Lernmodul Mathematik

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

 

3.2 Bruchrechnung - Erklärungen

Bei den Zahlenbereichen hatten wir schon gesehen, dass es nicht nur ganze Zahlen gibt, sondern auch gebrochene. In diesem Kapitel schauen wir uns diese Zahlen und den Umgang mit ihnen etwas genauer an.

 

Was ist ein Bruch?

Bei einem Bruch \dfrac {p}{q} heißt p Zähler und q Nenner.
Der Bruchstrich steht dabei für eine Division. Auch wenn für p und q grundsätzlich beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden dürfen, ist es üblich, in Brüchen ganze Zahlen zu verwenden, also p,q \in \mathbb{Z}. Immer gilt, dass der Nenner q \neq 0 sein muss, da durch 0 nicht geteilt werden darf!


Aufgrund der Rechenregeln für die Division gilt:

  • \dfrac{p}{p}=1 für alle Zahlen p \in \mathbb{R}\backslash_{ \{0\} }

  • \dfrac{-3}{4}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}

  • \dfrac{3}{4}=\dfrac{+3}{+4}=\dfrac{-3}{-4}=+\dfrac{3}{4}

Zur Schreibweise: Es ist egal, ob man 4 \cdot \dfrac{3}{10} oder \dfrac{3}{10} \cdot 4 oder \dfrac{4 \cdot 3}{10} schreibt. Allerdings ist bei allen drei Schreibweisen der "Malpunkt" zwingend erforderlich, da 4 \dfrac{3}{10} als 4 + \dfrac{3}{10} verstanden wird. Bei \dfrac{4 \cdot 3}{10} erklärt es sich eigentlich von selbst, warum der "Malpunkt" hier nicht einfach weggelassen werden darf ...

Bemerkung: Man kann Bruchstriche auch schräg schreiben. Das spart Platz und ist manchmal übersichtlicher.

 

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Man unterscheidet folgende Arten von Brüchen:

Echte und unechte Brüche

Bei echten Brüchen ist der Betrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist kleiner als 1, z. B. \dfrac {3}{8}=0{,}375 oder -\dfrac {4}{5}=-0{,}8.

Bei unechten Brüchen ist der Betrag des Zählers größer als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist größer als 1, z. B. \dfrac{11}{8}=1{,}375 oder -\dfrac{17}{5}=-3{,}4.

 

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, z. B. \dfrac {13}{6}=\dfrac{12}{6}+\dfrac{1}{6}=2+ \dfrac{1}{6} = 2 \dfrac{1}{6} oder -\dfrac{13}{6}=-\left(2+\dfrac{1}{6}\right).

Ganz wichtig: Bitte beachten Sie, dass die ganze Zahl und der Bruch addiert werden, auch wenn das Pluszeichen weggelassen wird! Normalerweise werden in der Mathematik ausschließlich Malzeichen nicht geschrieben, wenn die Formel o. Ä. trotz des Weglassens eindeutig bleibt. Dies hier ist die große Ausnahme. Da das in vielen Fällen zu Verwirrung führt, sollte diese Schreibweise nur verwendet werden, wenn es dafür wichtige Gründe gibt! Und davon gibt es nicht sehr viele ...
Im Übrigen werden gemischte Zahlen eigentlich gar nicht benötigt. Echte und unechte Brüche reichen vollkommen aus, um alle Brüche abzubilden. Als Alternative gibt es auch noch die Dezimalzahlen. Statt einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, ist es üblicherweise besser, ihn einfach so stehen zu lassen.

 

Gleichnamige und ungleichnamige Brüche

Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Der entsprechende Nenner heißt Hauptnenner der Brüche. Z. B. sind die Brüche \dfrac{1} {5} und \dfrac{4} {5} gleichnamig. Ihr Hauptnenner ist 5.

Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben, heißen ungleichnamig, z. B. sind die Brüche \dfrac{2} {3} und \dfrac{2} {7} ungleichnamig.

 

Das "kleinste gemeinsame Vielfache" und der "größte gemeinsame Teiler"

Für das Erweitern und Kürzen, worum es ein Stück weiter unten gehen wird, sind die Konzepte vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und vom größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen a und b (also a, b \in \mathbb {N}) nützlich:

Definition: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von a als auch ein Vielfaches von b ist, z. B. ist das kgV von 3 und 5 gleich 15.

Die Bestimmung des kgV hilft u. a., wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen, z. B. \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24}. Natürlich wäre auch 48=6 \cdot 8 ein Hauptnenner von \dfrac {1}{6} und \dfrac {1}{8}. Allerdings wären dann die Zähler und Nenner jeweils doppelt so groß und üblicherweise rechnet es sich mit kleineren Zahlen leichter.

 

Definition: Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, durch die sich sowohl a als auch b ohne Rest teilen lässt, z. B. ist der ggT von 7 und 21 gleich 7.

Zahlen, deren ggT gleich 1 ist, heißen teilerfremd.

 

Rechenregeln für Brüche

Erweitern und Kürzen

Zwei Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. \dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2}=\dfrac{6}{16}.
Veranschaulichung erweitern


Zwei Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht, z. B. \dfrac{4}{12}=\dfrac{4 : 4} {12 : 4}=\dfrac{1}{3}.
Wenn ein Bruch gekürzt werden soll, hilft die Bestimmung des ggT, z. B. ist 4 der ggT von 4 und 12.
Veranschaulichung kürzen


Es versteht sich (hoffentlich) von selbst, dass 0 keine geeignete Zahl zum Erweitern oder Kürzen ist, weil man ja nun mal durch 0 nicht teilen darf ...

Achtung: Aus Summen darf man nicht kürzen! Summen gehören ja schließlich zur Strichrechnung und das Kürzen zur Punktrechnung.

Noch ein paar Worte zum Kürzen aus Summen:
Auch wenn man es nicht auf den ersten Blick sieht, handelt es sich hierbei um eine Kombination von Addition/Subtraktion und Division, über die wir uns im Kapitel Rechengesetze schon Gedanken gemacht hatten. Wenn im Zähler oder Nenner eine Summe/Differenz steht, entsteht genau die Situation, in der wir auf die Rangfolge der Rechenoperationen achten müssen: Der Bruchstrich steht ja für eine Division und wirkt somit wie eine Klammer. Dazu kommt, dass auch das Kürzen eine Art von Dividieren ist. All das verträgt sich nicht mit der Strichrechnung ...
Käme man bei \frac{4+11}{4} auf die Idee, die 4 im Zähler mit der 4 im Nenner zu „kürzen“, erhielte man als Ergebnis 11.
Richtig ist aber \frac{4+11}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75

 

Addition und Subtraktion

Veranschaulichung addieren + subtrahieren

Zwei gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält, z. B. \dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{4+3}{10}=\dfrac{7}{10}.

Zwei ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann addiert, z. B. \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}+\dfrac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}.


Zwei gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält, z. B. \dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7-3}{10}=\dfrac{4}{10}.

Zwei ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann subtrahiert, z. B. \dfrac{4} {5}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12}{15}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{12-1}{15}= \dfrac{11}{15}.

 

Ganz wichtig: Es gibt keine Rechenregel, die besagt, dass die Nenner irgendwie addiert bzw. subtrahiert werden müssen. Die Addition und Subtraktion von Brüchen funktioniert wirklich nur auf dem Weg, der hier vorgestellt wurde. Das gilt auch, wenn die Brüche Variablen enthalten, wie das in späteren Kapiteln der Fall sein wird. Dann mag es manchmal etwas umständlich sein, die Brüche gleichnamig zu machen - es muss aber sein!
Was passiert, wenn man die Brüche nicht gleichnamig macht, sehen sie an folgendem Vergleich:
Richtig ist: \frac{1}{2} +\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} > 1
Addiert man - fälschlicherweise - Zähler und Nenner von \frac{1}{2} und \frac{3}{4} separat, erhält man \frac{4}{6} < 1. Da kann also was nicht stimmen…

 

Multiplikation und Division

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, z. B. \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 7}=\dfrac{3} {28}.

Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert, z. B. \dfrac{1}{6} : \dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{11}{2}=\dfrac{1 \cdot 11}{6 \cdot 2}=\dfrac{11}{12}.

Bemerkung zur Multiplikation und Division: Nützlich ist, immer vor dem Multiplizieren zu überprüfen, ob die Brüche gegeneinander gekürzt werden können, da dadurch die Zahlen kleiner werden. Je früher in einer Rechnung gekürzt wird, desto handlicher bleibt die Aufgabe.


Bemerkung allgemein:
Ist das Ergebnis einer Bruchrechnungsaufgabe ein Bruch, sollte dieser so weit wie möglich gekürzt werden. Abhängig von der Aufgabenstellung (z. B. wenn die Größenordnung von Bedeutung ist) kann es sinnvoll sein, das Ergebnis als Dezimalzahl oder in Ausnahmefällen als gemischte Zahl darzustellen. In anderen Situationen, z. B. beim Multiplizieren oder beim Abschätzen von Wurzeln, eignen sich Brüche wesentlich besser.

 

Brüche und Klammern

Im vorherigen Kapitel hieß es schon, dass ein Bruchstrich wie eine Klammer wirkt. Eine Klammer muss immer dann gesetzt werden, wenn der Bruchstrich durch : ersetzt wird bzw. wenn mehrere Brüche auf einem Bruchstrich zusammengefasst werden! Hier nun die versprochenen Beispiele:

  • \dfrac{x+10}{3x-17}=(x+10) : (3x-17)
    Diese Schreibweise ist z. B. für die Polynomdivision wichtig.

  • \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{5\cdot (x+10)}{4\cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50}{12x-68}
    Hier müssen im zweiten Bruch Klammern gesetzt werden, weil die Regel für die Multiplikation von Brüchen ja lautet "Zähler mal Zähler" und "Nenner mal Nenner". Ohne Klammern hätte man 5\cdot x+10 und 4\cdot 3x -17 , würde also nur einen Teil vom zweiten Zähler/Nenner mit dem Zähler/Nenner vom ersten Bruch multiplizieren.

  • \dfrac{5-8x}{7x+4} \cdot \dfrac{x+10}{3x-17} = \dfrac{(5-8x) \cdot (x+10)}{(7x+4) \cdot (3x-17)} = \dfrac{5x+50-8x\cdot x-80x}{21x\cdot x-119x+12x-68}

Hier ist es ebenso. Zusätzlich gelten natürlich auch bei Brüchen die "ganz normalen" Rechengesetze, wie Distributiv-, Kommutativ- und Assoziativgesetz. Anders gesagt: Ausmultiplizieren funktioniert im Zähler und Nenner genauso wie ohne Bruch drumherum ...


Zum Abschluss noch ein Beispiel, nur mit Zahlen, damit leichter zu sehen ist, warum das mit den Klammern auch wirklich wichtig ist:

Betrachten wir die Aufgabe \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1+1}{4+5} = \dfrac{2\cdot (1+1)}{3\cdot (4+5)} = \dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 9} = \dfrac{4}{27} = 0{,}\overline{148} Das ist offensichtlich nicht das Gleiche!
Ohne Klammern stünde dort \dfrac{2\cdot 1+1}{3\cdot 4+5} = \dfrac{2+1}{12+5} = \dfrac{3}{17} \approx 0{,}17647

 

Dezimalzahlen

Auch bei den Dezimalzahlen, manchmal "Kommazahlen" genannt, unterscheidet man verschiedene "Sorten":

  • Endliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen, z. B. 1{,}25 oder 10 {,}123456789987654321

  • Unendliche Dezimalzahlen: eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen
    Hier unterscheidet man weiter:
    • Periodische Dezimalzahlen: Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich innerhalb der unendlichen Folge von Nachkommastellen ein bestimmtes Muster immer wieder, z. B. 0{,}33333... oder 0{,}142857\,142857... oder 0{,} 756565656.... Dies macht man kenntlich, indem man nur das erste Auftreten dieser Periode notiert - mit einem horizontalen Strich darüber, z. B. 0{,}33333...=0{,}\overline{3} oder 0{,}142857142857...=0{,}\overline {142857} oder 0{,}756565656...=0{,}7\overline{56} . Dann benötigt man keine Pünktchen mehr dahinter. Sie sollen ja nur andeuten, dass die Zahl unendlich weitergeht und nicht nach den angegeben Nachkommastellen aufhört. Der (mathematische) Unterschied zwischen 0{,}33333 und 0{,}33333... ist zwar nicht groß, aber er ist da ...
    • Nicht periodische Dezimalzahlen: Nicht periodische Dezimalzahlen haben kein solches Muster in ihrer unendlichen Folge von Nachkommastellen, z. B. 0{,}1010010001... oder \sqrt{2}=1{,}414213562... oder \pi=3{,} 141592653... (die beiden letzten Beispiele werden Sie in den Kapiteln Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bzw. Geometrie kennen lernen). Wichtig ist auch hier, dass die drei kleinen Pünktchen am Ende nicht vergessen werden. Benötigt man nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen (was ja meistens der Fall ist), muss entsprechend gerundet werden.



Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen: Dezimalzahlen erhält man, indem man den Zähler eines Bruches durch seinen Nenner teilt. Hier ein paar Beispiele:

\dfrac{8}{10} = 8:10 = 0{,}8
\dfrac{2}{7} = 2:7 = 0{,}285714\;285714\;285714\;285714... = 0{,}\overline{285714} Da sich die Folge der Nachkommastellen unendlich wiederholt, erhalten wir eine periodische Dezimalzahl.
\dfrac{5}{4} = 5:4 = 1{,}25

Wie Sie sehen, entstehen auf diese Art und Weise endliche oder periodische Dezimalzahlen, aber keine nicht periodischen. 


Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche: Natürlich kann man endliche oder periodische Dezimalzahlen auch in Brüche "rück-umformen" ... Bei endlichen Dezimalzahlen nimmt man dafür die Nachkommastelle(n) der Dezimalzahl als Zähler und ergänzt im Nenner eine 10, wenn der Zähler eine Stelle hat, eine 100, wenn der Zähler zwei Stellen hat, eine 1.000, wenn der Zähler drei Stellen hat, und so weiter ... Bei periodischen Dezimalzahlen funktioniert es genauso, nur dass im Nenner eine 9, eine 99, eine 999 und so weiter ... stehen muss. Anschließend kann man häufig noch kürzen.
Auch hier ein paar Beispiele:

0{,}4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2\cdot 2}{2\cdot 5} = \dfrac{2}{5}
0{,}\overline{567} = \dfrac{567}{999} = \dfrac{27\cdot 21}{27\cdot 37} = \dfrac{21}{37} Bitte beachten Sie, dass 0{,}\overline{567} periodisch ist und deshalb nicht 1.000, sondern 999 im Nenner stehen muss.
5{,}81 = 5+\dfrac{81}{100} = \dfrac{500}{100}+\dfrac{81}{100} = \dfrac{581}{100}