Lernmodul Mathematik

Übersicht:

14.1 Bruchgleichungen und gebrochen rationale Funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Lösen Sie folgende Bruchgleichungen! Geben Sie jeweils den Definitionsbereich an!

1) $\dfrac{x^2+2x-30}{x-3}=2$		11) $2 = \dfrac{10}{x-2}-\dfrac{10}{x+2}$
2) $\dfrac{x}{8-x^2}=-\dfrac{1}{x^2-8}$		12) $-\dfrac{2(y-2)^2}{y}-2+\dfrac{(3y-8)^2}{3y} = \dfrac{14}{3y}$
3) $\dfrac{t^2+16t-4}{t+2}-10 = t$		13) $6(6t+1)=\dfrac{9+6t}{t}$
4) $\dfrac{x+21}{2}-4+\dfrac{1}{x}=7$		14) $4 \cdot \dfrac{2x+1}{2x+2} = \dfrac{x+1}{4x+2}$
5) $\dfrac{21}{x^3-7x}-4x=\dfrac{6}{x^3-7x}$		15) $\dfrac{x^2-2x+10}{x+1}=\dfrac{3x+16}{x+1}$
6) $\dfrac{1}{x^2-81}=\dfrac{x}{x-9}-1$		16) $-x\left(-x+2+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{x}{14+2x} : \dfrac{x}{196-4x^2}$
7) $6+\dfrac{5x^3+9x}{x^3}=-\dfrac{1}{x}+11$		17) $\left(\dfrac{1}{x}-3\right) \cdot 2x^2 = \dfrac{x^2+8x+16}{x+4}$
8) $\dfrac{3z+4}{27z^2+72z+48}+\dfrac{z-6}{6z}=\dfrac{1}{3z+4}$		18) $\dfrac{16x^2-120x}{x} = 8x^2 \cdot \dfrac{-x-1}{x+1}$
9) $\dfrac{x^2-8}{3(x-4)}=\dfrac{x^3-4x(-0{,}25x+2)-8}{3x^2-9x-12}$		19) $\dfrac{10x^2+4x}{16x-36x^2} = \dfrac{3}{x}$
10) $\dfrac{4x}{-4x-72} = \dfrac{9}{2x+3}$		20) $\dfrac{27x^3+6x^2}{3x} = -\dfrac{3x+6}{27(x+2)}$

2. Aufgabe

1) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{2+x}{x-1}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{1\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=\dfrac{5}{3}$ b) wenn $y=-\dfrac{5}{2}$		6) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{x^2-2}{x^2+4}-2$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=0$ b) wenn $y=-\dfrac{23}{20}$
2) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{1}{x^2-4}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-2;2\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=6$ b) wenn $y=\dfrac{1}{5}$		7) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{20x^2}{2x-100}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{50\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=\dfrac{1}{10}$ b) wenn $y=-\dfrac{25}{19}$
3) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{5x-11}{x^3-8}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{2\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-4$ b) wenn $y=0$		8) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{-5x^3+16x^2-24x+160}{-2x^2+3x}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0;\;\frac{3}{2}\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-5$ b) wenn $y=-8$
4) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{2x^2-2x}{x^3+2x^2-3x}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0;1\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-21$ b) wenn $y=-\dfrac{1}{8}$		9) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{x}{(x-2)^2}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{2\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=7$ b) wenn $y=\dfrac{7}{169}$
5) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{-15+x}{x}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=6$ b) wenn $y=1$		10) Gegeben sei die Funktion $f(x)= \dfrac{2}{x(x-5)}-1$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0;\;5\right\}}$ . Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes $P(x\mid y)$ , a) wenn $x=-14$ b) wenn $y=-\dfrac{24}{25}$

3. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen den Definitionsbereich und die Nullstellen!

1) $f(x) = \dfrac{x+3}{x-2}$		11) $g(s) = \dfrac{s^2+2}{s}$
2) $g(x) = \dfrac{x^2-x+6}{x^2-3x+8}$		12) $f(x) = \dfrac{3x+4}{x^4-5}$
3) $f(x) = \dfrac{2x^2-4x+4}{x^3-10x^2+27x}$		13) $f(p) = \dfrac{2}{p+5}+3$
4) $f(z) = \dfrac{z^2-4}{z^3+3z}$		14) $g(x) = \dfrac{\frac{3}{2}x^3+\frac{4}{3}x^2+\frac{5}{4}x}{x^7+x^3}$
5) $f(x) = \dfrac{(x^2+x-2)^2}{x^4+2x^2-8}$		15) $f(x) = \dfrac{4x^2+2}{4x-1}+1$
6) $f(x) = \dfrac{x^2-x-12}{x^2-2x-15}$		16) $f(y) = \dfrac{y^2-5}{2}-\dfrac{2}{y^2}+3$
7) $g(x) = \dfrac{x^2+8x+16}{x+4}$		17) $g(x) = \dfrac{x^5-x^2}{x}+\dfrac{x^3-4x^4}{4}$
8) $f(x) = \dfrac{x+7-x^2}{x^4+1}$		18) $f(x) = \dfrac{4x}{4x^3}-\left(\dfrac{1}{x^2}-4\right)+\dfrac{x^6-16}{2}$
9) $f(x) = \dfrac{2x+6}{(x^2-3)^4}$		19) $f(x) = \dfrac{x^3+5x}{x^2+2}+3$
10) $f(x) = \dfrac{2x^3-5x^2+4x}{(x-1)^2}$		20) $f(b) = \dfrac{1}{b^3+5b}+2b$