Übersicht:

4.3 Prozentrechnung - Lösungen

Eine Bemerkung vorab: Der Abwechslung halber und um Ihnen auch Beispiele für diesen Rechenweg zu zeigen, wurden alle Textaufgaben mit dem Dreisatz gelöst. Mit der Prozentformel geht es natürlich auch. Umgekehrt können natürlich auch die anderen Aufgaben mithilfe der Dreisatzrechnung gelöst werden.

Und noch eine Bemerkung: Bei Textaufgaben ist es üblich, einen Antwortsatz zu schreiben.

1. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $W$ und $G$ .
Gesucht ist $p$ in $\%$ .

Die Prozentformel wird also in der Form $p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \%$ angewendet.

1) $3 \text{ von } 24 = \dfrac{3}{24} \cdot 100 \, \% = 12{,}5 \, \%$

2) $23 \text{ von }46 = \dfrac{23}{46} \cdot 100 \, \% = 50 \, \%$

3) $96{,}32 \text{ von } 112 = \dfrac{96{,}32}{112} \cdot 100 \, \% = 86 \, \%$

4) $12 \text{ von } 50 = \dfrac{12}{50} \cdot 100 \, \% = 24 \, \%$

5) $45 \text{ von } 120 = \dfrac{45}{120} \cdot 100 \, \% = 37{,}5 \, \%$

6)
$\begin{array}{rclcr}27\;\text{Affen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Affe}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{27} \cr \cr 15\;\text{Affen}&\widehat{=}& \dfrac{15\cdot 100\,\%}{27} &\approx& 55{,}56\,\% \end{array}$

Etwa $55{,}56\, \%$ der Affen in diesem Gehege sind weiblich.

7)
$\begin{array}{rclcr}21\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Spieler}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{21} \cr \cr 5\;\text{Spielerinnen}&\widehat{=}& \dfrac{5\cdot 100\,\%}{21} &\approx& 23{,}81\,\% \end{array}$

Etwa $23{,}81\, \%$ der Spielerinnen sind neu im Team.

8)
Zunächst müssen wir die Ersparnis berechnen: $5{,}6\,\text{l}-4{,}9\,\text{l}=0{,}7\,\text{l}$

$\begin{array}{rclcr}5{,}6\,\text{l}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{5{,}6} \cr \cr 0{,}7\,\text{l}&\widehat{=}& \dfrac{0{,}7\cdot 100\,\%}{5{,}6} &=& 12{,}5\,\% \end{array}$

Es werden $12{,}5\,\%$ Benzin eingespart.

9)
Zunächst muss die absolute Preisänderung berechnet werden: $1{,}30\;\text{EUR} - 1{,}20\;\text{EUR} = 0{,}10\;\text{EUR}$

$\begin{array}{rclcl} 1{,}20\;\text{EUR} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{1{,}2} \cr\cr 0{,}1 \;\text{EUR} &\widehat{=}& \dfrac{0{,}1 \cdot 100\, \%}{1{,}2} &\approx& 8{,}33\% \end{array}$

Der Milchpreis ist um rund $8{,}33 \,\%$ gestiegen.

10)
Nachdem $4$ Kugeln gezogen wurden, befinden sich noch $46$ Kugeln in der Box. Davon sind immer noch $15$ schwarz und der Rest blau.

$\begin{array}{rclcl} 45 \;\text{Kugeln} &\widehat{=}& 100\,\% \cr\cr 1 \;\text{Kugel} &\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{46} \cr\cr 15 \; \text{Kugeln} &\widehat{=}& \dfrac{15 \cdot 100\,\%}{46} &\approx& 32{,}61\, \% \end{array}$

Rund $32{,}61 \%$ der in der Box verbliebenen Kugeln sind schwarz.

2. Aufgabe

1) $\dfrac {3}{4} = 0{,}75 = 75 \, \%$		7) $\dfrac {1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5 \, \%$
2) $\dfrac {2}{3} \approx 0{,}66667 \approx 66{,}67 \, \%$		8) $\dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10 \, \%$
3) $\dfrac {1}{2} = 0{,}5 =50 \, \%$		9) $\dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5 \, \%$
4) $\dfrac {1}{3} \approx 0{,}33333 \approx 33{,}33 \, \%$		10) $\dfrac{1}{25} = 0{,}04 = 4 \, \%$
5) $\dfrac {1}{4} = 0{,}25 = 25 \, \%$		11) $\dfrac{1}{100} = 0{,}01 = 1 \, \%$
6) $\dfrac {1}{5} = 0{,}2 = 20 \, \%$		12) $\dfrac{1}{1.000} = 0{,}001 = 1 \, \permil$

Bemerkung: Bitte achten Sie darauf, dass bei den Aufgaben 7) und 9) gerundet wurde und deshalb dort das Ungefährzeichen $\approx$ stehen muss.

3. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $G$ .
Gesucht ist $W$ .

Die Prozentformel wird also in der Form $W = \dfrac{p \cdot G}{100}$ angewendet.

1) $12 \, \% \text{ von } 384 = \dfrac{12 \cdot 384}{100} = 46{,}08$

2) $67{,}1 \, \% \text{ von } 1.250 = \dfrac{67{,}1 \cdot 1.250}{100} = 838{,}75$

3) $45 \, \% \text{ von } 692 = \dfrac{45 \cdot 692}{100} = 311{,}4$

4) $73 \, \% \text{ von } 14.600 = \dfrac{73 \cdot 14.600}{100} = 10.658$

5) $52{,}6 \, \% \text{ von } 725 = \dfrac{52{,}6 \cdot 725}{100} = 381{,}35$

6)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 1.200\,\text{l} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{1.200\,\text{l}}{100} \cr \cr 72{,}3\,\% &\widehat{=}& \dfrac{72{,}3\cdot 1.200\,\text{l}}{100} &=& 867{,}6\,\text{l} \end{array}$

Es sind $867{,}6\,\text{l}$ Saft verloren gegangen.

7)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 980\;\text{Züge} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{980\;\text{Züge}}{100} \cr \cr 95\,\% &\widehat{=}& \dfrac{95\cdot 980\;\text{Züge}}{100} &=& 931\;\text{Züge} \end{array}$

Es waren 931 Züge pünktlich.

8)
$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 357\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{357\;\text{EUR}}{100} \cr \cr 12\,\% &\widehat{=}& \dfrac{12\cdot 357\;\text{EUR}}{100} &=& 42{,}84\;\text{EUR} \end{array}$

Der Preis ist um $42{,}84\;\text{EUR}$ angestiegen.

9)
1. Schritt:
Reismenge nach dem ersten Verkauf: $100\, \% - 10 \,\% = 90 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 500 \,\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{500}{100} \;\text{kg} \cr\cr 90 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{90 \cdot 500 \;\text{kg}}{100} &=& 450 \;\text{kg} \end{array}$

2. Schritt:
Die nach dem Morgen verbliebenen $450\;\text{kg}$ stellen nun $100 \,\%$ der Restmenge dar.
Reismenge nach dem zweiten Verkauf: $100 \,\% - 15 \,\% = 85 \,\%$

$\begin{array}{rclcl} 100\;\% &\widehat{=}& 450 \;\text{kg} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{450}{100} \;\text{kg} \cr\cr 85 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{85 \cdot 450 \;\text{kg}}{100} &=& 382{,}5 \;\text{kg} \end{array}$

Nach beiden Verkäufen befinden sich noch $382{,}5\;\text{kg}$ Reis im Lager.

10)
Zunächst muss die Grundstücksfläche insgesamt berechnet werden: $15 \;\text{m} \cdot 12 \;\text{m} = 180 \;\text{m}^2$

Nun kann der Anteil der Fläche für die Hütte berechnet werden:
$\begin{array}{rclcl} 100\,\% &\widehat{=}& 180 \;\text{m}^2 \cr\cr 20 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{180\;\text{m}^2}{5} &=& 36 \;\text{m}^2 \end{array}$

Die Hütte kann eine Grundfläche von $36\;\text{m}^2$ haben.

4. Aufgabe

Gegeben sind hier jeweils $p$ in $\%$ und $W$ .
Gesucht ist $G$ .

Die Prozentformel wird also in der Form $G = \dfrac{W}{p} \cdot 100$ angewendet.

1) $81 \, \% \text{ entsprechen } 162 \Rightarrow G = \dfrac{162}{81} \cdot 100 = 200$

2) $99 \, \% \text{ entsprechen } 12{,}672 \Rightarrow G = \dfrac{12{,}672}{99} \cdot 100 = 12{,}8$

3) $50{,}5 \, \% \text{ entsprechen } 30{,}3 \Rightarrow G = \dfrac{30{,}3}{50{,}5} \cdot 100 = 60$

4) $22{,}2 \, \% \text{ entsprechen } 19{,}425 \Rightarrow G = \dfrac{19{,}425}{22{,}2} \cdot 100 = 87{,}5$

5) $36{,}7 \, \% \text{ entsprechen } 183{,}5 \Rightarrow G = \dfrac{183{,}5}{36{,}7} \cdot 100 = 500$

6)
$\begin{array}{rclcr}40\,\% &\widehat{=}& 2\;\text{Kisten} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{2\;\text{Kisten}}{40} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 2\;\text{Kisten}}{40} &=& 5\;\text{Kisten} \end{array}$

Es wurden 5 Kisten eingekauft.

7)
Hier sind der noch zu zahlende Preis und der Prozentsatz der Reduzierung gegeben. Zunächst muss daher ausgerechnet werden, wieviel Prozent dem noch zu zahlenden Preis entsprechen: $100\,\%-32\,\%=68\,\%$

$\begin{array}{rclcr}68\,\% &\widehat{=}& 150\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{150\;\text{EUR}}{68} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 150\;\text{EUR}}{68} &\approx& 220{,}59\;\text{EUR} \end{array}$

Der Sessel kostete ursprünglich $220{,}59\,\text{EUR}$ .

8)
$\begin{array}{rclcr}75\,\% &\widehat{=}& 223\;\text{EUR} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{223\;\text{EUR}}{75} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 223\;\text{EUR}}{75} &\approx& 297{,}33\;\text{EUR} \end{array}$

Die Pumpe hat im Original $297{,}33\;\text{EUR}$ gekostet.

9)
$\begin{array}{rclcl} 120\,\% &\widehat{=}& 16.800 \;\text{EUR} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16.800}{120} \;\text{EUR} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{100 \cdot 16.800\;\text{EUR}}{120} &=& 14.000 \;\text{EUR} \end{array}$

Das Geschäft gab $14.000\;\text{EUR}$ für den Kauf der Waren aus.

10)
Zunächst muss der Anteil der verkauften Hühner berechnet werden: $100\,\% - 40\, \% = 60\, \%$

$\begin{array}{rclcl} 60 \,\% &\widehat{=}& 330 \;\text{Hühner} \cr\cr 1 \;\% &\widehat{=}& \dfrac{330}{60} \;\text{Hühner} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{100 \cdot 330\;\text{Hühner}}{60} &=& 550 \;\text{Hühner} \end{array}$

Die Farm besaß vor dem Verkauf $550$ Hühner.

5. Aufgabe

Eine Bemerkung vorab: Machen Sie sich zu Beginn jeder Aufgabe genau klar, was gegeben und was gesucht ist - das ist ja hier das Entscheidende!

Noch eine Bemerkung: Hier wurden manche Aufgaben mit dem Dreisatz und manche mit der Prozentformel berechnet. Es geht natürlich jede Variante bei jeder Aufgabe.

1)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$ .
Gesucht ist $W$ .
Gefragt ist, wieviel Geld noch zurückgezahlt werden muss. Die $65\,\%$ beziehen sich allerdings auf den Betrag, der bereits zurückgezahlt wurde. Daher muss dies vorher noch umgerechnet werden: $100\,\%-65\,\%=35\,\%$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 450\,\text{EUR}\cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{450\,\text{EUR}}{100} \cr \cr 35\,\% &\widehat{=}& \dfrac{35\cdot 450\,\text{EUR}}{100} &=& 157{,}50\,\text{EUR} \end{array}$

Es müssen noch $157{,}50\,\text{EUR}$ zurückgezahlt werden.

2)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$ .
Gesucht ist $G$ .
Da sich die Streckenangabe auf den bereits zurücklegten Teil der Tour bezieht und die Prozentangabe auf den noch vor ihnen liegenden, muss der Prozentsatz erst umgerechnet werden: $100\,\%-20\,\%=80\,\%$

$\begin{array}{rclcr}80\,\% &\widehat{=}& 60\,\text{km} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{60\,\text{km}}{80} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& \dfrac{100\cdot 60\,\text{km}}{80} &=& 75\,\text{km} \end{array}$

Die Strecke ist insgesamt $75\,\text{km}$ lang.

3)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$ .
Gesucht ist $G$ .

$G = \dfrac{W}{p} \cdot 100 = \dfrac{59{,}5}{85} \cdot 100 = 70$

Die Hose kostete vor dem Ausverkauf $70\,\text{EUR}$ .

4)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$ .
Gesucht ist $W$ .

$W = \dfrac{p \cdot G}{100} = \dfrac{25 \cdot 65{,}99}{100} = 16{,}4975$

Dies ist aber noch nicht der neue Preis, sondern der Betrag, um den der Preis des Pullovers reduziert wurde. Den neuen Preis erhält man durch $65{,}99 \text{ EUR }-16{,}4975 \text{ EUR } = 49{,}4925 \text{ EUR } \approx 49{,}49 \text{ EUR }$ .

Alternative: $W = \dfrac{p \cdot G}{100} = \dfrac{75 \cdot 65{,}99}{100} = 49{,}4925$

5)
Gegeben sind $W$ und $G$ .
Gesucht ist $p$ in $\%$ .

$p \, \% = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \, \% = \dfrac{9}{12} \cdot 100 \, \% = 75 \, \%$

Auch dies ist noch nicht die Antwort auf die Frage, um wie viel Prozent der Preis reduziert worden ist. Da der neue Preis laut Rechnung $75 \, \%$ des alten Preises entspricht, beträgt der Preisnachlass also $25 \, \%$ .

6)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $G$ .
Gesucht ist $W$ .
Da sich die Prozentangabe auf den bereits zurücklegten Teil der Tour bezieht, die Frage aber auf den noch vor ihnen liegenden, muss der Prozentsatz erst umgerechnet werden: $100\,\%-56\,\%=44\,\%$

$\begin{array}{rclcr}100\,\% &\widehat{=}& 14.600\,\text{m} \cr \cr 1\,\% &\widehat{=}& \dfrac{14.600\,\text{m}}{100} \cr \cr 44\,\% &\widehat{=}& \dfrac{44\cdot 14.600\,\text{m}}{100} &=& 6.424\,\text{m} \end{array}$

Sie müssen noch $6{,}424\,\text{km}$ laufen.

Bemerkung: Bitte achten Sie auf die unterschiedlichen Einheiten (einmal Meter und einmal Kilometer)!

7)
Gegeben sind $W$ und $G$ .
Gesucht ist $p$ in $\%$ .

$\begin{array}{rclcr}81{,}2\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{81{,}2\;\text{Mio.}} \cr \cr 12{,}5\;\text{Mio. Menschen}&\widehat{=}& \dfrac{12{,}5\;\text{Mio.}\cdot 100\,\%}{81{,}2\;\text{Mio.}} &\approx& 15{,}39\,\% \end{array}$

Etwa $15{,}39\, \%$ der Menschen in Deutschland leben in den neuen Bundesländern.

8)
Gegeben sind $W$ und $G$ .
Gesucht ist $p$ in $\%$ .

$\begin{array}{rclcr}28\;\text{Kinder}&\widehat{=}& 100\,\% \cr \cr 1\;\text{Kind}&\widehat{=}& \dfrac{100\,\%}{28} \cr \cr 3\;\text{Kinder}&\widehat{=}& \dfrac{3\cdot 100\,\%}{28} &\approx& 10{,}71\,\% \end{array}$

Der Anteil der Linkshänder/-innen in der Klasse beträgt etwa $10{,}71\, \%$ .

9)
Gegeben sind $p$ in $\%$ und $W$ .
Gesucht ist $G$ .

$\begin{array}{rclcr}1\,\% &\widehat{=}& 190\;\text{EUR} \cr \cr 100\,\% &\widehat{=}& 100\cdot 190\;\text{EUR} &=& 19.000\;\text{EUR} \end{array}$

Das Auto kostet $19.000\;\text{EUR}$ .

Bemerkung: Da in dieser Aufgabe netterweise bereits angegeben ist, wie der Prozentwert für $1\,\%$ lautet, vereinfacht sich die Rechnung.

10)
Zunächst berechnet man die Menge des tatsächlich vorhandenen Salzes im Meerwasser.
$\begin{array}{rclcl} 100 \,\% &\widehat{=}& 400 \;\text{g} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{400}{100} \;\text{g} \cr\cr 4 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{4 \cdot 400\;\text{g}}{100} &=& 16 \;\text{g} \end{array}$

Diese Menge Salz soll nun nicht $4 \,\%$ , sondern nur $2{,}5 \,\%$ ausmachen.
$\begin{array}{rclcl} 2{,}5 \,\% &\widehat{=}& 16 \;\text{g} \cr\cr 1 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16}{2{,}5} \;\text{g} \cr\cr 100 \,\% &\widehat{=}& \dfrac{16 \cdot 100\;\text{g}}{2{,}5} &=& 640 \;\text{g} \end{array}$

Um einen Salzanteil von $2{,}5 \,\%$ in der Lösung zu erhalten, müssen $640\; \text{g} - 400 \;\text{g} = 240 \;\text{g}$ Süßwasser zum Meerwasser gegeben werden.

6. Aufgabe

Berechnen wir zunächst die Prozentwerte aus den gegebenen Größen:

Schokolade mit Nüssen:	$\begin{array}{rccr}99\,\% &\text{von } 400 & = & 396 \end{array}$
Schokolade ohne Nüsse:	$\begin{array}{rccr}1\,\%&\text{von } 400 & = & 4 \end{array}$

Der Trick ist nun, von den Schokotafeln ohne Nüsse auszugehen, weil wir hiervon sowohl den Prozentsatz (Bei $98\,\%$ Schokotafeln mit Nüssen müssen es wohl $2\,\%$ Schokotafeln ohne Nüsse sein ...) als auch den Prozentwert (Da wir nur Schokolade mit Nüssen essen sollen, bleibt es bei $4$ Tafeln ohne Nüsse ...) kennen:
$\begin{array}{rcrl}2\,\% & \widehat{=} & 4 & \text{Tafeln} \cr\cr 98\,\% & \widehat{=} & 196 & \text{Tafeln}\end{array}$

Da wir ursprünglich $396$ Tafeln Schokolade mit Nüssen hatten, müssen also $200$ Tafeln gegessen werden, damit nur noch $196$ Tafeln übrig sind. Ganz schön viele ...