cdot 100\;\text{g}}{2{,}5} &=& 640 \;\text{g} \end{array}$

Um einen Salzanteil von $2{,}5 \,\%$ in der Lösung zu erhalten, müssen $640\; \text{g} - 400 \;\text{g} = 240 \;\text{g}$ Süßwasser zum Meerwasser gegeben werden.

6. Aufgabe

Berechnen wir zunächst die Prozentwerte aus den gegebenen Größen:

Der Trick ist nun, von den Schokotafeln ohne Nüsse auszugehen, weil wir hiervon sowohl den Prozentsatz (Bei $98\,\%$ Schokotafeln mit Nüssen müssen es wohl $2\,\%$ Schokotafeln ohne Nüsse sein ...) als auch den Prozentwert (Da wir nur Schokolade mit Nüssen essen sollen, bleibt es bei $4$ Tafeln ohne Nüsse ...) kennen:
$\begin{array}{rcrl}2\,\% & \widehat{=} & 4 & \text{Tafeln} \cr\cr 98\,\% & \widehat{=} & 196 & \text{Tafeln}\end{array}$

Da wir ursprünglich $396$ Tafeln Schokolade mit Nüssen hatten, müssen also $200$ Tafeln gegessen werden, damit nur noch $196$ Tafeln übrig sind. Ganz schön viele ...

5. Lineare Gleichungen - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie kennen die Vokabeln "Konstante", "Variable", "Koeffizient", "Term" und "Gleichung" und können sie sicher verwenden.
• Sie können Variablen addieren und subtrahieren.
• Sie können Zahlenwerte für Variablen einsetzen und die entsprechenden Werte berechnen.

• Sie können zu einer linearen Gleichung den passenden Definitionsbereich bestimmen.
• Sie kennen die allgemeine Form einer linearen Gleichung.
• Sie wissen, dass es lineare Gleichungen mit keiner/einer/unendlich vielen Lösung(en) gibt und können anhand des Rechenweges feststellen, welcher Fall vorliegt.
• Sie können lineare Gleichungen lösen.
• Sie kennen die Bedeutung des Definitionsbereichs und wissen, warum er beim Lösen von Gleichungen wichtig ist.
• Sie können die Lösungsmenge mathematisch korrekt notieren.
• Sie können mithilfe der Probe überprüfen, ob die gefundene Lösung tatsächlich richtig ist.
• Sie können entsprechende Textaufgaben lösen und die Lösungswege mathematisch vernünftig aufschreiben.

• Sie können lineare Gleichungen von anderen Gleichungsarten unterscheiden.

Typische Fehler in diesem Kapitel sind:

• Terme werden mit Gleichungen verwechselt. Erklärung
• Beim Multiplizieren der Gleichung mit einer Zahl werden nicht alle Bestandteile der Gleichung multipliziert. Erklärung

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe

5.1 Lineare Gleichungen - Aufgaben

1. Aufgabe

Fassen Sie so weit wie möglich zusammen!

2. Aufgabe

Berechnen Sie jeweils die gesuchte Variable!

1) Gesucht: $a$ mit $a=2b+c$, $b=3+c$ und $c=1$
 
2) Gesucht: $s$ mit $2s= -4r-t+12$, $r=3t-16$ und $t=24$
 
3) Gesucht: $x$ mit $x=a-10-4z$, $2a=18z+2$ und $z=-5$
 
4) Gesucht: $b$ mit $12b=3l+ \dfrac{1}{3}z+11$, $2l=2z-14$ und $z=-9$
 
5) Gesucht: $u$ mit $\dfrac{1}{5}u=100-25v-8w$, $2v=16-8w$ und $-3w=27$

3. Aufgabe

Sind die folgenden Gleichungen linear? Hinweis: Es ist nicht nach der Lösung der Gleichungen gefragt.

4. Aufgabe

Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie - wenn möglich - die Probe! Soweit nichts anderes angegeben ist, soll $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ sein.

5. Aufgabe

Pythagoras auf die Frage, wie viele Schüler er habe: „Die Hälfte studiert Mathematik, ein Viertel Physik, ein Siebtel lernt das Schweigen und der Rest sind $3$ kleine Knaben.“ Wie viele Schüler hat Pythagoras?

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Grundbegriffe
• Rechnen mit Variablen
• Lineare Gleichungen
• Lösen einer Gleichung
• Definitionsbereich und Lösungsmenge
• Probe
• Lösbarkeit linearer Gleichungen

5.2 Lineare Gleichungen - Erklärungen

Gleichungen sind etwas sehr Wichtiges in der Mathematik. Daher schauen wir uns in diesem Kapitel die grundlegenden Prinzipien und Vorgehensweisen anhand des einfachsten Gleichungstyps an. In späteren Kapiteln werden zwar die Gleichungen immer komplexer - an diesen Prinzipien und Vorgehensweisen ändert sich aber wenig. Insofern lohnt es sich, hier ganz genau hinzuschauen und mitzudenken.

Was ist ...

... eine Konstante?
Ein Platzhalter für einen festen Zahlenwert

... eine Variable?
Ein Platzhalter für einen veränderlichen Zahlenwert

... ein Koeffizient?
Die Zahl in einem Produkt aus Zahl und Variable

... ein Term?
Eine mathematisch sinnvolle Kombination aus Zahlen, Konstanten, Variablen, Klammern und Rechenoperationen

... eine Gleichung?
Etwas in der Art: "ein Term = ein (anderer) Term"

Um diese Begriffe etwas greifbarer zu machen ...: Terme sind so etwas wie die "Wörter" der Mathematik, aus denen dann komplexe "Texte", z. B. Gleichungen, zusammengesetzt werden. Ebenso wie Texte die Basis z. B. für literarische Untersuchungen sind, benötigt die Mathematik Gleichungen für Berechnungen und Analysen aller Art.

Bitte achten Sie auf den (wichtigen!) Unterschied zwischen Term und Gleichung: Simpel gesagt, besteht eine Gleichung aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Sie steht für die Aussage, dass irgendein Term gleich einem anderen Term oder einem bestimmten Zahlenwert ist oder sein soll. Das sagt ja bereits der Name … Meist gehört zu Gleichungen die Aufgabe, eine Lösung zu finden, also den Zahlenwert, für den die Terme tatsächlich gleich sind (dazu unten mehr).
Terme hingegen enthalten zunächst mal kein Gleichheitszeichen. Sie haben auch keine zugehörige Aufgabe, weil ihr Einsatzgebiet sehr vielfältig ist. Ein paar Beispiele, wo Terme mit ganz unterschiedlichen "typischen Aufgaben" auftauchen (auch wenn diese teilweise auf spätere Kapitel vorgreifen):

• Gerade wurde schon die Kombination von Termen zu Gleichungen mit der Aufgabe, Lösungen zu finden, erwähnt.
• Bei Funktionen werden Terme für verschiedene Ziele eingesetzt, z. B. Funktionswerte berechnen, Nullstellen bestimmen oder die Funktion ableiten.
• In dem Term $\pi r^2$ erkennen Sie vielleicht die Flächenformel für einen Kreis: Bei solchen Termen geht es meist darum, aus einem gegebenen Radius $r$ die Fläche $A_{Kreis}$ zu berechnen - wieder ein ganz anderer Anwendung von Termen.

Sie sehen an diesen Beispielen, dass der sinnvolle Umgang mit einem Term stark vom Kontext abhängt, in dem der Term steht. Es gibt ganz viele verschiedene Ansätze und Lösungsstrategien, die man ordentlich unterscheiden muss. Man darf daher z. B. nicht einfach $=0$ hinter einen Term schreiben, ihn damit als Gleichung verstehen und eine Lösung berechnen. Vielleicht war der Einsatzbereich ja ein ganz anderer.

Rechnen mit Variablen

So, nun sind die wichtigsten Begrifflichkeiten geklärt und wir können uns um das eigentliche Rechnen mit Variablen kümmern, ohne welches lineare Gleichungen nicht zu lösen sind.

Gleich zu Beginn eine gute Nachricht: Da Variablen ja nichts Anderes als Platzhalter für Zahlen sind, rechnet man mit Variablen im Großen und Ganzen genauso wie mit Zahlen. Man fasst einfach gleichartige Objekte zusammen, indem man sie quasi "zählt". Ein paar Beispiele:

Es gelten grundsätzlich - auch wenn Variablen ins Spiel kommen - die "ganz normalen" Rechenregeln, z. B. aus den Kapiteln Rechengesetze und Bruchrechnung, also Klammern auflösen, Brüche erweitern etc. Es gelten aber auch die gleichen Einschränkungen: Beispielsweise darf man auch bei Brüchen mit Variablen nicht aus Summen kürzen. Erst wenn neue Rechenkonzepte, wie Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, hinzukommen, werden neue Rechenregeln (natürlich mit neuen Einschränkungen ...) benötigt. Der Oberbegriff für die ganzen Verfahren, mit denen man einen Term in eine einfachere, kompaktere Form überführt, ist, "einen Term vereinfachen".
Wenn man einen Term vereinfacht, steht zwischen den verschiedenen Schritten natürlich ein Gleichheitszeichen - eine Umformung, die dazu führt, dass die Terme nicht mehr gleich sind, wäre ja nicht zielführend.
Ein Beispiel:
$\begin{array}{rclcl}-90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-(10-2b)(a-3)\right)+30ab &=& -90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-(10a-30-2ab+6b)\right)+30ab &\vert& \text{innere Klammern mit dem Distributivgesetz aufgelöst} \cr&=& -90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-10a+30+2ab-6b\right)+30ab &\vert& \text{Minusklammer aufgelöst, ebenfalls Distributivgesetz} \cr&=& -90b-3a+150a-450-30ab+90b+30ab &\vert& \text{ausmultipliziert} \cr&=& -3a+150a-30ab+30ab+90b-90b-450 &\vert& \text{"sortiert", also das Kommutativgesetz angewendet} \cr&=& 147a-450 &\vert& \text{zusammengefasst}\end{array}$
Wir haben nun eine einfachere, kürzere Variante des Ausgangsterms. Z. B. erkennt man, dass $b$ in diesem Term eigentlich gar keine Rolle spielt.
Wenn man Zahlen für die Variablen einsetzt und dann ausrechnet, erhält man in jeder Zeile das gleiche Ergebnis. Nehmen wir beispielsweise $a=-2$ und $b=9$:

Wenn Sie den Rechenaufwand in den einzelnen Zeilen vergleichen, wird vermutlich schnell klar, warum Termvereinfachungen keine so schlechte Idee sind … Machen Sie sich aber bitte klar, dass wir hier keinen Wert für die Variablen ausgerechnet haben (wie das beim Lösen einer Gleichung der Fall wäre). Stattdessen haben wir nur Beispielwerte eingesetzt, um zu zeigen, dass die verschiedenen Umformungsschritte tatsächlich den gleichen Wert liefern.

Damit haben wir auch gleich das Vorgehen geklärt, wenn man ausrechnen möchte (oder muss), welchen Wert ein Term annimmt, wenn man für die Variablen bestimmte Zahlenwerte einsetzt. Das wird z. B. weiter unten bei der Probe wichtig. Schauen wir uns jetzt noch an, wie man Terme in andere Terme einsetzt:

Gesucht ist $x$, welches folgendermaßen berechnet werden soll: $x=3y-10z$, dabei ist $y=-2z-4$ und $z=23$
$\begin{array}{cclll} x &=& 3y-10z & \vert & \text{Setze y ein} \cr x &=& 3\cdot(-2z-4)-10z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& 3\cdot(-2\cdot 23-4)-10\cdot 23 \cr x &=& 3 \cdot (-50)-230 \cr x &=& -380 \end{array}$

Am sinnvollsten ist es hier, Schritt für Schritt vorzugehen, also erst den komplizierteren Term (hier y) einzusetzen, sich alles hinzuschreiben und dann den anderen Term einzusetzen. Das Ausrechnen ist dann der letzte Schritt.
Ganz wichtig: Klammern nicht vergessen! Der y-Term besteht aus einer Differenz, die dann im Gesamtterm multipliziert werden muss. Also treffen hier Punkt- und Strichrechnung aufeinander und bekanntermaßen geht Punktrechnung vor Strichrechnung.

Der Wert, den ein Term beim Einsetzen von Zahlen, annimmt, ändert sich durch Termvereinfachungen nicht. Schauen wir uns nochmal das Beispiel von oben in einer leicht veränderten Form an: Gesucht ist $x$, welches folgendermaßen berechnet werden soll: $x=y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z$, dabei ist $y=-2z-4$ und $z=23$.
Es ist (hoffentlich) nicht so schwer zu erkennen, dass $x=y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z=3y-10z$. Dann gehen wir genauso vor wie oben:
$\begin{array}{cclll} x &=& y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z & \vert & \text{Setze y ein} \cr x &=& -2z-4+(-2z-4)+(-2z-4)-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& -2\cdot 23-4+(-2\cdot 23-4)+(-2\cdot 23-4)-23-23-23-23-23-23-23-23-23-23 \cr x &=& -50+(-50)+(-50)-23-23-23-23-23-23-23-23-23-23 \cr x &=& -380 \end{array}$
In dieser Variante muss man sich zwar nicht so sehr um Klammern kümmern - dafür ist es deutlich schwieriger, den Überblick zu behalten.

Achtung: Nicht jeder Buchstabe, der in der Mathematik auftaucht, ist eine Variable! Denken Sie beispielsweise an $\pi$.
Ebenso ist nicht alles, was einen Rechenoperator enthält, variabel: $\sqrt{23+2}=\sqrt{25}=5$

Lineare Gleichungen

Definition: Eine lineare Gleichung ist eine spezielle Form einer Gleichung, in der ausschließlich folgende Terme auftreten:

• Produkte aus einer Variablen und Konstanten/Zahlen
• Summen aus diesen Produkten und (anderen) Konstanten/Zahlen

Beispiele für lineare Gleichungen

• $3x+4=\dfrac{x}{3}-12$
  Diese Gleichung ist linear, da die einzige Variable $x$ nur mit Zahlenwerten multipliziert wird. $\frac{x} {3}$ ist dabei nichts Anderes als $\frac{1}{3} \cdot x$ . Dann werden noch Zahlen addiert. Das ist alles erlaubt.
  
  
• $-2(9t+1)-9 (12+3t)=0$
  Bei dieser Gleichung ist durch die Klammern nicht sofort zu erkennen, ob sie linear ist. Beim Ausmultiplizieren werden die Terme, die die Variable $t$ enthalten, aber nur mit weiteren Zahlen multipliziert, sodass auch diese Gleichung linear ist. Würden Terme dieser Art $-2t(9t+1)=-18t\cdot t-2t$ vorhanden sein, wäre das nicht der Fall.
  
  
• $\sqrt{16} \cdot x=8$
  Diese Gleichung ist tatsächlich linear, denn $\sqrt{16}$ (also "Wurzel aus $16$") sieht zwar kompliziert aus, ist aber einfach nur eine Zahl, nämlich $4$.
  
  
• $3x+9y-18z=20$
  Auch diese Gleichung ist linear, da die Variablen nur mit Zahlen multipliziert werden (es ist ja in der Definition nicht gesagt, dass es nur eine Variable geben darf). Anschließend werden diese Produkte addiert. Damit sind in dieser Gleichung nur erlaubte Terme enthalten. Nicht erlaubt wären beispielsweise die Terme $3x \cdot y$ oder $-18z \cdot z$ , da hier Variablen miteinander multipliziert werden.
  
  

Beispiele für nicht lineare Gleichungen

• $\dfrac{1}{x}-12=0$
  Hier wird durch eine Variable dividiert. Das ist in linearen Gleichungen nicht erlaubt.
  
  
• $3z^2-7=90$
  In linearen Gleichungen dürfen Variablen nur mit Zahlen, nicht aber mit Variablen multipliziert werden. $z^2$ ist ja eine abkürzende Schreibweise für $z \cdot z$.
  
  
• $\sqrt{16\cdot x}=8$
  Im Unterschied zu oben steht hier auch die Variable unter der Wurzel. Das verletzt die Bedingungen für lineare Gleichungen - Wurzeln sind ja etwas Anderes als Produkte bzw. Summen ...
  
  
• $\sin(x)-3x=4x-10$
  Eine lineare Gleichung darf keine trigonometrischen Funktionen, wie den Sinus, angewendet auf eine Variable enthalten.

Lösen einer Gleichung

Grundsätzlich bedeutet "Gleichung lösen", für die Variable alle Werte zu finden, die beim Einsetzen in die Gleichung beide Seiten der Gleichung gleich groß werden lassen.
Ein Beispiel: Offensichtlich ist $x=4$ eine Lösung der Gleichung $3\cdot x=12$ , denn $3\cdot 4=12$ . Setzt man $x=4$ in die Gleichung ein, werden also beide Seiten gleich groß. In diesem Fall steht dann auf beiden Seiten $12$. Alle Werte meint dabei, dass eine Gleichung durchaus mehrere Lösungen haben kann. Um diese Werte zu finden, wird die Gleichung durch Umformungen in eine Form gebracht, in der man diese Werte ablesen kann.
Dabei ist eines wichtig: Die Lösungen der Gleichung dürfen sich während der Umformungen nicht ändern, sonst wären die am Ende abgelesenen Zahlenwerte ja keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung! Das heißt: Es gibt Umformungen, die beim Lösen einer Gleichung weiterhelfen - bei anderen muss man vorsichtig sein. Die Umformungen, die einem weiterhelfen, weil sie die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Dazu gehören die folgenden Umformungen:

1. auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche reelle Zahl, egal welche, addieren
2. auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Vielfache einer Variablen addieren
3. beide Seiten der Gleichung mit der gleichen reellen Zahl, ausgenommen der $0$, multiplizieren
4. beide Seiten der Gleichung mit dem gleichen Term ungleich $0$ multiplizieren
5. Terme vereinfachen, wie Klammern auflösen, Variablen zusammenfassen und Zahlen ausrechnen
6. die beiden Seiten der Gleichung vertauschen

Bemerkung: Bitte beachten Sie, dass in Addieren und Multiplizieren (Äquivalenzumformungen 1. bis 4.) auch Subtrahieren und Dividieren enthalten sind. Statt $5$ zu subtrahieren, kann man ja $-5$ addieren. Statt durch $10$ zu dividieren, kann man ja mit $\frac{1}{10}$ multiplizieren.

Ganz wichtig:
Wird beim Lösen einer Gleichung etwas addiert oder multipliziert, muss dies immer auf beiden Seiten der Gleichung gemacht werden. Sonst ändert sich die Lösungsmenge und die Mühe, einen Wert auszurechnen, war umsonst.
Hier ein Beispiel, indem korrekterweise alle Summanden in der Gleichung mit $2$ multipliziert werden:
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{1}{2}x+13 &=& 9 &\vert& \cdot 2 \cr x+26 &=& 18 &\vert&-26 \cr x &=& -8 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-8)+13 &=& 9 \cr-4+13 &=& 9 \cr9 &=& 9 \end{array}$
Setzt man den berechneten Wert in die Gleichung ein, ergibt sich auf beiden Seiten die gleiche Zahl. Der berechnete Wert ist also die Lösung der linearen Gleichung.

Würde man fälschlicherweise nur die beiden Summanden auf der linken Seite mit $2$ multiplizieren, ergäbe sich folgende Rechnung:
$\begin{array}{rclcl} x+26 &=& 9 &\vert& -26 \cr x &=& -17 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-17)+13 &\neq& 9 \cr-8{,}5+13 &\neq& 9 \cr-4{,}5 &\neq& 9 \end{array}$

Würde man fälschlicherweise nur den ersten Summanden auf der linken Seite mit $2$ multiplizieren, ergäbe sich folgende Rechnung:
$\begin{array}{rclcl} x+13 &=& 9 &\vert& -13 \cr x &=& -4 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-4)+13 &\neq& 9 \cr-2+13 &\neq& 9 \cr11 &\neq& 9 \end{array}$
Man sieht in diesen beiden Fällen, dass man 1. für $x$ einen anderen Wert berechnet als oben und 2. die Überprüfung nicht aufgeht. Die Werte, die sich ergeben, wenn man nur einige Summanden mit $2$ multipliziert, können also nicht Lösung der Gleichung sein.

Berücksichtigen Sie daher bei solchen Umformungen immer alle Terme auf beiden Seiten der Gleichung!

Etwas ganz Ähnliches wird Ihnen bei weiteren Gleichungstypen in späteren Kapiteln wieder begegnen. Es ist also wichtig, dass Sie sich hier schon damit vertraut machen.

Vielleicht haben Sie sich gefragt, warum die Multiplikation mit $0$ keine Äquivalenzumformung ist. Nehmen wir die (sehr einfache) Beispielgleichung:
$8=7$
Dies ist offensichtlich falsch. Wenn wir nun beide Seiten mit $0$ multiplizieren, passiert das Folgende:
$8\cdot 0=7 \cdot 0$ vereinfacht also $0=0$
Das wiederum ist richtig ... Wenn eine Umformung aus einer falschen Aussage eine richtige macht, ändert sich offensichtlich die Lösungsmenge. Damit erfüllt die Multiplikation mit $0$ nicht das Kriterium für eine Äquivalenzumformung. Die Erkenntnis, die man aus der umgeformten Gleichung ziehen kann, hat nämlich nichts mehr mit der ursprünglichen Gleichung zu tun. Die Umformung hilft uns auf dem Weg zur Lösung nicht weiter.

Die gerade besprochenen Äquivalenzumformungen sind grundsätzlich bei allen Gleichungen zulässig; allerdings reichen sie bei nicht linearen Gleichungen (wie sie in späteren Kapiteln behandelt werden) nicht immer aus. Dann kommen weitere Umformungsmöglichkeiten hinzu.

Hier ein ungefährer Plan zum Lösen einer Gleichung:

1. Klammern auflösen
2. auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen (alle Zahlenwerte zusammenrechnen, alle Variablen zusammenrechnen)
3. "sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite
   Achtung: Die Variable muss nicht $x$ heißen!
4. durch den Koeffizienten der Variable dividieren

Ein 5. Schritt wird weiter unten noch hinzukommen.

Ein Beispiel:
$\begin{array}{rclcl}-\left(4x-9\right)-2\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)+7 &=& -11x-6+3x &\vert & \text{Klammern auflösen} \cr -4x+9+x-2+7 &=& -11x-6+3x &\vert & \text{zusammenfassen} \cr -3x+14 &=& -8x-6 &\vert & \text{"sortieren": } +3x+6 \cr 14+6 &=& -8x+3x &\vert & \text{zusammenfassen}\cr 20 &=& -5x &\vert & :\left(-5\right) \cr -4 &=& x \end{array}$

Das Entscheidende an diesen Gleichungen ist, dass sie alle die gleiche Lösung haben. Anders gesagt: Löst eine Zahl eine dieser Gleichungen, löst sie alle! Sie können das direkt nachrechnen: Wenn Sie die Lösung der letzten Gleichung $x=-4$ in die anderen einsetzen, muss das Ergebnis der linken Seite immer gleich dem Ergebnis der rechten Seite sein.

Zur Notation: Es hat sich eingebürgert, am Ende einer Gleichungszeile hinter einem senkrechten Strich anzugeben, welche Rechenoperationen / Umformungen auf die Gleichung in diesem Schritt angewendet werden. Das muss man nicht machen, ist aber gerade am Anfang meist ziemlich hilfreich.

Bemerkung 1: Je nach Art der Gleichung kann man manchmal einen oder mehrere Schritte überspringen.
Bemerkung 2: Es ist egal, ob die Variable auf der rechten oder der linken Seite der Gleichung "gesammelt" wird, da die beiden Seiten einer Gleichung ja getauscht werden dürfen. $x=-4$ meint das Gleiche wie $-4=x$

Definitionsbereich und Lösungsmenge

Das war (leider) noch nicht ganz alles, was man beim Lösen linearer (und auch anderer) Gleichungen beachten muss ...

Zu jeder Gleichung gehört die Angabe eines Definitionsbereichs (Formelzeichen: $\mathbb{D}$). Dieser gibt an, welche Zahlen grundsätzlich als Lösung infrage kommen. Wenn nichts weiter angegeben ist und keine inhaltlichen bzw. formalen Gründe dagegensprechen, kann man davon ausgehen, dass der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen ist, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

Stehen Aufgaben in einem inhaltlichen Zusammenhang, sind häufig nur Lösungen aus einem bestimmten Zahlenbereich sinnvoll. Ein Beispiel: Als Nervennahrung, um die Matheklausur zu bestehen, benötigt ein Student der TH Wildau $5$ Schokoriegel. In der Mensa zahlt er dafür $4{,}50\;\text{EUR}$. Wie teuer ist ein Schokoriegel?
Sei $s$ der Preis eines Schokoriegels. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen: $5\cdot s=4{,}50$
Es dürfte einleuchtend sein, dass die Lösung dieser Gleichung positiv sein muss - ok, $0$ ist als Lösung auch möglich, wenn auch (leider) unwahrscheinlich ... Mathematisch notiert man: $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$. Wenn man noch genauer sein möchte, kann man argumentieren, dass irrationale Zahlen, wie $\sqrt{2}$ und $\pi$, ebenfalls nicht als Preise infrage kommen (Wie sollte man die unendlich vielen Nachkommastellen bezahlen?), die positiven rationalen Zahlen reichen also als Definitionsbereich aus: $\mathbb{D}=\mathbb{Q}^+_0$.

Variieren wir das Beispiel ein bisschen: Eine Studentin der TH Wildau möchte $5{,}20 \;\text{EUR}$ für Gummibärchen ausgeben. Eine Packung kostet $1{,}30\;\text{EUR}$. Wie viele Packungen kann sie kaufen?
Sei $g$ die Anzahl der Gummibärchentüten. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen: $1{,}30\cdot g=5{,}20$
Hier gibt es noch mehr Einschränkungen: Weder negative noch gebrochene Zahlenwerte kommen als Lösung infrage. $0$ ist hier wieder theoretisch als Lösung möglich. Umgekehrt formuliert, benötigen wir für die Lösung nichtnegative, ganze Zahlen. Oder - noch anders formuliert - gesucht ist eine natürliche Zahl: $\mathbb{D}=\mathbb{N}$.

Auch aus formalen Gründen kann es notwendig sein, den Definitionsbereich einzuschränken: Da man durch $0$ ja nicht teilen darf, muss man dafür sorgen, dass der Nenner eines Bruches nie $0$ wird. Auch hier ein Beispiel: Bei der Gleichung $\frac{1}{x}=13$ muss $x=0$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Man schreibt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$.

Bei diesen Aufgaben sind die Beschränkungen des Definitionsbereichs alle relativ offensichtlich. Das liegt vor allem daran, dass die Beispiele recht einfach gewählt sind, um überhaupt erstmal das Prinzip deutlich zu machen. In späteren Kapiteln (insbesondere bei Wurzel- und Logarithmusgleichungen) werden Sie weitere Einschränkungen kennenlernen. So als Faustregel: Je komplexer die Gleichung wird, desto relevanter wird dabei auch der Definitionsbereich.

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge (Formelzeichen: $\mathbb{L}$).
Nach dem Lösen einer Gleichung muss immer noch geprüft werden, ob der berechnete Wert im Definitionsbereich liegt (vielleicht kommt er ja als Lösung gar nicht infrage ...). Daher ist die Zahl, die in der letzten Zeile steht, nicht automatisch eine Lösung der Gleichung! Nach dem Abgleich mit dem Definitionsbereich sollte die Lösung einer Gleichung dann immer in Form einer Lösungsmenge angegeben werden.
Zu den Beispielen von oben:
Schokoriegel: $\mathbb{L}_S=\{0{,}90\}$
Gummibärchen: $\mathbb{L}_G=\{4\}$

Der ungefähre Plan zum Lösen einer Gleichung lautet also:

1. Klammern auflösen
2. auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen (alle Zahlenwerte zusammenrechnen, alle Variablen zusammenrechnen)
3. "sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite.
   Achtung: Die Variable muss nicht $x$ heißen!
4. durch den Koeffizienten der Variable teilen
5. prüfen, ob die als Lösung ermittelte Zahl im Definitionsbereich liegt

Lösungsmenge aufschreiben nicht vergessen!

Überprüfen der gefundenen Lösungen

Um zu prüfen, ob die gefundene Zahl tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist, kann man die Probe machen, d. h. man setzt den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein und prüft, ob beide Seiten denselben Wert ergeben. Ist das nicht der Fall, sollte man noch mal nachrechnen ...

Betrachten wir noch einmal das Beispiel von oben: $-\left(4x-9\right)-2\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)+7 = -11x-6+3x$ mit der Lösung $x=-4$
Setzt man für jedes $x$ in der Gleichung $-4$ ein, erhält man
$\begin{array}{rcl}-\left(4\cdot (-4)-9\right)-2\left(-\dfrac{-4}{2}+1\right)+7 &=& -11\cdot (-4)-6+3\cdot (-4) \cr -\left(-16-9\right)-2\left(-(-2)+1\right)+7 &=& 44-6+(-12) \cr -(-25)-2\cdot 3+7 &=& 44-6-12 \cr 25-6+7 &=& 26 \cr 26 &=& 26 \end{array}$

Stimmt! Wobei man vielleicht dazu sagen sollte, dass diese Probe hier sehr ausführlich aufgeschrieben ist ... Nicht jeder dieser Schritte muss wirklich dringend notiert werden.

Hier kann man auch nochmal gut sehen, warum es wirklich keine gute Idee ist, durch $0$ zu dividieren: Wenn die Division durch $0$ irgendein Ergebnis $x$ ergäbe, also z. B. $10:0 = x$, dann müsste es möglich sein, die Probe zu machen. Das wäre in diesem Fall $0\cdot x = 10$. Das Produkt von $0$ mit irgendeiner reellen Zahl ist aber immer $0$. $0\cdot x$ kann also nie $10$ werden - egal, für welche Zahl $x$ steht.

Lösbarkeit linearer Gleichungen

Zum Abschluss noch die Frage: Ist jede lineare Gleichung lösbar? Anders formuliert: Lässt sich für jede lineare Gleichung (mit dem oben gezeigten Weg) eine Zahl finden, sodass beide Seiten gleich groß werden?

Schauen wir uns dafür beispielhaft die folgenden drei Gleichungen an:

$-2x+1 = -2x+2-1$
Diese lineare Gleichung ist mehrdeutig lösbar. D. h., es gibt mehr als eine Zahl, die diese Gleichung löst. Um genau zu sein, gibt es sogar unendlich viele Lösungen. Rechnet man nämlich die Zahlen auf der rechten Seite zusammen, erhält man $-2x+1 = -2x+1$ . Hier sieht man: Egal, welche Zahl man für $x$ einsetzt, man erhält immer auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis. Was sollte auch sonst passieren, wenn die beiden Seiten der Gleichung identisch sind? Jedes Element des Definitionsbereiches ist also Lösung der Gleichung.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$. Konkret ist die Lösungsmenge dieser Aufgabe $\mathbb{L} = \mathbb{R}$; bei eingeschränkten Definitionsbereichen natürlich entsprechend diese Mengen.


$3x-1 = 5$
Diese lineare Gleichung ist eindeutig lösbar. D. h., es gibt genau eine Zahl, die diese Gleichung löst. Es ist also der gleiche Fall wie in dem Beispiel oben. Formt man sie um, indem man erst $1$ addiert und anschließend durch $3$ teilt, erhält man nämlich $x=2$ . Dies ist die einzige Lösung, denn keine andere Zahl ergibt $5$, wenn man sie mit $3$ multipliziert und anschließend $1$ subtrahiert.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{2\}$


$4x = 4x+1$
Die lineare Gleichung ist nicht lösbar. D. h., es gibt keine Zahl, die diese Gleichung löst. Zieht man auf beiden Seiten $4x$ ab, erhält man $0 = 1$ . Das ist ein Widerspruch. Anders gesagt: Es gibt keine Zahl, die genauso groß ist wie ihr Nachfolger.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \emptyset$


Zusammenfassung: Lineare Gleichungen können nicht lösbar (d. h. es gibt keine Lösungen), eindeutig lösbar (d. h. es gibt genau eine Lösung) oder mehrdeutig lösbar mit unendlich vielen Lösungen sein. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe

5.3 Lineare Gleichungen - Lösungen

1. Aufgabe

Erste Bemerkung vorab: Malpunkte zwischen den Variablen dürfen bei allen Aufgaben auch weggelassen werden. Das ist eigentlich die übliche Schreibweise. In diesem Kapitel wurden sie nur hingeschrieben, um deutlich zu machen, wo genau hier multipliziert wird.

Zweite Bemerkung vorab: Statt $x\cdot x$ dürfen Sie natürlich auch $x^2$ und statt $x\cdot x\cdot x$ auch $x^3$ schreiben. Hier wurde das nur deswegen nicht gemacht, weil die Potenzschreibweise "offiziell" erst in Kapitel 8 eingeführt wird ...

1)
$\begin{array}{rclcl} -3(-4x \cdot x+2x) &=& -3 \cdot (-4x \cdot x)-3 \cdot 2x &=& 12x \cdot x-6x \end{array}$

Vorgehen: Klammern auflösen

Bemerkung: Auf das Minuszeichen vor der Klammer achten!

 
2)
$\begin{array}{rcl} 4x \cdot x-3x \cdot y+11x \cdot x+16x-40y+3y \cdot x &=& 4x \cdot x+11x \cdot x-3x \cdot y+3x \cdot y+16x-40y \cr &=& 15x \cdot x+16x-40y \end{array}$

Vorgehen: zusammenfassen
 
Bemerkung 1: Gleiche Produkte von Variablen dürfen addiert und subtrahiert werden. Dabei ändert sich nur der Koeffizient.
 
Bemerkung 2: Die Reihenfolge der Variablen in einem Produkt ist egal. Üblich ist, die Variablen in alphabetischer Reihenfolge aufzuschreiben, weil das die Übersicht erleichtert.

 
3)
$\begin{array}{rcl} 60a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot c +10a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot c-30a \cdot b \cdot c \cdot c \cdot c &=& 10a \cdot b \cdot c(6a \cdot a \cdot c+b \cdot b-3c \cdot c) \end{array}$

Vorgehen: ausklammern

 
4)
$\begin{array}{rcl} 6-(8x-4y)+2(10y-7)+12-18x &=& 6-8x+4y+20y-14+12-18x \cr &=& -26x+24y+4 \end{array}$

Vorgehen: Klammern auflösen, anschließend zusammenfassen

 
5)
$\begin{array}{rcl} -(2a+d)(-2d+a) &=& -(-4a \cdot d+2a \cdot a-2d \cdot d+a \cdot d) \cr &=& -(-3a \cdot d+2a \cdot a-2d \cdot d) \cr &=& -2a \cdot a+3a \cdot d+2d \cdot d \end{array}$

Vorgehen: Klammern auflösen
 
Bemerkung: Auf das Minuszeichen vor den Klammern achten!

 
6)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{4}{5}t-\dfrac{t}{10}+\dfrac{7}{15}t &=& \dfrac{24}{30}t-\dfrac{3}{30}t+\dfrac{14}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{24-3+14}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{35}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{7}{6}t \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren, anschließend kürzen
 
Bemerkung 1: Ob die Variable auf oder hinter dem Bruchstrich steht, ist egal.
 
Bemerkung 2: Da die Variablen alle nur mit Zahlenwerten (und nicht mit weiteren Variablen) multipliziert werden, dürfen diese Koeffizienten einfach addiert bzw. subtrahiert werden.

 
7)
$\begin {array}{rcl} \dfrac{3x}{8}-\dfrac{5}{12}x-\dfrac{4}{x} &=& \dfrac{9x \cdot x}{24x}-\dfrac{10x \cdot x}{24x}-\dfrac {96}{24x} \cr \cr &=& \dfrac{9x \cdot x-10x \cdot x-96}{24x} \cr \cr &=& \dfrac{-x \cdot x-96}{24x} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren
 
Bemerkung: Die Variable muss im Hauptnenner berücksichtigt werden, da sie beim dritten Bruch im Nenner steht.

 
8)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2a}{b}+\dfrac{a}{m}+\dfrac{a}{b} &=& \dfrac{2a}{b}+\dfrac{a}{b}+ \dfrac{a}{m} \cr \cr &=& \dfrac{3a}{b}+\dfrac{a}{m} \cr \cr &=& \dfrac{3am}{bm}+\dfrac{ab}{bm} \cr \cr &=& \dfrac{3am+ab}{bm} \cr \cr &=& \dfrac{a(3m+b)}{bm} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren, anschließend ausklammern
 
Bemerkung: Den ersten und den dritten Bruch kann man sofort addieren, weil sie bereits den gleichen Nenner haben.

 
9)
$\begin{array} {rcl} \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} &=& \dfrac{1\cdot(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{x-1-x-1}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{- 2}{(x-1)(x+1)} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und subtrahieren

Bemerkung 1: Auf das Minuszeichen zwischen den Klammern im Zähler achten! Hier müssen unbedingt Klammern gesetzt werden, da der gesamte Zähler des zweiten Bruches subtrahiert werden muss.

Bemerkung 2: Man könnte im Nenner noch die Klammern auflösen.

 
10)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{y+2}{y-2}-\dfrac{2y- 2}{y+4} &=& \dfrac{(y+2)(y+4)}{(y-2)(y+4)}-\dfrac{(2y-2)(y-2)}{(y+4)(y-2)} \cr \cr &=& \dfrac{y \cdot y +6y+8}{(y-2)(y+4)}-\dfrac{2y \cdot y-6y+4}{(y-2)(y+4)} \cr \cr &=& \dfrac{y \cdot y+6y+8-(2y \cdot y-6y+4)}{(y- 2)(y+4)} \cr \cr &=& \dfrac{-y \cdot y+12y+4}{(y-2)(y+4)} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und subtrahieren
 
Bemerkung 1: Beim Zusammenfassen der Brüche müssen Klammern um den Zähler des zweiten Bruches gesetzt werden, da sich das Minuszeichen sonst nicht auf den gesamten Zähler auswirkt.
 
Bemerkung 2: Man könnte im Nenner noch die Klammern auflösen.

 
11)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3a-9} + \dfrac{b}{-3+a} &=& \dfrac{2}{3\left(a-3\right)} + \dfrac{b}{a-3} \cr \cr &=& \dfrac{2}{3\left(a-3\right)} + \dfrac{3b}{3\left(a-3\right)} \cr \cr &=& \dfrac{2+3b}{3\left(a-3\right)}\end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren

Bemerkung: $-3+a$ ist das Gleiche wie $a-3$

 
12)
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{4x}{5} \cdot \dfrac{2}{3x} &=& \dfrac{8x} {15x} &=& \dfrac{8}{15} \end{array}$

Vorgehen: Brüche multiplizieren ("Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner"), anschließend kürzen
 
Bemerkung: $x$ muss bei dieser Aufgabe ungleich $0$ sein, da durch $0$ nicht geteilt werden darf.

 
13)
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{2a}{5} : \dfrac{a}{10} &=& \dfrac{2a}{5} \cdot \dfrac{10}{a} &=& 4 \end{array}$

Vorgehen: Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren), anschließend kürzen

Bemerkung: $a$ muss bei dieser Aufgabe ungleich $0$ sein, da durch $0$ nicht geteilt werden darf.

 
14)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{8}{z} + \left(\dfrac{z} {2}-12\right) \left(1+\dfrac{4}{z}\right) &=& \dfrac{8}{z} + \dfrac{z}{2} \cdot 1 + \dfrac{z}{2} \cdot \dfrac{4}{z} - 12 \cdot 1 -12 \cdot \dfrac{4}{z} \cr \cr &=& \dfrac{8}{z} + \dfrac{z}{2} + 2 - 12 - \dfrac{48}{z} \cr \cr &=& \dfrac{z}{2} - 10 - \dfrac{40}{z} \end{array}$

Vorgehen: Klammer auflösen nach dem Distributivgesetz, anschließend zusammenfassen

 
15)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{n-2}{n\cdot n+5n} : \dfrac{3n-6}{10n} &=& \dfrac{n-2}{n\cdot n+5n} \cdot \dfrac{10n}{3n-6} \cr \cr &=& \dfrac{n-2}{n\left(n+5\right)} \cdot \dfrac{10n} {3\left(n-2\right)} \cr \cr &=& \dfrac{1}{n+5} \cdot \dfrac{10}{3} \cr \cr &=& \dfrac{10}{3\left(n +5\right)} \end{array}$

Vorgehen: Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren), anschließend kürzen und zusammenfassen

Bemerkung 1: Aus der Summe $n+5$ darf nicht gekürzt werden.

Bemerkung 2: Der Term $n-2$ als Ganzes darf gekürzt werden. Bitte darauf achten, dass nach dem Kürzen im Zähler des ersten Bruches eine $1$ stehen bleibt.

 
16)
$\begin{array}{rcl} 6yz-\{12+7[yz +16-3x(15+8y)]\}+13x &=&6yz-\{12+7[yz+16-3x\cdot 15+(-3x)\cdot 8y]\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7[yz+16-45x-24xy]\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7\cdot yz+7\cdot 16+7\cdot(-45x)+7\cdot (-24xy)\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7yz+112-315x-168xy\}+13x \cr\cr &=&6yz-12-7yz-112+315x+168xy+13x \cr\cr &=&-yz-124+328x+168xy \cr\cr &=&168xy-yz+328x-124 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die runden Klammern, dann die eckigen und zum Schluss die geschweiften) und anschließend zusammenfassen

 
17)
$\begin{array}{rcl} \{8x[2+(13-5x)\cdot9x]-5\}\cdot4 &=&\{8x[2+13\cdot9x-5x\cdot9x]-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{8x[2+117x-45x\cdot x]-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{8x\cdot 2+8x\cdot 117x+8x\cdot (-45x\cdot x)-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{16x+936x\cdot x-360x\cdot x\cdot x-5\}\cdot4 \cr\cr &=&16x\cdot4+936x\cdot x\cdot4-360x\cdot x\cdot x\cdot4-5\cdot4 \cr\cr &=&64x+3744x\cdot x-1440x\cdot x\cdot x-20 \cr\cr &=&-1440x\cdot x\cdot x+3744x\cdot x+64x-20 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die runden Klammern, dann die eckigen und zum Schluss die geschweiften) und anschließend zusammenfassen

 
18)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}[6(12+4ab)\cdot3c-b(10a+20c)]+19 &=&\dfrac{1}{2}[(6\cdot12+6\cdot4ab)\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[(72+24ab)\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[72\cdot3c+24ab\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[216c+72abc-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}\cdot216c+\dfrac{1}{2}\cdot72abc+\dfrac{1}{2}\cdot(-10ab)+\dfrac{1}{2}\cdot(-20bc)+19 \cr\cr &=&36abc-5ab-10bc+108c+19 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die beiden runden Klammern und dann die eckigen) und anschließend zusammenfassen

 
19)
$\begin{array}{rcl} (x-15)[-u(2x+14ux-7)+16u-24xu] &=&(x-15)[-u\cdot2x-u\cdot14ux-u\cdot(-7)+16u-24ux] \cr\cr &=&(x-15)[-2ux-14uux+7u+16u-24ux] \cr\cr &=&(x-15)[-14uux-26ux+23u] \cr\cr &=&x\cdot(-14uux)+x\cdot(-26ux)+x\cdot23u-15\cdot(-14uux)-15\cdot(-26ux)-15\cdot23u \cr\cr &=&-14uuxx-26uxx+23ux+210uux+390ux-345u \cr\cr &=&-14uuxx+210uux-26uxx+413ux-345u \end{array}$

Vorgehen: erst innerhalb der eckigen Klammern "aufräumen" (runde Klammern nach dem Distributivgesetz auflösen, zusammenfassen, sortieren), dann runde Klammer von ganz vorne mit der eckigen Klammer mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und anschließend zusammenfassen
 
Bemerkung: Innerhalb der einzelnen Produkte sollten die Variablen in alphabetischer Reihenfolge geschrieben werden. Dann sieht man nämlich beispielsweise besser, dass $-2ux$ und $-24ux$ zusammengefasst werden können. Bei den Produkten selbst werden die mit den "meisten" Variablen zuerst geschrieben.

 
20)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3}[21+(11+18y)(-x-3)-2x\{9xy-5x+12\}-27x] &=&\dfrac{2}{3}[21+11\cdot(-x)+11\cdot(-3)+18y\cdot(-x)+18y\cdot(-3)-2x\cdot9xy-2x\cdot(-5x)-2x\cdot12-27x] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}[21-11x-33-18xy-54y-18xxy+10xx-24x-27x] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}[-18xxy+10xx-18xy-62x-54y-12] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}\cdot(-18xxy)+\dfrac{2}{3}\cdot10xx+\dfrac{2}{3}\cdot(-18xy)+\dfrac{2}{3}\cdot(-62x)+\dfrac{2}{3}\cdot(-54y)+\dfrac{2}{3}\cdot(-12) \cr\cr &=&-12xxy+\dfrac{20}{3}xx-12xy-\dfrac{124}{3}x-36y-8 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die beiden runden sowie die geschweiften Klammern und dann die eckigen) und anschließend zusammenfassen

2. Aufgabe

Wichtig: Treffen Punkt- und Strichrechnung aufeinander, müssen Klammern gesetzt werden!

1)
$\begin{array}{cclll} a &=& 2b+c & \vert & \text{Setze b ein} \cr a &=& 2(3+c)+c & \vert & \text{Setze c ein} \cr a &=& 2(3+1)+1 \cr a &=& 2 \cdot 4+1 \cr a &=& 9 \end{array}$

2)
$\begin{array}{cclll} 2s &=& -4r-t+12 & \vert & \text{Setze r ein} \cr 2s &=& -4(3t-16)-t+12 & \vert & \text {Setze t ein} \cr 2s &=& -4(3 \cdot 24-16)-24+12 \cr 2s &=& -4 \cdot 56-24+12 \cr 2s &=& -224 -24+12 \cr 2s &=& -236 & \vert & :2 \cr s &=& -118 \end{array}$

3)
$\begin {array}{cclll} 2a &=& 18z+2 & \vert & :2 \cr a &=& 9z+1 \cr \cr x &=& a-10-4z & \vert & \text{Setze a ein} \cr x &=& 9z+1-10-4z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& 9 \cdot (-5)+1-10-4 \cdot (-5) \cr x &=& -45+1-10+20 \cr x &=& -44-10+20 \cr x &=& -34 \end {array}$

Bemerkung: Um $x$ zu berechnen, muss in der entsprechenden Zeile $a$ eingesetzt werden. Es ist aber kein Term für $a$ gegeben, sondern nur einer für $2a$. Daher muss diese Zeile zunächst umgeformt werden.

 
4)
$\begin{array}{cclll} 2l &=& 2z-14 & \vert & :2 \cr l &=& z-7 \cr \cr 12b &=& 3l+ \dfrac{1}{3}z+11 & \vert & \text{Setze l ein} \cr 12b &=& 3(z-7)+\dfrac{1}{3}z+11 & \vert & \text{Setze z ein} \cr 12b &=& 3(-9-7)+ \dfrac{1}{3} \cdot (-9)+11 \cr 12b &=& 3 \cdot (-16)-3+11 \cr 12b &=& -48-3+11 \cr 12b &=& -40 & \vert & :12 \cr b &=& -\dfrac{40}{12} = - \dfrac{10} {3} \end{array}$

5)
$\begin{array}{cclll} 2v &=& 16-8w & \vert & :2 \cr v &=& 8-4w \cr \cr -3w &=& 27 & \vert &:(-3) \cr w &=& -9 \cr \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25v-8w & \vert & \text{Setze v ein} \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8-4w)-8w & \vert & \text{Setze w ein} \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8-4 \cdot(-9))-8 \cdot (-9) \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8+36)+72 \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25 \cdot 44+72 \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-1100+72 \cr \dfrac{1} {5}u &=& -928 & \vert & \cdot 5 \cr u &=& -4640 \end{array}$

3. Aufgabe

1) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Ob die Variable $x$ auf oder hinter dem Bruchstrich steht, ist egal. Dies sind nur zwei verschiedene Schreibweisen, die das Gleiche meinen.

 
2) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da auf der linken Seite der Kosinus auf die Variable angewendet wird. Außerdem entsteht beim Ausmultiplizieren der Klammern auf der rechten Seite $x\cdot x = x^2$ .

3) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable $x$ auch quadriert auftritt.

4) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable $x$ im Nenner eines Bruches auftritt.

5) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

6) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Durch das Wurzelzeichen sieht die Gleichung zwar auf den ersten Blick nicht linear aus. Da unter der Wurzel aber "nur" eine Zahl steht, kann die Wurzel einfach berechnet werden: $\sqrt{4}=2$ , also steht auf der linken Seite der Gleichung nichts anderes als $1+2x$.

7) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da nach dem Ausmultiplizieren der Klammern die Variable $x$ auch quadriert auftritt.

8) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

9) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Die Wurzel im Nenner kann einfach berechnet werden, weil sie "nur" eine Zahl enthält. Also steht auf der linken Seite $\dfrac{x}{8}$. Das ist gleichbedeutend mit $\dfrac{1}{8} \cdot x$. Also, alles in Ordnung.

10) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable $x$ im Nenner eines Bruches auftritt.

4. Aufgabe

1)
$\begin{array}{rclll} 2x - 4 \, &=& \, -4x - 1 & \vert & +4x+4 \cr 2x+4x &=& -1+4 \cr 6x &=& 3 & \vert & :6 \cr x &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$
 
Probe:
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 4 \, &=& \, -4 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 \cr 1-4 &=& -2-1 \cr -3 &=& -3 \end{array}$

Für $x = \dfrac{1}{2}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{1}{2} \right\}$

2)
$\begin{array}{rclll} 3 (2x-1) &=& -5 (17+7x) \cr 6x-3 &=& -85-35x & \vert & -6x+85 \cr -3+85 &=& -35x-6x \cr 82 &=& -41x & \vert & :(-41) \cr -2 &=& x \end{array}$

Probe:
$\begin {array}{rcl} 3 \cdot (2 \cdot \left(-2\right)-1) &=& -5\cdot (17+7 \cdot \left(-2\right)) \cr 3 \cdot (-4-1) &=& -5 \cdot (17-14) \cr 3 \cdot (-5) &=& -5 \cdot 3 \cr -15 &=& -15 \end{array}$

Für $x = -2$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-2 \right\}$

3)
$\begin{array}{rclll} 6(4x-8) &=& (-12x+24) \cdot (-2) \cr 24x-48 &=& 24x-48 & \vert & -24x+48 \cr 24x-24x &=& - 48+48 \cr 0&=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

4)
$\begin{array}{rclll} 3x \, (-4x-10) &=& (2-2x) \cdot (6x+15) \cr -12x^2-30x &=& 12x+30-12x^2-30x & \vert & +12x^2+30x-12x \cr -12x^2+12x^2-30x+30x-12x &=& 30 \cr -12x &=& 30 & \vert & :(-12)\cr x &=& -\dfrac{30}{12} = -\dfrac{5}{2} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl} 3 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right) \cdot \, \left(-4 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)-10\right) &=& \left(2-2 \, \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)+15\right) \cr -\dfrac{15}{2} \cdot (10-10) &=& (2+5) \cdot (-15+15) \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = -\dfrac{5}{2}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-\dfrac{5}{2} \right\}$

5)
$\begin{array}{rclll} 4 \, (4a-1) &=& 8 \, \left(\dfrac{1}{2}+2a\right) \cr 16a-4 &=& 4+16a & \vert & - 16a+4 \cr 16a-16a &=& 4+4 \cr 0 &=& 8 \cr \cr \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}$

Bemerkung: Beim Umformen der Gleichung entsteht ein Widerspruch: $0=8$ kann nie stimmen. Daher ist diese Gleichung nicht lösbar: $\mathbb{L} = \emptyset$

 
6)
$\begin{array}{rclll} -3 \, (6y+2) &=& 12y-5 \cr -18y-6 &=& 12y-5 & \vert & -12y+6 \cr -18y-12y &=& -5+6 \cr -30y &=& 1 & \vert & :(-30) \cr y &=& -\dfrac{1}{30} \not\in\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}$

Bemerkung: Als Definitionsbereich ist hier die Menge der natürlichen Zahlen ($\mathbb{D} = \mathbb{N}$) gegeben. $-\frac{1}{30}$ ist aber nun mal keine natürliche Zahl ($-\frac{1}{30} \not\in\mathbb{N}$). Also kann für diese Gleichung keine Zahl gefunden werden, die beide Seiten gleich groß werden lässt und im Definitionsbereich liegt.

7)
$\begin{array}{rclll} 2 \, (3x-1) &=& 3(2+5x)+1 \cr 6x-2 &=& 6+15x+1 \cr 6x-2 &=& 15x+7 & \vert & -15x+2 \cr 6x-15x &=& 7+2 \cr -9x &=& 9 & \vert & :(-9) \cr x &=& -1 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 2\cdot (3\cdot (-1)-1) &=& 3\cdot (2+5\cdot (-1))+1 \cr 2\cdot (-4) &=& 3\cdot(-3)+1 \cr -8 &=& -8 \end{array}$

Für $x = -1$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-1 \right\}$

8)
$\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{3} (-3y+6) &=& \dfrac{3}{2} (6y-2) \cr -y+2 &=& 9y-3 & \vert & -9y-2 \cr -y-9y &=& -3-2 \cr -10y &=& -5 & \vert & :(-10) \cr y &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{3}\cdot\left(-3\cdot \dfrac{1}{2}+6\right) &=& \dfrac{3}{2}\cdot\left(6\cdot\dfrac{1}{2}-2\right) \cr\cr \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{2} &=& \dfrac{3}{2}\cdot 1 \cr\cr \dfrac{3}{2} &=& \dfrac{3}{2} \end{array}$

Für $x = \dfrac{1}{2}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{1}{2} \right\}$

9)
$\begin{array}{rclll} 6 \, (2x-4)-7 &=& 9-8\left(\dfrac{1}{4}x+5\right) \cr 12x-24-7 &=& 9-2x-40 \cr 12x-31 &=& -2x-31 & \vert & +2x+31 \cr 12x+2x &=& -31+31 \cr 14x &=& 0 & \vert & :14 \cr x &=& 0 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 6\cdot (2\cdot 0 -4)-7 &=& 9-8\cdot \left(\dfrac{1}{4}\cdot0+5\right) \cr 6\cdot(-4)-7 &=& 9-8\cdot 5 \cr -24-7 &=& 9-40 \cr\cr -31 &=& -31 \end{array}$

Für $x = 0$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{0 \right\}$

10)
$\begin{array}{rclll} 4 \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+5\left(\dfrac{x}{5}-\dfrac{1}{3}\right) &=& 0 \cr 2x-\dfrac{4}{3}+x-\dfrac{5}{3} &=& 0 \cr 3x-3 &=& 0 & \vert & +3 \cr 3x &=& 3 & \vert & :3 \cr x &=& 1 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 4\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+5\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right) &=& 0 \cr\cr 4\cdot\dfrac{1}{6}+5\cdot\left(-\dfrac{2}{15}\right) &=& 0 \cr\cr \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3} &=& 0 \cr\cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = 1$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{1 \right\}$

11)
$\begin{array}{rclll} 13m+m+30-23m-45+17+12m &=& -31 \cr 3m+2 &=& -31 & \vert & -2 \cr 3m &=& -31-2 \cr 3m &=& -33 & \vert & :3 \cr m &=& -11 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 13\cdot(-11)+(-11)+30-23\cdot(-11)-45+17+12\cdot(-11) &=& -31 \cr -143-11+30+253-45+17-132 &=& -31 \cr -31 &=& -31 \end{array}$

Für $x = -11$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-11 \right\}$

12)
$\begin{array}{rclll} \dfrac{x+3}{2} &=& \dfrac{x+3}{4}&\vert&\cdot4 \cr 2(x+3)&=&x+3 \cr 2x+6&=&x+3&\vert&-6-x \cr 2x-x&=&3-6 \cr x&=&-3\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{-3+3}{2} &=& \dfrac{-3+3}{4} \cr\cr \dfrac{0}{2} &=& \dfrac{0}{4} \cr\cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = -3$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-3 \right\}$

13)
$\begin{array}{rclll}5\left(x+\dfrac{18}{25}\right) &=& 3\left(x-\dfrac{4}{5}\right) \cr 5x+\dfrac{18}{5} &=& 3x-\dfrac{12}{5} & \vert & -\dfrac{18}{5}-3x \cr 5x-3x &=& -\dfrac{12}{5}-\dfrac{18}{5} \cr 2x &=& -6 & \vert & : 2 \cr x &=& -3 \not\in\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L}&=&\emptyset \end{array}$

Bemerkung: Als Definitionsbereich ist hier die Menge der positiven reellen Zahlen ($\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$) gegeben. $-3$ ist nun mal negativ. Also kann für diese Gleichung keine Zahl gefunden werden, die beide Seiten gleich groß werden lässt und im Definitionsbereich liegt.

14)
$\begin{array}{rclll}0{,}2a-0{,}3-0{,}5a+3{,}1a+0{,}7a &=& 1{,}9a+5-0{,}4a+2{,}7 \cr 3{,}5a-0{,}3 &=& 1{,}5a+7{,}7 & \vert & +0{,}3-1{,}5a \cr 3{,}5a-1{,}5a &=& 7{,}7+0{,}3 \cr 2a &=& 8 & \vert & : 2 \cr a &=& 4 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 0{,}2\cdot 4-0{,}3-0{,}5\cdot 4+3{,}1\cdot 4+0{,}7\cdot 4 &=& 1{,}9\cdot 4+5-0{,}4\cdot 4+0{,}5+2{,}2 \cr 0{,}8-0{,}3-2+12{,}4+2{,}8 &=& 7{,}6+5-1{,}6+0{,}5+2{,}2 \cr 13{,}7 &=& 13{,}7 \end{array}$

Für $x = 4$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{4 \right\}$

15)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{-12x+24}{6} &=& 2(3x-38) \cr \dfrac{1}{6}(-12x+24) &=& 2(3x-38) \cr -2x+4 &=& 6x-76 & \vert & -4-6x \cr -2x-6x &=& -76-4 \cr -8x &=& -80 &\vert & : \left(-8\right) \cr x &=& 10 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{-12\cdot 10+24}{6} &=& 2\cdot(3\cdot 10-38) \cr \dfrac{-96}{6} &=& 2\cdot (-8) \cr -16 &=& -16 \end{array}$

Für $x = 10$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{10 \right\}$

16)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{3x}{5}-\dfrac{4}{5}x+2x &=& x+4 \cr\cr \dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{10}{5}x &=& x+4 \cr\cr \dfrac{9}{5}x &=& x+4 & \vert & -x \cr\cr \dfrac{9}{5}x-\dfrac{5}{5}x &=& 4 \cr\cr \dfrac{4}{5}x &=& 4 &\vert & \cdot \dfrac{5}{4} \cr\cr x &=& 5 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{3\cdot 5}{5}-\dfrac{4}{5}\cdot 5 +2\cdot 5 &=& 5+4 \cr 3-4+10 &=& 9 \cr 9 &=& 9 \end{array}$

Für $x = 5$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{5 \right\}$

17)
$\begin{array}{rclll}0&=&7+3x+4-5x+4x-8+x+30 \cr 0&=& 33+3x &\vert & -3x \cr -3x&=&33 &\vert & :\left(-3\right) \cr x &=& -11 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 0 &=& 7+3\cdot(-11)+4-5\cdot(-11)+4\cdot(-11)-8+(-11)+30 \cr 0 &=& 7-33+4+55-44-8-11+30 \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = -11$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-11 \right\}$

18)
$\begin{array}{rclll}-9+3\left(-8p+3\right)&=&-2\left(10p-2\right)+4\left(-1-p\right)\cr-9-24p+9&=&-20p+4-4-4p\cr-24p&=&-24p &\vert& +24p \cr 0&=&0 \cr\cr\mathbb{L}&=&\mathbb{R}\end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

19)
$\begin{array}{rclll}3\left(5b+1\right)-3b&=&21-2\left(4+\dfrac{5}{2}b\right)\cr\cr15b+3-3b&=&21-8-5b \cr 12b+3&=&-5b+13&\vert&+5b-3 \cr 17b&=&10&\vert&:17 \cr b&=&\dfrac{10}{17}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 3\left(5\cdot\dfrac{10}{17}+1\right)-3\cdot\dfrac{10}{17}&=&21-2\left(4+\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{10}{17}\right) \cr\cr 3\left(\dfrac{50}{17}+1\right)-\dfrac{30}{17}&=&21-2\left(4+\dfrac{25}{17}\right) \cr\cr 3\cdot\dfrac{67}{17}-\dfrac{30}{17}&=&21-2\cdot\dfrac{93}{17} \cr\cr \dfrac{201}{17}-\dfrac{30}{17}&=&21-\dfrac{186}{17} \cr\cr \dfrac{171}{17}&=&\dfrac{171}{17} \end{array}$

Für $x = \dfrac{10}{17}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{10}{17} \right\}$

20)
$\begin{array}{rclll} 30z-26\left(\dfrac{2z}{13}-1\right)+5z&=&-6+2\left(25z+16\right)-19z \cr\cr 30z-4z+26+5z&=&-6+50z+32-19z \cr 31z+26&=&31z+26&\vert&-26 \cr 31z&=&31z &\vert& -31z \cr 0&=&0 \cr\cr \mathbb{L}&=&\mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

5. Aufgabe

Sei $x$ die Anzahl der Schüler des Pythagoras.
Dann "übersetzt" man:

• "die Hälfte studiert Mathematik" mit $\dfrac {x}{2}$
• "ein Viertel studiert Physik" mit $\dfrac {x}{4}$
• "ein Siebtel lernt das Schweigen" mit $\dfrac {x}{7}$

Zusammen ergibt sich also:
$\begin{array}{rclcl}x &=& \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{7}+3 & \vert& \text{erweitern} \cr x &=& \dfrac{14x}{28}+\dfrac{7x}{28}+\dfrac{4x}{28}+3 &\vert& \cdot 28 \cr 28x &=& 14x+7x+4x+84 \cr 28x &=& 25x+84 &\vert& -25x \cr 3x &=& 84 &\vert& \cdot \dfrac{1}{3} \cr x &=& 28 \end{array}$

Pythagoras hat also $28$ Schüler.

Bemerkung zu Textaufgaben allgemein:

Der erste Schritt beim Lösen einer Textaufgabe ist immer, sich die benötigten Variablen zu definieren. Anders formuliert: Es muss die Frage "Was ist hier eigentlich gesucht?" bzw. "Was soll hier eigentlich berechnet werden?" beantwortet werden. Das ist zum einen wichtig, da es einfacher wird, die Logik der Aufgabe zu durchschauen, wenn man das Ziel kennt. Zum anderen kann nur dann eine sinnvolle Gleichung formuliert werden, wenn klar ist, was die Variablen genau bezeichnen. Welche Bezeichnung Sie dabei wählen, ist nicht wichtig. Es hat eine gewisse Tradition, die unbekannte Größe $x$ zu nennen. Wenn sich aus inhaltlichen Gründen eine andere Bezeichnung anbietet (hier könnte man z. B. die Anzahl der Schüler auch gut $s$ nennen), spricht üblicherweise nichts dagegen, diese Bezeichnung zu verwenden. Im Gegenteil: Solche Benennungen können helfen, eine möglicherweise komplexere Aufgabe samt Lösungsweg übersichtlich zu halten.
Eine Schritt-für-Schritt-"Übersetzung" der in der Aufgabenstellung gegebenen Sachverhalte in mathematische Formeln kann ebenfalls helfen, die Gleichung aufzustellen (und bringt evtl. in der Klausur noch dringend benötigte Teilpunkte ...).
Den Antwortsatz nicht vergessen!

6. Lineare Funktionen - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie kennen die Definition "Funktion" und können entscheiden, ob eine Kurve in einem Koordinatensystem eine Funktion darstellt oder nicht.
• Sie können die Begriffe "Definitionsbereich", "Wertebereich" und "Funktionsgleichung" an einem Beispiel erläutern.
• Sie können Funktionswerte berechnen und diese in einer Wertetabelle übersichtlich darstellen.

• Sie können zu einer linearen Funktion den passenden Definitionsbereich bestimmen.
• Sie wissen, wie der Graph einer linearen Funktion typischerweise aussieht und können ihn in ein kartesisches Koordinatensystem zeichnen.
• Sie kennen die Funktionsgleichung einer linearen Funktion (allgemeine Geradengleichung).
• Sie wissen, welchen Einfluss die Parameter in der Funktionsgleichung (Steigung und y-Achsenabschnitt) auf den Verlauf des Graphen haben und können diese Informationen für die Interpretation von Zusammenhängen nutzen.
• Sie können die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus gegebenen Informationen (z. B. aus zwei Punkten) berechnen.
• Sie können aus dem gegebenen Graphen einer linearen Funktion die Funktionsgleichung ermitteln.
• Sie können die Lagebeziehung von zwei linearen Funktionen ermitteln.

• Sie kennen den Zusammenhang zwischen linearen Gleichungen und linearen Funktionen.
• Sie können lineare Funktionen von anderen Funktionstypen unterscheiden (grafisch und anhand der Funktionsgleichung).

In diesem Kapitel sind bislang keine typischen Fehler aufgefallen.

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe
• 7. Aufgabe
• 8. Aufgabe
• 9. Aufgabe

6.1 Lineare Funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die lineare Funktion, die durch die beiden angegebenen Punkte verläuft, und zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem!

2. Aufgabe

Stellen Sie jeweils fest, ob der angegebene Punkt $P$ auf der Geraden $f(x)$ liegt!

3. Aufgabe

Beantworten Sie zu den linearen Funktionen jeweils die folgenden Fragen:

• Wie ist das Steigungsverhalten der Geraden? Steigt/Fällt sie oder ist sie konstant?
• Schneidet die Gerade die y-Achse bei einer positiven/negativen Zahl oder bei $0$?

Und das Alles: Ohne zu rechnen und zu zeichnen! Es geht nämlich bei dieser Aufgabe darum, den Funktionsterm zu verstehen und daraus Informationen über den Funktionsgraphen abzulesen, um z. B. Rechnungen plausibilisieren zu können.

Hinweis: Wer (noch) nicht weiß, was Potenzausdrücke, wie $(-754)^{39}$, bedeuten, kann die Aufgaben 8) - 10) zurückstellen und erst das Kapitel Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bearbeiten.

4. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Schnittpunkte der Geraden $g(x)$ mit den Koordinatenachsen!

5. Aufgabe

6. Aufgabe

Bestimmen Sie alle Lagebeziehungen der folgenden Geraden! Wenn sich die Geraden schneiden, berechnen Sie auch den Schnittpunkt!

$f_1(x)=3x-6$

$f_2(x)=-7x-6$

$f_3(x)=\dfrac{27}{9}x+1$

$f_4(x)=-\dfrac{21}{3}x-\dfrac{24}{4}$

7. Aufgabe

Die Grafik zeigt verschiedene Funktionsgraphen. Ermitteln Sie für jeden Graphen die Geradengleichung!

8. Aufgabe

Zwei gleich lange Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Die erste Kerze hat eine Brenndauer von acht Stunden, die zweite eine von vier Stunden. Nach welcher Zeit ist die erste Kerze doppelt so lang wie die zweite?

9. Aufgabe

Für Profis: Welche Lagebeziehungen sind bei zwei Geraden im Raum möglich?

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Funktionen allgemein
• Der Funktionsgraph
• Lineare Funktionen
• Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene

6.2 Lineare Funktionen - Erklärungen

Nachdem im vorherigen Kapitel Gleichungen als etwas sehr Grundlegendes in der Mathematik vorgestellt wurden, soll es nun um Funktionen gehen. Funktionen sind das zweite wirklich grundlegende Konzept in der Mathematik. Bevor wir uns - wie der Name des Kapitels verspricht - um lineare Funktionen kümmern, wird es daher um Funktionen an sich gehen.

Funktionen allgemein

Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge, Definitionsbereich (Formelzeichen: $\mathbb{D}$) genannt, genau ein Element einer anderen Menge, Wertebereich (Formelzeichen: $\mathbb{W}$) genannt, zuordnet. Das Element des Definitionsbereichs nennt man üblicherweise x-Wert, unabhängige Variable oder Argument der Funktion, das Element des Wertebereichs y-Wert oder abhängige Variable.

Beispiel: Eine Vorschrift, die jedem Monat in einem normalen Jahr (gemeint ist ein Jahr, welches kein Schaltjahr ist) die Zahl seiner Tage zuordnet, ist eine Funktion. Im blauen Schaubild sieht man, dass von jedem Element im Definitionsbereich (also von jedem Monat) genau ein Pfeil ausgeht. Was im Wertebereich passiert, ist dabei egal: Bei den einzelnen Elementen dürfen mehrere Pfeile ankommen oder auch gar keine.
Drehen wir die Vorschrift um, sodass nun den Monatslängen jeweils die betreffenden Monate zugeordnet werden. Im orangefarbenen Schaubild sieht man, dass von zwei Elementen des Definitionsbereichs ("30 Tage" und "31 Tage") mehrere Pfeile ausgehen und von einem anderen Element "29 Tage" keiner. Dies ist laut Funktionsdefinition nicht erlaubt, sodass diese Zuordnung keine Funktion ist. Dass bei den Elementen im Wertebereich jeweils nur genau ein Pfeil ankommt, kann die Situation auch nicht retten ...

In diesem Lernmodul werden nur Funktionen betrachtet, deren Definitions- und Wertebereiche aus Teilmengen der reellen Zahlen bestehen und die sich im weitesten Sinne "vernünftig" verhalten. Es gibt Funktionen, bei denen einige der hier besprochenen Eigenschaften so nicht gelten - aber darum können Sie sich, wenn nötig, später kümmern ...

Meistens nennt man Funktionen (naheliegenderweise) $f$. Hinter das $f$ schreibt man in Klammern die Variable, meist $x$. Das ergibt dann also $f(x)$ (gesprochen: "f von x"). Auf der anderen Seite vom Gleichheitszeichen folgt dann der Funktionsterm, z. B. so etwas wie $-3x+12$.
Das erste, was man mit Funktionen machen kann, ist das Berechnen von Funktionswerten (statt Funktionswert sagt man auch y-Wert): Ist eine Funktion $f(x)$ mit der Variable $x$ gegeben, dann bedeutet "Funktionswerte berechnen", dass man für die Variable konkrete Zahlenwerte einsetzt und das dann ausrechnet. 

Ein Beispiel
$\begin{array}{lclcr} f(x) &=& -3x+12 \cr \cr f(-4) &=& -3 \cdot (-4)+12 &=& 24 \cr f(0) &=& -3 \cdot 0+12 &=& 12 \cr f(1) &=& -3 \cdot 1+12 &=& 9 \cr & \dots \end{array}$

Bemerkung 1: Bitte beachten Sie die Schreibweise: Im ersten Schritt wird die Variable auf beiden Seiten der Funktionsgleichung durch den Zahlenwert ersetzt. Erst danach wird ausgerechnet.
Bemerkung 2: Dass für dieses Beispiel die x-Werte $-4$, $0$ und $1$ ausgewählt wurden, hat keinen wichtigen Hintergrund. Es geht ja nur darum, dass Prinzip des "Funktionswerte-Ausrechnen" zu verdeutlichen. Dafür hätte man auch ganz andere Zahlenwerte nehmen können.

Fasst man die oben ausgerechneten und noch einige weitere Werte zusammen und ordnet sie nach der Größe der x-Werte, erhält man folgende Wertetabelle:

Bemerkung: Bei der Wahl der x-Werte für die Wertetabelle muss man auf die Besonderheiten der Funktion achten. Hätte die Funktion beispielsweise eine Nullstelle bei $\frac{1} {2}$ , würden wir das bei dieser Wertetabelle nur schlecht bemerken. Zumindest für den Anfang sind die ganzen Zahlen von $-5$ bis $5$ aber schon recht gute Kandidaten. Sollte dies nicht reichen, kann man ja immer noch mehr Werte berechnen ...

Der Funktionsgraph

Definition: Ein Funktionsgraph ist die grafische Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem.
Für eine solche grafische Darstellung zeichnet man zunächst die Punkte aus der Wertetabelle in der Form $P (x \mid y)$ in das Koordinatensystem und verbindet diese anschließend - soweit möglich - mit einer Linie. Das bedeutet, dass die Elemente des Definitionsbereiches bezogen auf die x-Achse und die Elemente des Wertebereiches bezogen auf die y-Achse eingezeichnet werden.

Beispiele für Funktionsgraphen

Beispiele für Kurven in einem Koordinatensystem, die keine Funktionen darstellen

Bei allen folgenden Beispielen wird nicht jedem x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet. Hier gibt es immer auch x-Werte, zu denen mehrere y-Werte gefunden werden, und/oder x-Werte, die keinen y-Wert zugeordnet bekommen. Z. B. findet man im ersten Bild zu $x=0$ einen positiven und einen negativen y-Wert. Auf der anderen Seite findet man zu $x=10$ (und zu vielen anderen x-Werten) gar keinen y-Wert. Daher handelt es sich bei den Zuordnungen nicht um Funktionen und bei ihren grafischen Darstellungen nicht um Funktionsgraphen.

Lineare Funktionen

Was man allgemein wissen sollte

Lineare Funktionen werden durch die allgemeine Geradengleichung beschrieben. Sie lautet: $f(x) = m x + n$, wobei $m$ und $n$ reelle Zahlen sind ($m, n \in \mathbb{R}$). $m$ bezeichnet die Steigung und $n$ den y-Achsenabschnitt. Das bedeutet:

1. An $m$ kann man ablesen, um wie viele Einheiten sich der y-Wert ändert, wenn $x$ um eine Einheit größer wird.
2. $n$ gibt die y-Koordinate des Punktes an, an dem der Graph der linearen Funktion die y-Achse des Koordinatensystems schneidet.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Bemerkung 1: Nicht jede Gerade in einem Koordinatensystem ist Graph einer linearen Funktion. Senkrechte Geraden verletzen die Funktionsdefinition, da bei ihnen zu einem x-Werte unendlich viele y-Werte gefunden werden können (siehe Bild oben).
Bemerkung 2: Zwei Punkte reichen aus, um eine Gerade eindeutig zu bestimmen. Anders formuliert: Durch zwei Punkte verläuft genau eine Gerade. Das wusste schon der griechische Mathematiker Euklid vor knapp 2500 Jahren!

Wissenswertes zur Steigung:
Ist die Steigung $m$ negativ, fällt die Gerade.
Ist die Steigung $m=0$, ist die Gerade konstant.
Ist die Steigung $m$ positiv, steigt die Gerade.

Wissenswertes zum y-Achsenabschnitt:
Ist der y-Achsenabschnitt $n$ negativ, schneidet die Gerade die y-Achse unterhalb der x-Achse.
Ist der y-Achsenabschnitt $n=0$, verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung. Eine solche Gerade nennt man Ursprungsgerade.
Ist der y-Achsenabschnitt $n$ positiv, schneidet die Gerade die y-Achse oberhalb der x-Achse.

Hier ein paar Beispiele, die uns im restlichen Kapitel noch etwas begleiten werden:
$f_1(x)$ ist eine fallende Ursprungsgerade.
$f_2(x)$ ist eine steigende Gerade.
$f_3(x)$ ist eine konstante Gerade.

Klassischerweise möchte (oder muss) man mit linearen Funktionen rechnen. Das heißt vor allem, dass man die Steigung und den y-Achsenabschnitt aus gegebenen Punkten bestimmen muss.

Ermittlung der Steigung

Sind die Punkte $P_1 \left(x_1 \mid y_1 \right)$ und $P_2 \left(x_2 \mid y_2 \right)$ gegeben, lässt sich die Steigung nach folgender Formel berechnen: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ (gesprochen: "delta y geteilt durch delta x"). Anders formuliert: Die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte ergibt die Steigung.
Falls keine Punkte gegeben sind, kann man aus der Zeichnung zwei Punkte des Graphen ablesen. Dabei muss man allerdings mit der Einschränkung leben, dass man auch knapp daneben liegen kann. Ob eine Funktion durch den Punkt $P (-4 \mid 7)$ oder durch $P (-3{,}98 \mid 7{,}0000123)$ verläuft, lässt sich nämlich nur schwer erkennen...

Zu unseren Beispielen von oben

Bemerkung 1: Mit diesen Rechnungen haben wir bestätigt, was wir oben schon über die Steigung der Geraden ausgesagt hatten.
Bemerkung 2: $\Delta$ ist der griechische Buchstabe "delta", der in der Mathematik gerne für Differenzen verwendet wird.

Um die Steigung zu veranschaulichen, nutzt man Steigungsdreiecke. In der nächsten Grafik sieht man, dass bei $f_3(x)$ kein Steigungsdreieck eingezeichnet werden kann, denn egal, wie groß man $\Delta x$ wählt, $\Delta y$ ist immer $0$. Daraus ergibt sich dann auch rechnerisch, dass bei konstanten Geraden die Steigung $0$ ist, was ja anschaulich offensichtlich ist.

Wichtig: Die Größe und die Lage des Steigungsdreiecks haben keinen Einfluss auf die Größe der Steigung, da nur das Verhältnis aus den Längen der beiden Dreiecksseiten berechnet wird. Um das zu verdeutlichen, wurden in der nächsten Grafik beispielhaft für $f_2(x)$ verschiedene Steigungsdreiecke eingezeichnet und daraus die Steigung berechnet:

Ebenfalls keinen Einfluss auf die Steigung hat die Reihenfolge, in der man die Punkte in die Steigungsformel einsetzt. Ein Beispiel: Für das mittlere Steigungsdreieck könnte man auch $m=\dfrac{7-1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2$ rechnen. Das Ergebnis bleibt (glücklicherweise) gleich.

Ermittlung des y-Achsenabschnitts

Wie der y-Achsenabschnitt $n$ ermittelt werden kann, hängt von der Aufgabenstellung ab:

1. mögliche Aufgabenstellung:
Soll die Geradengleichung $f(x)=mx+n$ aus zwei gegebenen Punkten ermittelt werden, benötigt man zunächst die Steigung $m$ (haben wir ja gerade schon berechnet). Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzt man dann $m$ und die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Gleichung ein. $f(x)$ entspricht dabei der y-Koordinate. So erhält man eine lineare Gleichung, die nach $n$ aufgelöst werden kann.
Welchen Punkt man für diese Rechnung verwendet, ist egal, da die Gerade ja ohnehin durch beide Punkte verlaufen soll. Der zweite Punkt kann dann zur Überprüfung des Ergebnisses genutzt werden: Man setzt seine Koordinaten in die ermittelte Geradengleichung ein und schaut, ob beide Seiten gleich groß werden. Das nennt man Punktprobe.

Bei unseren Beispielen berechnet man also

Punktproben

Damit sind die Geradengleichungen vollständig bestimmt. Sie lauten:
$\begin{array}{lcl} f_1(x) &=& - 4x \cr f_2(x) &=& 2x-3 \cr f_3(x) &=& 5{,}7 \end{array}$
FERTIG!

2. mögliche Aufgabenstellung:
Soll die Geradengleichung $f(x)=mx+n$ aus einem gegebenen Graph ermittelt werden, stellt man einfach fest, wo der Graph die y-Achse schneidet. Der y-Wert dieses Punktes ist der y-Achsenabschnitt.

Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene

Stellen Sie sich zwei Geraden in einer Ebene vor, z. B. in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Vor Ihrem geistigen Auge sollte nun (mindestens) eine der folgenden Grafiken entstehen:

Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, wie zwei Geraden in der Ebene zueinander liegen können. Man nennt dies die Lagebeziehung der beiden Geraden:

1. Die beiden Geraden können parallel zueinander sein. In diesem Fall haben die Geraden keine gemeinsamen Punkte. In der Geradengleichung erkennt man dies daran, dass die Geraden die gleiche Steigung aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt haben. Im Beispiel oben handelt es sich um die Geraden $f_1(x)=3x+3$ und $f_2(x)=3x-6$.
2. Die beiden Geraden können aufeinander liegen. Sie haben in diesem Fall unendlich viele gemeinsame Punkte. Anders formuliert: Sie sind identisch. Damit sind natürlich auch die Geradengleichungen gleich - auch wenn man das nicht immer auf den ersten Blick sieht. Manchmal muss man erst ein bisschen umformen. Im mittleren Bild oben sind die Geraden $f_3(x)=0{,}5x+5$ und $f_4(x)=\frac{1}{2}x+\frac{20}{4}$ eingezeichnet.
3. Die beiden Geraden können einen Schnittpunkt haben. Dann haben sie exakt einen Punkt gemeinsam. Feststellen kann man diesen Fall anhand unterschiedlicher Steigungen in der Geradengleichung. Der y-Achsenabschnitt spielt keine Rolle. In diesem Beispiel schneiden sich die Geraden $f_5(x)=4x-8$ und $f_6(x)=-2x+8$ in einem Punkt, den wir unten gleich berechnen.

Mehr Möglichkeiten gibt es nicht! Wenn zwei Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt (und weniger als unendlich) hätten, wären sie krumm ...

Wenn zwei Geraden einen Schnittpunkt haben, möchte man üblicherweise wissen, wo dieser liegt. Man muss den Schnittpunkt also berechnen können: Da ein Schnittpunkt - man schreibt dafür üblicherweise $S$ mit den Koordinaten $x_s$ und $y_s$ - ein gemeinsamer Punkt der beiden Funktionen ist, müssen die zu $x_s$ gehörenden Funktionswerte beider Geraden übereinstimmen. In unserem Beispiel müssen also $f_5(x_s)$ und $f_6(x_s)$ gleich groß sein. Man setzt daher die beiden Funktionsterme gleich. Löst man die entstehende lineare Gleichung, erhält man den x-Wert des Schnittpunktes.

In unserem Beispiel
x-Wert berechnen:
$\begin{array}{rclcl} f_5 (x_s) &=& f_6(x_s) \cr \cr 4x_s-8 &=& -2x_s+8 &\vert& +8+2x_s \cr \cr 6x_s &=& 16 & \vert& : (6) \cr \cr x_s &=& \dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3} \end{array}$

y-Wert berechnen:
$\begin{array} {rcl} f_5(x_s) &=& f_5\left(\dfrac{8}{3}\right) \cr \cr &=& 4 \cdot \dfrac{8}{3}-8 \cr \cr &=& \dfrac{32}{3}-\dfrac{24}{3} \cr\cr &=& \dfrac{8}{3} \end {array}$
ODER
$\begin{array}{rcl} f_6(x_s) &=& f_6\left(\dfrac{8}{3}\right) \cr \cr &=& -2 \cdot \dfrac {8}{3} +8\cr \cr &=&-\dfrac{16}{3}+\dfrac{24}{3} \cr\cr &=& \dfrac{8}{3} \end{array}$

Die zweite Rechnung für den y-Wert dient gleichzeitig als Probe. Der Punkt $S\left(\dfrac{8}{3} \mid \dfrac{8}{3}\right)$ liegt tatsächlich auf beiden Geraden und ist somit der (einzige) Schnittpunkt von $f_5(x)$ und $f_6(x)$.

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe
• Lösung zur 7. Aufgabe
• Lösung zur 8. Aufgabe
• Lösung zur 9. Aufgabe

6.3 Lineare Funktionen - Lösungen

1. Aufgabe

1)
$m = \dfrac{12-3}{2-(-1)} = \dfrac{9}{3} = 3$
Einsetzen von $m = 3$ und $A \left(2 \mid 12 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $12 = 3 \cdot 2 + n$ und damit $n = 6$
Also ist: $f_1(x) = 3x + 6$

2)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {-1-4}{-1-\frac{3}{2}} = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {-5}{-\frac{5}{2}} = 2$
Einsetzen von $m = 2$ und $A \left(-1 \mid -1 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $-1 = 2 \cdot (-1) + n$ und damit $n = 1$
Also ist: $f_2(x) = 2x + 1$

3)
$m = \dfrac{5-0}{0-10} = \dfrac{5}{-10} = -\dfrac{1}{2}$
Einsetzen von $m = -\dfrac{1}{2}$ und $P \left(0 \mid 5 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $5 = -\dfrac{1}{2} \cdot 0 + n$ und damit $n = 5$
Also ist: $f_3(x) = - \dfrac{1}{2}x + 5$

4)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {-\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = -1$
Einsetzen von $m = -1$ und $Q \left( \dfrac{1}{3} \mid \dfrac{1}{3} \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $\dfrac{1}{3} = -1 \cdot \dfrac{1}{3} + n$ und damit $n = \dfrac{2}{3}$
Also ist: $f_4(x) = -x + \dfrac{2}{3}$

5)
$m = \dfrac{8-(-3)}{3-2} = 11$
Einsetzen von $m = 11$ und $B \left(3 \mid 8 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $8 = 11 \cdot 3 + n$ und damit $n = -25$
Also ist: $f_5(x) = 11x - 25$

Diese Skaleneinteilung ist für $f_5(x)$ nicht ideal, weil ihr y-Achsenabschnitt außerhalb des gezeigten Bereichs liegt. Daher noch eine Grafik mit entsprechend angepassten Skalen:

Diese Skaleneinteilung ist für die anderen Geraden nicht so geschickt, weil die Details aufgrund des großen Maßstabs verloren gehen. Daher haben beide Grafiken ihre Berechtigung.

6)
$m = \dfrac{-4-(-4)}{22-(-14)} = \dfrac{0}{36} = 0$ 
Einsetzen von $m=0$ und $R \left (22 \mid -4\right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $-4 = 0 \cdot 22 + n$ und damit $n= -4$
Also ist: $f_6(x) = -4$

7)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{1}{4}- \left(-\frac{7}{2}\right)}{\frac{1}{2}-(-2)} = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{15}{4}}{\frac{5}{2}} = \dfrac{3}{2}$
Einsetzen von $m=\dfrac{3}{2}$ und $L \left(-2 \mid -\dfrac {7}{2} \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $-\dfrac{7}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot (-2) + n$ und damit $n= -\dfrac{1}{2}$
Also ist: $f_7(x) = \dfrac{3}{2}x -\dfrac{1}{2}$

8)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{7}{8}- \left(-\frac{1}{8} \right)}{3-(-1)} = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{8}{8}}{4} = \dfrac{1}{4}$
Einsetzen von $m=\dfrac14$ und $B \left (-1 \mid -\dfrac18 \right )$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $-\dfrac18 = \dfrac14 \cdot (-1) + n$ und damit $n= \dfrac18$
Also ist: $f_8(x) = \dfrac{1}{4}x +\dfrac{1}{8}$

9)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {-8-7}{\frac14 - (-1)} = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {-15}{\frac{5}{4}} = -12$
Einsetzen von $m=-12$ und $P \left (\dfrac14 \mid -8 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $-8= -12 \cdot \dfrac14 + n$ und damit $n = -5$
Also ist: $f_9(x) = -12x -5$

10)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{11}{6}-\left(-\frac16\right)}{-3-0}= \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{12}{6}}{-3} = -\dfrac{2}{3}$
Einsetzen von $m = -\dfrac{2}{3}$ und $H \left(0 \mid -\dfrac16 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $-\dfrac16 = -\dfrac{2}{3} \cdot 0 +n$ und damit $n = -\dfrac16$
Also ist: $f_{10}(x) = -\dfrac{2}{3}x - \dfrac16$

11)
$m = \dfrac{9-3}{7-5} = 3$
Einsetzen von $m=3$ und $A \left( 5 \mid 3 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $3 = 3 \cdot 5 + n$ und damit $n = -12$
Also ist: $f_{11}(x) = 3x - 12$

12)
$m = \dfrac{2-3}{7+2} = - \dfrac{1}{9} \approx 0{,}11$
Einsetzen von $m = -\dfrac{1}{9}$ und $B \left( 7 \mid 2 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $2 = -\dfrac{1}{9} \cdot 7 + n$ und damit $n = \dfrac{25}{9} \approx 2{,}78$
Also ist: $f_{12} (x) = -\dfrac{1}{9} x + \dfrac{25}{9}$

13)
$m = \dfrac{0-22}{11-0} = -2$
Einsetzen von $m = -2$ und $B \left( 11 \mid 0 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $0 = -2 \cdot 11 + n$ und damit $n = 22$
Also ist: $f_{13} (x) = -2x +22$

14)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{8}{3} - \frac{8}{3}}{- \frac{7}{5} - \frac{19}{32}} = 0$
Einsetzen von $m = 0$ und $P \left( -\dfrac{7}{5} \mid \dfrac{8}{3} \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $\dfrac{8}{3} = 0 \cdot \left( - \dfrac{7}{5} \right) + n$ und damit $n = \dfrac{8}{3}$
Also ist: $f_{14} (x) = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$

15)
$m = \dfrac{9 + 55}{1+7} = 8$
Einsetzen von $m = 8$ und $S \left( 1 \mid 9 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $9 = 8 \cdot 1 + n$ und damit $n = 1$
Also ist: $f_{15} (x) = 8x +1$

Diese Skaleneinteilung ist für $f_{11}(x)$ und $f_{13}(x)$ nicht ideal, weil ihr y-Achsenabschnitt außerhalb des gezeigten Bereichs liegt. Daher noch eine Grafik mit entsprechend angepassten Skalen:

16)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {- \frac{24}{7} - 0}{-36-0} = \dfrac{2}{21} \approx 0{,}10$
Einsetzen von $m = \dfrac{2}{21}$ und $P \left( 0 \mid 0 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $0 = \dfrac{2}{21} \cdot 0 +n$ und damit $n = 0$
Also ist: $f_{16} (x) = \dfrac{2}{21} x$

17)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {- \frac{7}{2}- \frac{1}{4}}{-5 - \frac{3}{2}} = \dfrac{15}{26} \approx 0{,}58$
Einsetzen von $m = \dfrac{15}{26}$ und $A \left( \dfrac{3}{2} \mid \dfrac{1}{4} \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{26} \cdot \dfrac{3}{2} + n$ und damit $n = - \dfrac{8}{13} \approx -0{,}62$
Also ist: $f_{17} (x) = \dfrac{15}{26} x - \dfrac{8}{13}$

18)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {- \frac{1}{2} - \frac{3}{4}}{- \frac{5}{2} - \frac{15}{8}} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}29$
Einsetzen von $m = \dfrac{2}{7}$ und $P_1 \left( \dfrac{15}{8} \mid \dfrac{3}{4} \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{15}{8} + n$ und damit $n = \dfrac{3}{14} \approx 0{,}21$
Also ist: $f_{18} (x) = \dfrac{2}{7} x + \dfrac{3}{14}$

19)
$m = \genfrac{}{}{1 pt}{0} {\frac{53}{4} + \frac{17}{2}}{-19-17} = - \dfrac{29}{48} \approx -0{,}60$
Einsetzen von $m = - \dfrac{29}{48}$ und $D \left( -19 \mid \dfrac{53}{4} \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $\dfrac{53}{4} = - \dfrac{29}{48} \cdot \left( -19 \right) + n$ und damit $n = \dfrac{85}{48} \approx 1{,}77$
Also ist: $f_{19} (x) = - \dfrac{29}{48} x + \dfrac{85}{48}$

20)
$m = \dfrac{-2-3}{100+25} = - \dfrac{1}{25} = -0{,}04$
Einsetzen von $m = - \dfrac{1}{25}$ und $P_1 \left( -25 \mid 3 \right)$ in die allgemeine Geradengleichung liefert: $3 = - \dfrac{1}{25} \cdot (-25) + n$ und damit $n = 2$
Also ist: $f_{20} (x) = - \dfrac{1}{25} x + 2$

Diesmal ist die Skaleneinteilung nicht ideal, weil in der Nähe des Koordinatenursprungs "zu viel passiert" und die Grafik daher in diesem wichtigen Bereich nicht aufschlussreich ist. Daher noch eine Grafik mit entsprechend angepassten Skalen:

2. Aufgabe

Um festzustellen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, muss der Funktionswert von $f(x)$ für den gegebenen x-Wert ausgerechnet werden und dieser mit dem gegebenen y-Wert verglichen werden.

1) $f(2)=15\cdot 2-6=24$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also auf der Geraden $f(x)$.

2) $f(8)=0{,}4\cdot 8+6=9{,}2$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also nicht auf der Geraden $f(x)$.

3) $f(25)=-63\cdot 25+15=-1560$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also nicht auf der Geraden $f(x)$.

4) $f(14)=\dfrac{7}{8}\cdot 14=12{,}25$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also auf der Geraden $f(x)$. 

5) $f(-6)=4\cdot \left(-6\right)+3=-21$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also auf der Geraden $f(x)$.

6) $f(0{,}1)=-296\cdot 0{,}1=-29{,}6$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also nicht auf der Geraden $f(x)$.

7) $f(0)=288\cdot 0=0$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also auf der Geraden $f(x)$.

8) $f(14)=-347\cdot 14-101=-4.959$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also auf der Geraden $f(x)$.

9) $f(7)=11\cdot 7+24=101$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also nicht auf der Geraden $f(x)$.

10) $f(22)=\dfrac{12}{11}\cdot 22-\dfrac{1}{9}\approx23{,}89$
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt $P$ liegt also nicht auf der Geraden $f(x)$.

3. Aufgabe

1) Der Graph von $f(x)$ ist konstant, da $m=0$, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da $n < 0$.

2) Der Graph von $f(x)$ steigt, da $m>0$, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da $n < 0$.

3) Der Graph von $f(b)$ fällt, da $m < 0$, und schneidet die y-Achse bei einer positiven Zahl, da $n > 0$.

4) Der Graph von $f(a)$ steigt, da $m>0$, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da $n < 0$.

5) Der Graph von $g(x)$ fällt, da $m < 0$, und schneidet die y-Achse bei einer positiven Zahl, da $n > 0$.

6) Der Graph von $f(x)$ steigt, da $m>0$, und schneidet die y-Achse bei $0$.

7) Der Graph von $f(x)$ ist konstant, da $m=0$, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da $n < 0$.

Bemerkung: Da die Funktion $f(x)$ heißt, wissen wir, dass die Variable $x$ ist und nicht $a$, wie man denken könnte. $a\in\mathbb{R}^-$ ist eine negative Konstante.

8) Der Graph von $f(z)$ fällt, da $m < 0$, und schneidet die y-Achse bei $0$.

Bemerkung: Man muss $(-754)^{39}$ nicht ausrechnen, um die Frage nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse beantworten zu können. Es reicht festzustellen, dass hier eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird. Da "minus mal minus gleich plus" ist, hebt sich eine gerade Anzahl an Minuszeichen auf. Ein Minuszeichen bleibt quasi übrig. Das Ergebnis ist also negativ.

9) Der Graph von $v(x)$ steigt, da $m>0$, und schneidet die -Achse bei einer negativen Zahl, da $n < 0$.

10) Der Graph von $u(x)$ fällt, da $m < 0$, und schneidet die y-Achse bei einer positiven Zahl, da $n>0$.

4. Aufgabe

Schnittpunkt mit der x-Achse $S_x$: Beim Schnittpunkt eines Graphen mit der x-Achse muss die y-Koordinate $0$ sein. Wäre die y-Koordinate ungleich $0$, würde der Punkt ober- oder unterhalb der x-Achse liegen. Der Funktionsterm, der ja für die y-Koordinate steht, muss also nullgesetzt werden. Die Lösung der entstehenden lineare Gleichung ist die gesuchte Koordinate.

Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y$: Bei linearen Funktionen ist es einfach, den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zu bestimmen. Der y-Achsenabschnitt ist ja definiert als Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse, sodass die gesuchte Koordinate direkt abgelesen werden kann. Die x-Koordinate dieses Schnittpunkts ist $0$. Bei komplizierteren Funktionen müsste $x=0$ in den Funktionsterm eingesetzt und das Ergebnis ausgerechnet werden.

1)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} 24x-6 &=& 0 &\vert & +6 \cr 24x &=& 6 &\vert& : 24 \cr x &=& \dfrac{1}{4} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(\dfrac{1}{4} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid -6\right)$.

2)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{4}{3}x-2 &=& 0 &\vert& +2 \cr \dfrac{4}{3}x &=& 2 &\vert& \cdot \dfrac{3}{4} \cr x &=& \dfrac{6}{4} \cr\cr x &=& \dfrac{3}{2} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(\dfrac{3}{2} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid -2\right)$.

3)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} -6x+8 &=& 0 &\vert& -8 \cr -6x &=& -8 &\vert& :(-6) \cr x &=& \dfrac{8}{6} \cr\cr x &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(\dfrac{4}{3} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid 8\right)$.

4)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} x+48 &=& 0 &\vert& -48 \cr x &=& -48 \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(-48 \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid 48\right)$.

5)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} 15x-11 &=& 0 &\vert& +11 \cr 15x &=& 11 &\vert& :15 \cr x &=& \dfrac{11}{15} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(\dfrac{11}{15} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid -11\right)$.

6)
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{5}{4}x+41 &=& 0 &\vert& -41 \cr \dfrac{5}{4}x &=& -41 &\vert& \cdot \dfrac{4}{5} \cr x &=& -\dfrac{164}{5} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(-\dfrac{164}{5} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid 41\right)$.

7)
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{6}{7} x-10 &=& 0 &\vert&+10 \cr \dfrac{6}{7}x &=& 10 &\vert& \cdot \dfrac{7}{6} \cr x &=& \dfrac{70}{6} \cr\cr x &=& \dfrac{35}{3} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(\dfrac{35}{3} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid -10\right)$.

8)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} -12x &=& 0 &\vert& :(-12) \cr x &=& 0 \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(0 \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid 0\right)$.

9)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$\begin{array}{rclcl} -\dfrac{3}{2}x-2 &=& 0 &\vert& +2 \cr -\dfrac{3}{2}x &=& 2 &\vert& \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cr x &=& -\dfrac{4}{3} \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x \left(-\dfrac{4}{3} \mid 0\right)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid -2\right)$.

10)
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
$\begin{array}{rclcl} -23 &=& 0 \end{array}$

Diese Gleichung hat keine Lösung. $S_x$ existiert also nicht. Grafisch erkennt man dies daran, dass die Gerade horizontal verläuft. Daher schneidet sie die x-Achse nicht.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y \left(0\mid -23\right)$.

5. Aufgabe

1)
a)
$\begin{array}{rclll} f(2{,}5) &=& 3 \cdot 2{,}5+5 &=& 12{,}5 \quad \rightarrow \quad P_1(2{,}5 \mid 12{,}5) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 26 &=& 3x+5 &\vert & -5 \cr21 &=& 3x &\vert & :3 \cr7 &=& x & & \rightarrow \quad P_2(7 \mid 26) \end{array}$

2)
a)
$\begin{array}{rclll} f(31) &=& -31-\dfrac{1}{2} &=& -31{,}5 \quad \rightarrow \quad P_1(31 \mid -31{,}5) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 7{,}5 &=& -x-\dfrac{1}{2} & \vert & +\dfrac{1}{2} \cr8 &=& -x & \vert & \cdot (-1) \cr-8 &=& x && \rightarrow \quad P_2(-8 \mid 7{,}5) \end{array}$

3)
a)
$\begin{array}{rclll} f(2) &=& -4{,}5 \cdot 2+37 &=& 28 \quad \rightarrow \quad P_1(2 \mid 28) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 130 &=& -4{,}5x+37 &\vert & -37 \cr93 &=& -4{,}5x &\vert & :(-4{,}5) \cr-\dfrac{62}{3} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(-\dfrac{62}{3} \mid 130\right) \end{array}$

4)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-5) &=& \dfrac{3}{2} \cdot (-5)-24 &=& -31{,}5 \quad \rightarrow \quad P_1(-5 \mid -31{,}5) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} -20 &=& \dfrac{3}{2}x-24 &\vert & +24 \cr4 &=& \dfrac{3}{2}x &\vert & : \dfrac{3}{2} \cr\dfrac{8}{3} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{8}{3} \mid -20\right) \end{array}$

5)
a)
$\begin{array}{rclll} f(2) &=& \dfrac{2}{3} \cdot 2-\dfrac{5}{4} &=& \dfrac{1}{12} \quad \rightarrow \quad P_1\left(2 \mid \dfrac{1}{12}\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} \dfrac{19}{12} &=& \dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{4} &\vert & +\dfrac{5}{4} \cr\dfrac{17}{6} &=& \dfrac{2}{3}x &\vert & : \dfrac{2}{3} \cr\dfrac{17}{4} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{17}{4} \mid \dfrac{19}{12}\right) \end{array}$

6)
a)
$\begin{array}{rclll} f(5) &=& -13 \cdot 5 &=& -65 \quad \rightarrow \quad P_1(5 \mid -65) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} -104 &=& -13x &\vert & :(-13) \cr8 &=& x && \rightarrow \quad P_2(8 \mid -104) \end{array}$

7)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(\dfrac{3}{4}\right) &=& -3 \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4} &=& -1 \quad \rightarrow \quad P_1\left(\dfrac{3}{4} \mid -1\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} -16 &=& -3x+\dfrac{5}{4} &\vert & -\dfrac{5}{4} \cr-\dfrac{69}{4} &=& -3x &\vert & :(-3) \cr\dfrac{23}{4} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{23}{4} \mid -16\right) \end{array}$

8)
a)
$\begin{array}{rclll} f(18) &=& \dfrac{1}{20} \cdot 18+20 &=& 20{,}9 \quad \rightarrow \quad P_1(18 \mid 20{,}9) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 20{,}45 &=& \dfrac{1}{20}x+20 &\vert & -20 \cr0{,}45 &=& \dfrac{1}{20}x &\vert & \cdot 20 \cr9 &=& x && \rightarrow \quad P_2(9 \mid 20{,}45) \end{array}$

9)
a)
$\begin{array}{rclll} f(11) &=& -\dfrac{2}{5} \cdot 11+1 &=& -3{,}4 \quad \rightarrow \quad P_1(11 \mid -3{,}4) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 0 &=& -\dfrac{2}{5}x+1 &\vert & -1 \cr-1 &=& -\dfrac{2}{5}x &\vert & : \left(-\dfrac{2}{5}\right) \cr\dfrac{5}{2} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{5}{2} \mid 0\right) \end{array}$

10)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(-\dfrac{2}{5}\right) &=& -12 \cdot -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5} &=& 7 \quad \rightarrow \quad P_1\left(-\dfrac{2}{5} \mid 7\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 4{,}2 &=& -12x+\dfrac{11}{5} &\vert & -\dfrac{11}{5} \cr2 &=& -12x &\vert & :(-12) \cr-\dfrac{1}{6} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(-\dfrac{1}{6} \mid 4{,}2\right) \end{array}$

6. Aufgabe

Lagebeziehung von $f_1(x)$ und $f_2(x)$
Wir prüfen zuerst, ob die Funktionen $f_1(x)$ und $f_2(x)$ die gleiche Steigung haben: $m_1=3$ und $m_2=-7$. Da die Steigungen offensichtlich unterschiedlich sind, können die Geraden weder parallel noch identisch sein. Sie müssen also einen Schnittpunkt, nennen wir ihn $S(x_s \mid y_s)$, haben.

x-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
$\begin{array}{rclcl} f_1(x_s) &=& f_2(x_s) \cr 3x_s-6 &=& -7x_s-6 &\vert & +6 \cr 3x_s &=& -7x_s &\vert & +7x_s \cr 10x_s &=& 0 &\vert & :10 \cr x_s &=& 0\end{array}$

y-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
$\begin{array}{rcl} f_1(x_s) &=& f_1(0) \cr &=& 3 \cdot 0 -6 \cr &=& -6 \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind $S (0 \mid -6)$. Zur Überprüfung kann man den y-Wert mit $f_2(x)$ noch einmal berechnen (und dabei hoffentlich das gleiche Ergebnis erhalten) oder eine Punktprobe durchführen.

Bemerkung: Wer in diesem Fall direkt sieht, dass beide Geraden den gleichen y-Achsenabschnitt haben, darf den Schnittpunkt auch einfach ablesen ... Mehr als diesen einen kann es hier ja nicht geben.

Lagebeziehung von $f_1(x)$ und $f_3(x)$
Wir prüfen zuerst, ob $f_1(x)$ und $f_3(x)$ die gleiche Steigung haben: $m_1=3$ und $m_3=\frac{27}{9}=3$. Da die Steigungen gleich sind, können die Geraden parallel oder identisch sein. Einen einzelnen Schnittpunkt können sie nicht haben.

Zu prüfen ist jetzt, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Dazu vergleichen wir die Schnittpunkte mit der y-Achse: $n_1=-6$ und $n_3=1$. Die beiden Geraden schneiden die y-Achse an unterschiedlichen Punkten. Sie sind somit nicht identisch, sondern verlaufen parallel.

Lagebeziehung von $f_1(x)$ und $f_4(x)$
Wir prüfen zuerst, ob $f_1(x)$ und $f_4(x)$ die gleiche Steigung haben: $m_1=3$ und $m_4=-\frac{21}{3}=-7$. Da die Steigungen offensichtlich unterschiedlich sind, können die Geraden weder parallel noch identisch sein. Sie müssen also einen Schnittpunkt, nennen wir ihn $S(x_s \mid y_s)$, haben.

An den Geradengleichungen kann man ablesen, dass $n_1=-6$ und $n_4=-6$ ist. Beide Geraden schneiden die y-Achse bei $-6$. Damit hat der Schnittpunkt der Funktionen $f_1(x)$ und $f_4(x)$ die Koordinaten $S (0 \mid -6)$.

Lagebeziehung von $f_2(x)$ und $f_3(x)$
Zunächst prüfen wir wieder, ob die Funktionen $f_2(x)$ und $f_3(x)$ die gleiche Steigung haben: $m_2=-7$ und $m_3=\frac{27}{9}=3$. Da die Steigungen offensichtlich unterschiedlich sind, können die Geraden weder parallel noch identisch sein. Sie müssen also einen Schnittpunkt $S(x_s \mid y_s)$ haben.

x-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
$\begin{array}{rclcl} f_2(x_s) &=& f_3(x_s) \cr -7x_s-6 &=& \dfrac{27}{9}x_s+1 \cr -7x_s-6 &=& 3x_s+1 &\vert & +6 \cr -7x_s &=& 3x_s+7 &\vert & -3x_s \cr -10x_s &=& 7 &\vert & :(-10) \cr x_s &=& -\dfrac{7}{10}\end{array}$

y-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
$\begin{array}{rcl} f_2(x_s) &=& f_2\left(-\dfrac{7}{10}\right) \cr &=& -7 \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) -6 \cr &=& -\dfrac{11}{10} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind $S \left(-\dfrac{7}{10} \mid -\dfrac{11}{10}\right)$.

Lagebeziehung von $f_2(x)$ und $f_4(x)$
Wir prüfen zuerst, ob $f_2(x)$ und $f_4(x)$ die gleiche Steigung haben: $m_2=-7$ und $m_4=-\frac{21}{3}=-7$. Da die Steigungen gleich sind, können die Geraden parallel oder identisch sein. Einen einzelnen Schnittpunkt können sie nicht haben.

Um zu prüfen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, lesen wir den jeweiligen Schnittpunkt mit der y-Achse ab: $n_2=-6$ und $n_4=-\frac{24}{4}=-6$. Die beiden Geraden schneiden die y-Achse im selben Punkt. Sie sind also identisch.

Lagebeziehung von $f_3(x)$ und $f_4(x)$
Wir prüfen wieder zuerst, ob $f_3(x)$ und $f_4(x)$ die gleiche Steigung haben: $m_3=\frac{27}{9}=3$ und $m_4=-\frac{21}{3}=-7$. Anhand der unterschiedlichen Steigungen ist zu erkennen, dass die Geraden weder parallel noch identisch sein können. Sie werden also einen Schnittpunkt $S(x_s \mid y_s)$ haben.

x-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
$\begin{array}{rclcl} f_3(x_s) &=& f_4(x_s) \cr\dfrac{27}{9}x_s+1 &=& -\dfrac{21}{3}x_s-\dfrac{24}{4} \cr 3x_s+1 &=& -7x_s-6 &\vert & -1 \cr 3x_s &=& -7x_s-7 &\vert & +7x_s \cr 10x_s &=& -7 &\vert & :10 \cr x_s &=& -\dfrac{7}{10} \end{array}$

y-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
$\begin{array}{rcl} f_3(x_s) &=& f_3\left(-\dfrac{7}{10}\right) \cr &=&\dfrac{27}{9} \cdot \left(-\dfrac{7}{10} \right)+1 \cr &=&3\cdot\left(-\dfrac{7}{10} \right)+\dfrac{10}{10}\cr &=&-\dfrac{11}{10}\end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind $S \left(-\dfrac{7}{10} \mid -\dfrac{11}{10}\right)$.

Bemerkung: Wer die Idee hatte, die Brüche in der Funktion vor dem Berechnen zu kürzen, ist vermutlich schneller zu diesem Ergebnis gekommen: $f_4(x)=-\dfrac{21}{3}x-\dfrac{24}{4}=-7x-6$. Diese Funktion kennen wir schon als $f_2(x)$ ...

7. Aufgabe

$f_1(x) = -4x+0 = -4x$
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt direkt im Nullpunkt, also bei $0$.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier $\dfrac{-4}{1}$. Die Steigung ist also $-4$.
 
$f_2(x) = 5x+2$
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $2$.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier $\dfrac{5}{1}$. Die Steigung ist also $5$.
 
$f_3(x) = \dfrac{1}{4}x-3$
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $-3$.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier $\dfrac{1}{4}$. Die Steigung ist also $\dfrac{1}{4}$.
 
$f_4(x) = 0x+ 7 = 7$
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $7$.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier $\dfrac{0}{0}$. Die Steigung ist also $0$.
 
$f_5(x) = -2x-6$
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt $-6$.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier $\dfrac{-2}{1}$. Die Steigung ist also $-2$.

8. Aufgabe

Sei $L$ die Länge der Kerzen zum Zeitpunkt $0$. Die Zeit ist dabei die unabhängige Variable und wird auf der x-Achse eingetragen. Die Länge der Kerze, die ja von der (Brenn-)Zeit abhängt, ist die abhängige Variable und wird auf der y-Achse eingetragen. Mathematisch kann man die erste Aussage daher als Punkt $P(0 \mid L)$ notieren.

Für die erste Kerze kennen wir also den Punkt $P_1(0 \mid L)$. Außerdem wissen wir, dass sie nach $8$ Stunden die Länge $0$ hat, was wir als Punkt $Q_1(8 \mid 0)$ notieren können.

Für die zweite Kerze kennen wir ebenfalls den Punkt $P_2(0 \mid L)$ und außerdem $Q_2(4 \mid 0)$, weil sie nach $4$ Stunden die Länge $0$ hat.

Zeichnet man für jede Kerze die beiden Punkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, ergibt sich folgende Grafik (Bitte beachten Sie, dass die Längen-Achse keine Einheiten hat - diese ist ja in der Aufgabe nicht gegeben!):

Daraus kann man nun lineare Funktionen $f(x) = mx + n$ berechnen:

$f_1(x)$:
Steigung: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0-L}{8-0} = -\dfrac{L}{8}$

y-Achsenabschnitt: $n = L$ (Das sieht man z. B. in der Grafik.)

$\Rightarrow f_1(x) = -\dfrac{L}{8}x+L =\left(-\dfrac{1}{8}x+1\right)L$

$f_2(x)$:

Steigung: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0-L}{4-0} = -\dfrac{L}{4}$

y-Achsenabschnitt: $n = L$ (Kann man ebenfalls in der Grafik ablesen.)

$\Rightarrow f_2(x) = -\dfrac{L}{4}x+L =\left(-\dfrac{1}{4}x+1\right)L$

Gesucht ist nun der Zeitpunkt $x_0$, an dem die erste Kerze doppelt so lang ist wie die zweite. Anders gesagt: "$2$ mal die Länge der zweiten Kerze" ist genauso groß wie die Länge der ersten Kerze.

Mathematisch schreibt man:

$\begin{array}{rclll} 2\left(-\dfrac{1}{4}x_0+1\right)L &=& \left(-\dfrac{1}{8}x_0+1\right)L &\vert& :L \cr\cr 2\left(-\dfrac{1}{4}x_0+1\right) &=& -\dfrac{1}{8}x_0+1 \cr\cr -\dfrac{1}{2}x_0+2 &=& -\dfrac{1}{8}x_0+1 &\vert& +\dfrac{1}{8}x_0-2 \cr\cr-\dfrac{3}{8}x_0 &=& -1 &\vert& :\left(-\dfrac{3}{8}\right) \cr\cr x_0 &=& \dfrac{8}{3}\end{array}$

Nach $\frac{8}{3}$ Stunden ist also die erste Kerze doppelt so lang ist wie die zweite. Das könnte man grundsätzlich so stehen lassen, meist würde man aber eher umrechnen und sagen: Nach $2$ Stunden und $40$ Minuten ist die erste Kerze doppelt so lang wie die zweite.

9. Aufgabe

Im dreidimensionalen Raum gibt es zunächst mal die gleichen Lagebeziehungen wie im zweidimensionalen: Die Geraden können parallel zueinander sein, sie können aufeinander liegen und sie können einen Schnittpunkt haben. Da eine Ebene ja Teil des dreidimensionalen Raumes ist, kann sich an diesen Möglichkeiten gar nichts ändern.

Durch die zusätzliche Dimension wird aber eine weitere Lagebeziehung möglich: Hier ist es möglich, dass zwei nicht parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte haben. Dies wird als windschief bezeichnet.
Ein (leicht idealisiertes ...) Beispiel aus dem Alltag: Stellen Sie sich zwei schnurgerade Straßen vor. Die eine verbindet Berlin und Köln miteinander, die andere Hamburg und München. Verliefen beide auf dem Erdboden (also annähernd zweidimensional) gäbe es irgendwo in der Mitte Deutschlands eine Kreuzung; mathematisch gesehen wäre dies ein Schnittpunkt. Im Dreidimensionalen kann man sich vorstellen, dass die eine Straße auf einer Brücke in $10 \,\text{m}$ Höhe verläuft. Nun "schneiden" sich die Straßen nicht mehr; sie verlaufen aneinander vorbei. Da sie auch nicht parallel sind (sie verlaufen ja offensichtlich in unterschiedlichen Richtungen), sind sie also windschief.

7. Lineare Gleichungssysteme - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie können zu einem linearen Gleichungssystem den passenden Definitionsbereich bestimmen.
• Sie wissen, dass es lineare Gleichungssysteme mit keiner/einer/unendlich vielen Lösung(en) gibt und können anhand des Rechenweges feststellen, welcher Fall vorliegt.
• Sie können lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten lösen (Additions-, Gleichsetzungs- bzw. Einsetzungsverfahren sowie grafisch).
• Sie können die Lösungsmenge mathematisch korrekt notieren.
• Sie können mithilfe der Probe überprüfen, ob die gefundene Lösung tatsächlich richtig ist.
• Sie können entsprechende Textaufgaben lösen und die Lösungswege mathematisch vernünftig aufschreiben.
• Für Profis: Sie können lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten lösen.

Typischer Fehler in diesem Kapitel ist:

• Hier passieren häufig Flüchtigkeitsfehler. Erklärung

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe

7.1 Lineare Gleichungssysteme - Aufgaben

1. Aufgabe

Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme! Für alle Aufgaben ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

2. Aufgabe

Wie viele Hühner und Schweine besitzt Herr Müller, wenn die Tiere zusammen $37$ Köpfe und $90$ Beine haben? Bestimmen Sie die Lösung rechnerisch und zeichnerisch!

3. Aufgabe

Ein Supermarkt bietet eine Großpackung Schokoladentäfelchen an, die zwei unterschiedliche Sorten enthält. Von der billigen Sorte kosten $20$ Täfelchen $1{,}20$ EUR; von der teuren kosten $10$ Täfelchen $1{,}40$ EUR. Die Großpackung kostet $11{,}20$ EUR.
a) Wie viele Schokoladentafeln der billigen und der teuren Sorte könnte die Großpackung enthalten? Geben Sie verschiedene Möglichkeiten an!
b) Angenommen, die Großpackung enthält genau $100$ Tafeln, wie viele davon gehören zur teuren Sorte?

4. Aufgabe

Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme! Für alle Aufgaben ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Lineare Gleichungssysteme allgemein
• Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
• Lösungsmethoden - Additionsverfahren
• Lösungsmethoden - Gleichsetzungsverfahren
• Lösungsmethoden - Einsetzungsverfahren
• Lösungsmethoden - grafische Lösung

7.2 Lineare Gleichungssysteme - Erklärungen

Lineare Gleichungssysteme allgemein

Ein lineares Gleichungssystem ist ein System, das aus mehreren linearen Gleichungen besteht, die gemeinsam gelöst werden sollen. Das bedeutet, dass Zahlen gesucht werden, die gleichzeitig Lösung von allen Gleichungen des Systems sind. Grundsätzlich ist die Zahl der Gleichungen und Variablen nicht beschränkt. Wir beschäftigen uns hier allerdings vor allem mit linearen Gleichungssystemen, die zwei lineare Gleichungen und zwei Variablen enthalten. Das reicht fürs Erste ...
Ein lineares Gleichungssystem kann beispielsweise folgendermaßen aussehen:
$\begin{array}{crcl} \text{I} & 2x+6y &=& 14 \cr \text{II} & x+6y &=& 13 \end{array}$
Manchmal schreibt man Gleichungssysteme auch in der sogenannten Matrixschreibweise. Dabei lässt man die Variablen und die Gleichheitszeichen weg. Dafür muss man dann mit der Anordnung der Zahlenwerte sehr sorgsam sein:
$\left(\begin{matrix} 2 & 6 & \vert & 14 \cr 1 & 6 & \vert & 13 \end{matrix}\right)$

Der Definitionsbereich: Auch bei Gleichungssystemen muss angegeben werden, aus welchen Zahlenbereichen die Variablen stammen. Da es zwei Variablen gibt, benötigt der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ auch zwei Mengen - für jede Variable eine. Notiert wird das mit dem Zeichen $\times$ zwischen den Mengen.
Für unser Beispiel ist der Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (gesprochen: "D gleich R kreuz R"). Diese Schreibweise gibt an, dass zwei Zahlen gesucht sind und diese Zahlen beide den reellen Zahlen entstammen sollen. Natürlich kann es auch Fälle geben, bei denen die Mengen unterschiedlich sind.

Auch die Lösung (so vorhanden) besteht in diesem Fall aus zwei Zahlen, wieder für jede Variable eine. Genauer gesagt, besteht die Lösung aus einem geordneten Zahlenpaar (oder auch 2-Tupel), das folgendermaßen notiert wird: $(x; y)$. Geordnet bedeutet dabei, dass diese beiden Werte nicht vertauscht werden dürfen.
Unser Beispiel-Gleichungssystem hat die Lösung $\left(1; 2\right)$. Das werden wir unten noch ausrechen. Im Moment begnügen wir uns damit, das Ergebnis zu überprüfen. Sprich: Wir machen die Probe, indem wir für $x$ die $1$ und für $y$ die $2$ einsetzen:
$\begin{array}{crcl} \text{I} & 2\cdot 1+6\cdot 2 &=& 14 \cr \text{II} & 1+6\cdot 2 &=& 13 \cr\cr \text{I} & 2+12 &=& 14 \cr \text{II} & 1+12 &=& 13 \cr\cr \text{I} & 14 &=& 14 \cr \text{II} & 13 &=& 13 \end{array}$
STIMMT! Jetzt noch überprüfen, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt: $1\in\mathbb{R}$ und $2\in\mathbb{R}$. Beides in Ordnung! Dann müssen wir nur noch die Lösungsmenge aufschreiben und sind fertig. Die Lösungsmenge notiert man hier mit den runden Klammern des Zahlenpaars, um deutlich zu machen, dass die Anordnung wichtig ist, also $\mathbb{L} = \{(1; 2)\}$ oder in allgemeiner Form $\mathbb{L} = \{(x; y)\}$.

Schauen wir noch eben, was passiert, wenn man die Werte vertauscht, also mit $\left(2; 1\right)$ rechnet:
$\begin{array}{crcl} \text{I} & 2\cdot 2+6\cdot 1 &=& 14 \cr \text{II} & 2+6\cdot 1 &=& 13 \cr\cr \text{I} & 4+6 &=& 14 \cr \text{II} & 2+6 &=& 13 \cr\cr \text{I} & 10 &=& 14 \cr \text{II} & 8 &=& 13 \end{array}$
WIDERSPRUCH! Wie man sieht, löst das vertauschte Zahlenpaar $\left(2; 1\right)$ unser Beispiel-Gleichungssystem nicht. Womit gezeigt wäre, dass man die Anordnung tatsächlich nicht ignorieren sollte ...

Bei linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen und Gleichungen werden diese Notationen entsprechend erweitert.

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Lineare Gleichungssysteme können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben, d. h. sie können nicht, eindeutig oder mehrdeutig (und dann mit unendlich vielen Lösungen) lösbar sein. Da lineare Gleichungssysteme nun mal aus linearen Gleichungen bestehen, benötigen wir hier keine neuen Überlegungen, was die Lösbarkeit angeht. Wir können stattdessen ausnutzen, dass wir uns diese Gedanken bereits im Kapitel Lineare Gleichungen gemacht haben.
Die beste Voraussetzung für eine eindeutige Lösung ist, ein lineares Gleichungssystem mit genauso vielen Gleichungen wie Variablen.

Lösen linearer Gleichungssysteme

Wichtige Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme sind: das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren. Häufig ist auch eine grafische Lösung möglich. Grundsätzlich liefern alle Verfahren dasselbe Ergebnis, wenn man sie auf dasselbe lineare Gleichungssystem anwendet. Nur der Lösungsweg kann u. U. etwas länger und umständlicher werden, wenn man nicht den geschicktesten Weg wählt.

Primäres Ziel der Verfahren ist es, das lineare Gleichungssystem so umzuformen, dass in einer der Zeilen nur noch eine Variable vorhanden ist, da lineare Gleichungen mit einer Variablen (wie wir ja schon gesehen haben) problemlos gelöst werden können. Neben den Verfahren, die gleich besprochen werden, benötigt man dazu die Strategien zum Rechnen mit Variablen.

Für alle drei genannten Verfahren gilt: Die Lösungsmenge des Gleichungssystems darf sich während der Anwendung nicht ändern, sonst wären die Zahlen, die man berechnet, ja nicht Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems. Es müssen also Äquivalenzumformungen verwendet werden. Zu den Äquivalenzumformungen, die für lineare Gleichungen grundsätzlich gelten, kommen hier noch weitere hinzu und zwar:

• die Addition von einer Zeile des linearen Gleichungssystems zu einer anderen Zeile
• das Vertauschen von zwei Zeilen des linearen Gleichungssystems

In den Beispielrechnungen, die gleich folgen werden, wird vor allem die Addition verschiedener Zeilen eine wichtige Rolle spielen.

Je komplexer das Gleichungssystem wird, desto größer ist die Gefahr von Flüchtigkeitsfehlern. Die Berechnung der Lösung an sich ist nicht übermäßig kompliziert (man benötigt nicht viel mehr als die vier Grundrechenarten ...), aber durch die Vielzahl an Umformungen und Berechnungsschritten verliert man leicht mal den Überblick - und wenn dann Fehler passieren, wird der Rest der Rechnung häufig sehr unschön ...
Es mag banal klingen: Achten Sie daher unbedingt darauf,

• alle Vorzeichen zu berücksichtigen.
• alle Teile der Gleichungen zu multiplizieren. Auch das, was auf der rechten Seite steht!
• die Variablen nicht zu vertauschen.
• ...

Und wenn die Zwischenergebnisse zu unhandlich werden: Sicherheitshalber den ersten Teil der Rechnung nochmal überprüfen ...

Zur Notation: Für einen besseren Überblick ist u. a. folgende Notation nützlich: Am Ende einer Gleichung hinter dem senkrechten Strich wird (wie immer) angegeben, welche Rechenoperation auf diese Zeile des Gleichungssystems angewendet wird. Die Nummerierung der Gleichungen (z. B. $\text{I}$ und $\text{II}$) ist dafür da, dass man sie gut auseinanderhalten kann. Gleichzeitig deutet man damit an, welche Gleichungen wie zusammengerechnet werden (z. B. $\text{I+II}$).

Das Additionsverfahren

Idee: Die einzelnen Gleichungen werden mit entsprechenden Zahlen so multipliziert, dass die Koeffizienten vor einer der Variablen Gegenzahlen sind. Dann können die Gleichungen addiert werden mit der Folge, dass diese Variable den Koeffizienten $0$ hat, also wegfällt. Es bleibt eine Gleichung mit einer Variablen übrig, die dann gelöst werden kann. Der so erhaltene Wert für die Variable wird in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt, damit die andere Variable berechnet werden kann.

Beispiel:

$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 2x+6y &=& 14 \cr \text{II} & x+6y &=& 13 & \vert & \cdot (-2) \cr \cr \text{I} & 2x+6y &=& 14 \cr \text{II} & -2x-12y &=& -26 \cr \cr \text{I} & 2x+6y &=& 14 \cr \text{I+II} & 0x-6y &=& -12 & \vert & :(-6) & \Rightarrow & y = 2 \cr \cr y=2 \text{ in I} & 2x+6 \cdot 2 &=& 14 \cr & 2x+12 &=& 14 & \vert &-12 \cr & 2x &=& 2 & \vert & :2 & \Rightarrow & x = 1 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(1; 2\right)\} \end{array}$

Das Gleichsetzungsverfahren

Idee: Hat eine Variable in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten, kann man diese Tatsache ausnutzen, indem man diese gleichen Summanden in ihren Gleichungen isoliert. Sprich: Man formt die Gleichungen so um, dass die gleichen Summanden jeweils alleine z. B. auf den linken Seiten der Gleichungen stehen. Man folgert: Sind die linken Seiten der beiden Gleichungen gleich, müssen es auch die rechten sein. Man kann diese also gleichsetzen. Auf den beiden rechten Seiten ist aber nur noch eine Variable enthalten, sodass man eine lineare Gleichung mit einer Variablen erhält. Diese löst man und setzt den erhaltenen Zahlenwert in einer der Ausgangsgleichungen ein, um die andere Variable zu berechnen.

Beispiel:

$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 2x+6y &=& 14 & \vert & -2x \cr \text{II} & x+6y &=& 13 & \vert & -x \cr \cr \text{I} & 6y &=& 14-2x \cr \text{II} & 6y &=& 13-x \cr \cr \text{I = II} & 14-2x &=& 13-x & \vert & +x -14 \cr & -2x+x &=& 13-14 & \cr & -x &=& -1 & \vert & \cdot (-1) & \Rightarrow & x = 1 \cr \cr x=1 \text{ in I} & 6y &=& 14-2 \cdot 1 \cr & 6y &=& 12 & \vert & :6 & \Rightarrow & y = 2 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(1; 2\right)\} \end{array}$

Das Einsetzungsverfahren

Idee: Dieses Verfahren bietet sich an, wenn eine Variable in einer Gleichung den Koeffizienten $1$ hat. (Hinweis: Den Koeffizienten $1$ notiert man häufig nicht!) Man formt die Gleichung dann so um, dass die Variable mit dem Koeffizienten $1$ alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Dann hat man eine Möglichkeit gefunden, diese Variable mithilfe der anderen auszudrücken. Diese Umschreibung der Variablen kann man in die andere Gleichung einsetzen (Hinweis: Häufig sind hier Klammern nötig!) und erhält eine Gleichung, die nur noch eine Variable enthält. Wenn man diese gelöst hat, setzt man den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und kann so auch für die zweite Variable einen Wert berechnen.

Beispiel:

$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 2x+6y &=& 14 \cr \text{II} & x+6y &=& 13 & \vert & -6y \cr \cr \text{I} & 2x+6y &=& 14 \cr \text{II} & x &=& 13-6y \cr \cr \text{II in I} & 2(13-6y)+6y &=& 14 \cr & 26-12y+6y &=& 14 & \vert & -26 \cr & -6y &=& -12 & \vert & :(-6) & \Rightarrow & y = 2 \cr \cr y=2 \text{ in II} & x &=& 13-6 \cdot 2 \cr & x &=& 13-12 & \Rightarrow & x = 1 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(1; 2\right)\} \end{array}$

Grafische Lösung

Idee: Bei der grafischen Lösung eines linearen Gleichungssystems fasst man die einzelnen linearen Gleichungen als lineare Funktionen auf. Evtl. muss man sie dafür ein wenig umformen, sodass sie in der Form $y=\dots$ vorliegen. Anschließend kann man sie in ein Koordinatensystem eintragen und den Schnittpunkt bestimmen. Dieser ist die gesuchte Lösung.

Beispiel:

$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 2x+6y &=& 14 & \vert & -2x \cr \text{II} & x+6y &=& 13& \vert & -x \cr \cr \text{I} & 6y &=& -2x+14 & \vert & : 6 \cr \text{II} & 6y &=& -x+13 & \vert & : 6 \cr \cr \cr \text{I} & y &=& -\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3} \cr \cr \text{II} & y &=& -\dfrac{1}{6}x+\dfrac{13}{6} \end{array}$

In einem Koordinatensystem sehen diese beiden Funktionen dann so aus:

Hier lässt sich die Lösung $\left(1; 2\right)$ problemlos ablesen. Hätten wir ein Gleichungssystem mit der Lösung $\left(3{,}4556; -17{,}98441\right)$ (soll vorkommen ...), würden wir mit dem grafischen Lösungsverfahren nicht glücklich werden ...

Wie es weitergeht

Natürlich gibt es auch lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen. Diese sind (natürlich) aufwändiger zu lösen. Die gute Nachricht: Am Prinzip ändert sich nichts. Wenn Sie also verstanden haben, wie man lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen löst, wissen Sie auch, wie man lineare Gleichungssysteme mit zehn Gleichungen und zehn Variablen löst. Dass man das meist nicht mehr mit Stift und Papier machen möchte, ist eine andere Sache ...
Hier ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen:

Hinweis: Bitte beachten Sie, dass die Rechenoperationen hier nicht mehr hinter die Gleichungen geschrieben, sondern in die Nummerierung integriert wurden. Das hat den Grund, dass beim ersten Schritt Gleichung $\text{I}$ einmal mit $3$ und einmal mit $-6$ multipliziert werden muss, damit bei der Addition der Gleichungszeilen das entsprechende Element in den Zeilen $\text{II}$ bzw. $\text{III}$ wegfällt. Das alles hinter die Gleichung zu schreiben, wäre zu viel und unübersichtlich. Man schreibt es daher vor die neu entstandene Gleichungszeile. Ein kleiner Strich hinter einer Zeilennummer (z. B. $\text{II'}$) deutet an, dass es sich zwar noch um Gleichung $\text{II}$ handelt, mit dieser Gleichung aber schon Berechnungen vorgenommen wurden. Es ist also nicht mehr die Originalgleichung.

Für den Definitionsbereich gilt $\mathbb{D} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$

$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & x &+& y &+& 4z &=& -3 \cr \text{II} & -3x &+& 9y &-& z &=& -13 \cr \text{III} & 6x &-& 2y &+& 10z &=& 10 \cr \cr \text{I} & x &+& y &+& 4z &=& -3 \cr \text{3 I+II} & & & 12y &+& 11z &=& -22 \cr \text{-6 I+III} & & & -8y &-& 14z &=& 28 \cr \cr \text{I} & x &+& y &+& 4z &=& -3 \cr \text{II'} & & & 12y &+& 11z &=& -22 \cr \text{2 II'+3 III'} & & & & & -20z &=& 40 & \Rightarrow z = -2 \cr \cr z=-2 \text{ in II'} & & & 12y &+& 11 \cdot (-2) &=& -22 & \Rightarrow y = 0 \cr z=-2 \text{ und } y=0 \text{ in I} & x &+& 0 &+& 4 \cdot (-2) &=& -3 & \Rightarrow x = 5 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{(5; 0; -2)\}$

Sie haben vielleicht bemerkt, dass der Lösungsweg eine Erweiterung des oben beschriebenen Additionsverfahrens ist. Bei linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen entscheidet man sich meist dafür (und nicht für das Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren), weil das Gleichungssystem damit überschaubarer bleibt - aber auch weil dieser Rechenweg die Grundlage für das wohl bekannteste Lösungsverfahren in diesem Zusammenhang ist: das gaußsche Eliminationsverfahren, benannt nach Carl Friedrich Gauß, welches auch deswegen von so großer Bedeutung ist, weil es sich gut in Computerprogrammen abbilden lässt. Damit ist dann auch gesichert, dass wir lineare Gleichungssysteme mit zehn Gleichungen und zehn Variablen tatsächlich nicht mehr mit Stift und Papier lösen müssen.

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe

7.3 Lineare Gleichungssysteme - Lösungen

1. Aufgabe

1) Lösung nach dem Additionsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 3x+4y &=& -6 & \vert \cdot 5 \cr \text{II} & -5x-2y &=& -4 & \vert \cdot 3 \cr \cr \text{I} & 15x+20y &=& -30 \cr \text{II} & -15x-6y &=& -12 \cr \cr \text{I} & 15x+20y &=& -30 \cr \text{I+II} & 0x +14y &=& -42 & \Rightarrow y = -3 \cr \cr y=-3 \text{ in I} & 3x+4 \cdot (-3) &=& -6 &\vert +12 \cr & 3x &=& 6 & \Rightarrow x = 2 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(2; -3\right)\} \end{array}$

2) Lösung nach dem Additionsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 2y+7z &=& 8 & \vert \cdot 8 \cr \text{II} & -16y-56z &=& 2 \cr \cr \text{I} & 16y+56z &=& 64 \cr \text{II} & -16y-56z &=& 2 \cr \cr \text{I} & 16y+56z &=& 64 \cr \text{I+II} & 0y+0z &=& 66 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}$

Bemerkung: Es gibt keine Zahlen $y$ und $z$, die jeweils mit $0$ multipliziert und dann addiert, $66$ ergeben. Das Produkt aus einer beliebigen reellen Zahl und $0$ ist immer $0$, die Summe von $0$ und $0$ ebenfalls. Daher ist diese Gleichung nicht lösbar.

3) Lösung nach dem Additionsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & \dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8}y &=& -\dfrac{5}{8} \cr \cr \text{II} & -\dfrac{1}{4}x-\dfrac{2}{3}y &=& \dfrac{1}{3} \cr \cr \cr \text{I} & \dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8}y &=& -\dfrac{5}{8} \cr \cr \text{I+II} & -\dfrac{7}{24}y &=& -\dfrac{7}{24} & \Rightarrow y = 1 \cr \cr \cr y=1 \text{ in I} & \dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8} \cdot 1 &=& -\dfrac{5}{8} &\vert -\dfrac{3}{8} \cr \cr & \dfrac{1}{4}x &=& -1 & \Rightarrow x = -4 \cr \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(-4; 1\right)\} \end{array}$

4) Lösung nach dem Einsetzungsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 3x+2y &=& 9 \cr \text{II} & 7x+y &=& 32 & \vert -7x \cr \cr \text{I} & 3x+2y &=& 9 \cr \text{II} & y &=& 32-7x \cr \cr \text{II in I} & 3x+2 \cdot (32-7x) &=& 9 \cr & 3x+64-14x &=& 9 &\vert -64 \cr & -11x &=& -55 & \Rightarrow x = 5 \cr \cr x=5 \text{ in II} & y &=& 32-7 \cdot 5 & \Rightarrow y = -3 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(5; -3 \right) \} \end{array}$

5) Lösung nach dem Gleichsetzungsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 5y-\dfrac{1}{2}z &=& 10 &\vert& -5y \cr \cr \text{II} & 5y-\dfrac{1}{2}z &=& -14 &\vert& -5y \cr \cr \cr \text{I} & -\dfrac{1}{2}z &=& 10-5y \cr \cr \text{II} & -\dfrac{1}{2}z &=& -14-5y \cr \cr \cr \text{I=II} & 10-5y &=& -14-5y &\vert& +5y \cr & 10 &=& -14 \cr \cr \cr & \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}$

Bemerkung: $10=-14$ ist ein Widerspruch. Daher ist dieses Gleichungssystem nicht lösbar. Das hätte man allerdings auch ohne Rechnung erkennen können, da auf den linken Seiten der beiden Gleichungen jeweils der gleiche Term stand, aber unterschiedliche Ergebnisse vorgegeben waren. Für solche Gleichungssysteme kann es keine Lösung geben.

6) Lösung nach dem Gleichsetzungsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 3x-4y &=& -24 & \vert +4y \cr \text{II} & 3x+3y &=& 18 & \vert -3y \cr \cr \text{I} & 3x &=& -24+4y \cr \text{II} & 3x &=& 18-3y \cr \cr \text{I = II} & -24+4y &=& 18-3y &\vert +24+3y \cr & 4y+3y &=& 18+24 \cr & 7y &=& 42 & \Rightarrow y = 6 \cr \cr y=6 \text{ in II} & 3x &=& 18-3 \cdot 6 \cr & 3x &=& 0 & \Rightarrow x = 0 \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(0; 6\right)\} \end{array}$

7) Lösung nach dem Additionsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 52a+156y &=& -104 & \vert : 13 \cr \text{II} & -4a-12y &=& 8 \cr \cr \text{I} & 4a+12y &=& -8 \cr \text{II} & -4a-12y &=& 8 \cr \cr \text{I} & 4a+12y &=& -8 \cr \text{I+II} & 0a+0y &=& 0 \end{array}$

Die Gleichung I+II ergibt für alle reellen Zahlen $a$ und $y$ eine wahre Aussage. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems hängt also nur von Gleichung I ab. Da diese lineare Gleichung allerdings zwei Variablen hat, bekommen wir keine eindeutige Lösung. Wir müssen so tun, als wäre eine Variable fix. Wir nehmen hier mal hier mal an, dass $y$ als reelle Zahl festgelegt wäre (mit $a$ würde es aber genauso funktionieren). $y$ wird damit zu einem sogenannten Parameter. Dann können wir Gleichung I so umformen, dass $a$ alleine auf einer Seite steht:

$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 4a+12y &=& -8 & \vert & -12y \cr & 4a &=& -8-12y & \vert & :4 \cr & a &=& -2-3y \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(-2-3y; y\right) \text{ mit }y \in \mathbb{R}\} \end{array}$

Wir bekommen also nur dann eine Lösung des Gleichungssystems, wenn $a=-2-3y$ ist. Da wir $y$ ja selbst bestimmen dürfen, finden wir von diesen Zahlenpaaren dann aber unendlich viele, z. B.

$y=-2 \;\;\Rightarrow\;\; a = -2-3 \cdot (-2) = 4$
Probe:
$\begin{matrix} \text{I} & 52 \cdot 4+156 \cdot (-2) &=& 208-312 &=& -104 \cr \text{II} & -4 \cdot 4-12 \cdot (-2) &=& -16+24 &=& 8 \end{matrix}$
Für $a=4$ und $y=-2$ ergeben beide Gleichungen wahre Aussagen.

$y=0 \;\;\Rightarrow\;\; a = -2-3 \cdot 0 = -2$
Probe:
$\begin{array}{crclcc} \text{I} & 52 \cdot (-2)+156 \cdot 0 &=& -104+0 &=& -104 \cr \text{II} & -4 \cdot (-2)-12 \cdot 0 &=& 8-0 &=& 8 \end{array}$
Für $a=-2$ und $y=0$ ergeben beide Gleichungen wahre Aussagen.

$y=5 \;\;\Rightarrow\;\; a = -2-3 \cdot 5 = -17$
Probe:
$\begin{array}{crclcc} \text{I} & 52 \cdot (-17)+156 \cdot 5 &=& -884+780 &=& -104 \cr \text{II} & -4 \cdot (-17)-12 \cdot 5 &=& 68-60 &=& 8 \end{array}$
Für $a=-17$ und $y=5$ ergeben beide Gleichungen wahre Aussagen.

Und viele weitere mehr ...

8) Lösung nach dem Einsetzungsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & p &=& 24q-9 \cr \text{II} & \dfrac{1}{3}p+3 &=& 8q \cr \cr\text{I in II} & \dfrac{1}{3} \left(24q-9\right)+3 &=& 8q \cr & 8q-3+3 &=& 8q&\vert - 8q \cr & 0 &=& 0q \end{array}$

Auch dieses Gleichungssystem ist offensichtlich mehrdeutig lösbar. Hier müssen wir aber im Gegensatz zu Aufgabe 7) gar nicht weiter umformen, da Gleichung I - netterweise - schon in der richtigen Form vorliegt.
Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{\left(24q-9; q \right) \text{ mit }q \in \mathbb{R}\}$

9) Lösung nach dem Additionsverfahren
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & 6a-8b &=& 2 \cr \text{II} & -3a+12b &=& 1 & \vert \cdot 2 \cr \cr \text{I} & 6a-8b &=& 2 \cr \text{II} & -6a+24b &=& 2 \cr \cr \text{I} & 6a-8b &=& 2 \cr \text{I+II} & 16b &=& 4 & \Rightarrow b = \dfrac{1}{4} \cr \cr b=\frac{1}{4} \text{ in I} & 6a-8 \cdot \dfrac{1}{4} &=& 2 \cr & 6a -2 &=& 2 &\vert +2 \cr & 6a &=& 4 & \Rightarrow a = \dfrac{2}{3} \cr \cr & \mathbb{L} &=& \left\{\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{1}{4}\right)\right\} \end{array}$

10) Lösung nach dem Gleichsetzungsverfahren
$\begin{array}{crclllcc}\text{I} & \dfrac{1}{16}s+t &=& -12 &\vert -t \cr \cr \text{II} & \dfrac{1}{16}s-\dfrac{3}{2}t &=& 23 &\vert +\dfrac{3}{2}t \cr \cr \cr \text{I} & \dfrac{1}{16}s&=& -12-t \cr \cr \text{II} & \dfrac{1}{16}s &=& 23+\dfrac{3}{2}t \cr \cr \cr \text{I = II} & -12-t &=& 23+\dfrac{3}{2}t &\vert -\dfrac{3}{2}t+12 \cr \cr & -t-\dfrac{3}{2}t &=& 23+12 \cr \cr & -\dfrac{5}{2}t &=& 35 & \Rightarrow t=-14 \cr \cr \cr t=-14 \text{ in I} & \dfrac{1}{16}s-14 &=& -12 &\vert +14 \cr \cr & \dfrac{1}{16}s &=& 2 & \Rightarrow s = 32 \cr \cr \cr & \mathbb{L} &=& \{\left(32; -14\right)\} \end{array}$

2. Aufgabe

Sei $h$ die Anzahl der Hühner und $s$ die Anzahl der Schweine (siehe Bemerkung zu Textaufgaben).

Dann gilt:
I $h+s=37$
Denn jedes der Tiere hat genau einen Kopf.
II $2h+4s=90$
Denn jedes Huhn hat $2$ Beine, also haben $h$ Hühner zusammen $2h$ Beine. Schweine haben $4$ Beine, also haben $s$ Schweine $4s$ Beine. Zusammen haben alle Tiere folglich $2h+4s$ Beine.

Rechnerische Lösung (Additionsverfahren):
Zu lösen ist also das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{crclllcc} \text{I} & h+s &=& 37 & \vert \cdot (-2) \cr \text{II} & 2h+4s &=& 90 \cr \cr \text{I} & -2h-2s &=& -74 \cr \text{II} & 2h+4s &=& 90 \cr \cr \text{I} & -2h-2s &=& -74 \cr \text{I+II} & 2s &=& 16 & \Rightarrow s = 8 \cr \cr s = 8 \text{ in I} & h+8 &=& 37 & \Rightarrow h = 29 \end{array}$

Herr Müller hat $29$ Hühner und $8$ Schweine.


Zeichnerische Lösung:
Man formt die Gleichungen I und II von oben so um, dass sie der allgemeinen Geradengleichung entsprechen, nämlich:
I $h+s=37 \quad \Rightarrow \quad f_1(h)=s=37-h$

II $2h+4s=90 \quad \Rightarrow \quad f_2(h)=s=\dfrac{45}{2}-\dfrac{1}{2}h$

Diese beiden Geraden können dann in ein Koordinatensystem eingetragen und der Schnittpunkt abgelesen werden.

Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei $S(29 \mid 8)$. $h$, also die Anzahl der Hühner, ist $29$ und $s$, also die Anzahl der Schweine, ist $8$. Jedes andere Ergebnis hätte uns stutzig machen sollen ...

Da in diesem Zusammenhang offensichtlicherweise nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, ist die folgende Grafik, in der keine Geraden, sondern einzelne Punkte an den entsprechenden Stellen eingezeichnet wurden, besser:

3. Aufgabe

Sei $b$ die Anzahl der billigen Schokoladentäfelchen und $t$ die Anzahl der teuren Schokoladentäfelchen (siehe Bemerkung zu Textaufgaben).
Eine billige Schokolade kostet laut Aufgabenstellung $0{,}06$ EUR, eine teure $0{,}14$ EUR.

a)
Es gilt: $0{,}06b + 0{,}14t = 11{,}20$
Der Preis für eine billigen Schokolade mal die Anzahl der billigen Schokoladentafeln plus den Preis für eine teure Schokolade mal die Anzahl der teuren Tafeln ergibt den Gesamtpreis.

Mögliche Ergebnisse $(b; t)$ sind also: $(0; 80)$, $(7; 77)$, $(14; 74)$, $(21; 71)$,…, $(161; 11)$, $(168; 8)$, $(175; 5)$, $(182; 2)$
Denn $0{,}06 \cdot 0+0{,}14 \cdot 80 = 11{,}20$ usw. Das findet man "einfach" durch Einsetzen und Ausprobieren heraus.

Bitte achten Sie darauf, dass hier nur ganzzahlige Angaben infrage kommen!
 
b)
Zur oberen Gleichung kommt dazu: $b+t = 100$
Denn die Gesamtzahl der Schokoladentäfelchen soll $100$ betragen.

Es ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem, das mit dem Einsetzungsverfahren gelöst wird:
$\begin{array}{crclcl} \text{I} & 0{,}06b+0{,}14t &=& 11{,}20 \cr \text{II} & b+t &=& 100 &\vert& -t \cr \cr \text{I} & 0{,}06b+0{,}14t &=& 11{,}20 \cr \text{II} & b &=& 100-t \cr \cr \text{II in I} & 0{,}06 \cdot (100-t)+0{,}14t &=&11{,}20 \cr & 6-0{,}06t+0{,}14t &=& 11{,}20 &\vert& -6 \cr & 0{,}08t &=& 5{,}20 &\vert& : 0{,}08 \cr & t &=& 65 \end{array}$

Es sind $65$ teure Schokoladen in der Großpackung enthalten.

Bemerkung: Da nur nach der Anzahl der teuren Schokoladentäfelchen gefragt war, kann die Bearbeitung der Aufgabe hier abgebrochen werden. Hätte das Gleichungssystem vollständig gelöst werden sollen, müsste auch für $b$ ein Wert ermittelt werden.

4. Aufgabe

1)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 8x &+& 9y &-& 5z &=& -9 \cr \text{II} & -6x &-& 3y &+& 5z &=& -27 \cr \text{III} & \frac{1}{2}x &+& y &-& 2z &=& -10 \cr \cr \text{I} & 8x &+& 9y &-& 5z &=& -9 \cr \text{3 I+4 II} & & & 15y &+& 5z &=& -135 \cr \text{I-16 III} & & & -7y &+& 27z &=& 151 \cr \cr \text{I} & 8x &+& 9y &-& 5z &=& -9 \cr \text{II'} & & & 15y &+& 5z &=& -135 \cr \text{7 II'+15 III'} & & & & & 440z &=& 1320 & \Rightarrow z = 3 \cr \cr z = 3 \text{ in II'} & & & 15y &+& 5 \cdot 3 &=& -135 & \Rightarrow y = -10 \cr z = 3 \text{ und } y = -10 \text{ in I} & 8x &+& 9 \cdot \left(-10\right) &-& 5 \cdot 3 &=& -9 & \Rightarrow x = 12 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{\left(12; -10; 3\right)\}$

2)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 7x &+& 5y &-& 10z &=& 12 \cr \text{II} & -28x &-& 35y &+& 16z &=& -23 \cr \text{III} & -21x &-& 30y &+& 6z &=& 9 \cr \cr \text{I} & 7x &+& 5y &-& 10z &=& 12 \cr \text{4 I+II} & & & -15y &-& 24z &=& 25 \cr \text{3I+III} & & & -15y &-& 24z &=& 45 \cr \cr \text{I} & 7x &+& 5y &-& 10z &=& 12 \cr \text{II'} & & & -15y &-& 24z &=& 25 \cr \text{II'-III'} & & & & & 0 &=& -20 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \emptyset$

3)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & -\dfrac{3}{2}a &+& \dfrac{1}{7}b &+& c &=& 6 \cr \cr \text{II} & \dfrac{5}{6}a &+& \dfrac{1}{3}b &-& \dfrac{1}{3}c &=& 2 \cr \cr \text{III} & & & -\dfrac{4}{3}b &-& \dfrac{5}{3}c &=& -3 \cr \cr \cr \text{14 I} & -21a &+& 2b &+& 14c &=& 84 \cr \text{6 II} & 5a &+& 2b &-& 2c &=& 12 \cr \text{3 III} & & & -4b &-& 5c &=& -9 \cr \cr \text{I} & -21a &+& 2b &+& 14c &=& 84 \cr \text{5 I+21 II} & & & 52b &+& 28c &=& 672 \cr \text{III} & & & -4b &-& 5c &=& -9 \cr \cr \text{I} & -21a &+& 2b &+& 14c &=& 84 \cr \text{II'} & & & 52b &+& 28c &=& 672 \cr \text{II'+13 III'} & & & & & -37c &=& 555 & \Rightarrow c = -15 \cr \cr c = -15 \text{ in II'} & & & 52b &+& 28 \cdot \left(-15\right) &=& 672 & \Rightarrow b = 21 \cr c = -15 \text{ und } b = 21 \text{ in I} & -21a &+& 2 \cdot 21 &+& 14 \cdot \left(-15\right) &=& 84 & \Rightarrow a = -12 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{\left(-12; 21; -15\right)\}$

Bemerkung: Die ersten Umformungen (Multiplikation jeweils mit dem Hauptnenner) wurden durchgeführt, damit in der Folgerechnung keine Brüche mehr auftauchen. Allerdings werden dadurch die Zahlenwerte natürlich größer ...

4)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & -18x &-& 4y &-& 26z &=& 4 \cr \text{II} & 9x &+& 8y &+& 13z &=& -5 \cr \text{III} & 9x &-& 12y &+& 7z &=& 11 \cr \cr \text{I} & -18x &-& 4y &-& 26z &=& 4 \cr \text{I+2 II} & & & 12y & & &=& -6 & \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2} \cr \text{I+2 III} & & & -28y &-& 12z &=& 26 \cr \cr \cr y =-\frac{1}{2} \text{ in III'} & & & -28\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) &-& 12z &=& 26 & \Rightarrow z = -1 \cr \cr y =-\frac{1}{2} \text{ und }z = -1 \text{ in I} & -18x &-& 4 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) &-& 26 \cdot \left(-1\right) &=& 4 & \Rightarrow x = \dfrac{4}{3} \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \left\{\left(\dfrac{4}{3}; -\dfrac{1}{2}; -1\right)\right\}$

5)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 11a &-& 8b &+& c &=& 37 \cr \text{II} & -a &-& 2b &+& 7c &=& -35 \cr \text{III} & 12a &+& 9b &-& 6c &=& 12 \cr \cr \text{II} & -a &-& 2b &+& 7c &=& -35 \cr \text{I} & 11a &-& 8b &+& c &=& 37 \cr \text{III} & 12a &+& 9b &-& 6c &=& 12 \cr \cr \text{II} & -a &-& 2b &+& 7c &=& -35 \cr \text{11 II+I} & & & -30b &+& 78c &=& -348 \cr \text{12 II+III} & & & -15b &+& 78c &=& -408 \cr \cr \text{II} & -a &-& 2b &+& 7c &=& -35 \cr \text{I'} & & & -30b &+& 78c &=& -348\cr \text{I'-2 III'} & & & & & -78c &=& 468 & \Rightarrow c = -6 \cr \cr c = -6 \text{ in I'} & & & -30b &+& 78\cdot \left(-6\right) &=& -348 & \Rightarrow b = -4 \cr c = -6 \text{ und } b = -3 \text{ in II} & -a &-& 2\cdot \left(-4\right) &+& 7\cdot \left(-6\right) &=& -35 & \Rightarrow a = 1 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{\left(1; -4; -6\right)\}$

Bemerkung: Im ersten Schritt wurden nur die ersten beiden Gleichungen vertauscht (Sie sehen das an der Nummerierung der Gleichungen.), da die weiteren Umformungen mit dem Koeffizienten $-1$ wie in Gleichung $\text{II}$ einfacher durchzuführen sind.

6)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 4x &+& 2y &-& z &=& 1 \cr \text{II} & -8x &-& 6y &+& 8z &=& -13 \cr \text{III} & -4x &+& 10y &-& 5z &=& 9 \cr \cr \text{I} & 4x &+& 2y &-& z &=& 1 \cr \text{2I+II} & & & -2y &+& 6z &=& -11 \cr \text{I+III} & & & 12y &-& 6z &=& 10 \cr \cr \text{I} & 4x &+& 2y &-& z &=& 1 \cr \text{II'} & & & -2y &+& 6z &=& -11 \cr \text{II'+III'} & & & 10y & & &=& -1 & \Rightarrow y = -\dfrac{1}{10} \cr \cr \cr y = -\frac{1}{10} \text{ in II'} & & & -2\cdot \left( -\dfrac{1}{10} \right) &+& 6z &=& -1 & \Rightarrow z = -\dfrac{28}{15} \cr \cr y = -\frac{1}{10} \text{ und } z = -\frac{28}{15} \text{ in I} & 4x &+& 2\cdot \left( -\dfrac{1}{10} \right) &-& \left(-\dfrac{28}{15}\right) &=& 1 & \Rightarrow x = -\dfrac{1}{6} \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \left\{\left(-\dfrac{1}{6}; -\dfrac{1}{10}; -\dfrac{28}{15}\right)\right\}$

7)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 7x &-& 5y &+& 2z &=& 16 \cr \text{II} & 14x &-& 7y & & &=& 14 \cr \text{III} & -3x & & &-& z &=& -3 \cr \cr \text{I} & 7x &-& 5y &+& 2z &=& 16 \cr \text{II} & 14x &-& 7y & & &=& 14 \cr \text{I+2III} & x &-& 5y & & &=& 10 \cr \cr \text{I} & 7x &-& 5y &+& 2z &=& 16 \cr \text{II} & x &-& 5y & & &=& 10 \cr \text{II-14III'} & & & 63y & & &=& -126 & \Rightarrow y = -2 \cr \cr y = -2 \text{ in II} & & & x &-& 5\cdot \left(-2\right) &=& 10 & \Rightarrow x = 0 \cr x = 0 \text{ und } y = -2 \text{ in I} & 7\cdot0 &-& 5\cdot \left(-2\right) &+& 2z &=& 16 & \Rightarrow z = 3 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{\left(0; -2; 3\right)\}$

8)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 2r &+& 2s &+& 3t &=& 7 \cr \text{II} & & & -4s &-& 4t &=& 5 \cr \text{III} & 4r &+& 8s &+& 10t &=& 6 \cr \cr \text{I} & 2r &+& 2s &+& 3t &=& 7 \cr \text{II} & & & -4s &-& 4t &=& 5 \cr \text{2I-III} & & & -4s &-& 4t &=& 8 \cr \cr \text{I} & 2r &+& 2s &+& 3t &=& 7 \cr \text{II} & & & 4s &+& 4t &=& 5 \cr \text{II-III'} & & & & & 0 &=& -3 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \emptyset$

9)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 4x &+& 5y &-& 8z &=& 21 \cr \text{II} & -2x &+& 3y &-& 6z &=& -17 \cr \text{III} & 2x &+& 8y &-& 14z &=& 4 \cr \cr \text{I} & 4x &+& 5y &-& 8z &=& 21 \cr \text{I+2II} & & & 11y &-& 20z &=& -13 \cr \text{II+III} & & & 11y &-& 20z &=& -13 \cr \cr \text{I} & 4x &+& 5y &-& 8z &=& 21 \cr \text{II'} & & & 11y &-& 20z &=& -13 \cr \text{II'-III'} & & & 0y &+& 0z &=& 0 & \end{array}$

Die Gleichung II'+III' ergibt für alle reellen Zahlen $y$ und $z$ eine wahre Aussage. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems hängt also nur von den Gleichungen I und II' ab. Da diese beiden linearen Gleichungen allerdings drei Variablen haben, bekommen wir keine eindeutige Lösung. Wir müssen so tun, als wäre eine Variable aus der Gleichung II' (das ist die, die nur noch zwei Variablen enthält) fix. Wir nehmen hier mal hier mal an, dass $z$ als reelle Zahl festgelegt wäre (mit $y$ würde es aber genauso funktionieren). $z$ wird damit zu einem sogenannten Parameter. Dann können wir Gleichung II' so umformen, dass $y$ alleine auf einer Seite steht:

$\begin{array}{crcrcrcl} \text{II'} & 11y &-& 20z &=& -13 & \vert & +20z \cr & 11y & & &=& -13+20z & \vert & :11 \cr\cr&&& y &=& -\dfrac{13}{11}+\dfrac{20}{11}z \end{array}$

Damit wissen wir, wie sich $y$ berechnet lässt, vorausgesetzt wir haben einen Wert für $z$. Bleibt die Frage, was mit $x$ ist. Dafür nehmen wir die dritte Gleichung dieses Gleichungssystems, also Gleichung I, und setzten $y = -\frac{13}{11}+\frac{20}{11}z$ und $z$ ein:

$\begin{array}{rcrcrcrcrl} \text{I} & 4x &+& 5y &-& 8z &=& 21 \cr \cr & 4x &+& 5\left(-\dfrac{13}{11}+\dfrac{20}{11}z\right) &-& 8z &=& 21 \cr \cr &4x &-& \dfrac{65}{11}+\dfrac{100}{11}z &-& 8z &=& 21 & \vert &+\dfrac{65}{11} \cr \cr & 4x & & &+& \dfrac{12}{11}z &=& 21+\dfrac{65}{11} & \vert & -\dfrac{12}{11}z \cr \cr & 4x& & & & &=& \dfrac{296}{11}-\dfrac{12}{11}z & \vert & :4 \cr \cr & & & & & x &=& \dfrac{74}{11}-\dfrac{3}{11}z & \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \left\{\left(\dfrac{74}{11}-\dfrac{3}{11}z; -\dfrac{13}{11}+\dfrac{20}{11}z; z\right) \text{ mit } z \in \mathbb{R} \right\}$

10)
$\begin{array}{crcrcrcrl} \text{I} & 3x_1 &-& 6x_2 &+& 9x_3 &=& 21 \cr \text{II} & -x_1 &+& 2x_2 &+& 4x_3 &=& 21 \cr \text{III} & -x_1 & & &+& 5x_3 &=& 21 \cr \cr \text{I} & 3x_1 &-& 6x_2 &+& 9x_3 &=& 21 \cr \text{I + 3II} & & & & & 21x_3 &=& 84 &\Rightarrow x_3=4 \cr \text{III} & -x_1 & & &+& 5x_3 &=& 21 \cr\cr x_3=4 \text{ in III} & -x_1 & & &+& 5\cdot 1 &=& 21 &\Rightarrow x_1=-1 \cr x_1=-1 \text{ und } x_3=4 \text{ in I} & 3\cdot (-1) &-& 6 \cdot x_2 &+& 9\cdot 4 &=& 21 &\Rightarrow x_2=2 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L} = \{\left(-1; 2; 4\right)\}$

8. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie kennen die grundlegende Definition einer Potenz, inkl. der Begrifflichkeiten.
• Sie wissen, dass Potenzrechnung Vorrang vor Punkt- und Strichrechnung hat und wenden diese Regel in Rechnungen an.
• Sie können die grundlegenden Gesetze der Potenzrechnung anwenden.
• Sie können die binomischen Formeln "in beiden Richtungen" anwenden.

• Sie kennen den Zusammenhang zwischen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen (Umkehroperationen).

• Sie können mit Wurzeln und Logarithmen rechnen.
• Sie können für Wurzel- und Logarithmusterme passende Definitionsbereiche bestimmen.

• Sie können komplexere Terme (auch Doppelbrüche) vereinfachen.
• Sie können Terme aus (einfachen) Textaufgaben ableiten.
• Sie können entsprechende Textaufgaben lösen und die Lösungswege mathematisch korrekt aufschreiben.

Typische Fehler in diesem Kapitel sind:

• Die Rangfolge der Rechenoperationen wird nicht beachtet, z. B.
  • Es wird aus Summen gekürzt. Erklärung
  • Das Addieren/Subtrahieren von Potenzen ändern den Exponenten. Erklärung
  • Beim Potenzieren von Termen in Klammern werden Teile des Terms nicht mit potenziert. Meist betrifft dies den Koeffizienten. Erklärung
• Die binomischen Formeln, vor allem in der Anwendung "von rechts nach links", werden nicht so gut verinnerlicht, dass sie im Kontext angewendet werden können. Erklärung 1 - Erklärung 2 - Erklärung 3
• Die Potenzgesetze werden nicht korrekt angewendet. Erklärung 1 - Erklärung 2
• Wurzelterme werden nicht korrekt von Wurzel- in Potenzschreibweise (und umgekehrt) umgeformt. Erklärung
• Es werden Wurzeln aus Summen gezogen. Erklärung
• Die Logarithmengesetze werden nicht korrekt angewendet. Erklärung 1 - Erklärung 2

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe
• 7. Aufgabe
• 8. Aufgabe

8.1 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Aufgaben

Eine Bemerkung vorneweg: Bitte trainieren Sie die Aufgaben in diesem Kapitel sehr sorgfältig! Sie sind - zugegebenermaßen - nicht besonders spannend, aber sie sind die Grundlage für vieles, was in den nächsten Kapiteln auf Sie zukommen wird. Die Erfahrung hat gezeigt, dass diejenigen, die diese Aufgaben nur zur Hälfte bewältigen, bei späteren Kapiteln vielleicht noch $10\,\%$ schaffen ...

1. Aufgabe

Schreiben Sie die folgenden Zahlen als Potenzen mit möglichst kleiner Basis $b$ (für 1) bis 8): $b\in \mathbb{N}$, für 9) bis 10): $b\in \mathbb{Q}$)!

2. Aufgabe

Fassen Sie zusammen!

1) $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x}$

2) $2\sqrt{x} - 3\sqrt{x}$

3) $2\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x}$

4) $2\sqrt{x} : 3\sqrt{x}$

3. Aufgabe

Lösen Sie die Klammerterme auf! Verwenden Sie dabei, soweit es geht, die binomischen Formeln.

4. Aufgabe

Fassen Sie - wenn möglich - mithilfe der binomischen Formeln zusammen!

5. Aufgabe

6. Aufgabe

Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich! Überlegen Sie sich jeweils, ob und wenn ja, welche Variablenwerte ausgeschlossen werden müssen!
Bei Aufgabe 16) soll nach der Vereinfachung keine Wurzeln im Nenner stehen.
Bei den Aufgaben 17) - 30) vereinfachen Sie bitte so, dass im Ergebnis keine negativen und gebrochenen Exponenten mehr enthalten sind.

7. Aufgabe

Aus dem Papyrus Rhind, einem ägyptischen Rechenbuch aus dem 16. Jahrhundert vor Christus:
7 Leute besitzen je 7 Katzen. Jede Katze vertilgt 7 Mäuse. Jede Maus hätte 7 Ähren Getreide gefressen. Aus jeder Ähre können 7 Maß Gerste wachsen. Wie viele Maß Gerste sind also den Katzen zu verdanken?
[zitiert nach: Lambacher-Schweizer (1974): Algebra 2. Stuttgart (S. 236).]

8. Aufgabe

1) Wie viele Nachkommastellen hat die Dezimaldarstellung der Zahl $2^{-n}$ mit $n\in\mathbb{N}^+$? 

2) Stellen Sie fest, ob die Zahl $3.141.592.653$ eine Quadratzahl ist - OHNE Taschenrechner, Computer, Handy und Co zu benutzen!

3) Multiplizieren Sie $\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{9}\right)\left(1-\dfrac{1}{16}\right)\left(1-\dfrac{1}{25}\right)\dots\left(1-\dfrac{1}{100}\right)$ - OHNE Taschenrechner, Computer, Handy und Co zu benutzen!

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Potenzen - die grundlegende Definition
• Binomische Formeln
• Rechnen mit Potenzen
• Rechnen mit Wurzeln
• Rechnen mit Logarithmen
• Umgang mit Termen

8.2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Erklärungen

Wir haben die Grundlagen noch nicht ganz geschafft ... In diesem Kapitel geht es noch einmal um etwas ganz Wichtiges, worauf eigentlich alle weiteren Themen aufbauen: nämlich Terme, die sich aus Potenzen, Wurzeln und Logarithmen zusammensetzen.
Warum ist dieses Kapitel so wichtig? Kommen wir noch mal auf das Fußballbeispiel aus dem Kapitel Rechengesetze zurück: Wir trainieren in diesem Kapitel den zulässigen Umgang mit bestimmten, sehr wichtigen Arten von Termen. Das ist vergleichbar mit einer Fußballmannschaft, die Dribbeln und Standards (wie Elfmeter, Ecken, Einwürfe) einübt und trainiert, wie man der gegnerischen Mannschaft den Ball abnimmt, ohne zu foulen etc. Diese Dinge werden alle trainiert, bevor man das erste 90-Minuten-Match bestreitet, weil man darin die grundlegenden Fußballtechniken sicher beherrschen muss. Fußballspielerinnen und -spielern wird es schwerfallen, am Spielverlauf sinnvoll teilzunehmen, wenn sie sich noch auf das Dribbeln konzentrieren müssen …
Genauso ist es hier: Wir üben den zulässigen Umgang mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, um diese anschließend in komplexeren Zusammenhängen, wie Gleichungen und Funktionen, sicher anwenden zu können. Sonst ist es kaum möglich, darauf aufbauende Aufgaben zu bewältigen. Wenn Sie beim Lösen einer Exponentialgleichung oder beim Berechnen eines Integrals noch überlegen müssen, wie $e^{2x}\cdot e^{x+1}$ zusammengefasst werden kann, wird es Ihnen schwerfallen, den Gesamtlösungsweg im Blick zu behalten und die berechnete Lösung am Ende zu plausibilisieren.

Potenzen - die grundlegende Definition

Grundlegende Definition einer Potenz: $a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n$ für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}$ ($a^n$ gesprochen: "a hoch n")
Die Potenz $a^n$ ist also erst mal nur eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit vielen gleichen Faktoren. Das hat den Vorteil, dass man die Faktoren nicht mehr zählen muss ... $a$ heißt dabei Basis (vom griechischen Wort basis für Grundlage) und $n$ Exponent (vom lateinischen Wort exponere, welches herausstellen bedeutet).
Ist der Exponent $2$, sagt man auch Quadrieren.

Beispiele:

Schauen wir uns die Definition noch etwas genauer an: Dort heißt es $a^n$ für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}$. Das bedeutet, dass die Basis irgendeine reelle und der Exponent eine natürliche Zahl sein muss (zumindest im Moment, weiter unten erweitern wir dies). Ist der Exponent also $2$, $5$, $10$ oder vielleicht auch $4.923$, ergibt sich ein Produkt mit entsprechend vielen Faktoren, wobei diese Faktoren immer reelle Zahlen sind. Ein bisschen aus der Reihe tanzen die Exponenten $1$ und $0$ (zumindest erkennt man dort das Produkt nicht mehr): 

• Wir hatten gerade schon ein entsprechendes Beispiel: $a^1=a$, egal für welche reelle Zahl $a$ steht. "Unmathematisch" formuliert: Man kann den Exponenten in diesem Fall einfach weglassen.
  
  
• Etwas überraschend ist vielleicht diese Festlegung: $a^0=1$ für $a\neq 0$. Anders gesagt: Wenn man eine reelle Zahl ungleich $0$ mit $0$ potenziert, ist das Ergebnis immer $1$ - völlig egal, welche reelle Zahl man potenziert.
  
  
• Bleibt die Frage, was mit $0^0$ ist: $0^0$ ist nicht definiert. Das heißt, hier gibt es keine Vereinfachung und kein Ergebnis.

Ganz wichtig: Im Allgemeinen ist $a \cdot a = a^2 \neq 2a = a+a$.

"Im Allgemeinen" bedeutet dabei, dass es einzelne Zahlenwerte gibt, für die diese Gleichungen gelten, aber für die (überwältigende) Mehrheit der Werte ist $a^2$ eben nicht gleich $2a$. Hierfür ein paar Beispiele:

Und noch ein paar Erkenntnisse zu Potenzen, die später mal helfen können, z. B. wenn man ein Ergebnis auf Plausibilität prüfen möchte:

• Ist der Exponent $n$ eine gerade Zahl, ist die gesamte Potenz immer größer oder gleich $0$, mathematisch formuliert: $a^n \geq 0$
  
  
• Ist die Basis einer Potenz ungleich $0$ (mathematisch aufgeschrieben: $a\neq 0$), ist auch die gesamte Potenz immer ungleich $0$ (auch hier die mathematische Formulierung $a^n\neq 0$).

Vielleicht noch wichtiger: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung!
Auch hier können ausschließlich Klammern eine andere Reihenfolge der Rechenoperationen festlegen.

Wir hatten im Kapitel Rechengesetze schon mal besprochen, dass die unterschiedlichen Rechenoperationen eine bestimmte Rangfolge erfordern, man also nicht "einfach so" drauf losrechnen darf. Die Regel "Punkt- vor Strichrechnung" gilt hier natürlich immer noch und wird um eine "Ebene", nämlich um die Potenzrechnung, erweitert. Viele typische Fehler aus diesem Kapitel gehen auf dieses Problem zurück. Hier noch ein paar Beispiele dazu:

Je nachdem, wie die Klammen gesetzt wurden, kommen also sehr unterschiedliche Werte heraus. Der letzte ist fast das 2.400-Fache vom ersten! Um Fehler zu vermeiden, lohnt sich also auch hier, sehr sorgfältig zu sein.

Binomische Formeln

Weil eben Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung geht, braucht man spezielle Überlegungen, wenn die verschiedenen Rechenoperationen aufeinandertreffen. Ein bekanntes Beispiel sind die binomischen Formeln beim Zusammentreffen von Addition/Subtraktion und Quadrieren/Multiplizieren:

Beispiele:

Sie bieten eine Art Abkürzung für das Auflösen von speziellen Klammertermen, die sonst mithilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert werden müssten, z. B. $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2= a^2+2ab+b^2$. Das geht natürlich auch - ist aber länger und damit meist fehleranfälliger.

Ganz wichtig: Egal, welchen Weg man wählt: Das Ergebnis von $(a+b)^2$ ist nicht $a^2+b^2$.