13. Polynomgleichungen und -funktionen - Lernziele und typische Fehler

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie folgende Lernziele erreicht haben:

• Sie können zu einer Polynomgleichung den passenden Definitionsbereich bestimmen.
• Sie kennen die allgemeine Form einer Polynomgleichung.
• Sie wissen, wie viele Lösungen Polynomgleichungen haben können, und können anhand des Rechenweges feststellen, welcher Fall vorliegt.
• Sie können (einfache) Polynomgleichungen lösen.
• Sie können die Lösungsmenge mathematisch korrekt notieren.
• Sie können mithilfe der Probe überprüfen, ob die gefundene Lösung tatsächlich richtig ist.

• Sie können zu einer Polynomfunktion den passenden Definitionsbereich bestimmen.
• Sie wissen, wie der Graph einer Polynomfunktion typischerweise aussieht, und können ihn in ein kartesisches Koordinatensystem zeichnen.
• Sie kennen die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion.
• Sie können den Grad eines Polynoms angeben.
• Sie können gerade und ungerade Polynome unterscheiden.
• Sie kennen Eigenschaften von Polynomen (Anzahl der Nullstellen, Symmetrie, Randverhalten, Extremstellen, typische Punkte) und können diese nutzen, um Beziehungen zwischen Funktionsterm und Funktionsgraphen herzustellen.

• Sie kennen den Zusammenhang zwischen Polynomgleichungen und Polynomfunktionen.
• Sie können Polynomgleichungen von anderen Gleichungsarten unterscheiden.
• Sie können Polynomfunktionen von anderen Funktionstypen unterscheiden (grafisch und anhand der Funktionsgleichung).

Typischer Fehler in diesem Kapitel ist:

• Beim Multiplizieren der Gleichung mit einem Term werden nicht alle Bestandteile der Gleichung multipliziert. Erklärung

Für Online-Selbsttests zu diesem Thema und weitere Informationen zur Mathematikunterstützung an der TH Wildau nutzen Sie bitte den Moodle-Kursraum "SOS Mathematik - Brückenkurs".

Zwei Bemerkungen:

• Ab diesem Kapitel werden bei den Musterlösungen weniger Zwischenschritte angegeben als zuvor. Nach den vorangegangenen Kapiteln haben Sie ja ein gewisses Trainingslevel erreicht, sodass es (hoffentlich!) nicht mehr nötig ist, jedes Detail in den Rechnungen zu erwähnen. Beispielsweise wird ab jetzt statt $-(-5)$ sofort $+5$ geschrieben oder bei $\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ der mittlere Umformungsschritt weggelassen. Selbstverständlich sind alle für die Lösung essenziellen Schritte weiterhin in den Rechenwegen enthalten und kommentiert. Hintergrund dafür ist, dass das Weglassen von Details den Blick mehr auf das "große Ganze" richtet und - ganz praktisch - eine gute Vorbereitung auf Musterlösungen im Studium und in Lehrbüchern ist, die häufig sehr viel knapper gehalten sind.
  Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die kürzeren Rechnungen zu verstehen, schauen Sie bitte in die ersten zwölf Kapitel: Insbesondere die Infos zu quadratischen Gleichungen, zum Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt können helfen.
• Bei den Ausführungen in den folgenden Kapiteln fehlen größtenteils die mathematischen Begründungen, da diese über den Umfang des Vorkurses hinausgehen. Sie werden sich ggf. im Studium mit diesen auseinandersetzen.