Lernmodul Mathematik
Übersicht:
11.3 Ungleichungen - Lösungen
1. Aufgabe
Bemerkung: Nur bei Aufgabe 8) gibt es für den Definitionsbereich Einschränkungen, weil hier die Variable im Nenner steht. Alle anderen Aufgaben funktionieren mit den reellen Zahlen.
1)
Bemerkung: Beim Dividieren durch muss das Vergleichszeichen "umgedreht" werden.
2)
Bemerkung: Beim Dividieren durch muss das Vergleichszeichen "umgedreht" werden.
3)
Bemerkung: In dieser Ungleichung sind zwar Brüche enthalten, da in den Nennern aber nur natürliche Zahlen stehen, ist das unproblematisch. Es reicht, die ursprüngliche Ungleichung mit zu multiplizieren, um beide Nenner "verschwinden" zu lassen.
4)
Bemerkung: Diese Ungleichung hat keine Lösung, weil sich ein Widerspruch ergibt: ist nun mal kleiner als
.
5)
Bemerkung: Diese Ungleichung sieht zwar am Anfang quadratisch aus; im Laufe der Rechnung heben sich die quadratischen Terme aber gegenseitig auf. Es bleibt eine lineare Ungleichung übrig, die "normal" zu Ende gerechnet werden kann.
6)
Betrachten wir die zugehörige quadratische Gleichung, um die Stellen zu finden, an denen der Term ist:
Wir erhalten die drei Intervalle:
Von bis
:
Zwischen und
:
Von bis
:
Nun ist noch zu prüfen:
Für nehmen wir
:
Also kommt
als Lösung infrage.
Für nehmen wir
:
Also kann
nicht Lösung sein.
Für nehmen wir
:
Also kommt auch
als Lösung infrage.
Für die Gesamtlösung müssen wir noch die Intervalle, die als Lösung infrage kommen, vereinigen. In diesem Fall sind das und
Bemerkung: Die Lösungsmenge lässt sich nicht wirklich einfacher aufschreiben.
7)
Betrachten wir die zugehörige quadratische Gleichung, um die Stellen zu finden, an denen der Term ist:
Wir stellen also fest, dass die quadratische Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen hat. ist also immer ungleich
. Auf die ursprüngliche Ungleichung bezogen bedeutet das, dass es keine Stellen gibt, an denen
genau so groß ist wie
.
Es bleibt die Frage, ob überall größer oder kleiner als
bzw.
überall größer oder kleiner als
ist (Das ist die gleiche Frage, weil die Ungleichung ja nur ein bisschen umgeformt wurde.). Die Möglichkeit, dass der Term an einigen Stellen größer und an anderen Stellen kleiner ist, besteht nicht, weil dafür zwischenzeitlich Gleichheit herrschen müsste, was wir gerade ausgeschlossen haben. Um das herauszufinden, können wir wieder einfach einen Wert für
einsetzen, z. B.
. Das ergibt:
bzw.
Also ist im gesamten Definitionsbereich größer als
bzw.
größer als
oder - noch anders formuliert - die Ungleichung ist für alle Zahlen
aus dem Definitionsbereich richtig:
Bemerkung: Wenn Sie sich den Graphen der Funktion anschauen, sehen Sie, dass die Parabel so weit nach oben verschoben ist, dass sie keine Nullstellen hat. Wenn Sie die Graphen von
und
zeichnen, werden Sie analog dazu feststellen, dass
immer oberhalb von
liegt, sodass es keine gemeinsamen Punkte gibt.
8)
Für die Lösung ist eine Fallunterscheidung nötig, da wir mit der Variablen multiplizieren müssen.
1. Fall: Wir nehmen an, dass ist:
Bemerkung 1: Die Multiplikation mit ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil
. Eine Multiplikation mit
kann also nicht passieren.
Bemerkung 2: Die untere Grenze der Lösungsmenge ergibt sich dadurch, dass wir in diesem Fall ja ausschließlich Zahlen größer betrachtet hatten.
2. Fall: Wir nehmen an, dass ist:
Um zu ermitteln, müssen wir nun noch die Frage beantworten, welche Zahlen gleichzeitig kleiner als
und größer oder gleich
sind. Antwort: Keine! Also ist
Bemerkung: Die Multiplikation mit ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil
. Eine Multiplikation mit
kann also nicht passieren.
Ergebnis: Die Gesamtlösungsmenge ist also
Bemerkung 1: Den Fall müssten wir nicht betrachten, weil er schon durch den Definitionsbereich ausgeschlossen ist. Durch
darf man ja bekanntlich nicht teilen ...
Bemerkung 2: Zusammengefasst lautet die Regel beim Bilden von Kehrwerten in Ungleichungen: Sind beide Seiten einer Ungleichung positiv (bzw. negativ) führt die Bildung von Kehrwerten dazu, dass das Vergleichszeichen "umgedreht" werden muss. Haben beide Seiten unterschiedliche Vorzeichen, bleibt das Vergleichszeichen, wie es ist.
2. Aufgabe
Allgemeiner Lösungsweg:
Um die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem zeichnen zu können, benötigen wir die Ungleichung zunächst in der Form ,
,
oder
. Daraus ergibt sich die "Trennlinie" zwischen Lösungsmenge und Nicht-Lösungsmenge. Anschließend sind noch folgende Fragen zu klären:
- Liegt die Lösungsmenge ober- oder unterhalb der "Trennlinie"?
Beiund
liegt die Lösungsmenge oberhalb, bei
und
unterhalb der "Trennlinie".
- Ist die "Trennlinie" teil der Lösungsmenge oder nicht?
Beiund
ist die "Trennlinie" teil der Lösungsmenge, bei
und
nicht.
3. Aufgabe
Im "Beweis" wurde die Fallunterscheidung vergessen. Bei der Multiplikation mit kann keine Aussage darüber getroffen werden, ob mit einer positiven oder negativen Zahl multipliziert wird - und das hat bei Ungleichungen ja Auswirkungen auf die Richtung des Vergleichszeichen. Richtig müsste die Rechnung lauten:
1. Fall: Wir nehmen an, dass ist. Dann ist
:
Das ist nun wirklich nicht spektakulär, denn genau dies hatten wir zu Beginn der Rechnung angenommen.
Bemerkung: Die Multiplikation mit ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil
. Eine Multiplikation mit
kann also nicht passieren.
2. Fall: Wir nehmen an, dass ist. Diesen Fall müssen wir extra betrachten, weil wir jetzt mit
nicht multiplizieren dürfen:
Geht auch klar.
3. Fall: Wir nehmen an, dass ist. Dann ist
:
Bemerkung: Die Multiplikation mit ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil
. Eine Multiplikation mit
kann also nicht passieren.
Das ist zwar die gleiche Rechnung, wie im "Beweis" auf der Aufgabenseite; mit der Zusatzinformation, dass wir hier von vorneherein nur Zahlen kleiner als betrachten, erscheint die Aussage aber in einem ganz anderen Licht ...
Zusammenfassend stellen wir fest: Unterscheidet man alle Fälle ordentlich, ergeben sich drei recht belanglose Aussagen. Komische Ergebnisse treten nicht auf.
Wesentlich geschickter: Man lässt das Multiplizieren mit sein und subtrahiert
stattdessen lieber. Dann steht da nämlich ganz schnell
, was sicherlich niemand infrage stellen wird. Mehr Ergebnis bekommen wir hier nicht, was auch nicht so überraschend ist, denn die Aussage, mit der wir in den "Beweis" gestartet waren, war ja nicht sehr gehaltvoll ...