Übersicht:

8.1 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Aufgaben

Eine Bemerkung vorneweg: Bitte trainieren Sie die Aufgaben in diesem Kapitel sehr sorgfältig! Sie sind - zugegebenermaßen - nicht besonders spannend, aber sie sind die Grundlage für vieles, was in den nächsten Kapiteln auf Sie zukommen wird. Die Erfahrung hat gezeigt, dass diejenigen, die diese Aufgaben nur zur Hälfte bewältigen, bei späteren Kapiteln vielleicht noch $10\,\%$ schaffen ...

1. Aufgabe

Schreiben Sie die folgenden Zahlen als Potenzen mit möglichst kleiner Basis $b$ (für 1) bis 8): $b\in \mathbb{N}$ , für 9) bis 10): $b\in \mathbb{Q}$ )!

1) $400$		6) $1.331$
2) $100.000$		7) $196$
3) $256$		8) $98$
4) $121$		9) $\dfrac{1}{64}$
5) $81$		10) $\dfrac{81}{625}$

2. Aufgabe

Fassen Sie zusammen!

1) $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x}$

2) $2\sqrt{x} - 3\sqrt{x}$

3) $2\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x}$

4) $2\sqrt{x} : 3\sqrt{x}$

3. Aufgabe

Lösen Sie die Klammerterme auf! Verwenden Sie dabei, soweit es geht, die binomischen Formeln.

1) $\left(12x+7y\right)^2$		11) $-\dfrac{1}{5}\left(-10s+11t\right)\left(10s-11t\right)$
2) $10\left(6k+8l\right)^2$		12) $-\left(8n-q\right)\left(q+8n\right)$
3) $\left(\dfrac{1}{2}x-z\right)^2$		13) $3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)$
4) $\left(-4a+7b\right)\left(-7a+4b\right)$		14) $-15\left(a+b\right)^2+30ba$
5) $-\left(4m-9p\right)^2$		15) $\left(\dfrac{1}{4}x-1\right)^2 \left(8x+16\right)$
6) $\left(12a-b\right)\left(12a+b\right)$		16) $\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2-4xy$
7) $\dfrac{3}{4}\left(10y-\dfrac{8}{9}z\right)\left(-\dfrac{8z}{9}+10y \right)$		17) $\left(3x+5y\right)^2+4\left(3x-5y\right)^2$
8) $46\left(\dfrac{5}{6}x-\dfrac{5}{3}z\right)\left(\dfrac{6}{5}x-\dfrac{3} {5}z\right)$		18) $\dfrac{\left(9a-5b\right)^2}{\left(81a^2-90ab+25b^2\right)^2}$
9) $\left(p+5q\right)\left(5q+p\right)$		19) $\left(\dfrac{7h-9n}{7h+9n}\right)^2$
10) $\left(-x+3z\right)\left(-x-3z\right)$		20) $5\cdot\dfrac{64s^2-256t^2}{\left(8s-16t\right)^2}$

4. Aufgabe

Fassen Sie - wenn möglich - mithilfe der binomischen Formeln zusammen!

1) $100s^2-100st+25t^2$		11) $\dfrac{a^2-12a+36}{2a-12}$
2) $\dfrac{49}{4}v^2+7vw+w^2$		12) $\dfrac{b^2-9a^2}{b^2+6ba+9a^2}$
3) $169x^2+49y^2$		13) $\dfrac{x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}}{x^2+\frac{26}{3}x-3}$
4) $x^2-64z^2$		14) $\dfrac{10s+120}{s^2-144} : \dfrac{s^2+24s+144}{\left(s-12\right)\left (s+12\right)}$
5) $36u^2+168u+196x^2$		15) $\dfrac{4x^2-y^2}{4x^2-4xy+y^2}$
6) $25a^2+60ab+100b^2$		16) $\dfrac{144y^2-169z^2}{144y^2+312zy+169z^2}$
7) $\dfrac{5}{2}wy+\dfrac{5}{8}y^2+\dfrac{5}{2}w^2$		17) $361a^2+36b^2+121c^2+144d^2+228ab-264cd$
8) $-72a^2+36ac-\dfrac{9}{2}c^2$		18) $\dfrac{289p^2+680pq+400}{289p^2-400q^2}$
9) $\dfrac{81}{2}a^2+36ad-4d^2$		19) $\dfrac{1}{14x+15z} : \dfrac{14x-15z}{196x^2-225z^2}$
10) $80-405x^2$		20) $\dfrac{-48m}{36m^2+16}$

5. Aufgabe

1) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{1}{2}}{x}$		11) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-44x^9y^5}{\frac{-22x}{19y^2}}$
2) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{q^5}{\frac{7}{q^2}}$		12) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{63x^2 y^3}{4z}}{\frac{7x^3 \cdot 3z^{23}}{z}}$
3) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{a}{-13}}{\frac{b}{12}}$		13) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{24x^{10}}{5x^2y}}{\frac{-14x^2y^7}{3x^{10}}}$
4) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-3d}{-g^3}}{-4c}$		14) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{55qrt}{12x^2}}{-\frac{121x^5}{9q^2}}$
5) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-45x}{\frac{5y}{9x}}$		15) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{144x^2 y^{17}}{-35z^3}}{288x^{11}yz^{12}}$
6) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{29a}{-60b}}{\frac{-c}{4b^2}}$		16) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{33b^{22}q^7}{\frac{99b^{19}q^{11}}{m^2}}$
7) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14c}{-5}}{\frac{-18c}{25a}}$		17) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{11xyz^2}{\frac{7r^2 x}{-5rz^2}}$
8) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{31}{2r^2}}{\frac{t}{10}}$		18) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{8y^{13}}{7x}}{\frac{24y^2 z}{49rt^{11}}}$
9) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{-4d^2}{\frac{32}{135d^4}}$		19) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{x^4}{y^2z}}{\frac{z^4}{xy}}$
10) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-71k}{-4lm}}{-401k}$		20) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14a^2 w}{9az^{17}}}{\frac{28wz}{123a}}$

6. Aufgabe

Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich! Überlegen Sie sich jeweils, ob und wenn ja, welche Variablenwerte ausgeschlossen werden müssen!
Bei Aufgabe 16) soll nach der Vereinfachung keine Wurzeln im Nenner stehen.
Bei den Aufgaben 17) - 30) vereinfachen Sie bitte so, dass im Ergebnis keine negativen und gebrochenen Exponenten mehr enthalten sind.

1) $x^2 \cdot x^3$	16) $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	31) $\log(c \cdot d)-\log(d)$
2) $m^5 \cdot m^n \cdot m^{-3}$	17) $\left(y^{\frac{1}{3}}\right)^2$	32) $\log_a(16)-\log_a(2)$
3) $\dfrac{b^6}{b^4}$	18) $13\dfrac{\sqrt{4m-1}}{\left(4m-1\right)^{-0{,}5}}$	33) $\dfrac{\ln\left(u^5\right)}{5}$
4) $y : y^2$	19) $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{x}$	34) $\log_b(3x)+\log_b(x)-(2\log_b(x)-\log_b(y))$
5) $\left(x^3\right)^4$	20) $a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^3\right)^2 : a$	35) $\ln\left(e^{x^2}\right)$
6) $\left(a^2\right)^b$	21) $\dfrac{ \sqrt[5]{b^3}}{b}$	36) $3\log\left(\sqrt[3]{z}\right)$
7) $2^n \cdot 3^n$	22) $\left( \sqrt[4]{z^2}\right)^3$	37) $\log_a(2x)-\log_a(4)+\log_a\left(\dfrac{2}{x}\right)$
8) $\dfrac{a^5}{(2a)^5}$	23) $\dfrac{ \sqrt{x^3}}{x \cdot \sqrt{x}}$	38) $\log_2\left(4^x\right)$
9) $16^m : 4^m$	24) $\left( \dfrac{1}{x^2} \cdot x^{-2} \right)^2 \cdot \sqrt[2]{x}$	39) $\log_{12}\left(\dfrac{c-d^2}{(c-d)^3}\right)$
10) $\dfrac{r^2 s^{-3} r^{-4} s^{-1} t t^6}{t^{-5} r^4 s^6 s^{-2} r t^{10} r^{-3} s^{-7}}$	25) $\sqrt[3]{x^2d} \cdot d^{-\frac{4}{3}}$	40) $\log_b\left(10y\right)-\log_b\left(5y^2\right)+\log_c\left(\dfrac{y}{100}\right)+\log_b\left(2^{-1}\right)$
11) $(4p^3-6q^5)^3$	26) $\left(x^{1{,}25} : y^{-0{,}625}\right)^{-\frac{4}{5}}$	41) $10\lg\left(\sqrt{f^2+w^2}\right)$
12) $\dfrac{y^4-16}{2y^4-16y^2+32}$	27) $\sqrt{121a^8+166a^4b^2+64b^4}$	42) $\sqrt{\log_2(512)}$
13) $5e^{-x+1}-2xe^{-x+1}$	28) $\dfrac{4y\sqrt{x^3}}{16xy^2}$	43) $\ln\left(-\sqrt{18x^4}\right)$
14) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{x+7}{2}}{\frac{8}{y-1}}$	29) $\sqrt{x^{-2}}$	44) $\log\left(1+x^3\right) \cdot [\log\left(\sqrt{x}\right)+1]$
15) $\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\; : \; \left(a-b\right)$	30) $\sqrt[5]{\dfrac{\sqrt[4]{\left(a^4b^2\right)^{10}}}{\sqrt{a^{10}b^5}}}$	45) $\log_5\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{375}{2a^6}}{\frac{3}{10x^2}}\right)$

7. Aufgabe

Aus dem Papyrus Rhind, einem ägyptischen Rechenbuch aus dem 16. Jahrhundert vor Christus:
7 Leute besitzen je 7 Katzen. Jede Katze vertilgt 7 Mäuse. Jede Maus hätte 7 Ähren Getreide gefressen. Aus jeder Ähre können 7 Maß Gerste wachsen. Wie viele Maß Gerste sind also den Katzen zu verdanken?
[zitiert nach: Lambacher-Schweizer (1974): Algebra 2. Stuttgart (S. 236).]

8. Aufgabe

1) Wie viele Nachkommastellen hat die Dezimaldarstellung der Zahl $2^{-n}$ mit $n\in\mathbb{N}^+$ ?

2) Stellen Sie fest, ob die Zahl $3.141.592.653$ eine Quadratzahl ist - OHNE Taschenrechner, Computer, Handy und Co zu benutzen!

3) Multiplizieren Sie $\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{9}\right)\left(1-\dfrac{1}{16}\right)\left(1-\dfrac{1}{25}\right)\dots\left(1-\dfrac{1}{100}\right)$ - OHNE Taschenrechner, Computer, Handy und Co zu benutzen!

4) Stellen Sie fest, ob die Zahl $999.936$ eine Primzahl ist - OHNE Taschenrechner, Computer, Handy und Co zu benutzen!