1. Zum Einstieg

Warum dieser Kurs?

Die Erfahrungen der letzten Jahre haben gezeigt, dass die Mathematik den Studienanfängerinnen und Studienanfängern leider zunehmend Schwierigkeiten bereitet. Die Gründe dafür sind vielfältig. Nur zum Teil fehlt es am grundlegenden mathematischen Verständnis. Ein weiteres Phänomen ist vielmehr, dass einfach zu wenig Übung / Routine / Erfahrung mit sogenannten elementaren Rechentechniken besteht. Wer darüber nachdenken muss, ob - und wenn ja wie - der Bruch $\frac{-1+2a-a^2}{a-1}$ gekürzt, d. h. vereinfacht werden kann ("Warum ist das dasselbe wie $1-a$???"), dem kann es schon passieren, bei den weiteren Ausführungen den Anschluss zu verlieren und schließlich nach und nach den Gesamtzusammenhang nicht mehr zu überblicken. Doch das muss nicht sein, deswegen sind Sie ja in diesem Kursraum ...

Sehen Sie diesen Kurs als eine Trainingseinheit, die Sie aufwärmt und oftmals schon in Vergessenheit geratene Gehirnzellen aktiviert. Dieses Training greift nicht dem anstehenden Wettkampf, sprich Studium, vorweg, sondern setzt deutlich davor an. Es hat auch nicht das Ziel, Sie alle zu "Mathematik-Weltmeistern" zu machen. Es geht vielmehr darum, eine gute Basis zu schaffen für alle Themen, die später darauf aufbauen. Nutzen Sie die Gelegenheit zur Übung und Wiederholung, scheuen Sie sich nicht, zu fragen, und setzen Sie sich (alleine oder in Gruppen) mit den Aufgaben ernsthaft auseinander - denn, wenn sich die ersten Erfolge einstellen, dann macht auch Mathematik Spaß!

Was ist vorab wichtig zu wissen?

• Auf den Kapitel-Startseiten erfahren Sie jeweils, welche Lernziele Sie mit diesem Kapitel erreichen sollen.
• Zusätzlich finden Sie auf (fast) allen Kapitel-Oberseiten eine Übersicht über typische Fehler zu den Inhalten des entsprechenden Kapitels. Bekanntermaßen sind die Möglichkeiten, in der Mathematik etwas falsch zu machen, ja sehr vielfältig. Um herauszufinden, welche Fehler am häufigsten auftreten, wurden daher Erstsemester-Klausuren untersucht.
  Selbst wenn Sie sich mit einem Thema schon ganz gut auskennen, lohnt es sich, bei den typischen Fehlern mal hineinzuschauen. Einige lassen sich leicht vermeiden, wenn man sie sich bewusst gemacht hat. Und man muss Fehler, die jemand anders schon gemacht hat, ja nicht unbedingt wiederholen …
• Alle Kapitel (einzige Ausnahme: "Grundlagen") sind in drei Seiten eingeteilt:
  • Die erste Seite enthält Aufgaben.
  • Die zweite Seite umfasst Erklärungen und Beispiele.
  • Auf der dritten Seite finden Sie die Lösungen der Aufgaben.
    
    
• Hier ein Vorschlag aus unserer Erfahrung, wie Sie Ihr Mathe-Training effektiv gestalten können:
  1. Versuchen Sie zunächst die Aufgaben zu lösen, ohne sich die Lösungen anzuschauen. Im Sport lernt man ja auch nicht, indem man der Nationalmannschaft im Fernsehen zuschaut - sondern indem man ganz viel selbst auf dem Sportplatz oder in der Turnhalle aktiv ist.
  2. Bei Schwierigkeiten mit den Aufgaben haben Sie die Möglichkeit, sich mithilfe der Hinweise und Erläuterungen auf der zweiten Seite ("Erklärungen") Lösungsstrategien zu erarbeiten. Dort werden natürlich auch die zum Thema gehörenden Fachbegriffe erläutert.
  3. Erst wenn auch das nicht hilft, sollten die Lösungen angeschaut werden. Selbstverständlich dienen die Lösungen auch zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
     
     
• Die Lösungswege sind in den meisten Fällen sehr ausführlich aufgeschrieben, ausführlicher, als es normalerweise notwendig ist. Das soll es Ihnen erleichtern, die Lösungswege nachzuvollziehen und mit Ihren Ergebnissen zu vergleichen. Umgekehrt bedeutet dies auch: Fehlen bei Ihnen einige Schritte, ist Ihr Lösungsweg nicht automatisch falsch. Gerade einfache Additionen, Multiplikationen etc. oder auch Umsortierungen der Variablen müssen nicht unbedingt hingeschrieben werden, wenn man geübt genug ist, den Lösungsweg auch so zu überblicken. Häufig ist der dargestellte Lösungsweg auch nicht der einzige Weg, der zum richtigen Ergebnis führt, z. B. können manchmal Schritte vertauscht werden. Wie im Sport führen auch hier manchmal mehrere Wege zum Trainings- bzw. Lernziel.
  
  
• Dieser Kurs kann der Reihe nach und vollständig bearbeitet werden. Vermutlich ist es für Ihr Training aber sinnvoller, wenn Sie sich gezielt die Kapitel heraussuchen, die Sie gerade benötigen.
  
• Die Navigation in diesem Kurs kann entweder über die Auswahl einzelner Kapitel im Inhaltsverzeichnis auf der rechten Seite erfolgen oder durch Nutzung der Vor- und Zurückpfeile zu Beginn jeder Seite. Im letzten Kapitel dieses Lernmoduls befindet sich ein Stichwortverzeichnis, über das Sie einzelne Begriffe, die im Lernmodul behandelt werden, direkt anwählen können.
• Wenn Sie die Materialien auf einem Smartphone nutzen, ist es sinnvoll, das Handy für eine größere Darstellung der Bilder und Tabellen quer zu halten.

Worauf sollten Sie achten?

Bitte beachten Sie Folgendes beim Bearbeiten der Übungsaufgaben:

• Es handelt sich eher um rein mathematische Aufgaben und weniger um Aufgaben mit einem wirklichen Anwendungsbezug. Reale Anwendungsaufgaben sind meist komplizierter als das, was wir in der Studienvorbereitung behandeln (können). Solche Aufgaben warten dann im Studium auf Sie.
• Gleichzeitig werden wir mit den Aufgaben und Erklärungen nicht in die mathematische Tiefe vordringen. Das Ziel dieses Lernmoduls ist, die Anforderungen, die im Studium auf Sie warten, möglichst verständlich vorzubereiten und zu begleiten. Dazu werden Konzepte erläutert, Zusammenhänge aufgezeigt und Rechenwege diskutiert. Das geht natürlich nicht ohne eine gewisse mathematische Basis und formale Genauigkeit. Der Fokus der folgenden Kapitel liegt aber immer auf Anschaulichkeit und Klarheit.
• Die Aufgaben sind zum großen Teil so gestaltet, dass sie ohne die Hilfe eines Taschenrechners zu lösen sind. Meistens benötigen Sie rechnerisch nicht (viel) mehr als Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 100 und das kleine Einmaleins. Gerade in diesem Trainingsbereich empfehlen wir es sehr, den Taschenrechner mal beiseitezulegen - aus folgenden Gründen:
  • Es ist sehr wichtig, Größenordnungen abschätzen bzw. überschlagen zu können, um Ergebnisse vom Taschenrechner zu plausibilisieren. Es ist ja nicht soooo unwahrscheinlich, dass man sich mal vertippt oder das Dezimalkomma vergisst ...
  • Spätestens wenn Variablen ins Spiel kommen, helfen "normale" wissenschaftliche Taschenrechner nur noch wenig weiter. "Moderne" wissenschaftliche Taschenrechner können zwar mit Variablen umgehen, aber das hilft in der Klausur meist nicht, da eigentlich immer ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert ist.
  • Es gibt Anhaltspunkte dafür, dass man mathematische Konzepte (wie beispielsweise "Wurzel ziehen") besser versteht, wenn man sie nicht von Anfang an mit einer Taste auf dem Taschenrechner verbindet.
  • Und zuletzt: Aus mathematisch-formaler Sicht ist es auch gar nicht nötig, Ergebnisse als Dezimalzahl darzustellen: $\frac {1}{3}$ bzw. $\sqrt{2}$ u. Ä. sind exakter als Dezimalzahlen - was in der Mathematik grundsätzlich begrüßt wird.
    
    
• Nicht alle Aufgaben, die Ihnen in den nächsten Kapiteln begegnen, sind lösbar. Die Erkenntnis, dass eine Aufgabe keine Lösung hat und welche Gründe das hat, ist ja auch nicht unwichtig oder uninteressant - eher im Gegenteil ...
• Ganz wichtig: Die Aufgaben beziehen sich immer auf alle Themen, die zuvor behandelt wurden, nicht nur auf das Thema des entsprechenden Kapitels.
• Teilweise hilft es, ein wenig "rückwärts" oder "um die Ecke" zu denken ...

Grundsätzliche Tipps - sowohl für die Studienvorbereitung als auch für das Studium:

• Lesen Sie sich die Aufgaben gründlich durch!
• Stellen Sie fest, was gegeben und was gesucht ist!
• Manche Aufgaben lassen sich eher mit etwas Nachdenken und weniger mit viel Rechnen lösen!
• Überprüfen Sie Ihre Lösungen kritisch!

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg mit der Mathematik!

Zum Abschluss des Einstiegs

Wenn Sie Fehler in den Kapiteln finden, die sich trotz aller Sorgfalt nie ganz ausschließen lassen, bin ich über eine kurze Rückmeldung an xenia.jeremias@th-wildau.de dankbar!

Autorin dieses Lernmoduls: Dr. Xenia Valeska Jeremias, bis 14.11.2011 Mitarbeiterin am FB Holztechnik der Hochschule für nachhaltige Entwicklung Eberswalde - seit 15.11.2011 Mitarbeiterin im Zentrum für Studium und Lehre der Technischen Hochschule Wildau

Danksagung: Ich danke Prof. Dr. Johannes Creutziger von der HNE Eberswalde, meinen Kolleginnen/Kollegen Roger Faulhaber, Frederik Freckmann, Johanna Gröpler, Jacqueline Pudör, Christian Rabe und Birgit Sellmer sowie meinen studentischen Hilfskräften der TH Wildau für viele Korrekturen und hilfreiche Anmerkungen!

Dieses Lernmodul ist lizenziert unter .

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Mengen
• Zahlenbereiche
• Intervalle
• n-Tupel

2.1 Grundlagen - Mengen u. a.

In den folgenden Abschnitten wird es um einige Grundlagenbegriffe gehen, die später in verschiedenen Zusammenhängen wichtig werden. Das Kapitel hat nicht den Anspruch, ein mathematisch umfassendes Bild von Mengen etc. aufzuzeigen, sondern vielmehr, Ihnen eine Idee zu vermitteln, was Ihre Mathematikdozenten und -dozentinnen meinen, wenn sie beispielsweise etwas in geschweifte Klammern schreiben oder von n-Tupel reden.

Vorab

Ist eine Zahl $x$ größer als $0$, geschrieben $x>0$, nennt man sie positiv.
Ist eine Zahl $x$ größer oder gleich $0$, geschrieben $x \geq 0$, nennt man sie nichtnegativ.
Ist eine Zahl $x$ kleiner als $0$, geschrieben $x < 0$, nennt man sie negativ.
Den Begriff nichtpositiv für Zahlen, die $x$ kleiner oder gleich $0$ sind, geschrieben $x \leq 0$, verwendet man nicht oder nur sehr selten - aus welchen Gründen auch immer ...

Wichtig: $0$ ist weder positiv noch negativ.

Und noch ein wichtiges Zeichen: $\neq$ bedeutet "ungleich". Beispielsweise ist $3\neq 14$, also "$3$ ungleich $14$".

Mengen

Grundlegendes zu Mengen

Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Es muss entscheidbar sein, ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht. Die Reihenfolge der Elemente ist hingegen nicht von Belang.
Die etwas "unmathematische" Vorstellung: Man hat einen Beutel, in den man Objekte hineinlegt. Entscheidend ist dann die Frage: Ist das Objekt im Beutel enthalten oder nicht? Diese Vorstellung passt auch deswegen, weil Objekte in einem Beutel durcheinander fallen, also keine festgelegte Reihenfolge haben.

Zur Notation: Mengen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, besonders $M$ wird (naheliegenderweise) gerne verwendet. Hat man mehrere Mengen, die $M$ heißen sollen, kann man für die Unterscheidung einen so genannten Index, also eine kleine, tiefgestellte Zahl, zum Durchnummerieren verwenden (Plural von Index ist Indizes, gesprochen: "Indizees"). Für die Angabe der Elemente verwendet man geschweifte Klammern, z. B.

• $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeutet: Die Menge, die die Elemente $1$, $2$ und $3$ (und sonst nichts) enthält.
• $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ bedeutet: Die Menge aller positiven, ungeraden Zahlen. Die drei Punkte $\ldots$ am Ende verwendet man, da es unendlich viele positive, ungerade Zahlen gibt und man eben nicht alle aufschreiben kann.  
• $M_3=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n,m \; \text{ungerade}\right\}$ bedeutet: Die Menge aller Brüche (das ist der Teil vor dem $\vert$ ) mit der Eigenschaft, dass Zähler und Nenner ungerade Zahlen sind (das ist der Teil nach dem $\vert$ ). Z. B. sind $\frac{1} {5}$ und $\frac{9}{3}=3$ in dieser Menge enthalten.

Es gibt verschiedene Aspekte, in denen sich Mengen unterscheiden können:

• Sie können entweder über eine Aufzählung von Elementen (wie bei Mengen $M_1$ und $M_2$) oder über erklärende Eigenschaften (wie bei Menge $M_3$) definiert werden.
• Mengen können endlich viele Elemente (siehe Menge $M_1$) oder unendlich viele Elemente (siehe Mengen $M_2$ und $M_3$) enthalten.

Vielleicht ist es überraschend: Eine ganz wichtige Menge ist die leere Menge, die keine Elemente enthält. Dafür schreibt man das Symbol $\emptyset$.

Und noch ein paar Symbole, die in diesem Zusammenhang wichtig sind:
Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man das Symbol $\in$. Z. B. meint $x \in M_1$ (gesprochen: "x ist Element von M 1"), dass $x$ Teil der Menge $M_1$ ist oder sein soll. $x$ könnte also $1$, $2$ oder $3$ sein.

Ein Symbol für das Gegenteil gibt es natürlich auch: Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert nicht Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man $\not \in$. Z. B. meint $0{,}5 \not\in M_2$ (gesprochen: "$0{,}5$ ist nicht Element von M 2"), dass $0{,}5$ nicht Teil der Menge $M_2$ ist. $0{,}5$ ist eben keine positive, ungerade Zahl.

Bemerkung 1: Um Missverständnissen vorzubeugen, ist es manchmal sinnvoll, Zahlen in einer Menge mit Semikolons zu trennen. Sonst könnte $M_1=\{1, 2, 3\}$ sowohl $M_1=\{1{,}2; 3\}$ als auch $M_1=\{1; 2{,}3\}$ oder $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeuten - und solche Mehrdeutigkeiten sind bei der Verständigung z. B. über Lösungswege sehr hinderlich und auch grundsätzlich in der Mathematik äußerst unbeliebt ...
Bemerkung 2: Üblich ist, die Elemente der Größe nach zu sortieren. Wenn Variablen enthalten sind, werden diese alphabetisch sortiert. Dies hat keine mathematischen Hintergründe (Die Reihenfolge spielt ja hier keine Rolle ...), sorgt aber dafür, dass man den Überblick behält - und das ist ja nie verkehrt!

Spezielle Mengen

Nun noch ein paar Begriffe, die wir später brauchen werden:
Die Schnittmenge $M_S$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Alle Elemente der Schnittmenge müssen in $A$ und in $B$ liegen. Mengen, deren Schnittmenge leer ist, nennt man disjunkt. Dann haben die Mengen keine gemeinsamen Elemente.
Beispiel: Nehmen wir $M_1$ und $M_2$ von oben. Nur die Elemente $1$ und $3$ sind in beiden Mengen enthalten, also besteht daraus ihre Schnittmenge. Mathematisch schreibt man das: $M_S=M_1\cap M_2=\{1;3\}$

Die Vereinigungsmenge $M_V$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in einer der beiden Mengen liegen.
Beispiel: Wir schauen wieder $M_1$ und $M_2$ von oben an. Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nehmen wir erst mal alle Elemente, die in $M_2$ enthalten sind (das sind schließlich mehr). Hinzukommt die $2$ aus der Menge $M_1$ . Um die $1$ und die $3$ aus $M_1$ brauchen wir uns nicht mehr zu kümmern, weil sie ja sowieso schon in $M_2$ enthalten sind. Mathematisch schreibt man das: $M_V=M_1\cup M_2=\{1; 2; 3; 5; 7; 9; \dots \}$

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn alle Elemente von $A$ auch in $B$ enthalten sind.
Beispiel: $M_4=\{3; 5; 9\}$ ist eine Teilmenge von $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ , weil $3$, $5$ und $9$ positive, ungerade Zahlen sind. Mathematisch schreibt man hier: $M_4 \subseteq M_2$ . Um genau zu sein, handelt es sich sogar um eine echte Teilmenge, da in $M_4$ nicht alle Elemente aus $M_2$ enthalten sind, z. B. ist die $1$ ein Element von $M_2$, aber nicht von $M_4$ . Auch hierfür gibt es (natürlich) eine mathematische Schreibweise: $M_4\subset M_2$ . Wenn man einfach von einer Teilmenge (ohne "echt") spricht, können die Mengen also auch gleich sein. Das deutet man bei $\subseteq$ durch den Strich unter dem Bogen an, der an ein Gleichheitszeichen erinnern soll.

Zahlenbereiche

Einige Mengen sind in der Mathematik so wichtig, dass sie eigene Symbole bekommen haben. Diese Symbole haben meistens irgendwo einen Doppelstrich. Beispiele für solch wichtige Mengen sind die verschiedenen Zahlenbereiche:

$\mathbb{N}$: Menge der natürlichen Zahlen, also $0$, $1$, $2$, ...

$\mathbb{Z}$: Menge der ganzen Zahlen, also ..., $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, ...

$\mathbb{Q}$: Menge der rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die sich als Bruch und damit als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen lassen, mathematisch formuliert: $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n, m \in \mathbb{Z}\textrm{; } m \neq 0 \right\}$, z. B. $-4$, $0$, $0{,}\overline{1}$, $0{,}3$, $\frac13$, $\frac22$, $2.000$, ...

$\mathbb{R}$: Menge der reellen Zahlen. Zusätzlich zu den rationalen Zahlen sind hier alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen enthalten, z. B. $0{,}1010010001...$, $\sqrt{2}$, $\sqrt [3]{5}$, $\pi$, ...
Diese "zusätzlichen" Zahlen werden irrationale Zahlen genannt.

Diese Zahlenbereiche sind so gestaltet, dass sie jeweils echte Teilmengen voneinander sind: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen und die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum ist das so? Da in den reellen Zahlen alle Brüche (und noch viel mehr Zahlen) enthalten sind, sind natürlich auch die periodischen und endlichen dabei, sprich die rationalen Zahlen. Bastelt man in den rationalen Zahlen einen Bruch mit dem Nenner $1$, also z. B. $\frac{4}{1}=4$ , landet man bei einer ganzen Zahl. Jede nichtnegative, ganze Zahl ist gleichzeitig eine natürliche Zahl.
Wer möchte, kann das mathematisch so aufschreiben: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Benennung von Variablen

Für den besseren Überblick werden Variablen

• aus der Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen meist $n$ oder $m$,
• aus der Menge der rationalen Zahlen meist $p$ oder $q$ sowie
• aus der Menge der reellen Zahlen meist $x$, $y$ oder $z$

genannt. Es ist natürlich nicht verpflichtend, Variablen so zu benennen - manchmal geht es auch gar nicht ... Diese Namenskonventionen haben sich nur eingebürgert, weil es damit einfacher ist, den Überblick zu behalten, welche Variable aus welchem Zahlenbereich stammt.

Zur Notation: Im Zusammenhang mit den Zahlenbereichen werden häufig weitere Symbole und Schreibweisen verwendet, u. a.

• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $+$ bedeutet, dass nur der positive Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ($0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^+$ (gesprochen: "R plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer als $0$ sind.
• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $-$ bedeutet, dass nur der negative Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ($0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^-$ (gesprochen: "R minus") die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als $0$ sind.
• Eine hinter dem Zahlenbereichssymbol tiefgestellte $0$ bedeutet, dass die $0$ in den Zahlenbereich eingeschlossen wird, z. B. meint $\mathbb{R}^+_0$ (gesprochen: "R null plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $0$ sind. Das ist natürlich nur dann nötig, wenn die $0$ ansonsten nicht in dem Zahlenbereich enthalten wäre.
• Möchte man einzelne Zahlen oder Intervalle aus einem Zahlenbereich ausschließen, verwendet man $\setminus$ , z. B. meint $\mathbb{R} \setminus_{ \{0\} }$ (gesprochen: "R ohne null") die Menge der reellen Zahlen ohne die Zahl $0$.

Bemerkung: Manchmal werden auch andere (ähnliche) Symbole verwendet. Es sollte dann zu Beginn des Textes erklärt sein, welches Symbol für welchen Zusammenhang verwendet wird.

Intervalle

Definition: Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei gegebenen Zahlen $a$ und $b$ liegen, wobei $a$ sein muss. Diese Bedingung $a$ bedeutet dabei nur, dass der untere Rand kleiner sein muss als der obere. Anders gesagt: Ein Intervall ist eine Menge von reellen Zahlen ohne Lücken.
Man unterscheidet abgeschlossene, halboffene und offene Intervalle: Bei offenen Intervallen sind die Randwerte nicht im Intervall enthalten. Abgeschlossene Intervalle umfassen auch die Randwerte. Halboffene Intervalle beinhalten einen der beiden Randwerte.

Zur Notation: Leider ist die Notation hier nicht ganz eindeutig: Man verwendet für die Darstellung von Intervallen eckige und teilweise auch runde Klammern. Nach innen gerichtete eckige Klammern schließen den Randwert in das Intervall ein. Nach außen gerichtete eckige Klammern und innen gerichtete runde Klammern schließen den Randwert aus. Da $+\infty$ (also "plus unendlich") und $-\infty$ (also "minus unendlich") keine (reellen) Zahlen sind, muss das Intervall hier immer offen bzw. halboffen sein. Hier ein paar Beispiele:

• Das abgeschlossene Intervall $\lbrack -1;2 \rbrack$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
  Wenn man die Mengenschreibweise von oben wiederholen möchte, kann man dafür auch $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x \leq 2\}$ schreiben.

• Das halboffene Intervall $[-1;2[$ bzw. $[-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner $2$ sind. Die $2$ selber ist in dem Intervall nicht enthalten. Wichtig: Das bedeutet nicht, dass das Intervall bei $1$ endet! Zwischen $1$ und $2$ liegen ja noch ganz viele weitere reelle Zahlen (z. B. $1{,}000001$; $\sqrt{2}$; $1{,}5$; $\frac{17}{9}$ ), die alle in diesem Intervall enthalten sind.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x < 2\}$
• Das halboffene Intervall $]-1;2]$ bzw. $(-1;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x \leq 2\}$
• Das halboffene Intervall $]-\infty;2]$ bzw. $(-\infty;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer $-\infty$ und kleiner oder gleich $2$ sind. Man benötigt diese Schreibweise z. B., wenn man mithilfe eines Intervalls alle Zahlen beschreiben möchte, die kleiner oder gleich $2$ sind. Da das Intervall ja auch eine untere Grenze braucht, nicht nur eine obere, schreibt man dort $-\infty$.
  In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -\infty < x \leq 2\}$

• Das offene Intervall $]-1;2[$ bzw. $(-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner, aber nicht gleich $2$ sind. In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x < 2\}$

• So etwas wie $[5;2]$ geht nicht, weil der untere Randwert kleiner sein muss als der obere.

Bemerkung: Auch bei Intervallen können das $\in$-und das $\not \in$-Zeichen verwendet werden, z. B. gelten $1{,}5 \in [1;2[$ und $2 \not \in [1;2[$

n-Tupel

Definition: Ein n-Tupel ist eine geordnete Liste von $n$ Zahlen.
Geordnet bedeutet, dass (anders als bei Mengen) die Reihenfolge, in der die Zahlen notiert sind, wichtig ist. $(1;2)$ bedeutet also etwas Anderes als $(2;1)$. Deswegen darf man hier natürlich auch nicht der Größe nach sortieren, wie es für Mengen empfohlen wird.
Statt 2-Tupel sagt man Paar und statt 3-Tupel Tripel.

Kartesisches Produkt von Mengen: Möchte man die Zahlenbereiche festlegen, aus denen die einzelnen Komponenten eines n-Tupels stammen sollen, so notiert man die entsprechenden Zahlenbereichssymbole mit dem Symbol $\times$ dazwischen. Soll beispielsweise die erste Komponente eines Zahlenpaars ein Element der reellen Zahlen und die zweite Komponente ein Element der positiven reellen Zahlen sein, schreibt man $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$.

Zur Notation: Man verwendet für die Darstellung von n-Tupeln runde Klammern, z. B.

• $(1{,}5;-4{,}3)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $1{,}5$ und dessen zweite Komponente $-4{,}3$ ist. So könnte z. B. ein Punkt in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem beschrieben werden.
• $(7;7)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $7$ und dessen zweite Komponente auch $7$ ist. So etwas könnte bei Mengen nicht passieren.
• $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right)$ ist ein Zahlentripel, dessen erste Komponente $\frac{1} {2}$ , dessen zweite Komponente $\frac{1} {3}$ und dessen dritte Komponente $\frac{1} {4}$ ist. Hierbei könnte es sich um einen Punkt in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem handeln.
• $(-12;0;5;28;-35)$ ist ein 5-Tupel, dessen erste Komponente $-12$, dessen zweite Komponente $0$, dessen dritte Komponente $5$, dessen vierte Komponente $28$ und dessen fünfte Komponente $-35$ ist. Solche Angaben werden später bei Vektoren wichtig.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Bezeichnungen
• Rechnen mit rationalen Zahlen
• Quadratzahlen
• Teilbarkeitsregeln
• Runden

2.2 Grundlagen - Grundrechenarten

Wie der Name schon sagt, sind die Grundrechenarten die Grundlage aller weiteren Rechenoperationen. Daher lohnt es sich, einen Blick drauf zu werfen ... 

Bezeichnungen 

Die folgenden Bezeichnungen helfen, wenn über Rechnungen und Aufgaben gesprochen wird. Beispielsweise ist die Aussage "Einer der Summanden ist $3$." eindeutig und deutlich weniger umständlich als "Eine der Zahlen, die vor oder hinter dem Pluszeichen steht, ist $3$." Ebenso ist es bei "der Quotient aus $x$ und $y$" im Vergleich zu "das Ergebnis, das ich erhalte, wenn ich $x$ durch $y$ teile".
Die Bezeichnungen Minuend, Subtrahend, Dividend und Divisor werden weniger häufig verwendet. Man sollte aber zumindest wissen, zu welcher Rechenart sie gehören:

Dass man durch $0$ nicht teilen darf, ist hinlänglich bekannt. Warum ist das so? Die Division beantwortet die Frage "Wie oft muss man den Divisor vom Dividend abziehen, damit das Ergebnis $0$ ist?" Beispiel: $10 : 5$ Wir rechnen $10-5-5 = 0$. Die Antwort ist also $2$. Hätten wir $10 : 0$, kämen wir nie zu einer Antwort.
Ein praxisnäheres Beispiel: Wie verteilt man $10$ Objekte auf $5$ Plätze? Die Antwort: Auf jeden Platz kommen $2$ Objekte. Die Frage "Wie verteilt man $10$ Objekte auf $0$ Plätze?" lässt sich hingegen nicht sinnvoll beantworten.

Wichtig: Sobald Variablen ins Spiel kommen, sieht man manchmal nicht mehr so leicht, ob ein Divisor $0$ ist. Dann müssen spezielle Überlegungen angestellt werden, um diese Fälle auszuschließen.

Manchmal darf man auch ein bisschen faul sein bei der Notation: Solange Missverständnisse ausgeschlossen sind, darf der "Malpunkt" weggelassen werden:

• Beispielsweise meinen $a(b+c)$ und $a \cdot (b+c)$ dasselbe. Bei $5 \, t$ und $5 \cdot t$ ist das ebenso. Logischerweise muss bei Aufgaben wie $4 \cdot 7$ der "Malpunkt" immer hingeschrieben werden ...
• Auch kann der Faktor $1$ bei der Multiplikation weggelassen werden, z. B. ist $x = 1x = 1 \cdot x$.

Es ist in beiden Fällen natürlich nie falsch, den "Malpunkt" einfach mit hinzuschreiben.

Weitere Begriffe

Definition: Die Gegenzahl bzw. das Negative einer Zahl $a$ ist $-a$ . Es gilt: $a+(-a)=0$.
Bemerkung: $-a$ muss nicht kleiner $0$ sein. Im Gegenteil: Für alle negativen Zahlen ist die Gegenzahl positiv, z. B. ist $4$ die Gegenzahl zu $-4$.

Definition: Der Betrag einer Zahl $a$ , in einer Formel: $\left| a\right|$, ist ihr absoluter Wert. D. h. für positive Zahlen und $0$ entspricht der Betrag einer Zahl $a$ der Zahl selber, also $\left| a \right| = a$. Für negative Zahlen entspricht der Betrag einer Zahl $a$ ihrer Gegenzahl, also $\left| a \right| = -a$. Wichtig ist der Betrag z. B. bei Abstandsberechnungen, weil es dabei ja nur auf die absolute Entfernung ankommt und nicht auf die Richtung, in der diese Entfernung durchlaufen wird. Der Betrag, so wie er hier definiert ist, liefert für jede Zahl ihren Abstand vom Nullpunkt.

Definition: Der Kehrwert zu einer Zahl $a$ ist $\dfrac{1} {a}$. Man sagt auch $a$ und $\dfrac{1} {a}$ sind reziprok zueinander. Es gilt: $a \cdot \dfrac{1}{a}=1$.
Bemerkung 1: Da durch $0$ nicht geteilt werden darf, muss hierbei $a \neq 0$ gelten.
Bemerkung 2: $\frac {1}{a}$ muss nicht kleiner $1$ sein, z. B. ist $2$ der Kehrwert zu $\frac{1} {2}$.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Es ist sehr wichtig, die folgenden Rechenregeln zu kennen, auch wenn in vielen Fällen natürlich der Taschenrechner weiterhilft. Sobald nämlich Variablen in den Rechnungen auftauchen, stoßen Taschenrechner sehr schnell an ihre Grenzen ...

Rechenregeln für die Addition rationaler Zahlen

Haben die beiden Summanden das gleiche Vorzeichen, werden die Beträge addiert. Die Summe bekommt das gemeinsame Vorzeichen.
Haben die beiden Summanden unterschiedliche Vorzeichen, zieht man den betragsmäßig kleineren Summanden vom betragsmäßig größeren ab. Die Summe bekommt das Vorzeichen des Summanden, der den größeren Betrag hat.

Die Subtraktion entspricht der Addition der Gegenzahl.

Das bedeutet konkret:

$\begin{array}{rcrcccc} 20+7 &=& 27 &=& +20+(+7) &=& +20-(-7) \cr \cr 20-7 &=& 13 &=& +20+(-7) &=& +20-(+7) \cr \cr -20+7 &=& -13 &=& -20+(+7) &=& -20-(-7) \cr \cr -20-7 &=& -27 &=& -20+(-7) &=& -20-(+7) \end{array}$

Rechenregeln für die Multiplikation rationaler Zahlen

Haben die beiden Faktoren das gleiche Vorzeichen, werden die Beträge multipliziert. Das Produkt ist positiv.
Haben die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen werden die Beträge multipliziert. Das Produkt ist negativ.

Kurze Merkregeln:

• "minus mal minus ist plus" bzw. "plus mal plus ist plus"
• "plus mal minus ist minus" bzw. "minus mal plus ist minus"

Die Division entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert.

Das bedeutet konkret:

$\begin{array}{rcccrcccl} 3 \cdot 9 &=& +3 \cdot (+9) &=& 27 &=& +3 : \left(+\frac{1}{9}\right) &=& 3 : \frac{1}{9} \cr \cr3 \cdot (-9) &=& +3 \cdot (-9) &=& -27 &=& +3 : \left(-\frac{1}{9}\right) &=& 3 : \left(-\frac{1}{9}\right) \cr \cr -3 \cdot 9 &=& -3 \cdot (+9) &=& -27 &=& -3 : \left(+\frac{1}{9}\right) &=& -3 : \frac{1}{9} \cr \cr & & -3 \cdot (-9) &=& 27 &=& -3 : \left(-\frac{1}{9}\right) \end{array}$

Bemerkung 1: "Überzählige" Pluszeichen (also Pluszeichen, die nur eine Vorzeichen- und keine Rechenfunktion haben) müssen nicht hingeschrieben werden.
Bemerkung 2: Immer, wenn ein Rechen- und ein Vorzeichen aufeinandertreffen, werden Klammern gesetzt.

Um die Regel “minus mal plus ist minus” ein bisschen plausibler zu machen, schauen wir uns Addition und Subtraktion auf dem Zahlenstrahl an:
Addiert man eine positive Zahl, beispielsweise $2$, lässt sich dies auf dem Zahlenstrahl als $2$ Schritte nach rechts veranschaulichen. Addiert man die gleiche Zahl mehrfach, wiederholt man diese Schritte. Das kann man als Multiplikation auffassen. Beispiel: $2+2+2 = 6$ ergibt das Gleiche wie $3\cdot 2 = 6$.

Subtrahiert man eine positive Zahl, beispielsweise $2$, lässt sich dies auf dem Zahlenstrahl als $2$ Schritte nach links veranschaulichen. Subtrahiert man die gleiche Zahl mehrfach, wiederholt man ebenfalls diese Schritte. Auch das kann man als Multiplikation auffassen. Beispiel: $-2-2-2 = -6$ ergibt das Gleiche wie $3\cdot (-2) = -6$. Man sieht also, dass die Multiplikation einer positiven mit einer negativen Zahl zu einem negativen Ergebnis führt.

Wichtig sind auch die Quadrat- und Kubikzahlen:

Bemerkung: In vielen Fällen wird ein Punkt gesetzt, um die einzelnen Tausender voneinander abzugrenzen. Manchmal wird stattdessen auch eine kleine Lücke in der Zahl gelassen. Verpflichtend ist beides nicht. Hauptsache, große Zahlen bleiben übersichtlich ...

Teilbarkeitsregeln

Vorab ein paar Begriffe:
Eine Zahl, die ohne Rest durch $2$ teilbar ist, nennt man gerade Zahl. Bleibt beim Teilen durch $2$ ein Rest, nennt man die Zahl ungerade.
Die Quersumme einer Zahl berechnet man, indem man einfach alle Ziffern addiert, z. B. ist die Quersumme von $123$: $1+2+3=6$

Die folgenden Regeln sind insofern bemerkenswert, weil sie Aussagen über die Teilbarkeit kompletter Zahlen ermöglichen - und dafür nur Teilinformationen heranziehen. Z. B. reicht es für die Aussage "$123.456$ ist durch $2$ teilbar." aus, die letzte Ziffer, nämlich die $6$, zu betrachten. Alle anderen Ziffern müssen gar nicht angeschaut werden. Sie sind nicht relevant. "Teilbar" meint hier immer "teilbar ohne Rest".
Diese Regeln werden sowohl bei der Bruchrechnung als auch bei Potenzen sehr weiterhelfen.

Eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist, nennt man Primzahl. Jede Zahl ist durch $1$ und sich selbst teilbar - das Besondere an Primzahlen ist, dass sie keine weiteren Teiler haben.

Runden

Gerundet wird u. a., um die Anzahl der Nachkommastellen zu reduzieren oder wenn nur die Größenordnung einer Zahl, nicht aber der exakte Wert wichtig ist. Fürs Runden gibt es folgende Regeln:

• Abrunden: Ist die erste wegzulassende Dezimalstelle kleiner als $5$, wird abgerundet.
• Aufrunden: Ist die erste wegzulassende Dezimalstelle größer oder gleich $5$, wird aufgerundet.

Nach dem Runden ist es wichtig, das Ungefährzeichen $\approx$ anstelle des Gleichheitszeichens $=$ zu verwenden, weil durch das Runden ja Genauigkeit verloren geht.

Ein paar Beispiele:
Beim Runden auf eine Nachkommastelle ist die zweite Nachkommastelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{rcl}1{,}44 &\approx& 1{,}4 \cr 2{,}48 &\approx& 2{,}5 \cr 5{,}12693 &\approx& 5{,}1 \end{array}$

Beim Runden auf drei Nachkommastellen ist die vierte Nachkommastelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{ccrcl} & & 10{,}12348 &\approx& 10{,}123 \cr & & 8{,}8767 &\approx& 8{,}877 \cr 129{,} \overline3 &=& 129{,}3333 \ldots &\approx& 129{,}333 \end{array}$

Es kann auch auf ganze $100.000$ gerundet werden. Dann ist die $10.000$er Stelle ausschlaggebend. Alle anderen Stellen werden ignoriert.
$\begin{array}{rcl}872.146 &\approx& 900.000 \cr 927.549 &\approx& 900.000 \cr 590.190{,}12 &\approx& 600.000 \end{array}$

Natürlich könnte man auch auf andere Stellen runden.

Wichtig: Runden Sie bei komplexeren Aufgaben nicht zu früh, sondern rechnen Sie so lange wie möglich mit den exakten Werten, weil sich sonst die Rundungsfehler sehr schnell zu problematischen Größenordnungen anhäufen. Ein (zugegebenermaßen leicht übertriebenes) Beispiel:
$1.200\cdot 0{,}003 = 3{,}6$
Rundet man die $0{,}003$ korrekt auf zwei Stellen nach dem Komma, erhält man $0$. Aus unserer Rechnung würde dann $1.200\cdot 0 = 0$
Dass dies kein geschicktes Vorgehen ist, wird spätestens dann deutlich, wenn man sich überlegt, was in dieser Rechnung mit anderen Faktoren passieren würde: Es ist nun völlig egal, ob man $1.200$ mit der "gerundeten $0{,}003$" multipliziert oder $-10.819$ oder $6{,}841841$ - das Ergebnis ist immer $0$.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Punkt- geht vor Strichrechnung
• Kommutativgesetz
• Assoziativgesetz
• Distributivgesetz
• Ausmultiplizieren
• Ausklammern
• Klammern

2.3 Grundlagen - Rechengesetze

Die Gesetze, die in diesem Kapitel besprochen werden, sind ein wenig wie die Regeln im Fußball: Im Sport wird mit den Regeln der zulässige Umgang mit dem Ball und den Mitspielenden festgelegt - in der Mathematik der zulässige Umgang mit Zahlen, Variablen etc. In beiden Fällen entscheidet die Einhaltung der Regeln darüber, ob man ein zulässiges Ergebnis erhält ...
Viele dieser Rechenregeln klingen eher unspektakulär - teilweise sicher auch, weil sie uns so in Fleisch und Blut übergegangen sind, dass wir gar nicht immer merken, wenn wir sie anwenden. Dieses Kapitel soll sie noch mal ins Bewusstsein rufen. Gleichzeitig macht es deutlich, dass diese Rechengesetze nicht selbstverständlich sind. Wenn im Verlauf der Mathematikausbildung weitere mathematische Objekte wie Vektoren und Matrizen hinzukommen, muss immer wieder die Frage gestellt werden, ob die Gesetze, die wir hier als "normal" ansehen, dafür auch gelten - und nicht überall ist das dann auch tatsächlich der Fall.

Das vielleicht wichtigste Rechengesetz zuerst: Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Das heißt: Eine Kombination aus Summe/Differenz und Produkt/Quotient lässt sich nicht einfach von links nach rechts zusammenfassen.
Nur Klammern können diese Reihenfolge ändern.

Klammern sind also in vielen Fällen unerlässlich, weil sie und zwar nur sie die "normale" Rangfolge der Rechenoperationen ändern können. Ein paar Beispiele:

Sie sehen, dass es tatsächlich einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge man die Rechenoperationen anwendet. Wichtig ist also, nicht einfach "drauf los" zu rechnen, sondern sich die Struktur der Aufgaben erst in Ruhe anzuschauen. Wenn man weiß, was auf einen zukommt, ist es viel einfacher, den Überblick zu behalten und die Rangfolge nicht durcheinander zu bringen.
Das ist nicht nur bei solch einfachen Rechnungen so, wo man den Unterschied recht schnell sieht, sondern erst recht dann, wenn die Rechnungen komplexer werden bzw. Variablen ins Spiel kommen. Anders gesagt: Beachtet man die Rangfolge der Rechenoperationen nicht, passieren quasi zwangsläufig Fehler. Manchmal sieht man die Fehler früher, manchmal später und manchmal fallen sie gar nicht auf ...
Das bedeutet zum Beispiel auch, dass Sie zwingend daran denken müssen, Klammern zu setzen, wenn im Laufe einer Rechnung mit einer Summe oder Differenz multipliziert werden muss. Dass Sie mit einer Summe oder Differenz multiplizieren müssen, wird häufig bei vielen verschiedenen Themen vorkommen, z. B. beim Lösen einer Bruchgleichung, wo mit dem Nenner multipliziert werden muss, oder beim Ableiten von verketteten Funktionen, wo mit der inneren Ableitung multipliziert werden muss. Es ist daher extrem wichtig, dass Sie sich jetzt schon mit diesen Rechenregeln vertraut machen - denn niemand wird Ihnen bei solchen Aufgaben im Studium sagen, dass Sie an die Klammern denken sollen …

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a,b \in \mathbb{R}$:

Im Gegensatz zur Addition und Multiplikation sind die Subtraktion, die Division und die Potenzierung im Bereich der reellen Zahlen nicht kommutativ.

Hinweis: Bei allen folgenden Beispielen müssen die Gleichungen von außen nach innen gelesen werden.
Beispiele für kommutative Rechenoperationen

Beispiele für nicht kommutative Rechenoperationen

Das Kommutativgesetz ist nicht in allen Situationen so selbstverständlich, wie es manchmal scheint. Gerade im Alltag gibt es viele Situationen, in denen Handlungen oder Vorgehensweisen nicht vertauschbar sind. Denken Sie beispielsweise daran, was passieren würde, wenn Sie morgens erst die Jacke und dann das Unterhemd anziehen oder erst die Marmelade und dann die Butter aufs Brot streichen ...

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz wird auch Verknüpfungs- oder Klammergesetz genannt.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a, b \in \mathbb{R}$:

Im Gegensatz zur Addition und Multiplikation sind die Subtraktion, die Division und die Potenzierung im Bereich der reellen Zahlen nicht assoziativ.

Hinweis: Auch hier muss wieder von außen nach innen gelesen werden.
Beispiele für assoziative Rechenoperationen

Beispiele für nicht assoziative Rechenoperationen

Das Assoziativgesetz, das ja besagt, dass es in bestimmten Situationen egal ist, wie man bei gleichartigen Rechenoperationen die Klammern setzt, gilt glücklicherweise für sehr viele Rechenoperationen. Wichtig: Kommen verschiedene Rechenoperationen zusammen, ist es meist überhaupt nicht egal, wie die Klammern gesetzt werden!
Auch in der Sprache ist das grundsätzlich anders: Beim Wort "Wollhosenträger" kann man nicht ohne Weiteres entscheiden, ob es sich um einen Hosenträger aus Wolle oder um den Träger einer Wollhose handelt ...

Das Assoziativgesetz ist der Grund, warum $-(a \cdot b) = -1 \cdot (a \cdot b) = -1 \cdot a \cdot b = -ab$ gilt.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz stellt eine Verknüpfung zwischen verschiedenen Rechenoperationen her, z. B. zwischen Multiplikation und Addition bzw. Subtraktion.

Es gilt für alle reellen Zahlen $a,b,c \in \mathbb{R}$:

Erklärung: Das Zeichen $\pm$ (gesprochen: "plusminus") ist eine abkürzende Schreibweise und bedeutet, dass die Gleichung sowohl gilt, wenn an dieser Stelle ein $+$ steht als auch, wenn dort ein $-$ steht. Man liest in der Gleichung entweder bei allen Doppelzeichen das Obenstehende oder bei allen Doppelzeichen das Untenstehende.

Hinweis: Lesen Sie bitte wieder von außen nach innen.
Beispiele für distributive Rechenoperationen

Beispiel für nicht distributive Rechenoperationen

Eine direkte Folge des Distributivgesetzes ist das sogenannte Ausmultiplizieren (auch "Klammern auflösen" genannt): $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.
Beim Ausmultiplizieren muss man also jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multiplizieren. Beispiel:
$\begin{array}{rcl}(5-14)\cdot(-10+1) &=& 5\cdot(-10) + 5\cdot 1+(-14)\cdot(-10)+(-14)\cdot 1 \cr &=& -50+5+140-14 \cr &=& 81 \end{array}$
Alternativ hätte man hier natürlich auch einfach $(5-14)\cdot(-10+1) = -9\cdot(-9) = 81$ rechnen können ... Sobald Variablen ins Spiel kommen, geht es aber nicht mehr ohne die Formel oben.

Wendet man die Rechenvorschrift von rechts nach links an, heißt der Vorgang Ausklammern oder Faktorisieren. Der Begriff "Faktorisieren" macht deutlich, dass dadurch ein Produkt entsteht.
Beim Ausklammern muss man zuerst alle Summanden so weit wie möglich in Faktoren zerlegen. Der größte gemeinsame Faktor kann dann vor die Klammer gezogen werden. Den "Rest" jedes Summanden schreibt man in die Klammer. Alternativ kann man jeden Summanden durch den größten gemeinsamen Faktor dividieren, um zu ermitteln, was in der Klammer stehen bleibt. Beispiel:
$\begin{array}{rcl} -60-\dfrac{5}{2}+35 &=& -5\cdot 12+(-5)\cdot\dfrac{1}{2}-5\cdot (-7) \cr &=& -5\left(12+\dfrac{1}{2}-7\right) \end{array}$
Wenn man jede Seite zusammenrechnet, erhält man $-\dfrac{55}{2} = -5\cdot\dfrac{11}{2}$. Passt!

Ausmultiplizieren und Ausklammen sind Gegenoperationen. Das bedeutet, dass sie sich gegenseitig aufheben. Wenn Sie also unsicher sind, ob Sie richtig ausgeklammert haben, können Sie die Probe durchführen, indem Sie die Klammer wieder ausmultiplizieren.

Das Distributivgesetz ist der Grund, warum ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen in der Klammer ändert: $-(-a+b) = -1 \cdot (-a+b) = -1 \cdot (-a) + (-1) \cdot (+b) = a-b$

Bitte beachten Sie den Unterschied zum roten Kasten beim Assoziativgesetz!

Bei $-x$ versteckt sich diese Rechenregel ein bisschen, aber $-x$ meint ja $-1\cdot x$ und ist damit auch eine Multiplikation. Wenn $x$ irgendeine Summe ist, z. B. $x = -4+17y$, müssen also unbedingt Klammern gesetzt werden: $-x = -(-4+17y) = -1\cdot(-4+17y) = -1\cdot(-4)+(-1)\cdot(+17y) = 4-17y$

Klammern sind wichtig!

Last but not least: Ein paar grundsätzliche Dinge zu Klammern:

• Da Klammern die einzige Möglichkeit sind, Einfluss auf die Rechenreihenfolge zu nehmen (siehe oben), sollte man sich immer sorgfältig überlegen, ob welche gebraucht werden. Das gilt vor allem dann, wenn verschiedene Rechenoperationen aufeinandertreffen. Dabei gilt: Einmal Klammern zu viel ist fast immer besser als einmal Klammern zu wenig! Wenn Sie sich nicht sicher sind, schreiben Sie also lieber Klammern hin.
  Auch der Taschenrechner berechnet exakt das, was Sie eingeben, und achtet dabei peinlich genau auf jede einzelne Klammer …
  
  
• Wenn ein Term ansonsten zu unübersichtlich werden würde, können Sie verschiedene Arten von Klammern nutzen, z. B. runde, eckige, geschweifte, spitze.
  Achtung: Bei Mengen, Intervallen und n-Tupel haben verschiedene Arten von Klammern unterschiedliche Bedeutungen! Hier darf also nicht "einfach so" eine andere Klammerart genutzt werden.
  
  
• Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst! Ein Beispiel:
  

  $4\cdot\left(\right.-$

  $\left(20\right.$

  $-$

  $\left(7+8\right)$

  $\left.\right)$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(2-6\right)$

  $\cdot$

  $\left(\frac{1}{2}+1\right)$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $\left(20\right.$

  $-$

  $15$

  $\left.\right)$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(2-6\right)$

  $\cdot$

  $\left(\frac{1}{2}+1\right)$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $5$

  $+$

  $3$

  $\cdot$

  $\left(-4\right)$

  $\cdot$

  $\frac{3}{2}$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.-$

  $5$

  $-$

  $18$

  $\left.+1\right)$

  $=$

  $4\cdot\left(\right.$

  $-22$

  $\left.\right)$

  $=$

  $-88$

  Achten Sie bitte darauf, dass in der dritten Zeile natürlich "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" gilt! Das Produkt $3\cdot\left(-4\right)\cdot\frac{3}{2}$ muss daher zuerst berechnet werden.
  
  
• Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer. Dafür wird es im Kapitel Bruchrechnung noch ein paar Beispiele geben.
  
  
• Und natürlich sollte es immer so viele öffnende Klammern wie schließende geben ...

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Proportional und Antiproportional
• Berechnung

2.4 Grundlagen - Dreisatz

Der Dreisatz, auch Verhältnisgleichung oder Schlussrechnung genannt, ist ein üblicherweise dreischrittiges Verfahren, mit dem aus drei gegebenen Größen eine vierte berechnet werden kann, wenn die Größen in einem bestimmten Verhältnis zueinanderstehen. Bereits Adam Ries beschrieb dieses Vorgehen im 16. Jahrhundert in seinen Rechenbüchlein.

Proportional und Antiproportional

Zunächst müssen wir zwei wichtige Formen von Verhältnissen klären.

Zwei Größen heißen proportional zueinander, wenn sie sich im gleichen Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Verdreifacht sich die eine Größe, verdreifacht sich auch die andere. Wird die eine Größe durch $5$ dividiert, wird auch die andere Größe durch $5$ dividiert. Und so weiter …
Merksätze: „Je mehr, desto mehr.“ oder „Je weniger, desto weniger.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Ursprungsgerade:

Zwei Größen heißen antiproportional (auch indirekt oder umgekehrt proportional) zueinander, wenn sie sich im umgekehrten Verhältnis ändern. Das heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Wird die eine Größe mit $3$ multipliziert, wird die andere durch $3$ dividiert. Wird die eine Größe durch $5$ dividiert, wird die andere mit $5$ multipliziert. Und so weiter …
Merksätze: „Je mehr, desto weniger.“ oder „Je weniger, desto mehr.“

Bei der grafischen Darstellung solcher Zuordnungen ergibt sich eine Hyperbel:

Berechnung

Ist ein Paar zusammengehörender Werte bekannt, kann über den Dreisatz ein zweites Paar berechnet werden, wenn dort nur ein Wert gegeben ist. Für die konkrete Berechnung schauen wir uns zwei Beispiele an.

Möchte man Eierkuchen für $3$ Personen backen, benötigt man $420\,g$ Mehl. Wie viel Mehl benötigt man für $8$ Personen?		Eine Tippgemeinschaft bestehend aus $5$ Personen hat im Lotto gewonnen. Jede/r von ihnen erhielt $55.800 \;\text{EUR}$. Wie viel Geld hätte jede/r gewonnen, wenn die Tippgemeinschaft aus $6$ Personen bestanden hätte?
Als erstes muss entschieden werden, ob eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung vorliegt.
Für doppelt so viele Personen werden doppelt so viele Eierkuchen, sprich doppelt so viel Mehl, benötigt. Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung.		Besteht die Tippgemeinschaft aus doppelt so vielen Personen, ist der Gewinnanteil für jede Person nur halb so groß. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung.
1. Schritt: Zunächst müssen die gegebenen Werte in eine Art Gleichung geschrieben werden. Praktischerweise sollte dabei die Größe, deren Wert gesucht ist, auf der rechten Seite stehen. Bitte achten Sie darauf, dass zwischen den Werten kein Gleichheitszeichen, sondern ein "entspricht"-Zeichen $\begin{array}{rcl}\widehat{=}\end{array}$ stehen muss. $3$ Personen sind sicher nicht das Gleiche wie $420\,g$ Mehl ...
2. Schritt: Bei beiden Varianten wird als Zwischenschritt die Entspricht-Gleichung so umgeformt, dass auf der linken Seite $1$ "Einheit" steht, was auch immer diese Einheit ist. Hier wird also berechnet, wieviel Mehl für "$1$ Person" nötig ist bzw. wieviel Geld "$1$ Person" bekommen würde. Dazu wird der Wert auf der linken Seite entsprechend multipliziert oder dividiert. Achtung 1: Beim Dreisatz wird nur multipliziert und dividiert, nie addiert oder subtrahiert! Achtung 2: Abhängig davon, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, unterscheiden sich die Vorgehensweisen! Bei einer proportionalen Zuordnung wird auf der rechten Seite exakt die gleiche Rechenoperation durchgeführt wie links. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist die Gegenoperation nötig, sprich: Wird auf der linken Seite multipliziert, muss rechts dividiert werden und umgekehrt.
3. Schritt: Wir formen weiter um, sodass sich in der dritten Zeile links der aus der Aufgabenstellung gegebene Wert ergibt. Auf der rechten Seite steht dann das Ergebnis. Achtung: Ebenso wie oben unterscheiden sich hier die Vorgehensweisen für proportionale und antiproportionale Zuordnungen.
Ergebnis: Möchte man Eierkuchen für $8$ Personen backen, benötigt man $1.120\,g$ Mehl.		Ergebnis: Würde die Tippgemeinschaft aus $6$ Personen bestehen, bekäme jede/r nur $46.500\;\text{EUR}$.

Eine Erkenntnis zum Abschluss: Die Einheiten verändern sich bei Dreisatzrechnungen nicht. Das führt insbesondere dazu, dass untereinander immer gleiche Einheiten stehen.

Worauf man achten muss

Es gibt natürlich auch Fragestellungen, bei denen die Größen weder proportional noch antiproportional zueinander sind.

Ein Beispiel: Zwei Musiker spielen das Lied „Happy Birthday“ in $25$ Sekunden. Wie lange brauchen vier Musiker? Natürlich hat die Anzahl der Musizierenden keinen Einfluss auf die Dauer – die Aufgabe klingt also nur nach Dreisatz … Man muss sich also immer vor der Dreisatzrechnung davon überzeugen, dass die Größen tatsächlich voneinander abhängig sind.

Auch das Eierkuchenbeispiel von oben ist durchaus problematisch: Wir sind stillschweigend davon ausgegangen, dass die Portionsgrößen alle gleich sind, sprich dass alle gleich viel essen. Dies muss aber nicht so sein: Stellen Sie sich vor, es kommen zwei kleine Kinder und sechs ausgehungerte Jugendliche zum Essen … Dann werden die Portionsgrößen sehr unterschiedlich sein. Nur zu prüfen, ob es sich um eine "Je mehr, desto mehr"- oder um eine "Je mehr, desto weniger"-Zuordnung handelt, ist also zu wenig. Es muss sichergestellt sein, dass jede Einheit gleich groß ist, gleich viel kostet etc. Insbesondere wenn viele Faktoren eine Größe beeinflussen, ist das häufig schwierig festzustellen.

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Das zweidimensionale Koordinatensystem
• Das dreidimensionale Koordinatensystem

2.5 Grundlagen - Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem ist ein geometrisches Schema, welches benutzt wird, um Punkte, Funktionsgraphen etc. eindeutig zu positionieren. In diesem Lernmodul werden nur Koordinatensysteme, bei denen die Achsen im rechten Winkel zueinanderstehen, verwendet. Man nennt sie auch kartesische Koordinatensysteme - nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes, der sich als einer der ersten intensiv mit ihnen beschäftigt hat und damit für ihre Verbreitung gesorgt hat.

Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem

Für zwei Dimensionen (sprich: für die Ebene) braucht man naheliegenderweise zwei Achsen. Die horizontale Achse nennen wir in einem solchen Fall Abszisse, die vertikale Achse Ordinate. Heißen die Variablen $x$ und $y$, sagt man statt Abszisse auch x-Achse und statt Ordinate auch y-Achse; bei anderen Variablenbezeichnungen entsprechend. Die Achsen sollten immer beschriftet werden. Wenn es sich anbietet, kann dazu der inhaltliche Zusammenhang einschließlich der entsprechenden Einheit verwendet werden, z. B. "Zeit in Stunden". Um die Darstellung im Koordinatensystem nicht zu verzerren, ist es meist hilfreich, auf beiden Achsen die gleiche Skaleneinteilung zu verwenden. Um das Koordinatensystem vollständig zu machen, bekommen die Achsen an ihrem positiven Ende einen kleinen Pfeil, der andeutet, dass auch größere Zahlenwerte betrachtet werden könnten.
Jeder Punkt in diesem Koordinatensystem hat eine eindeutige "Adresse", die aus zwei Koordinaten besteht: einer x-Koordinate und einer y-Koordinate. Man schreibt dafür $P \; (x \mid y)$. Wichtig dabei ist die Reihenfolge: Der erste Wert bezieht sich immer auf die x-Achse und gibt an, wie weit links oder rechts sich der Punkt befindet. Der zweite Wert bezieht sich immer auf die y-Achse und gibt an, wie weit oben oder unten sich der Punkt befindet. Formal gesehen ist ein Punkt also ein 2-Tupel oder Paar. Der Punkt $(0 \mid 0)$ heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung.
Punkte werden klassischerweise mit großen lateinischen Buchstaben, am liebsten mit $A$, $B$, $C$ und $D$ oder $P$, $Q$ und $R$, bezeichnet. Auch hier können Indizes verwendet werden. Für den Koordinatenursprung hat sich der Buchstabe $O$, vom lateinischen Wort origo für Ursprung, eingebürgert.

Schauen wir uns ein paar Punkte im Koordinatensystem (siehe Grafik rechts) an:

$P1 \; (1 \mid 2)$
$P2 \; (-3 \mid 8)$
$P3 \; (-6 \mid -4{,}5)$
$P4 \; (9 \mid -9)$

Das obere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 1. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte positiv.
Das obere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 2. Quadrant. Hier sind die x-Werte negativ und die y-Werte positiv.
Das untere linke Viertel des Koordinatensystems heißt 3. Quadrant. Hier sind sowohl x- als auch y-Werte negativ.
Das untere rechte Viertel des Koordinatensystems heißt 4. Quadrant. Hier sind die x-Werte positiv und die y-Werte negativ.

Bitte wundern Sie sich nicht über die Reihenfolge der Nummerierung. Drehungen entgegengesetzt des Uhrzeigersinns sind in der Mathematik die Regel und werden auch als "mathematisch positiv" bezeichnet. Warum man oben rechts angefangen hat zu zählen, ist vermutlich klar ;-).

Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem

Das Ganze gibt es (natürlich) auch mit drei Achsen, um mathematische Objekte im Raum beschreiben zu können. Wieder stehen (zumindest in diesem Lernmodul) diese Achsen senkrecht zueinander und schneiden sich im Punkt $O \; (0\mid 0 \mid 0)$. Sie können sich das wie die Ecke eines "normalen" Zimmers (ohne Dachschräge und so) vorstellen. In jeder Kante (Wand-Wand, Boden-Wand, Boden-andere Wand) liegt dann eine Achse.

Wenn wir bei den Bezeichnungen von oben bleiben, kommt zur x- und y-Achse nun die z-Achse hinzu. Gelegentlich werden sie auch $x_1$-, $x_2$- und $x_3$-Achse genannt oder die Bezeichnungen an den inhaltlichen Zusammenhang angepasst, aber das ändert logischerweise nichts an den Grundsätzen. Üblicherweise nutzt man die z-Achse, um die Höhe zu beschreiben, und die x- und y-Achse für die Grundfläche, wobei die x-Achse nach vorne und die y-Achse zur Seite zeigt. Dadurch entsteht ein so genanntes Rechtssystem oder auch rechtshändiges Koordinatensystem. D. h., wenn man den Daumen der rechten Hand in Richtung der x-Achse zeigen lässt, zeigen der Zeigefinger in Richtung der y-Achse und der Mittelfinger in Richtung der z-Achse.

Wichtig zu beachten ist, dass eine zweidimensionale Darstellung eines dreidimensionalen Objektes immer eine Verzerrung bewirkt. Im klassischen Schrägbild zeichnet man die x-Achse in einem Winkel von 135° zu den beiden anderen Achsen ein (schräg nach vorne), wobei die Einheiten dieser Achse um den Faktor $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ verkürzt werden. Meist beschränkt man sich auf die positiven Abschnitte der Achsen, weil das Gesamtbild sonst zu unübersichtlich würde.


Auch hier hat jeder Punkt anhand der Koordinaten eine "Adresse". Diese muss natürlich aus drei Komponenten bestehen - für jede Achsenrichtung eine. Um den Punkt $P \; (x\mid y \mid z)$ in das Koordinatensystem einzutragen, verfährt man folgendermaßen:

1. $x$ Einheiten parallel zur x-Achse abtragen (also nach vorne oder - wenn $x$ negativ ist - nach hinten)
2. von dort $y$ Einheiten parallel zur y-Achse abtragen (also nach rechts oder - wenn $y$ negativ ist - nach links)
3. von dort $z$ Einheiten parallel zur z-Achse abtragen (also nach oben oder - wenn $z$ negativ ist - nach unten)

Ein Beispiel: In dem Koordinatensystem ist der Punkt $P \; (4\mid 5 \mid 1)$ inklusive Hilfslinien eingezeichnet.

In dieser Grafik sieht man allerdings auch, welches Problem bei Punkten in einem solchen dreidimensionalen Koordinatensystem auftritt: Sie lassen sich zwar problemlos einzeichnen. Das Ablesen eines gegebenen Punktes liefert jedoch keine eindeutigen Koordinaten. Der eingezeichnete Punkt könnte beispielsweise auch die Koordinaten $(2\mid 4 \mid 0)$ oder $(5\mid 5{,}5 \mid 1{,}5)$ haben. Allein aus der Darstellung kann man den Unterschied nicht erkennen. Zur Veranschaulichung von Funktionsgebirgen (das sind Graphen von Funktionen mit mehreren Variablen) und Vektoren lohnt sich das Zeichnen solcher Koordinatensysteme trotzdem.

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe
• 7. Aufgabe
• 8. Aufgabe
• 9. Aufgabe

3.1 Bruchrechnung - Aufgaben

Alle diese Aufgaben sollten Sie ohne Taschenrechner berechnen. Sinn der Übung ist ja nicht, dass Sie Ihren Taschenrechner bedienen lernen, sondern dass Sie den Umgang mit Brüchen trainieren. Spätestens in Kapitel 5, in dem Variablen ins Spiel kommen, hilft Ihnen der Taschenrechner ohnehin nur noch eingeschränkt weiter ... Wenn man dann den Umgang mit Brüchen nie geübt hat, gehen auch Ableitungen und Integrale leicht schief - selbst wenn man die wesentlich komplizierteren Ableitungs- und Integrationsregeln eigentlich kann.

1. Aufgabe

Erweitern Sie die folgenden Brüche mit der jeweils angegebenen Zahl!

2. Aufgabe

Erweitern Sie die folgenden Brüche so, dass sie gleichnamig werden.

3. Aufgabe

Kürzen Sie die folgenden Brüche so weit wie möglich!

4. Aufgabe

Wandeln Sie die folgenden unechten Brüche in gemischte Zahlen um und umgekehrt. Kürzen Sie die entstehenden Brüche, wenn möglich.

5. Aufgabe

Wandeln Sie folgende Brüche in Dezimalzahlen um (wenn nötig, gerundet auf 4 Stellen nach dem Komma) und umgekehrt.

6. Aufgabe

Berechnen Sie folgende Aufgaben.

7. Aufgabe

8. Aufgabe

Berechnen Sie so schnell wie möglich und ohne Hilfsmittel!
Wie viel ist die Hälfte von zwei Drittel von drei Viertel von vier Fünftel von fünf Sechstel von sechs Siebtel von sieben Achtel von acht Neuntel von neun Zehntel von $10$?

9. Aufgabe

Gesucht ist für jedes Sternchen eine Ziffer (also $0$, $1$, $2$, ... $9$) oder - falls sich keine Ziffer finden lässt - eine möglichst kleine natürliche Zahl, sodass die Rechnungen stimmen. Verschiedene Sternchen innerhalb einer Aufgabe können dabei durchaus verschiedene Ziffern / Zahlen bedeuten. Begründen Sie Ihre Ergebnisse!

Bemerkung: Diese Aufgaben sind ein bisschen tricky, führen aber gleichzeitig sehr schön in mathematische Denkweisen und Argumentationen ein - und benötigen dabei nicht mehr als die Grundrechenarten und Bruchrechnung.

1) $\dfrac{*}{11}-\dfrac{28}{*} \, = \, 0$

2) $\dfrac{*}{3}\cdot \dfrac{*}{8} \, = \, \dfrac{35}{*}$

3) $\dfrac{5}{*}+\dfrac{*}{5} \, = \, 4\dfrac{9}{10}$

4) $\dfrac{1}{5}-\dfrac{*}{9} \, = \, -\dfrac{1}{*}$

5) $\dfrac{*}{4}+\dfrac{13}{*} \, = \, \dfrac{0}{*}$

6) $\dfrac{5}{*1} : \dfrac{2}{*} \, = \, \dfrac{5}{2*}$

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Was ist ein Bruch?
• Welche Arten von Brüchen gibt es?
• Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"
• Rechenregeln für Brüche
• Brüche und Klammern
• Dezimalzahlen

3.2 Bruchrechnung - Erklärungen

Bei den Zahlenbereichen hatten wir schon gesehen, dass es nicht nur ganze Zahlen gibt, sondern auch gebrochene. In diesem Kapitel schauen wir uns diese Zahlen und den Umgang mit ihnen etwas genauer an.

Was ist ein Bruch?

Bei einem Bruch $\dfrac {p}{q}$ heißt $p$ Zähler und $q$ Nenner.
Der Bruchstrich steht dabei für eine Division. Auch wenn für $p$ und $q$ grundsätzlich beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden dürfen, ist es üblich, in Brüchen ganze Zahlen zu verwenden, also $p,q \in \mathbb{Z}$. Immer gilt, dass der Nenner $q \neq 0$ sein muss, da durch $0$ nicht geteilt werden darf!

Aufgrund der Rechenregeln für die Division gilt:

• $\dfrac{p}{p}=1$ für alle Zahlen $p \in \mathbb{R}\backslash_{ \{0\} }$
  
  
• $\dfrac{-3}{4}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$
  
  
• $\dfrac{3}{4}=\dfrac{+3}{+4}=\dfrac{-3}{-4}=+\dfrac{3}{4}$
  
  

Zur Schreibweise: Es ist egal, ob man $4 \cdot \dfrac{3}{10}$ oder $\dfrac{3}{10} \cdot 4$ oder $\dfrac{4 \cdot 3}{10}$ schreibt. Allerdings ist bei allen drei Schreibweisen der "Malpunkt" zwingend erforderlich, da $4 \dfrac{3}{10}$ als $4 + \dfrac{3}{10}$ verstanden wird. Bei $\dfrac{4 \cdot 3}{10}$ erklärt es sich eigentlich von selbst, warum der "Malpunkt" hier nicht einfach weggelassen werden darf ...

Bemerkung: Man kann Bruchstriche auch schräg schreiben. Das spart Platz und ist manchmal übersichtlicher.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Man unterscheidet folgende Arten von Brüchen:

Echte und unechte Brüche

Bei echten Brüchen ist der Betrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist kleiner als $1$, z. B. $\dfrac {3}{8}=0{,}375$ oder $-\dfrac {4}{5}=-0{,}8$.

Bei unechten Brüchen ist der Betrag des Zählers größer als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist größer als $1$, z. B. $\dfrac{11}{8}=1{,}375$ oder $-\dfrac{17}{5}=-3{,}4$.

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, z. B. $\dfrac {13}{6}=\dfrac{12}{6}+\dfrac{1}{6}=2+ \dfrac{1}{6} = 2 \dfrac{1}{6}$ oder $-\dfrac{13}{6}=-\left(2+\dfrac{1}{6}\right)$.

Ganz wichtig: Bitte beachten Sie, dass die ganze Zahl und der Bruch addiert werden, auch wenn das Pluszeichen weggelassen wird! Normalerweise werden in der Mathematik ausschließlich Malzeichen nicht geschrieben, wenn die Formel o. Ä. trotz des Weglassens eindeutig bleibt. Dies hier ist die große Ausnahme. Da das in vielen Fällen zu Verwirrung führt, sollte diese Schreibweise nur verwendet werden, wenn es dafür wichtige Gründe gibt! Und davon gibt es nicht sehr viele ...
Im Übrigen werden gemischte Zahlen eigentlich gar nicht benötigt. Echte und unechte Brüche reichen vollkommen aus, um alle Brüche abzubilden. Als Alternative gibt es auch noch die Dezimalzahlen. Statt einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, ist es üblicherweise besser, ihn einfach so stehen zu lassen.

Gleichnamige und ungleichnamige Brüche

Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Der entsprechende Nenner heißt Hauptnenner der Brüche. Z. B. sind die Brüche $\dfrac{1} {5}$ und $\dfrac{4} {5}$ gleichnamig. Ihr Hauptnenner ist $5$.

Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben, heißen ungleichnamig, z. B. sind die Brüche $\dfrac{2} {3}$ und $\dfrac{2} {7}$ ungleichnamig.

Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"

Für das Erweitern und Kürzen, worum es ein Stück weiter unten gehen wird, sind die Konzepte vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und vom größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ (also $a, b \in \mathbb {N}$) nützlich:

Definition: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $a$ und $b$ ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von $a$ als auch ein Vielfaches von $b$ ist, z. B. ist das kgV von $3$ und $5$ gleich $15$.

Die Bestimmung des kgV hilft u. a., wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen, z. B. $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24}$. Natürlich wäre auch $48=6 \cdot 8$ ein Hauptnenner von $\dfrac {1}{6}$ und $\dfrac {1}{8}$. Allerdings wären dann die Zähler und Nenner jeweils doppelt so groß und üblicherweise rechnet es sich mit kleineren Zahlen leichter.

Definition: Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist die größte natürliche Zahl, durch die sich sowohl $a$ als auch $b$ ohne Rest teilen lässt, z. B. ist der ggT von $7$ und $21$ gleich $7$.

Zahlen, deren ggT gleich $1$ ist, heißen teilerfremd.

Rechenregeln für Brüche

Erweitern und Kürzen

Zwei Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. $\dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}=\dfrac{6}{16}$.

Zwei Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. $\dfrac{4}{12}=\dfrac{4 : 4} {12 : 4}=\dfrac{1}{3}$.
Wenn ein Bruch gekürzt werden soll, hilft die Bestimmung des ggT, z. B. ist $4$ der ggT von $4$ und $12$.

Es versteht sich (hoffentlich) von selbst, dass $0$ keine geeignete Zahl zum Erweitern oder Kürzen ist, weil man ja nun mal durch $0$ nicht teilen darf ...

Achtung: Aus Summen darf man nicht kürzen! Summen gehören ja schließlich zur Strichrechnung und das Kürzen zur Punktrechnung.

Noch ein paar Worte zum Kürzen aus Summen:
Auch wenn man es nicht auf den ersten Blick sieht, handelt es sich hierbei um eine Kombination von Addition/Subtraktion und Division, über die wir uns im Kapitel Rechengesetze schon Gedanken gemacht hatten. Wenn im Zähler oder Nenner eine Summe/Differenz steht, entsteht genau die Situation, in der wir auf die Rangfolge der Rechenoperationen achten müssen: Der Bruchstrich steht ja für eine Division und wirkt somit wie eine Klammer. Dazu kommt, dass auch das Kürzen eine Art von Dividieren ist. All das verträgt sich nicht mit der Strichrechnung ...
Käme man bei $\frac{4+11}{4}$ auf die Idee, die $4$ im Zähler mit der $4$ im Nenner zu „kürzen“, erhielte man als Ergebnis $11$.
Richtig ist aber $\frac{4+11}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$

Addition und Subtraktion

Zwei gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält, z. B. $\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{4+3}{10}=\dfrac{7}{10}$.

Zwei ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann addiert, z. B. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}+\dfrac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}$.

Zwei gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält, z. B. $\dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7-3}{10}=\dfrac{4}{10}$.

Zwei ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann subtrahiert, z. B. $\dfrac{4} {5}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12}{15}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12-1}{15}= \dfrac{11}{15}$.

Ganz wichtig: Es gibt keine Rechenregel, die besagt, dass die Nenner irgendwie addiert bzw. subtrahiert werden müssen. Die Addition und Subtraktion von Brüchen funktioniert wirklich nur auf dem Weg, der hier vorgestellt wurde. Das gilt auch, wenn die Brüche Variablen enthalten, wie das in späteren Kapiteln der Fall sein wird. Dann mag es manchmal etwas umständlich sein, die Brüche gleichnamig zu machen - es muss aber sein!
Was passiert, wenn man die Brüche nicht gleichnamig macht, sehen sie an folgendem Vergleich:
Richtig ist: $\frac{1}{2} +\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} > 1$
Addiert man - fälschlicherweise - Zähler und Nenner von $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ separat, erhält man $\frac{4}{6} < 1$. Da kann also was nicht stimmen…

Multiplikation und Division

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, z. B. $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 7}=\dfrac{3} {28}$.

Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert, z. B. $\dfrac{1}{6} : \dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{11}{2}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 2}=\dfrac{11}{12}$.

Bemerkung zur Multiplikation und Division: Nützlich ist, immer vor dem Multiplizieren zu überprüfen, ob die Brüche gegeneinander gekürzt werden können, da dadurch die Zahlen kleiner werden. Je früher in einer Rechnung gekürzt wird, desto handlicher bleibt die Aufgabe.
Beispiel: Multipliziert man bei $\dfrac{33}{14} \cdot \dfrac{280}{15}$ einfach die beiden Zähler und die beiden Nenner, erhält man $\dfrac{9{.}240}{210}$, wo nicht offensichtlich ist, durch welche Zahl gekürzt werden kann. Kürzt man vor dem Multiplizieren, sieht die Rechnung so aus: $\dfrac{33}{14} \cdot \dfrac{280}{15} = \dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{20}{5} = 11 \cdot 4 = 44$
Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $15$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ sowie die $14$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $280$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $14$ gekürzt.
Damit geht die gesamte Rechnung problemlos im Kopf ...

Bemerkung allgemein: Ist das Ergebnis einer Bruchrechnungsaufgabe ein Bruch, sollte dieser so weit wie möglich gekürzt werden. Abhängig von der Aufgabenstellung (z. B. wenn die Größenordnung von Bedeutung ist) kann es sinnvoll sein, das Ergebnis als Dezimalzahl oder in Ausnahmefällen als gemischte Zahl darzustellen. In anderen Situationen, z. B. beim Multiplizieren oder beim Abschätzen von Wurzeln, eignen sich Brüche wesentlich besser.

Brüche und Klammern

Im vorherigen Kapitel hieß es schon, dass ein Bruchstrich wie eine Klammer wirkt. Eine Klammer muss immer dann gesetzt werden, wenn der Bruchstrich durch : ersetzt wird bzw. wenn mehrere Brüche auf einem Bruchstrich zusammengefasst werden! Hier nun die versprochenen Beispiele:

• $\dfrac{x+10}{3x-17}=(x+10) : (3x-17)$
  Diese Schreibweise ist z. B. für die Polynomdivision wichtig.
  
  
• $\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{5\cdot (x+10)}{4\cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50}{12x-68}$
  Hier müssen im zweiten Bruch Klammern gesetzt werden, weil die Regel für die Multiplikation von Brüchen ja lautet "Zähler mal Zähler" und "Nenner mal Nenner". Ohne Klammern hätte man $5\cdot x+10$ und $4\cdot 3x -17$ , würde also nur einen Teil vom zweiten Zähler/Nenner mit dem Zähler/Nenner vom ersten Bruch multiplizieren.
  
  
• $\dfrac{5-8x}{7x+4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{(5-8x) \cdot (x+10)}{(7x+4) \cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50-8x\cdot x-80x}{21x\cdot x-119x+12x-68}$

Hier ist es ebenso. Zusätzlich gelten natürlich auch bei Brüchen die "ganz normalen" Rechengesetze, wie Distributiv-, Kommutativ- und Assoziativgesetz. Anders gesagt: Ausmultiplizieren funktioniert im Zähler und Nenner genauso wie ohne Bruch drumherum ...

Zum Abschluss noch ein Beispiel, nur mit Zahlen, damit leichter zu sehen ist, warum das mit den Klammern auch wirklich wichtig ist:

Dezimalzahlen

Auch bei den Dezimalzahlen, manchmal "Kommazahlen" genannt, unterscheidet man verschiedene "Sorten":

• Endliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen, z. B. $1{,}25$ oder $10 {,}123456789987654321$
  
  
• Unendliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen
  Hier unterscheidet man weiter:
  • Periodische Dezimalzahlen: Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich innerhalb der unendlichen Folge von Nachkommastellen ein bestimmtes Muster immer wieder, z. B. $0{,}33333...$ oder $0{,}142857\,142857...$ oder $0{,} 756565656...$. Dies macht man kenntlich, indem man nur das erste Auftreten dieser Periode notiert - mit einem horizontalen Strich darüber, z. B. $0{,}33333...=0{,}\overline{3}$ oder $0{,}142857142857...=0{,}\overline {142857}$ oder $0{,}756565656...=0{,}7\overline{56}$ . Dann benötigt man keine Pünktchen mehr dahinter. Sie sollen ja nur andeuten, dass die Zahl unendlich weitergeht und nicht nach den angegeben Nachkommastellen aufhört. Der (mathematische) Unterschied zwischen $0{,}33333$ und $0{,}33333...$ ist zwar nicht groß, aber er ist da ...
  • Nicht periodische Dezimalzahlen: Nicht periodische Dezimalzahlen haben kein solches Muster in ihrer unendlichen Folge von Nachkommastellen, z. B. $0{,}1010010001...$ oder $\sqrt{2}=1{,}414213562...$ oder $\pi=3{,} 141592653...$ (die beiden letzten Beispiele werden Sie in den Kapiteln Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bzw. Geometrie kennen lernen). Wichtig ist auch hier, dass die drei kleinen Pünktchen am Ende nicht vergessen werden. Benötigt man nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen (was ja meistens der Fall ist), muss entsprechend gerundet werden.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen: Dezimalzahlen erhält man, indem man den Zähler eines Bruches durch seinen Nenner teilt. Hier ein paar Beispiele:

Wie Sie sehen, entstehen auf diese Art und Weise endliche oder periodische Dezimalzahlen, aber keine nicht periodischen. 

Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche: Natürlich kann man endliche oder periodische Dezimalzahlen auch in Brüche "rück-umformen" ... Bei endlichen Dezimalzahlen nimmt man dafür die Nachkommastelle(n) der Dezimalzahl als Zähler und ergänzt im Nenner eine $10$, wenn der Zähler eine Stelle hat, eine $100$, wenn der Zähler zwei Stellen hat, eine $1.000$, wenn der Zähler drei Stellen hat, und so weiter ... Bei periodischen Dezimalzahlen funktioniert es genauso, nur dass im Nenner eine $9$, eine $99$, eine $999$ und so weiter ... stehen muss. Anschließend kann man häufig noch kürzen.
Auch hier ein paar Beispiele:

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe
• Lösung zur 7. Aufgabe
• Lösung zur 8. Aufgabe
• Lösung zur 9. Aufgabe

3.3 Bruchrechnung - Lösungen

1. Aufgabe

2. Aufgabe

1) $\dfrac{10}{13}=\dfrac{10 \cdot 3}{13 \cdot 3}=\dfrac{30}{39}$   und   $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13}= \dfrac{26}{39}$

2) $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5}=\dfrac{40}{45}$   und   $\dfrac{4}{15}= \dfrac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3}=\dfrac{12}{45}$

3) $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\dfrac{3} {24}$   und   $\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4}=\dfrac{20}{24}$

4) $\dfrac{99}{12}=\dfrac{99 \cdot 3}{12 \cdot 3}=\dfrac{297}{36}$   und   $\dfrac{5}{18}=\dfrac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2}=\dfrac{10}{36}$

5) $\dfrac{11}{20}=\dfrac{11 \cdot 19}{20 \cdot 19}=\dfrac{209}{380}$   und   $\dfrac{2}{19}=\dfrac{2 \cdot 20}{19 \cdot 20}=\dfrac{40}{380}$

6) $\dfrac{20}{7}=\dfrac{20 \cdot 50}{7 \cdot 50}=\dfrac{1000}{350}$   und   $\dfrac{7}{50}=\dfrac{7 \cdot 7}{50 \cdot 7}= \dfrac{49}{350}$

7) $\dfrac {17}{3}=\dfrac{17 \cdot 3}{3 \cdot 3}=\dfrac{51}{9}$   und   $\dfrac{10}{9}$

8) $\dfrac {3}{11}=\dfrac{3 \cdot 6}{11 \cdot 6}=\dfrac{18}{66}$   und   $\dfrac {1}{6}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11}=\dfrac{11}{66}$

9)  $\dfrac {32}{27}=\dfrac{32 \cdot 2}{27 \cdot 2}=\dfrac{64}{54}$   und   $\dfrac {3}{2}=\dfrac{3 \cdot 27}{2 \cdot 27}=\dfrac{81}{54}$ 

10) $\dfrac{3}{100}$   und   $\dfrac{7}{4}=\dfrac{7 \cdot 25}{4 \cdot 25}=\dfrac{175}{100}$

11) $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10}=\dfrac{10}{20}$   und   $\dfrac{1} {20}$ und $\dfrac{3}{10}=\dfrac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2}=\dfrac{6}{20}$

12) $\dfrac {1}{3}=\dfrac{1 \cdot 220}{3 \cdot 220}=\dfrac{220}{660}$   und   $\dfrac{7}{20}=\dfrac{7 \cdot 33}{20 \cdot 33}=\dfrac{231}{660}$ und $\dfrac {2}{11}=\dfrac{2 \cdot 60}{11 \cdot 60}=\dfrac{120}{660}$

13) $\dfrac {7}{4}=\dfrac{7 \cdot 5}{4 \cdot 5}=\dfrac{35}{20}$   und   $\dfrac{1}{20}$ und $\dfrac {132}{5}=\dfrac{132 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\dfrac{528}{20}$

14) $\dfrac {3}{70}=\dfrac{3 \cdot 6}{70 \cdot 6}=\dfrac{18}{420}$   und   $\dfrac{201}{30}=\dfrac{201 \cdot 14}{30 \cdot 14}=\dfrac{2814}{420}$ und $\dfrac {1}{14}=\dfrac{1 \cdot 30}{14 \cdot 30}=\dfrac{30}{420}$

15) $\dfrac {5}{21}=\dfrac{5 \cdot 4}{21 \cdot 4}=\dfrac{20}{84}$   und   $\dfrac {1}{12}=\dfrac{1 \cdot 7}{12 \cdot 7}=\dfrac{7}{84}$   und   $\dfrac {4}{3}=\dfrac{4 \cdot 28}{3 \cdot 28}=\dfrac{112}{84}$   und   $\dfrac {2}{21}=\dfrac{2 \cdot 4}{21 \cdot 4}=\dfrac{8}{84}$

16) $\dfrac {3}{4}=\dfrac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12}=\dfrac{36}{48}$   und   $\dfrac {1}{8}=\dfrac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6}=\dfrac{6}{48}$   und   $\dfrac {13}{16}=\dfrac{13 \cdot 3}{16 \cdot 3}=\dfrac{39}{48}$   und   $\dfrac {5}{24}=\dfrac{5 \cdot 2}{24 \cdot 2}=\dfrac{10}{48}$

17) $\dfrac {3}{5}=\dfrac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14}=\dfrac{42}{70}$   und   $\dfrac {20}{7}=\dfrac{20 \cdot 10}{7 \cdot 10}=\dfrac{200}{70}$   und   $\dfrac {13}{2}=\dfrac{13 \cdot 35}{2 \cdot 35}=\dfrac{455}{70}$   und   $\dfrac {54}{70}$

18) $\dfrac {19}{2}=\dfrac{19 \cdot 180}{2 \cdot 180}=\dfrac{3420}{360}$   und   $\dfrac {13}{6}=\dfrac{13 \cdot 60}{6 \cdot 60}=\dfrac{780}{360}$   und   $\dfrac {37}{120}=\dfrac{37 \cdot 3}{120 \cdot 3}=\dfrac{111}{360}$   und   $\dfrac {91}{180}=\dfrac{91 \cdot 2}{180 \cdot 2}=\dfrac{182}{360}$

19) $\dfrac {1}{7}=\dfrac{1 \cdot 72}{7 \cdot 72}=\dfrac{72}{504}$   und   $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8 \cdot 56}{9 \cdot 56}=\dfrac{448}{504}$   und   $\dfrac{33} {14}=\dfrac{33 \cdot 36}{14 \cdot 36}=\dfrac{1188}{504}$   und   $\dfrac{10}{63}=\dfrac{10 \cdot 8}{63 \cdot 8}=\dfrac{80}{504}$   und   $\dfrac {25}{24}=\dfrac{25 \cdot 21}{24 \cdot 21}=\dfrac{525}{504}$

20) $\dfrac {1}{2}=\dfrac{1 \cdot 90}{2 \cdot 90}=\dfrac{90}{180}$   und   $\dfrac{1} {3}=\dfrac{1 \cdot 60}{3 \cdot 60}=\dfrac{60}{180}$   und   $\dfrac{1} {4}=\dfrac{1 \cdot 45}{4 \cdot 45}=\dfrac{45}{180}$   und   $\dfrac{1} {5}=\dfrac{1 \cdot 36}{5 \cdot 36}=\dfrac{36}{180}$   und   $\dfrac {1} {6}=\dfrac{1 \cdot 30}{6 \cdot 30}=\dfrac{30}{180}$   und   $\dfrac{1} {15}=\dfrac{1 \cdot 12}{15 \cdot 12}=\dfrac{12} {180}$   und   $\dfrac{1} {36}=\dfrac{1 \cdot 5}{36 \cdot 5}=\dfrac{5}{180}$

3. Aufgabe

4. Aufgabe

5. Aufgabe

6. Aufgabe

Wichtig: Bei allen Multiplikations- und Divisionsaufgaben, in denen gemischte Zahlen enthalten sind, muss die gemischte Zahl vor dem Multiplizieren bzw. Dividieren in einen unechten Bruch umgewandelt werden, sonst kommen anschließend Punkt- und Strichrechnung durcheinander ...
Zur Wiederholung: Dies ist die einzige Stelle in der Mathematik, bei der nicht ein Malzeichen, sondern ein Pluszeichen weggelassen wird. Steht in einer Aufgabe z. B. die gemischte Zahl $1\dfrac{1}{2}$, ist damit die Summe $1+\dfrac{1} {2}$ gemeint. Diese Schreibweise verkompliziert Rechnungen also eher bzw. macht sie fehleranfälliger. Sie wird in diesem Lernmodul auch nur eingeführt, weil z. B. einige Taschenrechner sie verwenden und es deswegen nötig ist zu verstehen, wie sie gelesen werden muss.

1) $\dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{3}{2} \, = \, \dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} \, = \, \dfrac{3}{4} \, + \, \dfrac{6}{4} \, = \, \dfrac{9}{4} \, = \, 2\dfrac{1}{4}$ 

2) ${ 1\dfrac{5}{6}+2\dfrac{7}{8}=\dfrac{6}{6}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{16}{8}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{11}{6}+\dfrac{23}{8}=\dfrac{11 \cdot 4}{6 \cdot 4}+\dfrac{23 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\dfrac{44}{24}+\dfrac{69}{24}=\dfrac{113}{24}=4\dfrac{17}{24} }$ 

3) $\dfrac{3}{2} \, + \, 12 \, = \, \dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{24}{2} \, = \, \dfrac{27}{2}\, = \, 13 \dfrac{1} {2}$

4) $\dfrac{9}{11} \, + \, \dfrac{3}{4} \, = \, \dfrac{9\cdot 4}{11\cdot 4} \, + \, \dfrac{3\cdot 11}{4\cdot 11} \, = \, \dfrac{36}{44} \, + \, \dfrac{33}{44} \, = \, \dfrac{69}{44} \, = \, 1\dfrac{25}{44}$

5) $\dfrac{1}{7} \, - \, \dfrac{3}{5} \, = \, \dfrac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} \, - \, \dfrac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} \, = \, \dfrac{5}{35} \, - \, \dfrac{21}{35} \, = \, - \dfrac{16}{35}$

6) $11 \, - \, \dfrac{13}{3} \, = \, \dfrac{33}{3} \, - \, \dfrac{13}{3} \, = \, \dfrac{20}{3} \, = \, 6\dfrac{2}{3}$

7) ${4 \dfrac{2}{9} \, - \, 1 \dfrac{1}{3} \, = \, \dfrac{36}{9} \, + \, \dfrac{2}{9} \, - \, \left( \dfrac{3}{3} \, + \, \dfrac{1}{3} \right) \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{4}{3} \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} \, = \, \dfrac{38}{9} \, - \, \dfrac{12}{9} \, = \, \dfrac{26}{9} \, = \, 2 \dfrac{8}{9}}$

8) $-\dfrac{20}{7} \, - \, \dfrac{7}{10} \, = \, -\dfrac{20\cdot 10}{7\cdot 10} \, -\, \dfrac{7\cdot 7}{10\cdot 7} \, =\, -\dfrac{200}{70} \, - \, \dfrac{49}{70} \, = \, -\dfrac{249}{70} \, = \, -3\dfrac{39}{70}$

9) $\dfrac{42}{5} \, \cdot \, \dfrac{10}{63} \, = \, \dfrac{2}{1} \, \cdot \, \dfrac{2}{3} \, = \, \dfrac{4}{3} \, = \, 1\dfrac{1}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $42$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $63$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $21$ sowie die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt. Das Kürzen kann natürlich auch schrittweise (z. B. erst durch $7$ und dann durch $3$ - kleines Einmaleins!) erfolgen, wenn man nicht sofort sieht, dass die $21$ sowohl in der $42$ als auch in der $63$ enthalten ist.

10) $\dfrac{7}{9} \, \cdot \, 6 \, = \, \dfrac{7}{9} \, \cdot \, \dfrac{6}{1} \, = \, \dfrac{7}{3} \, \cdot \, \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{14}{3} \, = \, 4 \dfrac{2}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $6$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

11) $34 \, \cdot \, \dfrac{1}{2} \, = \, \dfrac{34}{2} \, = \, 17$

12) $2\dfrac{1}{4} \, \cdot \, \dfrac{2}{7} \, = \, \dfrac{9}{4} \, \cdot \, \dfrac{2}{7} \, = \, \dfrac{9}{2} \, \cdot \, \dfrac{1}{7} \, = \, \dfrac{9}{14}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $2$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

13) $\dfrac{3}{8} \, : \, \dfrac{5}{4} \, = \, \dfrac{3}{8} \, \cdot \, \dfrac{4}{5} \, = \, \dfrac{3}{2} \, \cdot \, \dfrac{1}{5} \, = \, \dfrac{3}{10}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $4$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

14) $\dfrac{5}{6} \, : \, \dfrac{25}{12} \, = \, \dfrac{5}{6} \, \cdot \, \dfrac{12}{25} \, = \, \dfrac{1}{1} \, \cdot \dfrac{2}{5} \, = \, \dfrac {2}{5}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $25$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ sowie die $6$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $12$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $6$ gekürzt.

15) $\dfrac{8}{9} : \dfrac{4}{27} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{27}{4} = 6$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $4$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $4$ sowie die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $27$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

16) ${4\dfrac{2}{5} \, : \, 3\dfrac{1}{10} \, = \, \left(\dfrac{20}{5}\, +\, \dfrac{2}{5}\right) \, : \, \left(\dfrac{30}{10}\, +\, \dfrac{1}{10}\right) \, =\, \dfrac{22}{5} \, : \, \dfrac{31}{10} \, = \, \dfrac{22}{5} \, \cdot \, \dfrac{10}{31} \, = \, \dfrac{44}{31} = 1\dfrac {13}{31}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

17) $4 \, - \, \dfrac{2}{3} \, \cdot \, \dfrac{5}{8} \, = \, 4 \, - \, \dfrac{1}{3} \, \cdot \, \dfrac{5}{4} \, = \,\dfrac{16}{4} \, - \, \dfrac{5}{12} \, = \, \dfrac{48}{12} \, - \, \dfrac{5}{12} \, = \, \dfrac{43}{12} \, = \, 3\dfrac{7}{12}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $8$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

18) ${ \dfrac{1}{2} \, + \, 5 \, : \, \dfrac{10}{13} \, + \, 2\dfrac{1}{8} \, = \, \dfrac{1}{2} \, + \, 5 \, \cdot \, \dfrac{13}{10} \, + \, \dfrac{16}{8} \, + \, \dfrac{1}{8} \, = \, \dfrac{1}{2} \, + \, \dfrac{13}{2} \, + \, \dfrac{17}{8} \, = \, \dfrac{4}{8} \, + \, \dfrac{52}{8} \, + \, \dfrac{17}{8} \, = \, \dfrac{73}{8} \, = \, 9\dfrac{1}{8} }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (erster Faktor) mit der $10$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

19) ${\dfrac{13}{7} \, : \, \left(-\dfrac{26}{21}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, \dfrac{13}{7} \, \cdot \, \left(-\dfrac{21}{26}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, \dfrac{1}{1} \, \cdot \, \left(-\dfrac{3}{2}\right) \, \cdot \, \dfrac{8}{27} \, = \, 1 \, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{1}\right) \, \cdot \, \dfrac{4}{9} \, = \, -\dfrac{4}{9} }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier der Übersichtlichkeit wegen in zwei Schritten gekürzt:
1. Es wurden die $13$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $26$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $13$ sowie die $7$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $21$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $7$ gekürzt.
2. Es wurden die $3$ (Zähler vom gekürzten zweiten Faktor) mit der $27$ (Nenner vom dritten Faktor) durch $3$ sowie die $2$ (Nenner vom gekürzten zweiten Faktor) mit der $8$ (Zähler vom dritten Faktor) durch $2$ gekürzt.

20) ${-\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{15}{4} \, \cdot \, \left(-\dfrac{16}{5}\right) \, - \, \dfrac{9}{6} \, : \, \left(-3\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{15}{4} \, \cdot \, \left(-\dfrac{16}{5}\right) \, - \, \dfrac{9}{6} \, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{3}\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \, + \, \dfrac{3}{1} \, \cdot \, \left(-\dfrac{4}{1}\right) -\dfrac{3}{6}\, \cdot \, \left(-\dfrac{1}{1}\right) \, = \, -\dfrac{3}{2} \,- \, 12 \, + \, \dfrac{1}{2} \, = \, -\dfrac{26}{2} \, = \, -13 }$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier in beiden Produkten gekürzt:
1. Produkt: Es wurden die $15$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $5$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ sowie die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $16$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.
2. Produkt: Es wurden die $9$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $3$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

7. Aufgabe

1) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{3}{2}}{\frac{7}{3}} = \dfrac{3}{2} : \dfrac{7}{3} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{14}$ 

2) $\genfrac{}{}{1pt}{0} {\frac{-5}{-3}}{-\frac{25}{4}} = \dfrac{-5}{-3} : \left( -\dfrac{25}{4} \right) = \dfrac{5}{3} \cdot \left( -\dfrac{4}{25} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \left( -\dfrac{4}{5} \right) = - \dfrac {4}{15}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $25$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

3) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-15}{\frac{11}{-30}} = -15 : \left(\dfrac{11}{-30} \right) = -15 \cdot \left(-\dfrac{30}{11} \right) = \dfrac{450}{11}$

4) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{8}{12}}{5} = \dfrac{8}{12} : \dfrac{5}{1} = \dfrac{8}{12} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{15}$

5) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{38}{-3}}{\frac{19}{4}} = \dfrac{38}{-3} : \dfrac{19}{4} = -\dfrac{38}{3} \cdot \dfrac{4}{19} = -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{1} = -\dfrac{8}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $38$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $19$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $19$ gekürzt.

6) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{27}{16}}{\frac{3}{11}} = \dfrac{27}{16} : \dfrac{3}{11} = \dfrac{27}{16} \cdot \dfrac{11}{3} = \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{11}{1} = \dfrac{99}{16}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $27$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $3$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

7) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{113}{\frac{17}{2}} = 113 : \dfrac{17}{2} = 113 \cdot \dfrac{2}{17} = \dfrac{226}{17}$

8) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-42}{5}}{102} = \dfrac{-42}{5} : \dfrac{102}{1} = -\dfrac{42}{5} \cdot \dfrac{1}{102} = -\dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{1}{17} = -\dfrac{7}{85}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $42$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $102$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $6$ gekürzt.

9) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{1}{9}}{\frac{1}{81}} = -\dfrac{1}{9} : \dfrac{1}{81} = -\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{81}{1} = -\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{9}{1} = -9$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $9$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $81$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

10) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14}{23}}{-6} = \dfrac{14}{23} : \left(-\dfrac{6}{1} \right) = \dfrac{14}{23} \cdot \left(-\dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{7}{23} \cdot \left( -\dfrac{1}{3} \right) = -\dfrac{7}{69}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $14$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $6$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

11) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{21}{8}}{-\frac{12}{5}} = -\dfrac{21}{8} : \left(-\dfrac{12}{5} \right) = -\dfrac{21}{8} \cdot \left(-\dfrac{5}{12} \right) = -\dfrac{7}{8} \cdot \left( -\dfrac{5}{4} \right) = \dfrac{35}{32}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $21$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $12$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

12) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-34}{\frac{-43}{-12}} = -34 : \left(\dfrac{-43}{-12}\right) = -34 \cdot \dfrac{12}{43} = -\dfrac{408}{43}$

13) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-5}{72}}{\frac{-40}{11}} = \dfrac{-5}{72} : \dfrac{-40}{11} = -\dfrac{5}{72} \cdot \left(-\dfrac{11}{40}\right) = -\dfrac{1}{72} \cdot \left(-\dfrac{11}{8}\right) = \dfrac{11}{576}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $5$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $40$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

14) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5}{4}}{-\frac{21}{52}} = \dfrac{5}{4} : \left(-\dfrac{21}{52}\right) = \dfrac{5}{4} \cdot \left(-\dfrac{52}{21}\right) = \dfrac{5}{1} \cdot \left( -\dfrac{13}{21} \right) = -\dfrac{65}{21}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $4$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $52$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

15) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{19}{15}}{\frac{-7}{102}} = \dfrac{19}{15} : \dfrac{-7}{102} = \dfrac{19}{15} \cdot \left(-\dfrac{102}{7}\right) = \dfrac{19}{5} \cdot \left(-\dfrac{34}{7}\right) = -\dfrac{646}{35}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $15$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $102$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt.

16) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-33}{16}}{-\frac{99}{14}} = -\dfrac{33}{16} : \left(-\dfrac{99}{14}\right) = -\dfrac{33}{16} \cdot \left(-\dfrac{14}{99}\right) = -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{7}{24}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $99$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $33$ sowie die $16$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $14$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

17) $-\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{121}{17}}{\frac{77}{170}} = -\left(-\dfrac{121}{17} : \dfrac{77}{170}\right) = -\left(-\dfrac{121}{17} \cdot \dfrac{170}{77}\right) = -\left(-\dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{10}{7}\right) = \dfrac{110}{7}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $121$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $77$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $11$ sowie die $17$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $170$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $17$ gekürzt.

18) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{142}{27}}{\frac{71}{72}} = \dfrac{142}{27} : \dfrac{71}{72} = \dfrac{142}{27} \cdot \dfrac{72}{71} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{8}{1} = \dfrac{16}{3}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $142$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $71$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $71$ sowie die $27$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $72$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $9$ gekürzt.

19) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2}{15}}{\frac{-46}{-65}} = \dfrac{2}{15} : \dfrac{-46}{-65} = \dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{65}{46} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{13}{23} = \dfrac{13}{69}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $46$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2$ sowie die $15$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $65$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

20) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{25}{256}}{-\frac{225}{32}} = -\dfrac{25}{256} : \left(-\dfrac{225}{32}\right) = -\dfrac{25}{256} \cdot \left(-\dfrac{32}{225}\right) = -\dfrac{1}{8} \cdot \left(-\dfrac{1}{9}\right) = \dfrac{1}{72}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $25$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $225$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $25$ sowie die $256$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $32$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $32$ gekürzt.

8. Aufgabe

Schreibt man die Rechnung mit Brüchen auf, kommt man mit viel Kürzen, dafür wenig Rechnen, zum Ergebnis: 
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{9}{10}\cdot 10 = 1$
An dieser Aufgabe wird auch offensichtlich, warum Brüche häufig einen Vorteil gegenüber Dezimalzahlen haben. Bei 
$0{,}5\cdot 0{,}666\ldots\cdot 0{,}75\cdot 0{,}8\cdot 0{,}833\ldots\cdot 0{,}857\ldots\cdot 0{,}875\cdot 0{,}888\ldots\cdot 0{,}9\cdot 10 = 1$
wäre die Logik der Rechnung nämlich nicht so deutlich wie oben. Mal abgesehen davon, dass Rundungsfehler meist dazu führen werden, dass die Lösung nicht exakt $1$ ist.

9. Aufgabe

Bemerkung 1: Grundsätzlich sind diese Aufgaben nicht eindeutig zu lösen. Neben der Anforderung, dass die Rechnungen stimmen sollen, ist daher die Vorgabe, dass möglichst kleine Ziffern gefunden werden sollen, entscheidend. Ein bisschen "Rumprobieren" wird aber auch so nötig sein.

Bemerkung 2: Auch wenn z. B. im Zähler "nur" ein Sternchen steht, muss dieses beim Erweitern mit der entsprechenden Zahl multipliziert werden, weil erweitern nun mal heißt "Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren". Das gilt auch für Sternchen!

1)
Überlegung: Damit eine Differenz $0$ ergibt, müssen Minuend und Subtrahend gleich sein. Die naheliegendste Lösung ist also $\dfrac{28}{11}-\dfrac{28}{11} \, = \, 0$
 
Bemerkung: Dies ist aber nicht die einzige Lösung, z. B. stimmt auch $\dfrac{14}{11}-\dfrac{28}{22} \, = \, 0$. Und es kann noch nicht mal entschieden werden, welche Zahlenkombination die kleinere ist ...

2)
1. Überlegung: Da beim Multiplizieren von Brüchen jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden, können sie separat betrachtet werden.
 
2. Überlegung: Im Nenner muss einfach nur multipliziert werden: $3 \cdot 8=24$, also ist $\dfrac{*}{3}\cdot \dfrac{*}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$
 
3. Überlegung: Die $35$ im Zähler des Bruches auf der rechten Seite kann im Bereich der natürlichen Zahlen nur auf genau eine Weise in Faktoren zerlegt werden, nämlich $35=5 \cdot 7$. Es kann allerdings nicht entschieden werden, welcher Faktor an erster und welcher Faktor an zweiter Stelle in der ursprünglichen Rechnung steht. Es gibt daher zwei Lösungen.
 
Lösung: $\dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{7}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$ oder $\dfrac{7}{3}\cdot \dfrac{5}{8} \, = \, \dfrac{35}{24}$

3)
1. Überlegung: Einfacher wird die Rechnung, wenn die gemischte Zahl auf der rechten Seite in einen unechten Bruch umgewandelt wird. Es ergibt sich: $\dfrac{5}{*}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac{49}{10}$
 
2. Überlegung: Die kleinste Ziffer, die für den Nenner des ersten Bruches infrage kommt, ist $1$. $0$ scheidet ja als Kandidat für einen Nenner aus. Er ergibt sich: $\dfrac{5}{1}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac {49}{10}$
 
3. Überlegung: Das lässt sich umformen zu $\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac {49}{10}-5$ oder $\dfrac{*}{5} \, = \, -\dfrac{1}{10}$. Dies ist (mathematisch gesprochen) die Frage, welche Zahl ergibt $-\dfrac{1}{10}$, wenn man sie durch $5$ teilt. Eigentlich muss man an dieser Stelle gar nicht weiterrechnen, weil nur eine negative Zahl hier für ein richtiges Ergebnis sorgen kann: Eine positive Zahl geteilt durch eine andere positive Zahl (und die $5$ ist ja hier als positive Zahl schon vorgegeben) wäre ja wieder positiv und nicht $-\dfrac{1}{10}$. Damit kann man die Vorgabe, dass für die Sternchen Ziffern eingesetzt werden sollen, nie erfüllen. Für diejenigen, die das genaue Ergebnis in diesem Fall wissen möchten: Für das Sternchen müsste $-\dfrac{1}{2}$ eingesetzt werden, damit die Rechnung stimmt, was auch deswegen nicht funktioniert, weil es nicht ganzzahlig ist.

4. Überlegung: Probieren wir es also mit der nächstgrößeren Ziffer $2$. Wir bekommen: $\dfrac{5}{2}+\dfrac{*}{5} \, = \, \dfrac{49}{10}$ oder (wenn wir alles auf den Hauptnenner bringen) $\dfrac{25}{10}+\dfrac{2\cdot *}{10} \, = \, \dfrac{49}{10}$

5. Überlegung: Da die Nenner nun gleich sind, können wir sie für den folgenden Schritt ignorieren. Es ergibt sich: $25+2\cdot *=49$. Daraus folgt: $2 \cdot *=24$ und damit $*=12$

Lösung: $\dfrac{5}{2}+\dfrac{12}{5} \, = \, 4\dfrac{9}{10}$

4)
1. Überlegung: Das Sternchen auf der rechten Seite muss für $45$ stehen, da dies der Hauptnenner von $5$ und $9$ ist. Es ergibt sich: $\dfrac{1}{5}-\dfrac{*}{9} \, = \, -\dfrac{1}{45}$ oder, wenn man gleich alles auf den Hauptnenner bringt, $\dfrac{9}{45}-\dfrac{5\cdot *}{45} \, = \, -\dfrac{1}{45}$
 
2. Überlegung: Da die Nenner nun gleich sind, können wir sie wieder ignorieren. Bleibt die Frage: $9-5\cdot *=-1$, die uns zu der Erkenntnis führt, dass $5\cdot *$ offensichtlich gleich $10$ sein muss. Wenn $5 \cdot *=10$ ist, ist $*=2$
 
Lösung: $\dfrac{9}{45}-\dfrac{10}{45} \, = \, -\dfrac{1}{45}$ oder $\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{9} \, = \, -\dfrac{1}{45}$

5)
1. Überlegung: Auf der rechten Seite hat das Sternchen im Nenner keine Auswirkungen auf die Rechnung, egal durch welche Zahl die $0$ im Zähler geteilt wird, das Ergebnis ist immer $0$; mit Ausnahme der $0$ selbst, denn $\frac{0}{0}$ ist nicht definiert. Da eine möglichst kleine Ziffer gefordert war, können wir die $1$ für dieses Sternchen nehmen - oder es einfach weglassen.
 
2. Überlegung: Damit das Ergebnis insgesamt $0$ ist, müsste auf der linken Seite eine der Zahlen negativ sein, denn die Summe von zwei positiven Zahlen ist wieder positiv. Negative Zahlen haben wir aber wegen der Einschränkung, dass Ziffern gesucht sind, nicht zur Verfügung. Insofern lassen sich hier keine passenden Zahlen finden.

6)
1. Überlegung: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das bedeutet hier: $\dfrac{5}{*1} \cdot \dfrac{*}{2} \, = \, \dfrac{5}{2*}$
 
2. Überlegung: Schauen wir uns die Rechnung im Zähler an: $5\cdot *=5$. Also muss dieses Sternchen gleich $1$ sein. Es ergibt sich: $\dfrac{5}{*1} \cdot \dfrac{1}{2} \, = \, \dfrac{5}{2*}$ bzw. in der Originalrechnung: $\dfrac{5}{*1} : \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{5}{2*}$
 
3. Überlegung: Für den Nenner folgt daraus: $*1\cdot 2=2*$. Für das rechte Sternchen berechnet man $1 \cdot 2 = 2$; für das linke umgekehrt. Das Ergebnis ist also $11\cdot 2=22$
 
Lösung: $\dfrac{5}{11} : \dfrac{2}{1} \, = \, \dfrac{5}{22}$ bzw. $\dfrac{5}{11} : 2 \, = \, \dfrac{5}{22}$, was man natürlich auch dafür schreiben kann

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe

4.1 Prozentrechnung - Aufgaben

1. Aufgabe

Wie viel Prozent sind ...

1) $3$ von $24$?
 
2) $23$ von $46$?
 
3) $96{,}32$ von $112$?
 
4) $12$ von $50$?
 
5) $45$ von $120$?
 
6) In einem Affengehege leben $12$ Männchen und $15$ Weibchen. Wie groß ist der prozentuale Anteil der Weibchen?
 
7) Eine Sportmannschaft besteht aus $21$ Spielerinnen, davon sind $5$ Spielerinnen vor der Saison neu hinzugekommen. Gesucht ist der prozentuale Anteil der Neuzugänge.
 
8) Ein Autohersteller hat es geschafft, den Benzinverbrauch von durchschnittlich $5{,}6\,\text{l}$ pro $100\,\text{km}$ auf $4{,}9\,\text{l}$ pro $100\,\text{km}$ zu reduzieren. Wie viel Kraftstoff wird durchschnittlich eingespart?

9) Der Milchpreis ist von $1{,}20 \; \text{EUR}$ auf $1{,}30 \;\text{EUR}$ pro Liter gestiegen. Wie hoch ist der Preisanstieg in Prozent?

10) In einer Box befinden sich $50$ Kugeln, von denen $15$ schwarz und der Rest blau sind. Sie ziehen nun $4$ blaue Kugeln aus der Box. Wie hoch ist der Anteil an schwarzen Kugeln in der Box?

2. Aufgabe

Diese Prozente sollte man im Kopf wissen.

3. Aufgabe

Wie viel sind ...

1) $12 \,\%$ von $384$?
 
2) $67{,}1 \, \%$ von $1.250$?
 
3) $45 \, \%$ von $692$?
 
4) $73 \, \%$ von $14.600$?
 
5) $52{,}6 \, \%$ von $725$?
 
6) In einem Lager sind $72{,}3\,\%$ von $1.200\,\text{l}$ Saft ausgelaufen. Wie viel Saft ist verloren gegangen?
 
7) Es sind $95\,\%$ von $980$ Zügen pünktlich. Wie viele sind das?
 
8) Im Laufe der letzten Jahre ist eine Waschmaschine um $12\,\%$ teurer geworden. Nun kostet sie $357\,\text{EUR}$. Wie hoch ist der Preisanstieg bezogen auf den aktuellen Preis?

9) Ein Geschäft besitzt $500\;\text{kg}$ Reis. Davon verkauft es an einem Morgen $10 \,\%$ und nachmittags nochmal $15\, \%$ der restlichen Menge. Wie viele Kilogramm Reis liegen anschließend noch im Lager?

10) Ein rechteckiges Stück Land ist $15\;\text{m}$ lang und $12\;\text{m}$ breit. Der Grundstücksbesitzer möchte diese Fläche als Kleingarten bewirtschaften und plant $20 \,\%$ des Grundstücks für den Bau einer Gartenhütte ein. Wie groß kann die Grundfläche der Hütte werden?

4. Aufgabe

Wie groß ist der Ausgangswert?

1) $81 \, \%$ entsprechen $162$
 
2) $99 \, \%$ entsprechen $12{,}672$
 
3) $50{,}5 \, \%$ entsprechen $30{,}3$
 
4) $22{,}2 \, \%$ entsprechen $19{,}425$
 
5) $36{,}7 \, \%$ entsprechen $183{,}5$
 
6) Nach einer Grillparty sind noch $2$ Kisten Getränke übrig. Das sind $40\,\%$ der ursprünglich gekauften. Wie viele Kisten wurden eingekauft?
 
7) Der Preis eines Sessels wurde um $32\,\%$ reduziert, sodass er jetzt noch $150\,\text{EUR}$ kostet. Wie teuer war er ursprünglich?
 
8) Eine Wasserpumpe kostet $223\,\text{EUR}$, nachdem ihr Preis auf $75\,\%$ des Originalpreises herabgesetzt wurde. Wie hoch war der Originalpreis?

9) Ein Lebensmittelgeschäft erzielte nach dem Ausverkauf aller vorrätigen Waren Einnahmen in Höhe von $16.800\;\text{EUR}$. Diese Einnahmen betragen nach internen Kalkulationen $20 \,\%$ mehr, als für diese Waren ausgegeben wurde. Wie teuer waren die Waren beim Ankauf?

10) Eine Farm hat nach Geldengpässen $330$ Hühner verkauft. Die restlichen Hühner machen nur noch $40 \,\%$ der ursprünglichen Hühnerpopulation aus. Wie viele Hühner lebten einst auf der Farm?

5. Aufgabe

Ein paar gemischte Aufgaben ...

1) Jemand hat $65\,\%$ seiner Schulden in Höhe von insgesamt $450\,\text{EUR}$ bereits zurückgezahlt. Wie viel ist noch offen?
 
2) Bei einer Radtour sind ein paar Freunde bereits $60\,\text{km}$ geradelt. $20\,\%$ ihrer Strecke haben sie noch vor sich. Wie lang ist die Strecke insgesamt?
 
3) Der Preis einer Hose wurde im Schlussverkauf auf $85 \, \%$ des Originalpreises reduziert, sodass die Hose jetzt noch $59{,}50\,\text{EUR}$ kostet. Wie viel kostete die Hose ursprünglich?
 
4) Der Preis eines Pullovers, der vor dem Schlussverkauf $65{,}99\,\text{EUR}$ kostete, soll um $25 \, \%$ gesenkt werden. Wie teuer ist der Pullover jetzt?
 
5) Ein T-Shirt, das vormals $12\,\text{EUR}$ kostete, kostet nun noch $9\,\text{EUR}$. Um wie viel Prozent ist der Preis reduziert worden?
 
6) Eine Familie macht eine Wanderung von $14.600\,\text{m}$ Länge, von der sie $56\,\%$ bereits geschafft haben. Wie viele $\text{km}$ müssen sie noch laufen?
 
7) In den neuen Bundesländern leben etwa $12{,}5\,\text{Mio.}$ Menschen. Wie viele Personen leben dort prozentual gesehen - bezogen auf Gesamtdeutschland ($81{,}2\,\text{Mio.}$ Einwohner)?
 
8) Wenn in einer Schulklasse $3$ von $28$ Kindern mit der linken Hand schreiben, wie groß ist dann der prozentuale Anteil der Linkshänder/-innen in dieser Klasse?
 
9) Für ein Auto muss $1\,\%$ des Kaufpreises, also $190\,\text{EUR}$ angezahlt werden. Wie teuer ist es?

10) Meerwasser enthält ca. $4 \,\%$ Salz. Wie viele Gramm Süßwasser müssen zu $400\;\text{g}$ Meerwasser gegeben werden, um einen Salzanteil von nur noch $2{,}5 \,\%$ zu erhalten?

6. Aufgabe

Die Marketing-Abteilung der Hochschule hat für eine Veranstaltung $400$ kleine Schokotäfelchen bereitgestellt. $99\,\%$ davon enthalten Nüsse.

Wie viele Tafeln müssen gegessen werden, damit der Anteil von Schokolade mit Nüssen auf $98\,\%$ sinkt?

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Formel
• Berechnung

4.2 Prozentrechnung - Erklärungen

Die Prozentrechnung ist nützlich, wenn Größenverhältnisse verglichen werden sollen. Sie baut auf der Bruchrechnung auf.

Formel

Es gilt: $p =\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\%$ mit

• $p$: Prozentsatz in $\%$
• $W$: Prozentwert
• $G$: Grundwert

Diese Formel kann natürlich umgestellt werden. Man erhält dann $G= \dfrac{W}{p\,\%} \cdot 100$ bzw. $W = \dfrac{p\,\% \cdot G}{100}$

Bemerkung: Achten Sie immer genau darauf, was in der Aufgabe gegeben ist! Besonders Prozent- und Grundwert werden häufig verwechselt.

Berechnung

Eigentlich ist nicht viel zu tun ... Man setzt jeweils die gegebenen Werte in die passende Formel ein und rechnet aus.
Hier ein paar Beispiele:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$p=\dfrac{74}{512}\cdot 100\,\% \approx 14{,}45\,\%$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$G=\dfrac{125}{83\,\%}\cdot 100\,\% \approx 150{,}60$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$W=\dfrac{16\,\%\cdot 49}{100\,\%} = 7{,}84$


Alternative: Alle Prozentaufgaben können auch mit dem Dreisatz berechnet werden. Das macht weder vom Aufwand noch vom Ergebnis her einen Unterschied. Sie können daher einfach ausprobieren, welche Variante Sie bevorzugen.
Wir betrachten dafür noch einmal die Beispiele von oben:

1) Gegeben sind $W=74$ und $G=512$
Gesucht ist $p$ in $\%$

$\begin{array}{rclcr}512 &\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1 &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{512} \cr \cr 74 &\widehat{=}& \dfrac{74 \cdot 100\,\%}{512} &\approx& 14{,}45\,\% \end{array}$


2) Gegeben sind $p=83\,\%$ und $W=125$
Gesucht ist $G$

$\begin{array}{rclcr}83\,\% &\widehat{=}& 125 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{125}{83} &\approx& 1{,}51 \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 125}{83} &\approx& 150{,}60 \end{array}$


3) Gegeben sind $p=16\,\%$ und $G=49$
Gesucht ist $W$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 49 \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{49}{100} &=& 0{,}49 \cr \cr 16\,\% &\widehat{=}& \dfrac{16\cdot 49}{100} &=& 7{,}84 \end{array}$

Naja, ein bisschen mehr ist natürlich doch zu tun … Die bislang besprochenen Aufgaben in diesem Kapitel sind nicht besonders realistisch. Sowohl im Studium als auch in der Arbeitswelt wird Ihnen niemand sagen "Berechnen Sie hier doch mal den Prozentsatz!", sondern es wird sich eine Fragestellung ergeben, bei der Sie selbst auf die Idee kommen müssen, dass der Prozentsatz gesucht ist. Man muss sich also bei jeder Aufgabe genau klarmachen, was gegeben und was gesucht ist. Das ist besonders tricky bei Aufgaben, in denen der Grundwert gesucht ist.
Ein Beispiel:
Der Bambusbecher für Coffee to go kostet in der Mensa $6\;\text{EUR}$. Wie viel kostet er ohne Mehrwertsteuer ($19\,\%$)?
Klar ist, dass $p=19\,\%$, da $p$ immer der Wert mit dem $\%$ ist. Aber wie ist das mit den $6\;\text{EUR}$? In diesem Wert sind Grundwert und Mehrwertsteuer enthalten, die $6\;\text{EUR}$ entsprechen also $100\,\% + 19\,\% = 119\,\%$. Wir möchten den Grundwert ohne die Mehrwertsteuer berechnen. Damit haben wir den Ansatz:
$\begin{array}{rclcr}119\,\% &\widehat{=}& 6\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{6\;\text{EUR}}{119} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 6\;\text{EUR}}{119} &\approx& 5{,}04\;\text{EUR} \end{array}$

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe

4.3 Prozentrechnung - Lösungen

Eine Bemerkung vorab: Der Abwechslung halber und um Ihnen auch Beispiele für diesen Rechenweg zu zeigen, wurden alle Textaufgaben mit dem Dreisatz gelöst. Mit der Prozentformel geht es natürlich auch. Umgekehrt können natürlich auch die anderen Aufgaben mithilfe der Dreisatzrechnung gelöst werden.

Und noch eine Bemerkung: Bei Textaufgaben ist es üblich, einen Antwortsatz zu schreiben.

1. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

Die Prozentformel wird also in der Form $p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \%$ angewendet.

1) $3 \text{ von } 24 = \dfrac{3}{24} \cdot 100 \, \% = 12{,}5 \, \%$

2) $23 \text{ von }46 = \dfrac{23}{46} \cdot 100 \, \% = 50 \, \%$

3) $96{,}32 \text{ von } 112 = \dfrac{96{,}32}{112} \cdot 100 \, \% = 86 \, \%$

4) $12 \text{ von } 50 = \dfrac{12}{50} \cdot 100 \, \% = 24 \, \%$

5) $45 \text{ von } 120 = \dfrac{45}{120} \cdot 100 \, \% = 37{,}5 \, \%$

6)
$\begin{array}{rclcr}27\;\text{Affen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Affe}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{27} \cr \cr 15\;\text{Affen}&\widehat{=}& \dfrac{15\cdot 100\,\%}{27} &\approx& 55{,}56\,\% \end{array}$

Etwa $55{,}56\, \%$ der Affen in diesem Gehege sind weiblich.

7)
$\begin{array}{rclcr}21\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Spieler}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{21} \cr \cr 5\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& \dfrac{5\cdot 100\,\%}{21} &\approx& 23{,}81\,\% \end{array}$

Etwa $23{,}81\, \%$ der Spielerinnen sind neu im Team.

8)
Zunächst müssen wir die Ersparnis berechnen: $5{,}6\,\text{l}-4{,}9\,\text{l}=0{,}7\,\text{l}$

$\begin{array}{rclcr}5{,}6\,\text{l}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{5{,}6} \cr \cr 0{,}7\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{0{,}7\cdot 100\,\%}{5{,}6} &=& 12{,}5\,\% \end{array}$

Es werden $12{,}5\,\%$ Benzin eingespart.

9)
Zunächst muss die absolute Preisänderung berechnet werden: $1{,}30\;\text{EUR} - 1{,}20\;\text{EUR} = 0{,}10\;\text{EUR}$

$\begin{array}{rclcl} 1{,}20\;\text{EUR} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{1{,}2} \cr\cr 0{,}1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{0{,}1 \cdot 100\, \%}{1{,}2} &\approx& 8{,}33\% \end{array}$

Der Milchpreis ist um rund $8{,}33 \,\%$ gestiegen.

10)
Nachdem $4$ Kugeln gezogen wurden, befinden sich noch $46$ Kugeln in der Box. Davon sind immer noch $15$ schwarz und der Rest blau.

$\begin{array}{rclcl} 45 \;\text{Kugeln} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{Kugel} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{46} \cr\cr 15 \; \text{Kugeln} &\widehat{=}& \dfrac{15 \cdot 100\,\%}{46} &\approx& 32{,}61\, \% \end{array}$

Rund $32{,}61 \%$ der in der Box verbliebenen Kugeln sind schwarz.

2. Aufgabe

Bemerkung: Bitte achten Sie darauf, dass bei den Aufgaben 7) und 9) gerundet wurde und deshalb dort das Ungefährzeichen $\approx$ stehen muss.

3. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.

Die Prozentformel wird also in der Form $W = \dfrac{p \cdot G}{100}$ angewendet.

1) $12 \, \% \text{ von } 384 = \dfrac{12 \cdot 384}{100} = 46{,}08$

2) $67{,}1 \, \% \text{ von } 1.250 = \dfrac{67{,}1 \cdot 1.250}{100} = 838{,}75$

3) $45 \, \% \text{ von } 692 = \dfrac{45 \cdot 692}{100} = 311{,}4$

4) $73 \, \% \text{ von } 14.600 = \dfrac{73 \cdot 14.600}{100} = 10.658$

5) $52{,}6 \, \% \text{ von } 725 = \dfrac{52{,}6 \cdot 725}{100} = 381{,}35$

6)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 1.200\,\text{l} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{1.200\,\text{l}}{100} \cr \cr 72{,}3\,\% &\widehat{=}& \dfrac{72{,}3\cdot 1.200\,\text{l}}{100} &=& 867{,}6\,\text{l} \end{array}$

Es sind $867{,}6\,\text{l}$ Saft verloren gegangen.

 
7)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 980\;\text{Züge} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{980\;\text{Züge}}{100} \cr \cr 95\,\% &\widehat{=}& \dfrac{95\cdot 980\;\text{Züge}}{100} &=& 931\;\text{Züge} \end{array}$

Es waren 931 Züge pünktlich.

 
8)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 357\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{357\;\text{EUR}}{100} \cr \cr 12\,\% &\widehat{=}& \dfrac{12\cdot 357\;\text{EUR}}{100} &=& 42{,}84\;\text{EUR} \end{array}$

Der Preis ist um $42{,}84\;\text{EUR}$ angestiegen.

9)
1. Schritt:
Reismenge nach dem ersten Verkauf: $100\, \% - 10 \,\% = 90 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 500 \,\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{500}{100} \;\text{kg} \cr\cr 90 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{90 \cdot 500 \;\text{kg}}{100} &=& 450 \;\text{kg} \end{array}$

2. Schritt:
Die nach dem Morgen verbliebenen $450\;\text{kg}$ stellen nun $100 \,\%$ der Restmenge dar.
Reismenge nach dem zweiten Verkauf: $100 \,\% - 15 \,\% = 85 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\;\% &\widehat{=}& 450 \;\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{450}{100} \;\text{kg} \cr\cr 85 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{85 \cdot 450 \;\text{kg}}{100} &=& 382{,}5 \;\text{kg} \end{array}$

Nach beiden Verkäufen befinden sich noch $382{,}5\;\text{kg}$ Reis im Lager.

10)
Zunächst muss die Grundstücksfläche insgesamt berechnet werden: $15 \;\text{m} \cdot 12 \;\text{m} = 180 \;\text{m}^2$

Nun kann der Anteil der Fläche für die Hütte berechnet werden:
$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 180 \;\text{m}^2 \cr\cr 20 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{180\;\text{m}^2}{5} &=& 36 \;\text{m}^2 \end{array}$

Die Hütte kann eine Grundfläche von $36\;\text{m}^2$ haben.

4. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.

Die Prozentformel wird also in der Form $G = \dfrac{W}{p} \cdot 100$ angewendet.
 
1) $81 \, \% \text{ entsprechen } 162 \Rightarrow G = \dfrac{162}{81} \cdot 100 = 200$

2) $99 \, \% \text{ entsprechen } 12{,}672 \Rightarrow G = \dfrac{12{,}672}{99} \cdot 100 = 12{,}8$

3) $50{,}5 \, \% \text{ entsprechen } 30{,}3 \Rightarrow G = \dfrac{30{,}3}{50{,}5} \cdot 100 = 60$

4) $22{,}2 \, \% \text{ entsprechen } 19{,}425 \Rightarrow G = \dfrac{19{,}425}{22{,}2} \cdot 100 = 87{,}5$

5) $36{,}7 \, \% \text{ entsprechen } 183{,}5 \Rightarrow G = \dfrac{183{,}5}{36{,}7} \cdot 100 = 500$

6)
$\begin{array}{rclcr}40\,\% &\widehat{=}& 2\;\text{Kisten} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{2\;\text{Kisten}}{40} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 2\;\text{Kisten}}{40} &=& 5\;\text{Kisten} \end{array}$

Es wurden 5 Kisten eingekauft.

7)
Hier sind der noch zu zahlende Preis und der Prozentsatz der Reduzierung gegeben. Zunächst muss daher ausgerechnet werden, wieviel Prozent dem noch zu zahlenden Preis entsprechen: $100\,\%-32\,\%=68\,\%$

$\begin{array}{rclcr}68\,\% &\widehat{=}& 150\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{150\;\text{EUR}}{68} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 150\;\text{EUR}}{68} &\approx& 220{,}59\;\text{EUR} \end{array}$

Der Sessel kostete ursprünglich $220{,}59\,\text{EUR}$.

 
8)
$\begin{array}{rclcr}75\,\% &\widehat{=}& 223\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{223\;\text{EUR}}{75} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 223\;\text{EUR}}{75} &\approx& 297{,}33\;\text{EUR} \end{array}$

Die Pumpe hat im Original $297{,}33\;\text{EUR}$ gekostet.

9)
$\begin{array}{rclcl} 120\,\% &\widehat{=}& 16.800 \;\text{EUR} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16.800}{120} \;\text{EUR} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{100 \cdot 16.800\;\text{EUR}}{120} &=& 14.000 \;\text{EUR} \end{array}$

Das Geschäft gab $14.000\;\text{EUR}$ für den Kauf der Waren aus.

10) 
Zunächst muss der Anteil der verkauften Hühner berechnet werden: $100\,\% - 40\, \% = 60\, \%$

$\begin{array}{rclcl} 60 \,\% &\widehat{=}& 330 \;\text{Hühner} \cr\cr 1 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{330}{60} \;\text{Hühner} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{100 \cdot 330\;\text{Hühner}}{60} &=& 550 \;\text{Hühner} \end{array}$

Die Farm besaß vor dem Verkauf $550$ Hühner.

5. Aufgabe

Eine Bemerkung vorab: Machen Sie sich zu Beginn jeder Aufgabe genau klar, was gegeben und was gesucht ist - das ist ja hier das Entscheidende!

Noch eine Bemerkung: Hier wurden manche Aufgaben mit dem Dreisatz und manche mit der Prozentformel berechnet. Es geht natürlich jede Variante bei jeder Aufgabe.

1)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.
Gefragt ist, wieviel Geld noch zurückgezahlt werden muss. Die $65\,\%$ beziehen sich allerdings auf den Betrag, der bereits zurückgezahlt wurde. Daher muss dies vorher noch umgerechnet werden: $100\,\%-65\,\%=35\,\%$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 450\,\text{EUR}\cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{450\,\text{EUR}}{100} \cr \cr 35\,\% &\widehat{=}& \dfrac{35\cdot 450\,\text{EUR}}{100} &=& 157{,}50\,\text{EUR} \end{array}$

Es müssen noch $157{,}50\,\text{EUR}$ zurückgezahlt werden.

2)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.
Da sich die Streckenangabe auf den bereits zurücklegten Teil der Tour bezieht und die Prozentangabe auf den noch vor ihnen liegenden, muss der Prozentsatz erst umgerechnet werden: $100\,\%-20\,\%=80\,\%$

$\begin{array}{rclcr}80\,\% &\widehat{=}& 60\,\text{km} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{60\,\text{km}}{80} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 60\,\text{km}}{80} &=& 75\,\text{km} \end{array}$

Die Strecke ist insgesamt $75\,\text{km}$ lang.

3)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.

$G = \dfrac{W}{p} \cdot 100 = \dfrac{59{,}5}{85} \cdot 100 = 70$

Die Hose kostete vor dem Ausverkauf $70\,\text{EUR}$. 

4)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.

$W = \dfrac{p \cdot G}{100} = \dfrac{25 \cdot 65{,}99}{100} = 16{,}4975$

Dies ist aber noch nicht der neue Preis, sondern der Betrag, um den der Preis des Pullovers reduziert wurde. Den neuen Preis erhält man durch $65{,}99 \text{ EUR }-16{,}4975 \text{ EUR } = 49{,}4925 \text{ EUR } \approx 49{,}49 \text{ EUR }$.

Alternative: $W = \dfrac{p \cdot G}{100} = \dfrac{75 \cdot 65{,}99}{100} = 49{,}4925$

 
5)
Gegeben sind $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

$p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \% = \dfrac{9}{12} \cdot 100 \, \% = 75 \, \%$

Auch dies ist noch nicht die Antwort auf die Frage, um wie viel Prozent der Preis reduziert worden ist. Da der neue Preis laut Rechnung $75 \, \%$ des alten Preises entspricht, beträgt der Preisnachlass also $25 \, \%$.

 
6)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$.
Gesucht ist $W$.
Da sich die Prozentangabe auf den bereits zurücklegten Teil der Tour bezieht, die Frage aber auf den noch vor ihnen liegenden, muss der Prozentsatz erst umgerechnet werden: $100\,\%-56\,\%=44\,\%$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 14.600\,\text{m} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{14.600\,\text{m}}{100} \cr \cr 44\,\% &\widehat{=}& \dfrac{44\cdot 14.600\,\text{m}}{100} &=& 6.424\,\text{m} \end{array}$

Sie müssen noch $6{,}424\,\text{km}$ laufen.

Bemerkung: Bitte achten Sie auf die unterschiedlichen Einheiten (einmal Meter und einmal Kilometer)!

 
7)
Gegeben sind $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

$\begin{array}{rclcr}81{,}2\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{81{,}2\;\text{Mio.}} \cr \cr 12{,}5\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& \dfrac{12{,}5\;\text{Mio.}\cdot 100\,\%}{81{,}2\;\text{Mio.}} &\approx& 15{,}39\,\% \end{array}$

Etwa $15{,}39\, \%$ der Menschen in Deutschland leben in den neuen Bundesländern.

8)
Gegeben sind $W$ und $G$.
Gesucht ist $p$ in $\%$.

$\begin{array}{rclcr}28\;\text{Kinder}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Kind}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{28} \cr \cr 3\;\text{Kinder}&\widehat{=}& \dfrac{3\cdot 100\,\%}{28} &\approx& 10{,}71\,\% \end{array}$

Der Anteil der Linkshänder/-innen in der Klasse beträgt etwa $10{,}71\, \%$.

9)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$.
Gesucht ist $G$.

$\begin{array}{rclcr}1\,\% &\widehat{=}& 190\;\text{EUR} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& 100\cdot 190\;\text{EUR} &=& 19.000\;\text{EUR} \end{array}$

Das Auto kostet $19.000\;\text{EUR}$.

Bemerkung: Da in dieser Aufgabe netterweise bereits angegeben ist, wie der Prozentwert für $1\,\%$ lautet, vereinfacht sich die Rechnung.

10)
Zunächst berechnet man die Menge des tatsächlich vorhandenen Salzes im Meerwasser.
$\begin{array}{rclcl} 100 \,\% &\widehat{=}& 400 \;\text{g} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{400}{100} \;\text{g} \cr\cr 4 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{4 \cdot 400\;\text{g}}{100} &=& 16 \;\text{g} \end{array}$

Diese Menge Salz soll nun nicht $4 \,\%$, sondern nur $2{,}5 \,\%$ ausmachen.
$\begin{array}{rclcl} 2{,}5 \,\% &\widehat{=}& 16 \;\text{g} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16}{2{,}5} \;\text{g} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16 \cdot 100\;\text{g}}{2{,}5} &=& 640 \;\text{g} \end{array}$

Um einen Salzanteil von $2{,}5 \,\%$ in der Lösung zu erhalten, müssen $640\; \text{g} - 400 \;\text{g} = 240 \;\text{g}$ Süßwasser zum Meerwasser gegeben werden.

6. Aufgabe

Berechnen wir zunächst die Prozentwerte aus den gegebenen Größen:

Der Trick ist nun, von den Schokotafeln ohne Nüsse auszugehen, weil wir hiervon sowohl den Prozentsatz (Bei $98\,\%$ Schokotafeln mit Nüssen müssen es wohl $2\,\%$ Schokotafeln ohne Nüsse sein ...) als auch den Prozentwert (Da wir nur Schokolade mit Nüssen essen sollen, bleibt es bei $4$ Tafeln ohne Nüsse ...) kennen:
$\begin{array}{rcrl}2\,\% & \widehat{=} & 4 & \text{Tafeln} \cr\cr 98\,\% & \widehat{=} & 196 & \text{Tafeln}\end{array}$

Da wir ursprünglich $396$ Tafeln Schokolade mit Nüssen hatten, müssen also $200$ Tafeln gegessen werden, damit nur noch $196$ Tafeln übrig sind. Ganz schön viele ...

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe

5.1 Lineare Gleichungen - Aufgaben

1. Aufgabe

Fassen Sie so weit wie möglich zusammen!

2. Aufgabe

Berechnen Sie jeweils die gesuchte Variable!

1) Gesucht: $a$ mit $a=2b+c$, $b=3+c$ und $c=1$
 
2) Gesucht: $s$ mit $2s= -4r-t+12$, $r=3t-16$ und $t=24$
 
3) Gesucht: $x$ mit $x=a-10-4z$, $2a=18z+2$ und $z=-5$
 
4) Gesucht: $b$ mit $12b=3l+ \dfrac{1}{3}z+11$, $2l=2z-14$ und $z=-9$
 
5) Gesucht: $u$ mit $\dfrac{1}{5}u=100-25v-8w$, $2v=16-8w$ und $-3w=27$

3. Aufgabe

Sind die folgenden Gleichungen linear? Hinweis: Es ist nicht nach der Lösung der Gleichungen gefragt.

4. Aufgabe

Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie - wenn möglich - die Probe! Soweit nichts anderes angegeben ist, soll $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ sein.

5. Aufgabe

Pythagoras auf die Frage, wie viele Schüler er habe: „Die Hälfte studiert Mathematik, ein Viertel Physik, ein Siebtel lernt das Schweigen und der Rest sind $3$ kleine Knaben.“ Wie viele Schüler hat Pythagoras?

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Grundbegriffe
• Rechnen mit Variablen
• Lineare Gleichungen
• Lösen einer Gleichung
• Definitionsbereich und Lösungsmenge
• Probe
• Lösbarkeit linearer Gleichungen

5.2 Lineare Gleichungen - Erklärungen

Gleichungen sind etwas sehr Wichtiges in der Mathematik. Daher schauen wir uns in diesem Kapitel die grundlegenden Prinzipien und Vorgehensweisen anhand des einfachsten Gleichungstyps an. In späteren Kapiteln werden zwar die Gleichungen immer komplexer - an diesen Prinzipien und Vorgehensweisen ändert sich aber wenig. Insofern lohnt es sich, hier ganz genau hinzuschauen und mitzudenken.

Was ist ...

... eine Konstante?
Ein Platzhalter für einen festen Zahlenwert

... eine Variable?
Ein Platzhalter für einen veränderlichen Zahlenwert

... ein Koeffizient?
Die Zahl in einem Produkt aus Zahl und Variable

... ein Term?
Eine mathematisch sinnvolle Kombination aus Zahlen, Konstanten, Variablen, Klammern und Rechenoperationen

... eine Gleichung?
Etwas in der Art: "ein Term = ein (anderer) Term"

Um diese Begriffe etwas greifbarer zu machen ...: Terme sind so etwas wie die "Wörter" der Mathematik, aus denen dann komplexe "Texte", z. B. Gleichungen, zusammengesetzt werden. Ebenso wie Texte die Basis z. B. für literarische Untersuchungen sind, benötigt die Mathematik Gleichungen für Berechnungen und Analysen aller Art.

Bitte achten Sie auf den (wichtigen!) Unterschied zwischen Term und Gleichung: Simpel gesagt, besteht eine Gleichung aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Sie steht für die Aussage, dass irgendein Term gleich einem anderen Term oder einem bestimmten Zahlenwert ist oder sein soll. Das sagt ja bereits der Name … Meist gehört zu Gleichungen die Aufgabe, eine Lösung zu finden, also den Zahlenwert, für den die Terme tatsächlich gleich sind (dazu unten mehr).
Terme hingegen enthalten zunächst mal kein Gleichheitszeichen. Sie haben auch keine zugehörige Aufgabe, weil ihr Einsatzgebiet sehr vielfältig ist. Ein paar Beispiele, wo Terme mit ganz unterschiedlichen "typischen Aufgaben" auftauchen (auch wenn diese teilweise auf spätere Kapitel vorgreifen):

• Gerade wurde schon die Kombination von Termen zu Gleichungen mit der Aufgabe, Lösungen zu finden, erwähnt.
• Bei Funktionen werden Terme für verschiedene Ziele eingesetzt, z. B. Funktionswerte berechnen, Nullstellen bestimmen oder die Funktion ableiten.
• In dem Term $\pi r^2$ erkennen Sie vielleicht die Flächenformel für einen Kreis: Bei solchen Termen geht es meist darum, aus einem gegebenen Radius $r$ die Fläche $A_{Kreis}$ zu berechnen - wieder ein ganz anderer Anwendung von Termen.

Sie sehen an diesen Beispielen, dass der sinnvolle Umgang mit einem Term stark vom Kontext abhängt, in dem der Term steht. Es gibt ganz viele verschiedene Ansätze und Lösungsstrategien, die man ordentlich unterscheiden muss. Man darf daher z. B. nicht einfach $=0$ hinter einen Term schreiben, ihn damit als Gleichung verstehen und eine Lösung berechnen. Vielleicht war der Einsatzbereich ja ein ganz anderer.

Rechnen mit Variablen

So, nun sind die wichtigsten Begrifflichkeiten geklärt und wir können uns um das eigentliche Rechnen mit Variablen kümmern, ohne welches lineare Gleichungen nicht zu lösen sind.

Gleich zu Beginn eine gute Nachricht: Da Variablen ja nichts Anderes als Platzhalter für Zahlen sind, rechnet man mit Variablen im Großen und Ganzen genauso wie mit Zahlen. Man fasst einfach gleichartige Objekte zusammen, indem man sie quasi "zählt". Ein paar Beispiele:

Es gelten grundsätzlich - auch wenn Variablen ins Spiel kommen - die "ganz normalen" Rechenregeln, z. B. aus den Kapiteln Rechengesetze und Bruchrechnung, also Klammern auflösen, Brüche erweitern etc. Es gelten aber auch die gleichen Einschränkungen: Beispielsweise darf man auch bei Brüchen mit Variablen nicht aus Summen kürzen. Erst wenn neue Rechenkonzepte, wie Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, hinzukommen, werden neue Rechenregeln (natürlich mit neuen Einschränkungen ...) benötigt. Der Oberbegriff für die ganzen Verfahren, mit denen man einen Term in eine einfachere, kompaktere Form überführt, ist, "einen Term vereinfachen".
Wenn man einen Term vereinfacht, steht zwischen den verschiedenen Schritten natürlich ein Gleichheitszeichen - eine Umformung, die dazu führt, dass die Terme nicht mehr gleich sind, wäre ja nicht zielführend.
Ein Beispiel:
$\begin{array}{rclcl}-90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-(10-2b)(a-3)\right)+30ab &=& -90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-(10a-30-2ab+6b)\right)+30ab &\vert& \text{innere Klammern mit dem Distributivgesetz aufgelöst} \cr&=& -90b-15\left(\dfrac{1}{5}a-10a+30+2ab-6b\right)+30ab &\vert& \text{Minusklammer aufgelöst, ebenfalls Distributivgesetz} \cr&=& -90b-3a+150a-450-30ab+90b+30ab &\vert& \text{ausmultipliziert} \cr&=& -3a+150a-30ab+30ab+90b-90b-450 &\vert& \text{"sortiert", also das Kommutativgesetz angewendet} \cr&=& 147a-450 &\vert& \text{zusammengefasst}\end{array}$
Wir haben nun eine einfachere, kürzere Variante des Ausgangsterms. Z. B. erkennt man, dass $b$ in diesem Term eigentlich gar keine Rolle spielt.
Wenn man Zahlen für die Variablen einsetzt und dann ausrechnet, erhält man in jeder Zeile das gleiche Ergebnis. Nehmen wir beispielsweise $a=-2$ und $b=9$:

Wenn Sie den Rechenaufwand in den einzelnen Zeilen vergleichen, wird vermutlich schnell klar, warum Termvereinfachungen keine so schlechte Idee sind … Machen Sie sich aber bitte klar, dass wir hier keinen Wert für die Variablen ausgerechnet haben (wie das beim Lösen einer Gleichung der Fall wäre). Stattdessen haben wir nur Beispielwerte eingesetzt, um zu zeigen, dass die verschiedenen Umformungsschritte tatsächlich den gleichen Wert liefern.

Damit haben wir auch gleich das Vorgehen geklärt, wenn man ausrechnen möchte (oder muss), welchen Wert ein Term annimmt, wenn man für die Variablen bestimmte Zahlenwerte einsetzt. Das wird z. B. weiter unten bei der Probe wichtig. Schauen wir uns jetzt noch an, wie man Terme in andere Terme einsetzt:

Gesucht ist $x$, welches folgendermaßen berechnet werden soll: $x=3y-10z$, dabei ist $y=-2z-4$ und $z=23$
$\begin{array}{cclll} x &=& 3y-10z & \vert & \text{Setze y ein} \cr x &=& 3\cdot(-2z-4)-10z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& 3\cdot(-2\cdot 23-4)-10\cdot 23 \cr x &=& 3 \cdot (-50)-230 \cr x &=& -380 \end{array}$

Am sinnvollsten ist es hier, Schritt für Schritt vorzugehen, also erst den komplizierteren Term (hier y) einzusetzen, sich alles hinzuschreiben und dann den anderen Term einzusetzen. Das Ausrechnen ist dann der letzte Schritt.
Ganz wichtig: Klammern nicht vergessen! Der y-Term besteht aus einer Differenz, die dann im Gesamtterm multipliziert werden muss. Also treffen hier Punkt- und Strichrechnung aufeinander und bekanntermaßen geht Punktrechnung vor Strichrechnung.

Der Wert, den ein Term beim Einsetzen von Zahlen, annimmt, ändert sich durch Termvereinfachungen nicht. Schauen wir uns nochmal das Beispiel von oben in einer leicht veränderten Form an: Gesucht ist $x$, welches folgendermaßen berechnet werden soll: $x=y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z$, dabei ist $y=-2z-4$ und $z=23$.
Es ist (hoffentlich) nicht so schwer zu erkennen, dass $x=y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z=3y-10z$. Dann gehen wir genauso vor wie oben:
$\begin{array}{cclll} x &=& y+y+y-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z & \vert & \text{Setze y ein} \cr x &=& -2z-4+(-2z-4)+(-2z-4)-z-z-z-z-z-z-z-z-z-z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& -2\cdot 23-4+(-2\cdot 23-4)+(-2\cdot 23-4)-23-23-23-23-23-23-23-23-23-23 \cr x &=& -50+(-50)+(-50)-23-23-23-23-23-23-23-23-23-23 \cr x &=& -380 \end{array}$
In dieser Variante muss man sich zwar nicht so sehr um Klammern kümmern - dafür ist es deutlich schwieriger, den Überblick zu behalten.

Achtung: Nicht jeder Buchstabe, der in der Mathematik auftaucht, ist eine Variable! Denken Sie beispielsweise an $\pi$.
Ebenso ist nicht alles, was einen Rechenoperator enthält, variabel: $\sqrt{23+2}=\sqrt{25}=5$

Lineare Gleichungen

Definition: Eine lineare Gleichung ist eine spezielle Form einer Gleichung, in der ausschließlich folgende Terme auftreten:

• Produkte aus einer Variablen und Konstanten/Zahlen
• Summen aus diesen Produkten und (anderen) Konstanten/Zahlen

Beispiele für lineare Gleichungen

• $3x+4=\dfrac{x}{3}-12$
  Diese Gleichung ist linear, da die einzige Variable $x$ nur mit Zahlenwerten multipliziert wird. $\frac{x} {3}$ ist dabei nichts Anderes als $\frac{1}{3} \cdot x$ . Dann werden noch Zahlen addiert. Das ist alles erlaubt.
  
  
• $-2(9t+1)-9 (12+3t)=0$
  Bei dieser Gleichung ist durch die Klammern nicht sofort zu erkennen, ob sie linear ist. Beim Ausmultiplizieren werden die Terme, die die Variable $t$ enthalten, aber nur mit weiteren Zahlen multipliziert, sodass auch diese Gleichung linear ist. Würden Terme dieser Art $-2t(9t+1)=-18t\cdot t-2t$ vorhanden sein, wäre das nicht der Fall.
  
  
• $\sqrt{16} \cdot x=8$
  Diese Gleichung ist tatsächlich linear, denn $\sqrt{16}$ (also "Wurzel aus $16$") sieht zwar kompliziert aus, ist aber einfach nur eine Zahl, nämlich $4$.
  
  
• $3x+9y-18z=20$
  Auch diese Gleichung ist linear, da die Variablen nur mit Zahlen multipliziert werden (es ist ja in der Definition nicht gesagt, dass es nur eine Variable geben darf). Anschließend werden diese Produkte addiert. Damit sind in dieser Gleichung nur erlaubte Terme enthalten. Nicht erlaubt wären beispielsweise die Terme $3x \cdot y$ oder $-18z \cdot z$ , da hier Variablen miteinander multipliziert werden.
  
  

Beispiele für nicht lineare Gleichungen

• $\dfrac{1}{x}-12=0$
  Hier wird durch eine Variable dividiert. Das ist in linearen Gleichungen nicht erlaubt.
  
  
• $3z^2-7=90$
  In linearen Gleichungen dürfen Variablen nur mit Zahlen, nicht aber mit Variablen multipliziert werden. $z^2$ ist ja eine abkürzende Schreibweise für $z \cdot z$.
  
  
• $\sqrt{16\cdot x}=8$
  Im Unterschied zu oben steht hier auch die Variable unter der Wurzel. Das verletzt die Bedingungen für lineare Gleichungen - Wurzeln sind ja etwas Anderes als Produkte bzw. Summen ...
  
  
• $\sin(x)-3x=4x-10$
  Eine lineare Gleichung darf keine trigonometrischen Funktionen, wie den Sinus, angewendet auf eine Variable enthalten.

Lösen einer Gleichung

Grundsätzlich bedeutet "Gleichung lösen", für die Variable alle Werte zu finden, die beim Einsetzen in die Gleichung beide Seiten der Gleichung gleich groß werden lassen.
Ein Beispiel: Offensichtlich ist $x=4$ eine Lösung der Gleichung $3\cdot x=12$ , denn $3\cdot 4=12$ . Setzt man $x=4$ in die Gleichung ein, werden also beide Seiten gleich groß. In diesem Fall steht dann auf beiden Seiten $12$. Alle Werte meint dabei, dass eine Gleichung durchaus mehrere Lösungen haben kann. Um diese Werte zu finden, wird die Gleichung durch Umformungen in eine Form gebracht, in der man diese Werte ablesen kann.
Dabei ist eines wichtig: Die Lösungen der Gleichung dürfen sich während der Umformungen nicht ändern, sonst wären die am Ende abgelesenen Zahlenwerte ja keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung! Das heißt: Es gibt Umformungen, die beim Lösen einer Gleichung weiterhelfen - bei anderen muss man vorsichtig sein. Die Umformungen, die einem weiterhelfen, weil sie die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Dazu gehören die folgenden Umformungen:

1. auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche reelle Zahl, egal welche, addieren
2. auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Vielfache einer Variablen addieren
3. beide Seiten der Gleichung mit der gleichen reellen Zahl, ausgenommen der $0$, multiplizieren
4. beide Seiten der Gleichung mit dem gleichen Term ungleich $0$ multiplizieren
5. Terme vereinfachen, wie Klammern auflösen, Variablen zusammenfassen und Zahlen ausrechnen
6. die beiden Seiten der Gleichung vertauschen

Bemerkung: Bitte beachten Sie, dass in Addieren und Multiplizieren (Äquivalenzumformungen 1. bis 4.) auch Subtrahieren und Dividieren enthalten sind. Statt $5$ zu subtrahieren, kann man ja $-5$ addieren. Statt durch $10$ zu dividieren, kann man ja mit $\frac{1}{10}$ multiplizieren.

Ganz wichtig:
Wird beim Lösen einer Gleichung etwas addiert oder multipliziert, muss dies immer auf beiden Seiten der Gleichung gemacht werden. Sonst ändert sich die Lösungsmenge und die Mühe, einen Wert auszurechnen, war umsonst.
Hier ein Beispiel, indem korrekterweise alle Summanden in der Gleichung mit $2$ multipliziert werden:
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{1}{2}x+13 &=& 9 &\vert& \cdot 2 \cr x+26 &=& 18 &\vert&-26 \cr x &=& -8 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-8)+13 &=& 9 \cr-4+13 &=& 9 \cr9 &=& 9 \end{array}$
Setzt man den berechneten Wert in die Gleichung ein, ergibt sich auf beiden Seiten die gleiche Zahl. Der berechnete Wert ist also die Lösung der linearen Gleichung.

Würde man fälschlicherweise nur die beiden Summanden auf der linken Seite mit $2$ multiplizieren, ergäbe sich folgende Rechnung:
$\begin{array}{rclcl} x+26 &=& 9 &\vert& -26 \cr x &=& -17 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-17)+13 &\neq& 9 \cr-8{,}5+13 &\neq& 9 \cr-4{,}5 &\neq& 9 \end{array}$

Würde man fälschlicherweise nur den ersten Summanden auf der linken Seite mit $2$ multiplizieren, ergäbe sich folgende Rechnung:
$\begin{array}{rclcl} x+13 &=& 9 &\vert& -13 \cr x &=& -4 \end{array}$

Überprüfung:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}\cdot (-4)+13 &\neq& 9 \cr-2+13 &\neq& 9 \cr11 &\neq& 9 \end{array}$
Man sieht in diesen beiden Fällen, dass man 1. für $x$ einen anderen Wert berechnet als oben und 2. die Überprüfung nicht aufgeht. Die Werte, die sich ergeben, wenn man nur einige Summanden mit $2$ multipliziert, können also nicht Lösung der Gleichung sein.

Berücksichtigen Sie daher bei solchen Umformungen immer alle Terme auf beiden Seiten der Gleichung!

Etwas ganz Ähnliches wird Ihnen bei weiteren Gleichungstypen in späteren Kapiteln wieder begegnen. Es ist also wichtig, dass Sie sich hier schon damit vertraut machen.

Vielleicht haben Sie sich gefragt, warum die Multiplikation mit $0$ keine Äquivalenzumformung ist. Nehmen wir die (sehr einfache) Beispielgleichung:
$8=7$
Dies ist offensichtlich falsch. Wenn wir nun beide Seiten mit $0$ multiplizieren, passiert das Folgende:
$8\cdot 0=7 \cdot 0$ vereinfacht also $0=0$
Das wiederum ist richtig ... Wenn eine Umformung aus einer falschen Aussage eine richtige macht, ändert sich offensichtlich die Lösungsmenge. Damit erfüllt die Multiplikation mit $0$ nicht das Kriterium für eine Äquivalenzumformung. Die Erkenntnis, die man aus der umgeformten Gleichung ziehen kann, hat nämlich nichts mehr mit der ursprünglichen Gleichung zu tun. Die Umformung hilft uns auf dem Weg zur Lösung nicht weiter.

Die gerade besprochenen Äquivalenzumformungen sind grundsätzlich bei allen Gleichungen zulässig; allerdings reichen sie bei nicht linearen Gleichungen (wie sie in späteren Kapiteln behandelt werden) nicht immer aus. Dann kommen weitere Umformungsmöglichkeiten hinzu.

Hier ein ungefährer Plan zum Lösen einer Gleichung:

1. Klammern auflösen
2. auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen (alle Zahlenwerte zusammenrechnen, alle Variablen zusammenrechnen)
3. "sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite
   Achtung: Die Variable muss nicht $x$ heißen!
4. durch den Koeffizienten der Variable dividieren

Ein 5. Schritt wird weiter unten noch hinzukommen.

Ein Beispiel:
$\begin{array}{rclcl}-\left(4x-9\right)-2\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)+7 &=& -11x-6+3x &\vert & \text{Klammern auflösen} \cr -4x+9+x-2+7 &=& -11x-6+3x &\vert & \text{zusammenfassen} \cr -3x+14 &=& -8x-6 &\vert & \text{"sortieren": } +3x+6 \cr 14+6 &=& -8x+3x &\vert & \text{zusammenfassen}\cr 20 &=& -5x &\vert & :\left(-5\right) \cr -4 &=& x \end{array}$

Das Entscheidende an diesen Gleichungen ist, dass sie alle die gleiche Lösung haben. Anders gesagt: Löst eine Zahl eine dieser Gleichungen, löst sie alle! Sie können das direkt nachrechnen: Wenn Sie die Lösung der letzten Gleichung $x=-4$ in die anderen einsetzen, muss das Ergebnis der linken Seite immer gleich dem Ergebnis der rechten Seite sein.

Zur Notation: Es hat sich eingebürgert, am Ende einer Gleichungszeile hinter einem senkrechten Strich anzugeben, welche Rechenoperationen / Umformungen auf die Gleichung in diesem Schritt angewendet werden. Das muss man nicht machen, ist aber gerade am Anfang meist ziemlich hilfreich.

Bemerkung 1: Je nach Art der Gleichung kann man manchmal einen oder mehrere Schritte überspringen.
Bemerkung 2: Es ist egal, ob die Variable auf der rechten oder der linken Seite der Gleichung "gesammelt" wird, da die beiden Seiten einer Gleichung ja getauscht werden dürfen. $x=-4$ meint das Gleiche wie $-4=x$

Definitionsbereich und Lösungsmenge

Das war (leider) noch nicht ganz alles, was man beim Lösen linearer (und auch anderer) Gleichungen beachten muss ...

Zu jeder Gleichung gehört die Angabe eines Definitionsbereichs (Formelzeichen: $\mathbb{D}$). Dieser gibt an, welche Zahlen grundsätzlich als Lösung infrage kommen. Wenn nichts weiter angegeben ist und keine inhaltlichen bzw. formalen Gründe dagegensprechen, kann man davon ausgehen, dass der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen ist, also $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

Stehen Aufgaben in einem inhaltlichen Zusammenhang, sind häufig nur Lösungen aus einem bestimmten Zahlenbereich sinnvoll. Ein Beispiel: Als Nervennahrung, um die Matheklausur zu bestehen, benötigt ein Student der TH Wildau $5$ Schokoriegel. In der Mensa zahlt er dafür $4{,}50\;\text{EUR}$. Wie teuer ist ein Schokoriegel?
Sei $s$ der Preis eines Schokoriegels. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen: $5\cdot s=4{,}50$
Es dürfte einleuchtend sein, dass die Lösung dieser Gleichung positiv sein muss - ok, $0$ ist als Lösung auch möglich, wenn auch (leider) unwahrscheinlich ... Mathematisch notiert man: $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$. Wenn man noch genauer sein möchte, kann man argumentieren, dass irrationale Zahlen, wie $\sqrt{2}$ und $\pi$, ebenfalls nicht als Preise infrage kommen (Wie sollte man die unendlich vielen Nachkommastellen bezahlen?), die positiven rationalen Zahlen reichen also als Definitionsbereich aus: $\mathbb{D}=\mathbb{Q}^+_0$.

Variieren wir das Beispiel ein bisschen: Eine Studentin der TH Wildau möchte $5{,}20 \;\text{EUR}$ für Gummibärchen ausgeben. Eine Packung kostet $1{,}30\;\text{EUR}$. Wie viele Packungen kann sie kaufen?
Sei $g$ die Anzahl der Gummibärchentüten. Dann ist die folgende Gleichung zu lösen: $1{,}30\cdot g=5{,}20$
Hier gibt es noch mehr Einschränkungen: Weder negative noch gebrochene Zahlenwerte kommen als Lösung infrage. $0$ ist hier wieder theoretisch als Lösung möglich. Umgekehrt formuliert, benötigen wir für die Lösung nichtnegative, ganze Zahlen. Oder - noch anders formuliert - gesucht ist eine natürliche Zahl: $\mathbb{D}=\mathbb{N}$.

Auch aus formalen Gründen kann es notwendig sein, den Definitionsbereich einzuschränken: Da man durch $0$ ja nicht teilen darf, muss man dafür sorgen, dass der Nenner eines Bruches nie $0$ wird. Auch hier ein Beispiel: Bei der Gleichung $\frac{1}{x}=13$ muss $x=0$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Man schreibt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$.

Bei diesen Aufgaben sind die Beschränkungen des Definitionsbereichs alle relativ offensichtlich. Das liegt vor allem daran, dass die Beispiele recht einfach gewählt sind, um überhaupt erstmal das Prinzip deutlich zu machen. In späteren Kapiteln (insbesondere bei Wurzel- und Logarithmusgleichungen) werden Sie weitere Einschränkungen kennenlernen. So als Faustregel: Je komplexer die Gleichung wird, desto relevanter wird dabei auch der Definitionsbereich.

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge (Formelzeichen: $\mathbb{L}$).
Nach dem Lösen einer Gleichung muss immer noch geprüft werden, ob der berechnete Wert im Definitionsbereich liegt (vielleicht kommt er ja als Lösung gar nicht infrage ...). Daher ist die Zahl, die in der letzten Zeile steht, nicht automatisch eine Lösung der Gleichung! Nach dem Abgleich mit dem Definitionsbereich sollte die Lösung einer Gleichung dann immer in Form einer Lösungsmenge angegeben werden.
Zu den Beispielen von oben:
Schokoriegel: $\mathbb{L}_S=\{0{,}90\}$
Gummibärchen: $\mathbb{L}_G=\{4\}$

Der ungefähre Plan zum Lösen einer Gleichung lautet also:

1. Klammern auflösen
2. auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen (alle Zahlenwerte zusammenrechnen, alle Variablen zusammenrechnen)
3. "sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite.
   Achtung: Die Variable muss nicht $x$ heißen!
4. durch den Koeffizienten der Variable teilen
5. prüfen, ob die als Lösung ermittelte Zahl im Definitionsbereich liegt

Lösungsmenge aufschreiben nicht vergessen!

Überprüfen der gefundenen Lösungen

Um zu prüfen, ob die gefundene Zahl tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist, kann man die Probe machen, d. h. man setzt den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein und prüft, ob beide Seiten denselben Wert ergeben. Ist das nicht der Fall, sollte man noch mal nachrechnen ...

Betrachten wir noch einmal das Beispiel von oben: $-\left(4x-9\right)-2\left(-\dfrac{x}{2}+1\right)+7 = -11x-6+3x$ mit der Lösung $x=-4$
Setzt man für jedes $x$ in der Gleichung $-4$ ein, erhält man
$\begin{array}{rcl}-\left(4\cdot (-4)-9\right)-2\left(-\dfrac{-4}{2}+1\right)+7 &=& -11\cdot (-4)-6+3\cdot (-4) \cr -\left(-16-9\right)-2\left(-(-2)+1\right)+7 &=& 44-6+(-12) \cr -(-25)-2\cdot 3+7 &=& 44-6-12 \cr 25-6+7 &=& 26 \cr 26 &=& 26 \end{array}$

Stimmt! Wobei man vielleicht dazu sagen sollte, dass diese Probe hier sehr ausführlich aufgeschrieben ist ... Nicht jeder dieser Schritte muss wirklich dringend notiert werden.

Hier kann man auch nochmal gut sehen, warum es wirklich keine gute Idee ist, durch $0$ zu dividieren: Wenn die Division durch $0$ irgendein Ergebnis $x$ ergäbe, also z. B. $10:0 = x$, dann müsste es möglich sein, die Probe zu machen. Das wäre in diesem Fall $0\cdot x = 10$. Das Produkt von $0$ mit irgendeiner reellen Zahl ist aber immer $0$. $0\cdot x$ kann also nie $10$ werden - egal, für welche Zahl $x$ steht.

Lösbarkeit linearer Gleichungen

Zum Abschluss noch die Frage: Ist jede lineare Gleichung lösbar? Anders formuliert: Lässt sich für jede lineare Gleichung (mit dem oben gezeigten Weg) eine Zahl finden, sodass beide Seiten gleich groß werden?

Schauen wir uns dafür beispielhaft die folgenden drei Gleichungen an:

$-2x+1 = -2x+2-1$
Diese lineare Gleichung ist mehrdeutig lösbar. D. h., es gibt mehr als eine Zahl, die diese Gleichung löst. Um genau zu sein, gibt es sogar unendlich viele Lösungen. Rechnet man nämlich die Zahlen auf der rechten Seite zusammen, erhält man $-2x+1 = -2x+1$ . Hier sieht man: Egal, welche Zahl man für $x$ einsetzt, man erhält immer auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis. Was sollte auch sonst passieren, wenn die beiden Seiten der Gleichung identisch sind? Jedes Element des Definitionsbereiches ist also Lösung der Gleichung.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \mathbb{D}$. Konkret ist die Lösungsmenge dieser Aufgabe $\mathbb{L} = \mathbb{R}$; bei eingeschränkten Definitionsbereichen natürlich entsprechend diese Mengen.


$3x-1 = 5$
Diese lineare Gleichung ist eindeutig lösbar. D. h., es gibt genau eine Zahl, die diese Gleichung löst. Es ist also der gleiche Fall wie in dem Beispiel oben. Formt man sie um, indem man erst $1$ addiert und anschließend durch $3$ teilt, erhält man nämlich $x=2$ . Dies ist die einzige Lösung, denn keine andere Zahl ergibt $5$, wenn man sie mit $3$ multipliziert und anschließend $1$ subtrahiert.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{2\}$


$4x = 4x+1$
Die lineare Gleichung ist nicht lösbar. D. h., es gibt keine Zahl, die diese Gleichung löst. Zieht man auf beiden Seiten $4x$ ab, erhält man $0 = 1$ . Das ist ein Widerspruch. Anders gesagt: Es gibt keine Zahl, die genauso groß ist wie ihr Nachfolger.
Man notiert die Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \emptyset$


Zusammenfassung: Lineare Gleichungen können nicht lösbar (d. h. es gibt keine Lösungen), eindeutig lösbar (d. h. es gibt genau eine Lösung) oder mehrdeutig lösbar mit unendlich vielen Lösungen sein. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe

5.3 Lineare Gleichungen - Lösungen

1. Aufgabe

Erste Bemerkung vorab: Malpunkte zwischen den Variablen dürfen bei allen Aufgaben auch weggelassen werden. Das ist eigentlich die übliche Schreibweise. In diesem Kapitel wurden sie nur hingeschrieben, um deutlich zu machen, wo genau hier multipliziert wird.

Zweite Bemerkung vorab: Statt $x\cdot x$ dürfen Sie natürlich auch $x^2$ und statt $x\cdot x\cdot x$ auch $x^3$ schreiben. Hier wurde das nur deswegen nicht gemacht, weil die Potenzschreibweise "offiziell" erst in Kapitel 8 eingeführt wird ...

1)
$\begin{array}{rclcl} -3(-4x \cdot x+2x) &=& -3 \cdot (-4x \cdot x)-3 \cdot 2x &=& 12x \cdot x-6x \end{array}$

Vorgehen: Klammern auflösen

Bemerkung: Auf das Minuszeichen vor der Klammer achten!

 
2)
$\begin{array}{rcl} 4x \cdot x-3x \cdot y+11x \cdot x+16x-40y+3y \cdot x &=& 4x \cdot x+11x \cdot x-3x \cdot y+3x \cdot y+16x-40y \cr &=& 15x \cdot x+16x-40y \end{array}$

Vorgehen: zusammenfassen
 
Bemerkung 1: Gleiche Produkte von Variablen dürfen addiert und subtrahiert werden. Dabei ändert sich nur der Koeffizient.
 
Bemerkung 2: Die Reihenfolge der Variablen in einem Produkt ist egal. Üblich ist, die Variablen in alphabetischer Reihenfolge aufzuschreiben, weil das die Übersicht erleichtert.

 
3)
$\begin{array}{rcl} 60a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot c +10a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot c-30a \cdot b \cdot c \cdot c \cdot c &=& 10a \cdot b \cdot c(6a \cdot a \cdot c+b \cdot b-3c \cdot c) \end{array}$

Vorgehen: ausklammern

 
4)
$\begin{array}{rcl} 6-(8x-4y)+2(10y-7)+12-18x &=& 6-8x+4y+20y-14+12-18x \cr &=& -26x+24y+4 \end{array}$

Vorgehen: Klammern auflösen, anschließend zusammenfassen

 
5)
$\begin{array}{rcl} -(2a+d)(-2d+a) &=& -(-4a \cdot d+2a \cdot a-2d \cdot d+a \cdot d) \cr &=& -(-3a \cdot d+2a \cdot a-2d \cdot d) \cr &=& -2a \cdot a+3a \cdot d+2d \cdot d \end{array}$

Vorgehen: Klammern auflösen
 
Bemerkung: Auf das Minuszeichen vor den Klammern achten!

 
6)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{4}{5}t-\dfrac{t}{10}+\dfrac{7}{15}t &=& \dfrac{24}{30}t-\dfrac{3}{30}t+\dfrac{14}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{24-3+14}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{35}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{7}{6}t \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren, anschließend kürzen
 
Bemerkung 1: Ob die Variable auf oder hinter dem Bruchstrich steht, ist egal.
 
Bemerkung 2: Da die Variablen alle nur mit Zahlenwerten (und nicht mit weiteren Variablen) multipliziert werden, dürfen diese Koeffizienten einfach addiert bzw. subtrahiert werden.

 
7)
$\begin {array}{rcl} \dfrac{3x}{8}-\dfrac{5}{12}x-\dfrac{4}{x} &=& \dfrac{9x \cdot x}{24x}-\dfrac{10x \cdot x}{24x}-\dfrac {96}{24x} \cr \cr &=& \dfrac{9x \cdot x-10x \cdot x-96}{24x} \cr \cr &=& \dfrac{-x \cdot x-96}{24x} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren
 
Bemerkung: Die Variable muss im Hauptnenner berücksichtigt werden, da sie beim dritten Bruch im Nenner steht.

 
8)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2a}{b}+\dfrac{a}{m}+\dfrac{a}{b} &=& \dfrac{2a}{b}+\dfrac{a}{b}+ \dfrac{a}{m} \cr \cr &=& \dfrac{3a}{b}+\dfrac{a}{m} \cr \cr &=& \dfrac{3am}{bm}+\dfrac{ab}{bm} \cr \cr &=& \dfrac{3am+ab}{bm} \cr \cr &=& \dfrac{a(3m+b)}{bm} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren, anschließend ausklammern
 
Bemerkung: Den ersten und den dritten Bruch kann man sofort addieren, weil sie bereits den gleichen Nenner haben.

 
9)
$\begin{array} {rcl} \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} &=& \dfrac{1\cdot(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{x-1-x-1}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{- 2}{(x-1)(x+1)} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und subtrahieren

Bemerkung 1: Auf das Minuszeichen zwischen den Klammern im Zähler achten! Hier müssen unbedingt Klammern gesetzt werden, da der gesamte Zähler des zweiten Bruches subtrahiert werden muss.

Bemerkung 2: Man könnte im Nenner noch die Klammern auflösen.

 
10)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{y+2}{y-2}-\dfrac{2y- 2}{y+4} &=& \dfrac{(y+2)(y+4)}{(y-2)(y+4)}-\dfrac{(2y-2)(y-2)}{(y+4)(y-2)} \cr \cr &=& \dfrac{y \cdot y +6y+8}{(y-2)(y+4)}-\dfrac{2y \cdot y-6y+4}{(y-2)(y+4)} \cr \cr &=& \dfrac{y \cdot y+6y+8-(2y \cdot y-6y+4)}{(y- 2)(y+4)} \cr \cr &=& \dfrac{-y \cdot y+12y+4}{(y-2)(y+4)} \end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und subtrahieren
 
Bemerkung 1: Beim Zusammenfassen der Brüche müssen Klammern um den Zähler des zweiten Bruches gesetzt werden, da sich das Minuszeichen sonst nicht auf den gesamten Zähler auswirkt.
 
Bemerkung 2: Man könnte im Nenner noch die Klammern auflösen.

 
11)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3a-9} + \dfrac{b}{-3+a} &=& \dfrac{2}{3\left(a-3\right)} + \dfrac{b}{a-3} \cr \cr &=& \dfrac{2}{3\left(a-3\right)} + \dfrac{3b}{3\left(a-3\right)} \cr \cr &=& \dfrac{2+3b}{3\left(a-3\right)}\end{array}$

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren

Bemerkung: $-3+a$ ist das Gleiche wie $a-3$

 
12)
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{4x}{5} \cdot \dfrac{2}{3x} &=& \dfrac{8x} {15x} &=& \dfrac{8}{15} \end{array}$

Vorgehen: Brüche multiplizieren ("Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner"), anschließend kürzen
 
Bemerkung: $x$ muss bei dieser Aufgabe ungleich $0$ sein, da durch $0$ nicht geteilt werden darf.

 
13)
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{2a}{5} : \dfrac{a}{10} &=& \dfrac{2a}{5} \cdot \dfrac{10}{a} &=& 4 \end{array}$

Vorgehen: Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren), anschließend kürzen

Bemerkung: $a$ muss bei dieser Aufgabe ungleich $0$ sein, da durch $0$ nicht geteilt werden darf.

 
14)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{8}{z} + \left(\dfrac{z} {2}-12\right) \left(1+\dfrac{4}{z}\right) &=& \dfrac{8}{z} + \dfrac{z}{2} \cdot 1 + \dfrac{z}{2} \cdot \dfrac{4}{z} - 12 \cdot 1 -12 \cdot \dfrac{4}{z} \cr \cr &=& \dfrac{8}{z} + \dfrac{z}{2} + 2 - 12 - \dfrac{48}{z} \cr \cr &=& \dfrac{z}{2} - 10 - \dfrac{40}{z} \end{array}$

Vorgehen: Klammer auflösen nach dem Distributivgesetz, anschließend zusammenfassen

 
15)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{n-2}{n\cdot n+5n} : \dfrac{3n-6}{10n} &=& \dfrac{n-2}{n\cdot n+5n} \cdot \dfrac{10n}{3n-6} \cr \cr &=& \dfrac{n-2}{n\left(n+5\right)} \cdot \dfrac{10n} {3\left(n-2\right)} \cr \cr &=& \dfrac{1}{n+5} \cdot \dfrac{10}{3} \cr \cr &=& \dfrac{10}{3\left(n +5\right)} \end{array}$

Vorgehen: Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren), anschließend kürzen und zusammenfassen

Bemerkung 1: Aus der Summe $n+5$ darf nicht gekürzt werden.

Bemerkung 2: Der Term $n-2$ als Ganzes darf gekürzt werden. Bitte darauf achten, dass nach dem Kürzen im Zähler des ersten Bruches eine $1$ stehen bleibt.

 
16)
$\begin{array}{rcl} 6yz-\{12+7[yz +16-3x(15+8y)]\}+13x &=&6yz-\{12+7[yz+16-3x\cdot 15+(-3x)\cdot 8y]\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7[yz+16-45x-24xy]\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7\cdot yz+7\cdot 16+7\cdot(-45x)+7\cdot (-24xy)\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7yz+112-315x-168xy\}+13x \cr\cr &=&6yz-12-7yz-112+315x+168xy+13x \cr\cr &=&-yz-124+328x+168xy \cr\cr &=&168xy-yz+328x-124 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die runden Klammern, dann die eckigen und zum Schluss die geschweiften) und anschließend zusammenfassen

 
17)
$\begin{array}{rcl} \{8x[2+(13-5x)\cdot9x]-5\}\cdot4 &=&\{8x[2+13\cdot9x-5x\cdot9x]-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{8x[2+117x-45x\cdot x]-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{8x\cdot 2+8x\cdot 117x+8x\cdot (-45x\cdot x)-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{16x+936x\cdot x-360x\cdot x\cdot x-5\}\cdot4 \cr\cr &=&16x\cdot4+936x\cdot x\cdot4-360x\cdot x\cdot x\cdot4-5\cdot4 \cr\cr &=&64x+3744x\cdot x-1440x\cdot x\cdot x-20 \cr\cr &=&-1440x\cdot x\cdot x+3744x\cdot x+64x-20 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die runden Klammern, dann die eckigen und zum Schluss die geschweiften) und anschließend zusammenfassen

 
18)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}[6(12+4ab)\cdot3c-b(10a+20c)]+19 &=&\dfrac{1}{2}[(6\cdot12+6\cdot4ab)\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[(72+24ab)\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[72\cdot3c+24ab\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[216c+72abc-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}\cdot216c+\dfrac{1}{2}\cdot72abc+\dfrac{1}{2}\cdot(-10ab)+\dfrac{1}{2}\cdot(-20bc)+19 \cr\cr &=&36abc-5ab-10bc+108c+19 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die beiden runden Klammern und dann die eckigen) und anschließend zusammenfassen

 
19)
$\begin{array}{rcl} (x-15)[-u(2x+14ux-7)+16u-24xu] &=&(x-15)[-u\cdot2x-u\cdot14ux-u\cdot(-7)+16u-24ux] \cr\cr &=&(x-15)[-2ux-14uux+7u+16u-24ux] \cr\cr &=&(x-15)[-14uux-26ux+23u] \cr\cr &=&x\cdot(-14uux)+x\cdot(-26ux)+x\cdot23u-15\cdot(-14uux)-15\cdot(-26ux)-15\cdot23u \cr\cr &=&-14uuxx-26uxx+23ux+210uux+390ux-345u \cr\cr &=&-14uuxx+210uux-26uxx+413ux-345u \end{array}$

Vorgehen: erst innerhalb der eckigen Klammern "aufräumen" (runde Klammern nach dem Distributivgesetz auflösen, zusammenfassen, sortieren), dann runde Klammer von ganz vorne mit der eckigen Klammer mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und anschließend zusammenfassen
 
Bemerkung: Innerhalb der einzelnen Produkte sollten die Variablen in alphabetischer Reihenfolge geschrieben werden. Dann sieht man nämlich beispielsweise besser, dass $-2ux$ und $-24ux$ zusammengefasst werden können. Bei den Produkten selbst werden die mit den "meisten" Variablen zuerst geschrieben.

 
20)
$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3}[21+(11+18y)(-x-3)-2x\{9xy-5x+12\}-27x] &=&\dfrac{2}{3}[21+11\cdot(-x)+11\cdot(-3)+18y\cdot(-x)+18y\cdot(-3)-2x\cdot9xy-2x\cdot(-5x)-2x\cdot12-27x] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}[21-11x-33-18xy-54y-18xxy+10xx-24x-27x] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}[-18xxy+10xx-18xy-62x-54y-12] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}\cdot(-18xxy)+\dfrac{2}{3}\cdot10xx+\dfrac{2}{3}\cdot(-18xy)+\dfrac{2}{3}\cdot(-62x)+\dfrac{2}{3}\cdot(-54y)+\dfrac{2}{3}\cdot(-12) \cr\cr &=&-12xxy+\dfrac{20}{3}xx-12xy-\dfrac{124}{3}x-36y-8 \end{array}$

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die beiden runden sowie die geschweiften Klammern und dann die eckigen) und anschließend zusammenfassen

2. Aufgabe

Wichtig: Treffen Punkt- und Strichrechnung aufeinander, müssen Klammern gesetzt werden!

1)
$\begin{array}{cclll} a &=& 2b+c & \vert & \text{Setze b ein} \cr a &=& 2(3+c)+c & \vert & \text{Setze c ein} \cr a &=& 2(3+1)+1 \cr a &=& 2 \cdot 4+1 \cr a &=& 9 \end{array}$

2)
$\begin{array}{cclll} 2s &=& -4r-t+12 & \vert & \text{Setze r ein} \cr 2s &=& -4(3t-16)-t+12 & \vert & \text {Setze t ein} \cr 2s &=& -4(3 \cdot 24-16)-24+12 \cr 2s &=& -4 \cdot 56-24+12 \cr 2s &=& -224 -24+12 \cr 2s &=& -236 & \vert & :2 \cr s &=& -118 \end{array}$

3)
$\begin {array}{cclll} 2a &=& 18z+2 & \vert & :2 \cr a &=& 9z+1 \cr \cr x &=& a-10-4z & \vert & \text{Setze a ein} \cr x &=& 9z+1-10-4z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& 9 \cdot (-5)+1-10-4 \cdot (-5) \cr x &=& -45+1-10+20 \cr x &=& -44-10+20 \cr x &=& -34 \end {array}$

Bemerkung: Um $x$ zu berechnen, muss in der entsprechenden Zeile $a$ eingesetzt werden. Es ist aber kein Term für $a$ gegeben, sondern nur einer für $2a$. Daher muss diese Zeile zunächst umgeformt werden.

 
4)
$\begin{array}{cclll} 2l &=& 2z-14 & \vert & :2 \cr l &=& z-7 \cr \cr 12b &=& 3l+ \dfrac{1}{3}z+11 & \vert & \text{Setze l ein} \cr 12b &=& 3(z-7)+\dfrac{1}{3}z+11 & \vert & \text{Setze z ein} \cr 12b &=& 3(-9-7)+ \dfrac{1}{3} \cdot (-9)+11 \cr 12b &=& 3 \cdot (-16)-3+11 \cr 12b &=& -48-3+11 \cr 12b &=& -40 & \vert & :12 \cr b &=& -\dfrac{40}{12} = - \dfrac{10} {3} \end{array}$

5)
$\begin{array}{cclll} 2v &=& 16-8w & \vert & :2 \cr v &=& 8-4w \cr \cr -3w &=& 27 & \vert &:(-3) \cr w &=& -9 \cr \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25v-8w & \vert & \text{Setze v ein} \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8-4w)-8w & \vert & \text{Setze w ein} \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8-4 \cdot(-9))-8 \cdot (-9) \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8+36)+72 \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25 \cdot 44+72 \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-1100+72 \cr \dfrac{1} {5}u &=& -928 & \vert & \cdot 5 \cr u &=& -4640 \end{array}$

3. Aufgabe

1) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Ob die Variable $x$ auf oder hinter dem Bruchstrich steht, ist egal. Dies sind nur zwei verschiedene Schreibweisen, die das Gleiche meinen.

 
2) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da auf der linken Seite der Kosinus auf die Variable angewendet wird. Außerdem entsteht beim Ausmultiplizieren der Klammern auf der rechten Seite $x\cdot x = x^2$ .

3) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable $x$ auch quadriert auftritt.

4) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable $x$ im Nenner eines Bruches auftritt.

5) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

6) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Durch das Wurzelzeichen sieht die Gleichung zwar auf den ersten Blick nicht linear aus. Da unter der Wurzel aber "nur" eine Zahl steht, kann die Wurzel einfach berechnet werden: $\sqrt{4}=2$ , also steht auf der linken Seite der Gleichung nichts anderes als $1+2x$.

7) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da nach dem Ausmultiplizieren der Klammern die Variable $x$ auch quadriert auftritt.

8) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

9) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Die Wurzel im Nenner kann einfach berechnet werden, weil sie "nur" eine Zahl enthält. Also steht auf der linken Seite $\dfrac{x}{8}$. Das ist gleichbedeutend mit $\dfrac{1}{8} \cdot x$. Also, alles in Ordnung.

10) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable $x$ im Nenner eines Bruches auftritt.

4. Aufgabe

1)
$\begin{array}{rclll} 2x - 4 \, &=& \, -4x - 1 & \vert & +4x+4 \cr 2x+4x &=& -1+4 \cr 6x &=& 3 & \vert & :6 \cr x &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$
 
Probe:
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 4 \, &=& \, -4 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 \cr 1-4 &=& -2-1 \cr -3 &=& -3 \end{array}$

Für $x = \dfrac{1}{2}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{1}{2} \right\}$

2)
$\begin{array}{rclll} 3 (2x-1) &=& -5 (17+7x) \cr 6x-3 &=& -85-35x & \vert & -6x+85 \cr -3+85 &=& -35x-6x \cr 82 &=& -41x & \vert & :(-41) \cr -2 &=& x \end{array}$

Probe:
$\begin {array}{rcl} 3 \cdot (2 \cdot \left(-2\right)-1) &=& -5\cdot (17+7 \cdot \left(-2\right)) \cr 3 \cdot (-4-1) &=& -5 \cdot (17-14) \cr 3 \cdot (-5) &=& -5 \cdot 3 \cr -15 &=& -15 \end{array}$

Für $x = -2$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-2 \right\}$

3)
$\begin{array}{rclll} 6(4x-8) &=& (-12x+24) \cdot (-2) \cr 24x-48 &=& 24x-48 & \vert & -24x+48 \cr 24x-24x &=& - 48+48 \cr 0&=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

4)
$\begin{array}{rclll} 3x \, (-4x-10) &=& (2-2x) \cdot (6x+15) \cr -12x^2-30x &=& 12x+30-12x^2-30x & \vert & +12x^2+30x-12x \cr -12x^2+12x^2-30x+30x-12x &=& 30 \cr -12x &=& 30 & \vert & :(-12)\cr x &=& -\dfrac{30}{12} = -\dfrac{5}{2} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl} 3 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right) \cdot \, \left(-4 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)-10\right) &=& \left(2-2 \, \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)+15\right) \cr -\dfrac{15}{2} \cdot (10-10) &=& (2+5) \cdot (-15+15) \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = -\dfrac{5}{2}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-\dfrac{5}{2} \right\}$

5)
$\begin{array}{rclll} 4 \, (4a-1) &=& 8 \, \left(\dfrac{1}{2}+2a\right) \cr 16a-4 &=& 4+16a & \vert & - 16a+4 \cr 16a-16a &=& 4+4 \cr 0 &=& 8 \cr \cr \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}$

Bemerkung: Beim Umformen der Gleichung entsteht ein Widerspruch: $0=8$ kann nie stimmen. Daher ist diese Gleichung nicht lösbar: $\mathbb{L} = \emptyset$

 
6)
$\begin{array}{rclll} -3 \, (6y+2) &=& 12y-5 \cr -18y-6 &=& 12y-5 & \vert & -12y+6 \cr -18y-12y &=& -5+6 \cr -30y &=& 1 & \vert & :(-30) \cr y &=& -\dfrac{1}{30} \not\in\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}$

Bemerkung: Als Definitionsbereich ist hier die Menge der natürlichen Zahlen ($\mathbb{D} = \mathbb{N}$) gegeben. $-\frac{1}{30}$ ist aber nun mal keine natürliche Zahl ($-\frac{1}{30} \not\in\mathbb{N}$). Also kann für diese Gleichung keine Zahl gefunden werden, die beide Seiten gleich groß werden lässt und im Definitionsbereich liegt.

7)
$\begin{array}{rclll} 2 \, (3x-1) &=& 3(2+5x)+1 \cr 6x-2 &=& 6+15x+1 \cr 6x-2 &=& 15x+7 & \vert & -15x+2 \cr 6x-15x &=& 7+2 \cr -9x &=& 9 & \vert & :(-9) \cr x &=& -1 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 2\cdot (3\cdot (-1)-1) &=& 3\cdot (2+5\cdot (-1))+1 \cr 2\cdot (-4) &=& 3\cdot(-3)+1 \cr -8 &=& -8 \end{array}$

Für $x = -1$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-1 \right\}$

8)
$\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{3} (-3y+6) &=& \dfrac{3}{2} (6y-2) \cr -y+2 &=& 9y-3 & \vert & -9y-2 \cr -y-9y &=& -3-2 \cr -10y &=& -5 & \vert & :(-10) \cr y &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{3}\cdot\left(-3\cdot \dfrac{1}{2}+6\right) &=& \dfrac{3}{2}\cdot\left(6\cdot\dfrac{1}{2}-2\right) \cr\cr \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{2} &=& \dfrac{3}{2}\cdot 1 \cr\cr \dfrac{3}{2} &=& \dfrac{3}{2} \end{array}$

Für $x = \dfrac{1}{2}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{1}{2} \right\}$

9)
$\begin{array}{rclll} 6 \, (2x-4)-7 &=& 9-8\left(\dfrac{1}{4}x+5\right) \cr 12x-24-7 &=& 9-2x-40 \cr 12x-31 &=& -2x-31 & \vert & +2x+31 \cr 12x+2x &=& -31+31 \cr 14x &=& 0 & \vert & :14 \cr x &=& 0 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 6\cdot (2\cdot 0 -4)-7 &=& 9-8\cdot \left(\dfrac{1}{4}\cdot0+5\right) \cr 6\cdot(-4)-7 &=& 9-8\cdot 5 \cr -24-7 &=& 9-40 \cr\cr -31 &=& -31 \end{array}$

Für $x = 0$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{0 \right\}$

10)
$\begin{array}{rclll} 4 \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+5\left(\dfrac{x}{5}-\dfrac{1}{3}\right) &=& 0 \cr 2x-\dfrac{4}{3}+x-\dfrac{5}{3} &=& 0 \cr 3x-3 &=& 0 & \vert & +3 \cr 3x &=& 3 & \vert & :3 \cr x &=& 1 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 4\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+5\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right) &=& 0 \cr\cr 4\cdot\dfrac{1}{6}+5\cdot\left(-\dfrac{2}{15}\right) &=& 0 \cr\cr \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3} &=& 0 \cr\cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = 1$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{1 \right\}$

11)
$\begin{array}{rclll} 13m+m+30-23m-45+17+12m &=& -31 \cr 3m+2 &=& -31 & \vert & -2 \cr 3m &=& -31-2 \cr 3m &=& -33 & \vert & :3 \cr m &=& -11 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 13\cdot(-11)+(-11)+30-23\cdot(-11)-45+17+12\cdot(-11) &=& -31 \cr -143-11+30+253-45+17-132 &=& -31 \cr -31 &=& -31 \end{array}$

Für $x = -11$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-11 \right\}$

12)
$\begin{array}{rclll} \dfrac{x+3}{2} &=& \dfrac{x+3}{4}&\vert&\cdot4 \cr 2(x+3)&=&x+3 \cr 2x+6&=&x+3&\vert&-6-x \cr 2x-x&=&3-6 \cr x&=&-3\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{-3+3}{2} &=& \dfrac{-3+3}{4} \cr\cr \dfrac{0}{2} &=& \dfrac{0}{4} \cr\cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = -3$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-3 \right\}$

13)
$\begin{array}{rclll}5\left(x+\dfrac{18}{25}\right) &=& 3\left(x-\dfrac{4}{5}\right) \cr 5x+\dfrac{18}{5} &=& 3x-\dfrac{12}{5} & \vert & -\dfrac{18}{5}-3x \cr 5x-3x &=& -\dfrac{12}{5}-\dfrac{18}{5} \cr 2x &=& -6 & \vert & : 2 \cr x &=& -3 \not\in\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L}&=&\emptyset \end{array}$

Bemerkung: Als Definitionsbereich ist hier die Menge der positiven reellen Zahlen ($\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$) gegeben. $-3$ ist nun mal negativ. Also kann für diese Gleichung keine Zahl gefunden werden, die beide Seiten gleich groß werden lässt und im Definitionsbereich liegt.

14)
$\begin{array}{rclll}0{,}2a-0{,}3-0{,}5a+3{,}1a+0{,}7a &=& 1{,}9a+5-0{,}4a+2{,}7 \cr 3{,}5a-0{,}3 &=& 1{,}5a+7{,}7 & \vert & +0{,}3-1{,}5a \cr 3{,}5a-1{,}5a &=& 7{,}7+0{,}3 \cr 2a &=& 8 & \vert & : 2 \cr a &=& 4 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 0{,}2\cdot 4-0{,}3-0{,}5\cdot 4+3{,}1\cdot 4+0{,}7\cdot 4 &=& 1{,}9\cdot 4+5-0{,}4\cdot 4+0{,}5+2{,}2 \cr 0{,}8-0{,}3-2+12{,}4+2{,}8 &=& 7{,}6+5-1{,}6+0{,}5+2{,}2 \cr 13{,}7 &=& 13{,}7 \end{array}$

Für $x = 4$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{4 \right\}$

15)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{-12x+24}{6} &=& 2(3x-38) \cr \dfrac{1}{6}(-12x+24) &=& 2(3x-38) \cr -2x+4 &=& 6x-76 & \vert & -4-6x \cr -2x-6x &=& -76-4 \cr -8x &=& -80 &\vert & : \left(-8\right) \cr x &=& 10 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{-12\cdot 10+24}{6} &=& 2\cdot(3\cdot 10-38) \cr \dfrac{-96}{6} &=& 2\cdot (-8) \cr -16 &=& -16 \end{array}$

Für $x = 10$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{10 \right\}$

16)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{3x}{5}-\dfrac{4}{5}x+2x &=& x+4 \cr\cr \dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{10}{5}x &=& x+4 \cr\cr \dfrac{9}{5}x &=& x+4 & \vert & -x \cr\cr \dfrac{9}{5}x-\dfrac{5}{5}x &=& 4 \cr\cr \dfrac{4}{5}x &=& 4 &\vert & \cdot \dfrac{5}{4} \cr\cr x &=& 5 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{3\cdot 5}{5}-\dfrac{4}{5}\cdot 5 +2\cdot 5 &=& 5+4 \cr 3-4+10 &=& 9 \cr 9 &=& 9 \end{array}$

Für $x = 5$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{5 \right\}$

17)
$\begin{array}{rclll}0&=&7+3x+4-5x+4x-8+x+30 \cr 0&=& 33+3x &\vert & -3x \cr -3x&=&33 &\vert & :\left(-3\right) \cr x &=& -11 \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 0 &=& 7+3\cdot(-11)+4-5\cdot(-11)+4\cdot(-11)-8+(-11)+30 \cr 0 &=& 7-33+4+55-44-8-11+30 \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x = -11$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-11 \right\}$

18)
$\begin{array}{rclll}-9+3\left(-8p+3\right)&=&-2\left(10p-2\right)+4\left(-1-p\right)\cr-9-24p+9&=&-20p+4-4-4p\cr-24p&=&-24p &\vert& +24p \cr 0&=&0 \cr\cr\mathbb{L}&=&\mathbb{R}\end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

19)
$\begin{array}{rclll}3\left(5b+1\right)-3b&=&21-2\left(4+\dfrac{5}{2}b\right)\cr\cr15b+3-3b&=&21-8-5b \cr 12b+3&=&-5b+13&\vert&+5b-3 \cr 17b&=&10&\vert&:17 \cr b&=&\dfrac{10}{17}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rclll} 3\left(5\cdot\dfrac{10}{17}+1\right)-3\cdot\dfrac{10}{17}&=&21-2\left(4+\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{10}{17}\right) \cr\cr 3\left(\dfrac{50}{17}+1\right)-\dfrac{30}{17}&=&21-2\left(4+\dfrac{25}{17}\right) \cr\cr 3\cdot\dfrac{67}{17}-\dfrac{30}{17}&=&21-2\cdot\dfrac{93}{17} \cr\cr \dfrac{201}{17}-\dfrac{30}{17}&=&21-\dfrac{186}{17} \cr\cr \dfrac{171}{17}&=&\dfrac{171}{17} \end{array}$

Für $x = \dfrac{10}{17}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{10}{17} \right\}$

20)
$\begin{array}{rclll} 30z-26\left(\dfrac{2z}{13}-1\right)+5z&=&-6+2\left(25z+16\right)-19z \cr\cr 30z-4z+26+5z&=&-6+50z+32-19z \cr 31z+26&=&31z+26&\vert&-26 \cr 31z&=&31z &\vert& -31z \cr 0&=&0 \cr\cr \mathbb{L}&=&\mathbb{R} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

5. Aufgabe

Sei $x$ die Anzahl der Schüler des Pythagoras.
Dann "übersetzt" man:

• "die Hälfte studiert Mathematik" mit $\dfrac {x}{2}$
• "ein Viertel studiert Physik" mit $\dfrac {x}{4}$
• "ein Siebtel lernt das Schweigen" mit $\dfrac {x}{7}$

Zusammen ergibt sich also:
$\begin{array}{rclcl}x &=& \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{7}+3 & \vert& \text{erweitern} \cr x &=& \dfrac{14x}{28}+\dfrac{7x}{28}+\dfrac{4x}{28}+3 &\vert& \cdot 28 \cr 28x &=& 14x+7x+4x+84 \cr 28x &=& 25x+84 &\vert& -25x \cr 3x &=& 84 &\vert& \cdot \dfrac{1}{3} \cr x &=& 28 \end{array}$

Pythagoras hat also $28$ Schüler.

Bemerkung zu Textaufgaben allgemein:

Der erste Schritt beim Lösen einer Textaufgabe ist immer, sich die benötigten Variablen zu definieren. Anders formuliert: Es muss die Frage "Was ist hier eigentlich gesucht?" bzw. "Was soll hier eigentlich berechnet werden?" beantwortet werden. Das ist zum einen wichtig, da es einfacher wird, die Logik der Aufgabe zu durchschauen, wenn man das Ziel kennt. Zum anderen kann nur dann eine sinnvolle Gleichung formuliert werden, wenn klar ist, was die Variablen genau bezeichnen. Welche Bezeichnung Sie dabei wählen, ist nicht wichtig. Es hat eine gewisse Tradition, die unbekannte Größe $x$ zu nennen. Wenn sich aus inhaltlichen Gründen eine andere Bezeichnung anbietet (hier könnte man z. B. die Anzahl der Schüler auch gut $s$ nennen), spricht üblicherweise nichts dagegen, diese Bezeichnung zu verwenden. Im Gegenteil: Solche Benennungen können helfen, eine möglicherweise komplexere Aufgabe samt Lösungsweg übersichtlich zu halten.
Eine Schritt-für-Schritt-"Übersetzung" der in der Aufgabenstellung gegebenen Sachverhalte in mathematische Formeln kann ebenfalls helfen, die Gleichung aufzustellen (und bringt evtl. in der Klausur noch dringend benötigte Teilpunkte ...).
Den Antwortsatz nicht vergessen!

Übersicht:

• 1. Aufgabe
• 2. Aufgabe
• 3. Aufgabe
• 4. Aufgabe
• 5. Aufgabe
• 6. Aufgabe
• 7. Aufgabe
• 8. Aufgabe
• 9. Aufgabe

6.1 Lineare Funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die lineare Funktion, die durch die beiden angegebenen Punkte verläuft, und zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem!

2. Aufgabe

Stellen Sie jeweils fest, ob der angegebene Punkt $P$ auf der Geraden $f(x)$ liegt!

3. Aufgabe

Beantworten Sie zu den linearen Funktionen jeweils die folgenden Fragen:

• Wie ist das Steigungsverhalten der Geraden? Steigt/Fällt sie oder ist sie konstant?
• Schneidet die Gerade die y-Achse bei einer positiven/negativen Zahl oder bei $0$?

Und das Alles: Ohne zu rechnen und zu zeichnen! Es geht nämlich bei dieser Aufgabe darum, den Funktionsterm zu verstehen und daraus Informationen über den Funktionsgraphen abzulesen, um z. B. Rechnungen plausibilisieren zu können.

Hinweis: Wer (noch) nicht weiß, was Potenzausdrücke, wie $(-754)^{39}$, bedeuten, kann die Aufgaben 8) - 10) zurückstellen und erst das Kapitel Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bearbeiten.

4. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Schnittpunkte der Geraden $g(x)$ mit den Koordinatenachsen!

5. Aufgabe