Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe
• Lösung zur 4. Aufgabe
• Lösung zur 5. Aufgabe
• Lösung zur 6. Aufgabe
• Lösung zur 7. Aufgabe
• Lösung zur 8. Aufgabe

8.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Lösungen

1. Aufgabe

Hinweis 1: Über die Teilbarkeitsregeln können Basen ausgeschlossen werden. Z. B. ist $121$ nicht durch $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$ teilbar. Erst die $11$ kommt überhaupt als Basis infrage.
Hinweis 2: Das Erkennen von Quadratzahlen ist in vielen Fällen, so auch hier, sehr nützlich.
Hinweis 3: Aufgrund des 5. Potenzgesetzes können Sie bei 9) und 10) Zähler und Nenner getrennt betrachten.

2. Aufgabe

Bemerkung zu 1) und 2): Auch bei Wurzeln wirken Addition und Subtraktion nur auf die Koeffizienten nicht auf Wurzelexponenten und Radikanden. Erläuterungen siehe auch hier.

1)
$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 5\sqrt{x}$

2)
$2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = -1\sqrt{x} = -\sqrt{x}$

3)
$2\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x} = 6x$

4)
$2\sqrt{x} : 3\sqrt{x} = 2\sqrt{x} : 3 \cdot \sqrt{x} = \dfrac{2}{3} \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = \dfrac{2}{3} x$

Bemerkung: Das Ergebnis mag vielleicht verwundern ... Aber eine Rechenoperation bezieht sich immer nur auf die nächste Zahl bzw. die nächste Variable - solange keine Klammern gesetzt wurden. $2\sqrt{x} : 3\sqrt{x}$ ist also nicht das Gleiche wie $2\sqrt{x} : \left(3\sqrt{x}\right) = \dfrac{2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}} = \dfrac{2}{3}$. Hier ist es - mal wieder - sehr wichtig, die Variante mit Klammern sorgfältig von der Variante ohne Klammern zu unterscheiden.

3. Aufgabe

Eine Bemerkung vorweg: Bitte denken Sie immer an die richtige Reihenfolge der Rechenoperationen: Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung!

1)
$\left(12x+7y\right)^2 = 12^2x^2+2\cdot 12x\cdot 7y+7^2y^2 = 144x^2+168xy+49y^2$

Vorgehen: 1. binomische Formel

2)
${10\left(6k+8l\right)^2 = 10\left(6^2k^2+2\cdot 6k\cdot 8l+8^2l^2\right) = 10\left(36k^2+96kl+64l^2\right) = 360k^2+960kl+640l^2}$

Vorgehen: 1. binomische Formel

3)
$\left(\dfrac{1}{2}x-z\right)^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2x^2-2\cdot \dfrac{1}{2}x\cdot z+z^2 = \dfrac{1}{4}x^2-xz+z^2$

Vorgehen: 2. binomische Formel

4)
${\left(-4a+7b\right)\left(-7a+4b\right) = -4a\cdot\left(-7a\right)-4a\cdot 4b+7b\cdot\left(-7a\right)+7b\cdot 4b = 28a^2-16ab-49ab+28b^2 = 28a^2-65ab+28b^2}$

Vorgehen: Distributivgesetz

Bemerkung: Hier greift keine der binomischen Formeln. Daher müssen die Klammern hier auf herkömmliche Art und Weise aufgelöst werden.

 
5)
${-\left(4m-9p\right)^2 = -\left(4^2m^2-2\cdot 4m\cdot 9p+9^2p^2\right) = -\left(16m^2-72mp+81p^2\right) = -16m^2+72mp-81p^2}$

Vorgehen: 2. binomische Formel

6)
$\left(12a-b\right)\left(12a+b\right) = 12^2a^2-b^2 = 144a^2-b^2$

Vorgehen: 3. binomische Formel

 
7)
${\dfrac{3}{4}\left(10y-\dfrac{8}{9}z\right)\left(-\dfrac{8z}{9}+10y\right) = \dfrac{3}{4}\left(10^2y^2-2\cdot 10y\cdot\dfrac{8}{9}z+\left(\dfrac{8}{9}\right)^2z^2\right) = \dfrac{3}{4}\left(100y^2-\dfrac{160}{9}yz+\dfrac{64}{81}z^2\right) = 75y^2-\dfrac{40}{3}yz+\dfrac{16}{27}z^2}$

Vorgehen: 2. binomische Formel
 
Bemerkung: $\left(10y-\dfrac{8}{9}z\right)\left(-\dfrac{8z}{9}+10y\right)$ sieht vielleicht ein bisschen ungewöhnlich aus für eine 2. binomische Formel, ist aber nichts anderes als $\left(10y-\dfrac{8}{9}z\right)^2$. Die Summanden innerhalb der Klammern dürfen ja wegen des Kommutativgesetzes vertauscht werden.

8)
${46\left(\dfrac{5}{6}x-\dfrac{5}{3}z\right)\left(\dfrac{6}{5}x-\dfrac{3}{5}z\right) = 46\left(\dfrac{5}{6}x\cdot\dfrac{6}{5}x+\dfrac{5}{6}x\cdot\left(-\dfrac{3}{5}z\right)-\dfrac{5}{3}z\cdot\dfrac{6}{5}x-\dfrac{5}{3}z\cdot\left(-\dfrac{3}{5}z\right)\right) = 46\left(x^2-\dfrac{1}{2}xz-2xz+z^2\right) = 46x^2-115xz+46z^2}$

Vorgehen: Distributivgesetz
 
Bemerkung: Hier greift keine der binomischen Formeln. Daher müssen die Klammern hier auf herkömmliche Art und Weise aufgelöst werden.

9)
$\left(p+5q\right)\left(5q+p\right) = p^2+2\cdot p\cdot 5q+5^2q^2 = p^2+10pq+25q^2$

Vorgehen: 1. binomische Formel
 
Bemerkung: $\left(p+5q\right)\left(5q+p\right)$ sieht vielleicht ein bisschen ungewöhnlich aus für eine 1. binomische Formel, ist aber nichts anderes als $\left(p+5q\right)^2$. Die Summanden innerhalb der Klammern dürfen ja wegen des Kommutativgesetzes vertauscht werden.

10)
$\left(-x+3z\right)\left(-x-3z\right) = x^2-3^2z^2 = x^2-9z^2$

Vorgehen: 3. binomische Formel

 
11)
${-\dfrac{1}{5}\left(-10s+11t\right)\left(10s-11t\right) = -\dfrac{1}{5}\left(-10s\cdot 10s-10s\cdot\left(-11t\right)+11t\cdot 10s+11t\cdot\left(-11t\right)\right) = -\dfrac{1}{5}\left(-100s^2+110st+110st-121t^2\right) = 20s^2-44st+\dfrac{121}{5}t^2}$

Vorgehen: Distributivgesetz
 
Bemerkung: Hier greift keine der binomischen Formeln. Daher müssen die Klammern hier auf herkömmliche Art und Weise aufgelöst werden.

 
12)
$-\left(8n-q\right)\left(q+8n\right) = -\left(8^2n^2-q^2\right) = -64n^2+q^2$

Vorgehen: 3. binomische Formel
 
Bemerkung: $\left(8n-q\right)\left(q+8n\right)$ sieht vielleicht ein bisschen ungewöhnlich aus für eine 3. binomische Formel, ist aber nichts anderes als $\left(8n-q\right)\left(8n+q\right)$. Die Summanden innerhalb der Klammern dürfen ja wegen des Kommutativgesetzes vertauscht werden.

13)
${3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right) = 3\left(x^2-4\right)\left(x+3\right) = 3\left(x^3+3x^2-4x-12\right) = 3x^3+9x^2-12x-36}$

Vorgehen: 3. binomische Formel und Distributivgesetz

14)
${-15\left(a+b\right)^2+30ba = -15\left(a^2+2ab+b^2\right)+30ab = -15a^2-30ab-15b^2+30ab = -15a^2-15b^2}$

Vorgehen: 1. binomische Formel

15)
${\left(\dfrac{1}{4}x-1\right)^2 \left(8x+16\right) = \left(\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{2}x+1\right)\left(8x+16\right) = \dfrac{1}{2}x^3-4x^2+8x+x^2-8x+16 = \dfrac{1}{2}x^3-3x^2+16}$

Vorgehen: 2. binomische Formel und Distributivgesetz

16)
$\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2-4xy = x^2+2xy+y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)-4xy = 0$

Vorgehen: 1. und 2. binomische Formel

17)
${\left(3x+5y\right)^2+4\left(3x-5y\right)^2 = 9x^2+30xy+25y^2+4\left(9x^2-30xy+25y^2\right) = 9x^2+30xy+25y^2+36x^2-120xy+100y^2 = 45x^2-90xy+125y^2}$

Vorgehen: 1. und 2. binomische Formel

18)
$\dfrac{\left(9a-5b\right)^2}{\left(81a^2-90ab+25b^2\right)^2} = \dfrac{\left(9a-5b\right)^2}{\left(\left(9a-5b\right)^2\right)^2} = \dfrac{\left(9a-5b\right)^2}{\left(9a-5b\right)^4} = \dfrac{1}{\left(9a-5b\right)^2}$

Vorgehen: 2. binomische Formel, dann kürzen

19)
$\left(\dfrac{7h-9n}{7h+9n}\right)^2 = \dfrac{\left(7h-9n\right)^2}{\left(7h+9n\right)^2} = \dfrac{49h^2-126hn+81n^2}{49h^2+126hn+81n^2}$

Vorgehen: 5. Potenzgesetz, 1. und 2. binomische Formel
 
Bemerkung: Hier kann man nicht kürzen!

20)
${5\cdot\dfrac{64s^2-256t^2}{\left(8s-16t\right)^2} = \dfrac{5\left(8s-16t\right)\left(8s+16t\right)}{\left(8s-16t\right)^2} = \dfrac{5\left(8s+16t\right)}{8s-16t} = \dfrac{40s+80t}{8s-16t} = \dfrac{8\left(5s+10t\right)}{8\left(s-2t\right)} = \dfrac{5s+10t}{s-2t}}$

Vorgehen: 3. binomische Formel, dann kürzen und noch mal kürzen

4. Aufgabe

1)
$100s^2-100st+25t^2 = 10^2s^2-2\cdot 10\cdot 5st+5^2t^2 = (10s-5t)^2$

Vorgehen: 2. binomische Formel

 
2)
$\dfrac{49}{4}v^2+7vw+w^2 = \left(\dfrac{7}{2}\right)^2v^2+2\cdot\dfrac{7}{2}\cdot 1vw+1^2w^2 = \left(\dfrac{7}{2}v+w\right)^2$

Vorgehen: 1. binomische Formel

 
3)
$169x^2+49y^2$

Bemerkung: Dieser Term lässt sich nicht mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen. Um die 3. binomische Formel anwenden zu können, müsste in der Mitte ein Minuszeichen stehen.

 
4)
$x^2-64z^2 = x^2-8^2z^2 = \left(x-8z\right)\left(x+8z\right)$

Vorgehen: 3. binomische Formel

5)
$36u^2+168u+196x^2$

Bemerkung: Dieser Term lässt sich nicht mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen. Um die 1. binomische Formel anwenden zu können, müsste der Term in der Mitte die Variablen $u$ und $x$ enthalten.

6)
$25a^2+60ab+100b^2$

Bemerkung: Dieser Term lässt sich nicht mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen. Um die 1. binomische Formel anwenden zu können, müsste der Term in der Mitte $2\cdot 5\cdot 10ab=100ab$ lauten.

 
7)
${\dfrac{5}{2}wy+\dfrac{5}{8}y^2+\dfrac{5}{2}w^2 = \dfrac{5}{8}\left(4w^2+4wy+y^2\right) = \dfrac{5}{8}\left(2^2w^2+2\cdot 2\cdot 1wy+1^2y^2\right) = \dfrac{5}{8}\left(2w+y\right)^2}$

Vorgehen: 1. binomische Formel

8)
${-72a^2+36ac-\dfrac{9}{2}c^2 = -\dfrac{1}{2}\left(144a^2-72ac+9c^2\right) = -\dfrac{1}{2}\left(12^2a^2-2\cdot 12\cdot 3ac+3^2c^2\right) = -\dfrac{1}{2}\left(12a-3c\right)^2}$

Vorgehen: 2. binomische Formel

9)
$\dfrac{81}{2}a^2+36ad-4d^2$

Bemerkung: Dieser Term lässt sich nicht mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen. Die Vorzeichen passen nicht.

10)
$80-405x^2 = 5\left(16-81x^2\right) = 5\left(4^2-9^2x^2\right) = 5\left(4+9x\right)\left(4-9x\right)$
 
Vorgehen: 3. binomische Formel

11)
$\dfrac{a^2-12a+36}{2a-12} = \dfrac{\left(a-6\right)^2}{2\left(a-6\right)} = \dfrac{a-6}{2}$
 
Vorgehen: im Zähler 2. binomische Formel, im Nenner ausklammern, anschließend kürzen

 
12)
$\dfrac{b^2-9a^2}{b^2+6ba+9a^2} = \dfrac{\left(b-3a\right)\left(b+3a\right)}{\left(b+3a\right)^2} = \dfrac{b-3a}{b+3a}$
 
Vorgehen: im Zähler 3. binomische Formel, im Nenner 1. binomische Formel, anschließend kürzen

 
13)
$\dfrac{x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}}{x^2+\frac{26}{3}x-3} = \dfrac{\left(x-\frac{1}{3}\right)^2}{\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+9\right)} = \dfrac{x-\frac{1}{3}}{x+9}$

Vorgehen: im Zähler 2. binomische Formel, im Nenner ausklammern, anschließend kürzen

 
14)
${\dfrac{10s+120}{s^2-144} : \dfrac{s^2+24s+144}{\left(s-12\right)\left(s+12\right)} = \dfrac{10\left(s+12\right)}{\left(s+12\right)\left(s-12\right)} \cdot \dfrac{\left(s-12\right)\left(s+12\right)}{s^2+24s+144} = \dfrac{10\left(s+12\right)}{\left(s+12\right)\left(s-12\right)} \cdot \dfrac{\left(s-12\right)\left(s+12\right)}{\left(s+12\right)^2} = \dfrac{10}{s+12}}$

Vorgehen: Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs, dann im Zähler des ersten Bruchs ausklammern, im Nenner des ersten Bruchs 3. binomische Formel, im Nenner des zweites Bruchs 1. binomische Formel, anschließend kürzen

 
15)
$\dfrac{4x^2-y^2}{4x^2-4xy+y^2} = \dfrac{\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}{\left(2x-y\right)^2} = \dfrac{2x+y}{2x-y}$
 
Vorgehen: im Zähler 3. binomische Formel, im Nenner 2. binomische Formel, anschließend kürzen

16)
$\dfrac{144y^2-169z^2}{144y^2+312zy+169z^2} = \dfrac{\left(12y-13z\right)\left(12y+13z\right)}{\left(12y+13z\right)^2} = \dfrac{12y-13z}{12y+13z}$
 
Vorgehen: Im Zähler 3. binomische Formel, im Nenner 1. binomische Formel, dann kürzen

17)
${361a^2+36b^2+121c^2+144d^2+228ab-264cd = 361a^2+228ab+36b^2+121c^2-264cd+144d^2 = \left(19a+6b\right)^2+\left(11c-12d\right)^2}$

Vorgehen: 1. und 2. binomische Formel

Bemerkung: Ein bisschen sortieren hilft ...

18)
$\dfrac{289p^2+680pq+400}{289p^2-400q^2} = \dfrac{289p^2+680pq+400}{\left(17p+20q\right)\left(17p-20q\right)}$
 
Vorgehen: im Nenner 3. binomische Formel

Bemerkung: Der Zähler kann nicht mithilfe der 1. binomischen Formel zusammengefasst werden, weil im letzten Term keine Variable steht.

 
19)
${\dfrac{1}{14x+15z} : \dfrac{14x-15z}{196x^2-225z^2} = \dfrac{1}{14x+15z} \cdot \dfrac{196x^2-225z^2}{14x-15z} = \dfrac{196x^2-225z^2}{\left(14x+15z\right)\left(14x-15z\right)} = \dfrac{\left(14x+15z\right)\left(14x-15z\right)}{\left(14x+15z\right)\left(14x-15z\right)} = 1}$
 
Vorgehen: Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs, im Zähler 3. binomische Formel, dann kürzen

 
20)
$\dfrac{-48m}{36m^2+16}$

Bemerkung: Dieser Term lässt sich nicht mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen. Das ginge nur, wenn alle Bestandteile entweder im Zähler oder im Nenner stünden.

5. Aufgabe

1)
$\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{1}{2}}{x} = \dfrac{1}{2} : x = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2x}$

$x \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

2)
$\genfrac{}{}{1pt}{0}{q^5}{\frac{7}{q^2}} = q^5 :\dfrac{7}{q^2} = q^5 \cdot \dfrac{q^2}{7} = \dfrac{q^7}{7}$

$q \in \mathbb{R}$

3)
$\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{a}{-13}}{\frac{b}{12}} = \dfrac{a}{-13} :\dfrac{b}{12} = -\dfrac{a}{13} \cdot \dfrac{12}{b} = -\dfrac{12a}{13b}$

$a \in \mathbb{R}$ und $b \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

4)
$\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-3d}{-g^3}}{-4c} = \dfrac{-3d}{-g^3} : (-4c) = \dfrac{3d}{g^3} \cdot \left(-\dfrac{1}{4c} \right) = -\dfrac{3d}{4cg^3}$

$c,g \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$ und $d \in \mathbb{R}$

5)
$\begin{array}{rclll} \genfrac{}{}{1pt}{0}{-45x}{\frac{5y}{9x}} &=& -45x : \dfrac{5y}{9x} \cr\cr &=& -45x \cdot \dfrac{9x}{5y} \cr\cr &=& -9x \cdot \dfrac{9x}{y} \cr\cr &=& -\dfrac{81x^2}{y} \end{array}$

$x,y \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $45x$ (erster Faktor) mit der $5y$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

6)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{\frac{29a}{-60b}}{\frac{-c}{4b^2}} &=& \dfrac{29a}{-60b} : \dfrac{-c}{4b^2} \cr \cr &=& -\dfrac{29a}{60b} \cdot \left(-\dfrac{4b^2}{c}\right) \cr\cr &=& -\dfrac{29a}{15} \cdot \left( -\dfrac{b}{c}\right) \cr\cr &=& \dfrac{29ab}{15c} \end{array}$

$a \in \mathbb{R}$ und $b,c \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $60b$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $4b^2$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $4b$ gekürzt.

7)
$\begin{array}{rclll} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14c}{-5}}{\frac{-18c}{25a}} &=& \dfrac{14c}{-5} : \dfrac{-18c}{25a} \cr\cr &=& -\dfrac{14c}{5} \cdot \left(-\dfrac{25a}{18c}\right) \cr\cr &=& -\dfrac{7}{1} \cdot \left(-\dfrac{5a}{9}\right) \cr\cr &=& \dfrac{35a}{9} \end{array}$

$a,c \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $14c$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $18c$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2c$ sowie die $5$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $25a$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $5$ gekürzt.

8)
$\begin{array}{rclll} \genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{31}{2r^2}}{\frac{t}{10}} &=& -\dfrac{31}{2r^2} : \dfrac{t}{10} \cr\cr &=& -\dfrac{31}{2r^2} \cdot \dfrac{10}{t} \cr\cr &=& -\dfrac{31}{r^2} \cdot \dfrac{5}{t} \cr\cr &=& -\dfrac{155}{r^2t}\end{array}$

$r,t \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $2r^2$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $10$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $2$ gekürzt.

9)
$\begin{array}{rclll} \genfrac{}{}{1pt}{0}{-4d^2}{\frac{32}{135d^4}} &=& -4d^2 : \dfrac{32}{135d^4} \cr\cr &=& -4d^2 \cdot \dfrac{135d^4}{32} \cr\cr &=& -d^2 \cdot \dfrac{135d^4}{8} \cr\cr &=& -\dfrac{135d^6}{8}\end{array}$

$d \in \mathbb{R}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $-4d^2$ (erster Faktor) mit der $32$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $4$ gekürzt.

10)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{-71k}{-4lm}}{-401k} &=& \dfrac{-71k}{-4lm} : (-401k) \\\\&=& \dfrac{71k}{4lm} \cdot \left(-\dfrac{1}{401k} \right) \\\\&=& \dfrac{71}{4lm} \cdot \left(-\dfrac{1}{401} \right) \\\\&=& -\dfrac{71}{1.604lm} \end{array}$

$k,l,m \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $71k$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $401k$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $k$ gekürzt.

11)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{-44x^9y^5}{\frac{-22x}{19y^2}} &=& -44x^9y^5 : \dfrac{-22x}{19y^2} \\\\ &=& -44x^9y^5 \cdot \left(-\dfrac{19y^2}{22x}\right) \\\\&=& -2x^8y^5 \cdot \left(\dfrac{-19y^2}{1}\right) \\\\&=& 38x^8y^7 \end{array}$

$x,y \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $-44x^9y^5$ (erster Faktor) mit der $22x$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $22x$ gekürzt.

12)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{63x^2 y^3}{4z}}{\frac{7x^3 \cdot 3z^{23}}{z}} &=& -\dfrac{63x^2 y^3}{4z} : \dfrac{7x^3 \cdot 3z^{23}}{z} \\\\ &=& -\dfrac{63x^2 y^3}{4z} \cdot \dfrac{z}{21x^3 z^{23}} \\\\ &=& -\dfrac{3 y^3}{4} \cdot \dfrac{1}{x z^{23}} \\\\&=& -\dfrac{3y^3}{4xz^{23}} \end{array}$

$x,z \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$ und $y\in\mathbb{R}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $63 x^2 y^3$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $21x^3 z^{23}$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $21x^2$ sowie die $4z$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $z$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $z$ gekürzt.

13)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{24x^{10}}{5x^2y}}{\frac{-14x^2y^7}{3x^{10}}} &=& \dfrac{24x^{10}}{5x^2y} : \dfrac{-14x^2y^7}{3x^{10}} \\\\ &=& \dfrac{24x^{10}}{5x^2y} \cdot \left(-\dfrac{3x^{10}}{14x^2y^7}\right) \\\\ &=& \dfrac{12x^8}{5y} \cdot \left(-\dfrac{3x^8}{7y^7}\right) \\\\ &=& -\dfrac{36x^{16}}{35y^8} \end{array}$

$x,y \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $24x^{10}$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $14x^2y^7$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $2x^2$ sowie die $5x^2 y$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $3x^{10}$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $x^2$ gekürzt.

14)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{55qrt}{12x^2}}{-\frac{121x^5}{9q^2}} &=& \dfrac{55qrt}{12x^2} : \left(-\dfrac{121x^5}{9q^2}\right) \\\\ &=& \dfrac{55qrt}{12x^2} \cdot \left(-\dfrac{9q^2}{121x^5}\right) \\\\ &=& \dfrac{5qrt}{4x^2} \cdot \left(-\dfrac{3q^2}{11x^5}\right) \\\\ &=& -\dfrac{15q^3 rt}{44x^7} \end{array}$

$q,x \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$ und $r,t \in \mathbb{R}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $55qrt$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $121x^5$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $11$ sowie die $12x^2$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $9q^2$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3$ gekürzt. 

15)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{144x^2 y^{17}}{-35z^3}}{288x^{11}yz^{12}} &=& \dfrac{144x^2 y^{17}}{-35z^3} : \left(288x^{11}yz^{12} \right) \\\\&=& -\dfrac{144x^2 y^{17}}{35z^3} \cdot \dfrac{1}{288x^{11}yz^{12}} \\\\&=& -\dfrac{y^{16}}{35z^3} \cdot \dfrac{1}{2x^9z^{12}} \\\\&=& -\dfrac{y^{16}}{70x^9z^{15}} \end{array}$

$x,y,z \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $144x^2 y^{17}$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $288x^{11}yz^{12}$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $144x^2 y$ gekürzt. 

16)
$\begin{array}{rcl}\genfrac{}{}{1pt}{0}{33b^{22}q^7}{\frac{99b^{19}q^{11}}{m^2}} &=& 33b^{22}q^7 : \dfrac{99b^{19}q^{11}}{m^2} \\\\&=& 33b^{22}q^7 \cdot \dfrac{m^2}{99b^{19}q^{11}} \\\\&=& b^3 \cdot \dfrac{m^2}{3q^4} \\\\&=& \dfrac{b^3m^2}{3q^4} \end{array}$

$b,m,q \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $33b^{22}q^7$ (erster Faktor) mit der $99b^{19}q^{11}$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $33b^{19} q^7$ gekürzt. 

17)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{11xyz^2}{\frac{7r^2 x}{-5rz^2}} &=& 11xyz^2 : \dfrac{7r^2 x}{-5rz^2} \\\\&=& 11xyz^2 \cdot \left(-\dfrac{5rz^2}{7r^2 x}\right) \\\\&=& 11yz^2 \cdot \left(-\dfrac{5z^2}{7r}\right) \\\\&=& -\dfrac{11yz^4}{7r} \end{array}$

$r,x,z \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $11xyz^2$ (erster Faktor) mit der $7r^2 x$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $x$ sowie der zweite Bruch durch $r$ gekürzt. 

18)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{-\frac{8y^{13}}{7x}}{\frac{24y^2 z}{49rt^{11}}} &=& -\dfrac{8y^{13}}{7x} : \dfrac{24y^2 z}{49rt^{11}} \\\\ &=& -\dfrac{8y^{13}}{7x} \cdot \dfrac{49rt^{11}}{24y^2 z} \\\\&=& -\dfrac{y^{11}}{x} \cdot \dfrac{7rt^{11}}{3z} \\\\&=& -\dfrac{7rt^{11}y^{11}}{3xz} \end{array}$

$r,t,x,y,z \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $8y^{13}$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $24y^2 z$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $8y^2$ sowie die $7x$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $49rt^{11}$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $7$ gekürzt. 

19)
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{23x^{66}}{3y^4}}{20x^{66}y^4} &=& \dfrac{23x^{66}}{3y^4} : \left(20x^{66}y^4\right) \\\\&=& \dfrac{23x^{66}}{3y^4} \cdot \dfrac{1}{20x^{66}y^4} \\\\&=& \dfrac{23}{3y^4} \cdot \dfrac{1}{20y^4} \\\\&=& \dfrac{23}{60y^8} \end{array}$

$x,y \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $23x^{66}$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $20x^{66}y^4$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $x^{66}$ gekürzt. 

20)
$\begin{array}{rcl}\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{14a^2 w}{9az^{17}}}{\frac{28wz}{123a}} &=& \dfrac{14a^2 w}{9az^{17}} : \dfrac{28wz}{123a} \\\\&=& \dfrac{14a^2 w}{9az^{17}} \cdot \dfrac{123a}{28wz} \\\\&=& \dfrac{a^2}{3z^{17}} \cdot \dfrac{41}{2z} \\\\ &=& \dfrac{41a^2}{6z^{18}} \end{array}$

$a,w,z \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Bemerkung: Vor dem Multiplizieren wurden hier die $14a^2 w$ (Zähler vom ersten Faktor) mit der $28wz$ (Nenner vom zweiten Faktor) durch $14w$ sowie die $9az^{17}$ (Nenner vom ersten Faktor) mit der $123a$ (Zähler vom zweiten Faktor) durch $3a$ gekürzt. 

6. Aufgabe

Variablenwerte müssen ausgeschlossen werden, wenn

• der Nenner für diesen Wert / diese Werte $0$ wird,
• der Radikand für diesen Wert / diese Werte negativ wird,
• das Logarithmusargument für diesen Wert / diese Werte negativ oder $0$ wird bzw.
• die Basis eines Logarithmus' für diesen Wert / diese Werte negativ, $0$ oder $1$ ist.

Ganz wichtig: Egal, wie komplex die folgenden Aufgaben werden, es gelten immer die fundamentalen Rechenregeln, wie "Potenz vor Punkt vor Strich", Klammergesetze, die Gesetze der Bruchrechnung etc.


1)
Für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} x^2 \cdot x^3 &=& x^{2+3} &=& x^5\end{array}$

Vorgehen: 1. Potenzgesetz

2)
Für alle $m \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ und $n \in \mathbb{Z}$ oder für alle $m\in \mathbb{R}^+$ und $n\in \mathbb{Q}$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} m^5 \cdot m^n \cdot m^{-3} &=& m^{5+n-3} &=& m^{2+n}\end{array}$

Vorgehen: 1. Potenzgesetz

3)
Für alle $b \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} \dfrac{b^6}{b^4} &=& b^{6-4} &=& b^2\end{array}$

Vorgehen: 2. Potenzgesetz

4)
Für alle $y \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ gilt:
$\begin{array}{rcccccccl}y : y^2 &=& y^1 : y^2 &=& y^{1-2} &=& y^{-1} &=& \dfrac{1}{y}\end{array}$

Vorgehen: 2. Potenzgesetz, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$

 
5)
Für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} \left(x^3\right)^4 &=& x^{3 \cdot 4} &=& x^{12}\end{array}$

Vorgehen: 3. Potenzgesetz

 
6)
Für alle $a\in \mathbb{R}$ und $b\in \mathbb{Z}$ oder für alle $a\in \mathbb{R}^+_0$ und $b\in \mathbb{Q}$ gilt:
$\begin{array}{rcl}\left(a^2\right)^b &=& a^{2 \cdot b}\end{array}$

Vorgehen: 3. Potenzgesetz

Bemerkung: Ist $b$ negativ oder $0$, muss zusätzlich $a\neq 0$ gelten.

 
7)
Für alle $n\in \mathbb{Q}$ gilt:
$\begin{array}{rcccl}2^n \cdot 3^n &=& (2 \cdot 3)^n &=& 6^n \end{array}$

Vorgehen: 4. Potenzgesetz

 
8)
Für alle $a \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ gilt:
$\begin{array}{rcccccl}\dfrac{a^5}{(2a)^5} &=& \left( \dfrac{a}{2a}\right)^5 &=& \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 &=& \dfrac{1}{32}\end{array}$

Vorgehen: 5. Potenzgesetz

 
9)
Für alle $m\in \mathbb{Q}$ gilt:
$\begin{array}{rcccccl}16^m : 4^m &=& \dfrac{16^m}{4^m} &=& \left(\dfrac{16}{4}\right)^m &=& 4^m \end{array}$

Vorgehen: 5. Potenzgesetz

 
10)
Für alle $r,s,t \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \dfrac{r^2 s^{-3} r^{-4} s^{-1} t t^6}{t^{-5} r^4 s^6 s^{-2} r t^{10} r^{-3} s^{-7}} &=& \dfrac{r^{2-4} s^{-3-1} t^{1+6}}{r^{4+1-3} s^{6-2-7} t^{-5+10}} \cr\cr &=& \dfrac{r^{-2} s^{-4} t^7}{r^2 s^{-3} t^5} \cr\cr &=& r^{-2-2} s^{-4-(-3)} t^{7-5} \cr\cr &=& r^{-4} s^{-1} t^2 \cr\cr &=& \dfrac{t^2}{r^4 s^1} \end{array}$

Vorgehen: Kommutativgesetz, 1. und 2. Potenzgesetz

 
11)
Für alle $p,q \in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} (4p^3-6q^5)^3 &=& \left(4p^3-6q^5 \right)^2 \left(4p^3-6q^5 \right) \cr\cr &=& \lbrack \left(4p^3 \right)^2 + 2 \cdot 4p^3 \left(-6q^5 \right)+\left(-6q^5 \right)^2 \rbrack \left(4p^3-6q^5 \right) \cr\cr &=& \lbrack 16p^6-48p^3q^5+36q^{10}\rbrack \left(4p^3-6q^5 \right) \cr\cr &=& 16p^6 \cdot 4p^3 + 16p^6 \cdot \left(-6q^5 \right) - 48 p^3q^5 \cdot 4p^3 - 48 p^3q^5 \cdot \left(-6q^5 \right) + 36 q^{10} \cdot 4p^3 + 36 q^{10} \cdot \left(-6q^5 \right) \cr\cr &=& 64p^9-96p^6q^5-192p^6q^5+288p^3q^{10}+144p^3q^{10}-216q^{15} \cr\cr &=& 64p^9-288p^6q^5+432p^3q^{10}-216q^{15} \end{array}$

Vorgehen: 2. binomische Formel, ausmultiplizieren, 3. und 4. Potenzgesetz
 
Bemerkung 1: Werden in einer Rechnung viele Klammern ineinander verschachtelt benötigt, kann man zur besseren Übersicht auch eckige oder geschweifte Klammern verwenden.
 
Bemerkung 2: Achten Sie darauf, dass z. B. bei $\left(-6q^5\right)^2$ Klammern gesetzt werden müssen. Auch das Minuszeichen gehört mit in die Klammer!
 
12)
Für alle $y \in \mathbb{R}\backslash_{\{-2;2\}}$ gilt:
$\begin{array}{rcl}\dfrac{y^4-16}{2y^4-16y^2+32} &=& \dfrac{ \left(y^2-4 \right) \left(y^2+4 \right)}{2\left(y^4-8y^2+16\right)} \\\\ &=& \dfrac{ \left(y^2-4 \right) \left(y^2+4 \right)}{2\left(y^2-4 \right)^2} \\\\ &=& \dfrac{y^2+4}{2\left(y^2-4\right)}\end{array}$

Vorgehen: binomische Formeln "rückwärts", kürzen

Bemerkung: Sie erkennen die 3. binomische Formel im Zähler daran, dass zwei Terme, die jeweils für sich quadratisch sind, voneinander subtrahiert werden. Im Nenner gibt es zwei quadratische Terme mit jeweils positivem Vorzeichen sowie einen gemischten Term. Solch eine Konstellation ist ein guter Kandidat für die Anwendung der 1. oder 2. binomischen Formel. Es kann aber sein, dass sie sich nicht in dieser Weise umformen lässt, wenn nämlich der gemischte Term nicht zu den beiden quadratischen passt.

 
13)
Für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{rcl} 5e^{-x+1}-2xe^{-x+1} &=& (5-2x)e^{-x+1}\end{array}$

Vorgehen: ausklammern

 
14)
Für alle $x \in \mathbb{R}$ und $y \in \mathbb{R}\backslash_{\{1\}}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \genfrac{}{}{1pt}{}{\dfrac{x+7}{2}}{\dfrac{8}{y-1}} &=& \dfrac{x+7}{2} : \dfrac{8}{y-1} \cr\cr &=& \dfrac{x+7}{2} \cdot \dfrac{y-1}{8} \cr\cr &=& \dfrac{\left(x+7\right)\left(y-1\right)}{2\cdot 8} \cr\cr &=& \dfrac{xy-x+7y-7}{16} \end{array}$

Vorgehen: mit dem Kehrwert des Nennerbruches multiplizieren

Bemerkung 1: Dies ist grundsätzlich ein geschicktes Vorgehen für das Auflösen von Doppelbrüchen.

Bemerkung 2: Achten Sie darauf, beim Multiplizieren der Brüche die "versteckten" Klammern zu setzen!

15)
Für alle $a \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$ und $b \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$ mit $a\neq b$ gilt:
$\begin{array}{rcl} \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \; : \; \left(a-b\right) &=& \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}}{\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}} \; : \; \left(a-b\right) \cr\cr &=& \genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{a^2-b^2}{ab}}{\frac{a+b}{ab}} \; : \; \left(a-b\right) \cr\cr &=& \dfrac{a^2-b^2}{ab} \; : \; \dfrac{a+b}{ab} \; : \; \left(a-b\right) \cr\cr &=& \dfrac{a^2-b^2}{ab} \; \cdot \; \dfrac{ab}{a+b}\cdot \dfrac{1}{a-b} \cr\cr &=& \dfrac{a^2-b^2}{1} \; \cdot \; \dfrac{1}{a+b}\cdot \dfrac{1}{a-b} \cr\cr&=& \dfrac{a^2-b^2}{(a+b) \cdot (a-b)} \cr\cr&=& \dfrac{(a+b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} \cr\cr&=& 1\end{array}$

Vorgehen: Brüche im Zähler und im Nenner gleichnamig machen und addieren/subtrahieren, dann mit dem Kehrwert des Nennerbruches multiplizieren, 3. binomische Formel, kürzen

16)
Für alle $x \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccccl} \dfrac{1}{\sqrt{x}} &=& \dfrac{1 \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} &=& \dfrac{\sqrt{x}}{x} \end{array}$

Vorgehen: erweitern mit $\sqrt{x}$
 
Bemerkung: Mit einer Wurzel im Nenner rechnet es sich meist nicht sehr gut. Daher erweitert man solche Brüche so, dass der Nenner rational wird. Eine ganz ähnliche Vorgehensweise wird bei der Division komplexer Zahlen, z. B. in der Elektrotechnik, benötigt.

 
17)
Für alle $y \in \mathbb{R}^+_0$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^2 &=& y^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cr &=& y^{\frac{2}{3}} \cr &=& \sqrt [3]{y^2} \end{array}$

Vorgehen: 3. Potenzgesetz, Potenz in Wurzelschreibweise 

 
18)
Für alle $m \in \mathbb{R}^+_0$ gilt:
$\begin{array}{ccl} 13\dfrac{\sqrt{4m-1}}{\left(4m-1\right)^{-0{,}5}} &=& 13\left(4m-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(4m-1\right)^{-\left(-\frac{1}{2}\right)} \cr\cr &=& 13 \left(4m-1\right)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cr\cr &=& 13\left(4m-1\right)^1 \cr\cr &=& 52m-13 \end{array}$

Vorgehen: Wurzel in Potenzschreibweise, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, 1. Potenzgesetz

 
19)
Für alle $x \in \mathbb{R}^+_0$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{x} &=& x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cr &=& x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \cr &=& x^{\frac{5}{6}} \cr &=& \sqrt [6]{x^5} \end{array}$

Vorgehen: Wurzeln in Potenzschreibweise, 1. Potenzgesetz

 
20)
Für alle $a \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} a^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^3\right)^2 : a &=& a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot a^{-1} \cr &=& a^{\frac{1}{2}} \cdot a^6 \cdot a^{-1} \cr &=& a^{\frac{1}{2}+6-1} \cr &=& a^{\frac{11}{2}} \cr &=& \sqrt{a^{11}} \cr &=& \sqrt{a^{10} \cdot a} \cr &=& a^5 \cdot \sqrt{a} \end{array}$

Vorgehen: 3. und 1. Potenzgesetz, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, Potenz in Wurzelschreibweise
 
Bemerkung: Die Umformung vom vorletzten zum letzten Term nennt man "teilweises Wurzelziehen".

 
21)
Für alle $b\in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \dfrac{ \sqrt[5]{b^3}}{b} &=& b^{\frac{3}{5}} \cdot b^{-1} \cr &=& b^{\frac{3}{5}-1} \cr &=& b^{-\frac{2}{5}} \cr &=& \dfrac{1}{\sqrt [5]{b^2}} \end{array}$

Vorgehen: Wurzel in Potenzschreibweise, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, 1. Potenzgesetz, Potenz wieder in Wurzelschreibweise

 
22)
Für alle $z\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \left( \sqrt[4]{z^2}\right)^3 &=& \left( z^{\frac{2}{4}} \right)^3 \cr &=& \vert z \vert^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cr &=& \vert z \vert^{\frac{3}{2}} \cr &=& \sqrt{\vert z \vert^3} \end{array}$

Vorgehen: Wurzel in Potenzschreibweise und wieder zurück, zwischendurch 3. Potenzgesetz
 
Bemerkung: Bitte beachten Sie: $\sqrt[4]{z^2}=\sqrt{\vert z \vert}$, da es sonst Schwierigkeiten bei negativen Zahlen gibt. Bei $\sqrt[4]{z^2}$ und $\sqrt{\vert z \vert}$ dürfen sie eingesetzt werden - bei $\sqrt{z}$ nicht.

 
23)
Für alle $x \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \dfrac{ \sqrt{x^3}}{x \cdot \sqrt{x}} &=& x^{\frac{3}{2}} \cdot x^{-1} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \cr &=& x^{\frac{3}{2}-1-\frac{1}{2}} \cr &=& x^0 \cr &=& 1 \end{array}$

Vorgehen: Wurzel in Potenzschreibweise, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, 1. Potenzgesetz, Festlegung: $x^0=1$

 
24)
Für alle $x \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \left( \dfrac{1}{x^2} \cdot x^{-2} \right)^2 \cdot \sqrt[2]{x} &=& \left( x^{-2} \cdot x^{-2} \right)^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cr &=& \left( x^{-2-2} \right)^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cr &=& x^{-4 \cdot 2} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cr &=& x^{-8+\frac{1}{2}} \cr &=& x^{-\frac{15}{2}} \cr\cr &=& \dfrac{1}{\sqrt{x^{15}}} \cr\cr &=& \dfrac{1}{x^7 \cdot \sqrt{x}} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{x}}{x^8} \end{array}$

Vorgehen: Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, Wurzel in Potenzschreibweise, 1., 3. und 4. Potenzgesetz
 
Bemerkung: Auch hier wurde so umgeformt, dass der Nenner am Ende rational ist (siehe Aufgabe 16).

 
25)
Für alle $d \in \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$ und $x\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \sqrt[3]{x^2d} \cdot d^{-\frac{4}{3}} &=& \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[3]{d} \cdot d^{-\frac{4}{3}} \cr\cr &=& \sqrt[3]{x^2} \cdot d^\frac{1}{3} \cdot d^{-\frac{4}{3}} \cr\cr &=& \sqrt[3]{x^2} \cdot d^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}} \cr\cr &=& \sqrt[3]{x^2} \cdot d^{-1} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{d} \end{array}$

Vorgehen: 4. Potenzgesetz, Wurzel in Potenzschreibweise, 1. Potenzgesetz, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$

 
26)
Für alle $x,y \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \left(x^{1{,}25} : y^{-0{,}625}\right)^{-\frac{4}{5}} &=& \left(x^{1{,}25} : \dfrac{1}{y^{0{,}625}}\right)^{-\frac{4}{5}} \cr\cr &=& \left( x^{1{,}25} \cdot y^{0{,}625} \right)^{-\frac{4}{5}} \cr\cr &=& x^{1{,}25 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}\cdot y^{0{,}625\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)} \cr \cr &=& x^{\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}\cdot y^{\frac{5}{8}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)} \cr \cr &=& x^{-1} \cdot y^{-\frac{1}{2}} \cr\cr &=& \dfrac{1}{x^1 \cdot y^{\frac{1}{2}}} \cr\cr &=& \dfrac{1}{x\cdot \sqrt{y}} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{y}}{x\cdot y} \end{array}$

Vorgehen: Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, mit dem Kehrwert des 2. Bruches multiplizieren, 3. und 4. Potenzgesetz, Potenz in Wurzelschreibweise
 
Bemerkung: Auch hier wurde so umgeformt, dass der Nenner am Ende rational ist (siehe Aufgabe 16).

 
27)
Für alle $a,b \in \mathbb{R}$ gilt:
$\sqrt{121a^8+166a^4b^2+64b^4}$

Bemerkung: Der Term unter der Wurzel lässt sich nicht in ein Produkt umformen, da der mittlere Term nicht dem entspricht, was für die Anwendung der 1. binomischen Formel nötig wäre (siehe Aufgabe 12). Stünde unter der Wurzel $121a^8+176a^4b^2+64b^4= (11a^4+8b^2)^2$, dann könnte man die 1. binomische Formel anwenden. Da das hier nicht der Fall ist und aus Summen keine Wurzeln gezogen werden können, kann man nicht weiter vereinfachen.

 
28)
Für alle $x \in \mathbb{R}^+$ und $y \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \dfrac{4y \sqrt{x^3}}{16xy^2} &=& \dfrac{4x^{\frac{3}{2}}y}{16xy^2} \cr\cr &=& \dfrac{1}{4} x^{\frac{3}{2}-1}y^{1-2} \cr\cr &=& \dfrac{1}{4} x^{\frac{1}{2}}y^{-1} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{x}}{4y} \end{array}$

Vorgehen: Wurzel in Potenzschreibweise, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, 1. und 2. Potenzgesetz

 
29)
Für alle $x \in \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \sqrt{x^{-2}} &=& \sqrt{\dfrac{1}{x^2}} \cr\cr &=& \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{x^2}} \cr\cr &=& \dfrac{1}{\vert x \vert} \end{array}$

Vorgehen: Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, 4. Potenzgesetz
 
Bemerkung 1: Ein negativer Exponent erzeugt einen Bruch. Das Ergebnis muss nicht zwangsläufig auch negativ sein. Im Gegenteil: Ist der Exponent eine gerade Zahl, kann das Ergebnis nie negativ werden. Deshalb kann hier problemlos die Wurzel gezogen werden.
 
Bemerkung 2: Bitte beachten Sie, dass $\sqrt{x^2} = \vert x \vert$

 
30)
Für alle $a, b\in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \sqrt[5]{\dfrac{\sqrt[4]{\left(a^4b^2\right)^{10}}}{\sqrt{a^{10}b^5}}} &=& \sqrt[5]{\dfrac{\sqrt[4]{a^{40}b^{20}}}{\sqrt{a^{10}b^5}}} \cr \cr &=& \sqrt[5]{\dfrac{a^{40\cdot \frac{1}{4}}b^{20 \cdot \frac{1}{4}}}{a^{10 \cdot \frac{1}{2}}b^{5 \cdot \frac{1}{2}}}} \cr \cr &=& \sqrt[5]{\dfrac{a^{10}b^5}{a^5b^\frac{5}{2}}} \cr \cr &=& \dfrac{a^{10 \cdot \frac{1}{5}}b^{5 \cdot \frac{1}{5}}}{a^{5 \cdot \frac{1}{5}}b^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}}} \cr \cr &=& \dfrac{a^2b}{ab^\frac{1}{2}} \cr \cr &=& a^2ba^{-1}b^{-\frac{1}{2}} \cr &=& a^{2-1}b^{1-\frac{1}{2}} \cr &=& ab^\frac{1}{2} \cr &=& a\sqrt{b} \end{array}$

Vorgehen: 3. Potenzgesetz, Wurzeln in Potenzschreibweise, Festlegung: $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$, 1. Potenzgesetz

 
31)
Für alle $c,d \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} \log(c \cdot d)-\log(d) &=& \log(c) + \log(d) - \log(d) &=& \log(c) \end{array}$

Vorgehen: 1. Logarithmengesetz

 
32)
Für alle $a\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log_a(16)-\log_a(2) &=& \log_a\left(\dfrac{16}{2}\right) \cr &=& \log_a(8) \end{array}$

Vorgehen: 2. Logarithmengesetz

 
33)
Für alle $u\in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \dfrac{\ln\left(u^5\right)}{5} &=& \dfrac{1}{5}\ln\left(u^5\right) \cr\cr &=& \ln \left(\left(u^5\right)^\frac{1}{5}\right) \cr\cr &=& \ln\left(\sqrt[5]{u^5}\right) \cr\cr &=& \ln(u) \end{array}$

Vorgehen: 3. Logarithmengesetz, 3. Potenzgesetz, Potenz in Wurzelschreibweise

 
34)
Für alle $b\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ und $x,y \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log_b(3x)+\log_b(x)-\left(2\log_b(x)-\log_b(y)\right) &=& \log_b(3x)+\log_b(x)-2\log_b(x)+\log_b(y) \cr\cr &=& \log_b(3x)+\log_b(x)-\log_b\left(x^2\right)+\log_b(y) \cr\cr &=& \log_b\left(\dfrac{3x \cdot x \cdot y}{x^2}\right) \cr\cr &=& \log_b\left(3y\right) \end{array}$

Vorgehen: 1., 2. und 3. Logarithmengesetz
 
Bemerkung: Achten Sie auf das Minuszeichen vor der Klammer!

 
35)
Für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{rcl}\ln\left(e^{x^2}\right) &=& x^2 \end{array}$

Vorgehen: $\ln(x)=\log_e(x)$ und $e^x$ sind Gegenoperationen. Sie heben sich in ihrer Wirkung also auf.

 
36)
Für alle $z\in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} 3\log\left(\sqrt[3]{z}\right) &=& \log\left(\left(\sqrt[3]{z}\right)^3\right) &=& \log(z) \end{array}$

Vorgehen: 3. Logarithmengesetz, 3. Potenzgesetz

 
37)
Für alle $a\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ und $x\in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log_a(2x)-\log_a(4)+\log_a\left(\dfrac{2}{x}\right) &=& \log_a\left(\dfrac{2x\cdot 2}{4 \cdot x}\right) \cr &=& \log_a(1) \cr &=& 0 \end{array}$

Vorgehen: 1. und 2. Logarithmengesetz

 
38)
Für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log_2\left(4^x\right) &=& \log_2\left(2^2\right)^x \cr &=& \log_2\left(2^{2x}\right) \cr &=& 2x \end{array}$

Vorgehen: $4=2^2$, 3. Potenzgesetz, der Logarithmus zur Basis $2$ ist die Gegenoperation zu $2^x$ 

 
39)
Für alle $c,d\in \mathbb{R}^+$ mit $d$ gilt:
$\begin{array}{rcccl} \log_{12}\left(\dfrac{c-d^2}{(c-d)^3}\right) &=& \log_{12}\left(c-d^2\right)-\log_{12}\left((c-d)^3\right) &=& \log_{12}\left(c-d^2\right)-3\log_{12}\left(c-d\right) \end{array}$

Vorgehen: 2. und 3. Logarithmengesetz
 
Bemerkung: Es gibt kein Gesetz für die Vereinfachung vom Logarithmus einer Summe. Deswegen können der Zähler- und den Nennerterm nicht weiter vereinfacht werden.

 
40)
Für alle $b,c\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ und $y\in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log_b(10y)-\log_b(5y^2)+\log_c\left(\dfrac{y}{100}\right)+\log_b(2^{-1}) &=& \log_b\left(\dfrac{10y}{5y^2 \cdot 2}\right)+\log_c\left(\dfrac{y}{100}\right) \cr\cr &=& \log_b\left(\dfrac{1}{y}\right)+\log_c\left(\dfrac{y}{100}\right) \cr\cr &=& -\log_b(y)+\log_c(y)-\log_c(100) \end{array}$

Vorgehen: 1. und 2. Logarithmengesetz

Bemerkung: Achten Sie auf die unterschiedlichen Basen!

 
41)
Für alle $f,w \in \mathbb{R}$ mit $f$ und $w$ nicht gleichzeitig $0$ gilt:
$\begin{array}{ccl} 10 \lg \left( \sqrt{f^2+w^2} \right) &=& 10 \lg \left( \left( f^2+w^2 \right)^\frac{1}{2} \right) \cr\cr &=& 10 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \lg \left( f^2+w^2 \right) \cr\cr &=& 5 \lg \left( f^2+w^2 \right) \end{array}$

Vorgehen: Wurzel in Potenzschreibweise, 3. Logarithmengesetz
 
Bemerkung 1: Es gibt kein Gesetz für die Vereinfachung vom Logarithmus einer Summe. Deswegen kann der Term nicht weiter vereinfacht werden
 
Bemerkung 2: "$f$ und $w$ nicht gleichzeitig $0$" bedeutet, dass alle Zahlenkombinationen für $f$ und $w$ eingesetzt werden dürfen, außer $f=w=0$. Dann würde sich nämlich $10 \lg \left( \sqrt{0^2+0^2} \right)=10 \lg \left(0\right)$ ergeben und das ist nicht definiert.

 
42)
$\begin{array}{rcccl} \sqrt{\text{ld}(512)} &=& \sqrt{9} &=& 3 \end{array}$

Vorgehen: $512=2^9$, d. h. $\text{ld}(512)=\log_2(512)=9$

 
43)
$\ln\left(-\sqrt{18x^4}\right)$

Bemerkung: Dieser Term ist nicht definiert, da das Ergebnis einer Wurzel immer positiv oder $0$ ist. Also ist $-\sqrt{18x^4}$ immer negativ oder $0$. Der Logarithmus ist aber nur für positive Zahlen definiert.

 
44)
Für alle $x \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log\left(1+x^3\right) \cdot \left[ \log\left(\sqrt{x}\right)+1 \right] &=& \log\left(1+x^3\right) \cdot \left[\log\left(x^{\frac{1}{2}} \right)+1 \right] \cr\cr &=& \log\left(1+x^3\right) \cdot \left[ \dfrac{1}{2} \log\left(x\right)+1 \right] \cr\cr &=& \dfrac{1}{2}\log\left(1+x^3\right) \cdot \log\left(x\right)+ \log\left(1+x^3\right) \end{array}$

Vorgehen: 3. Logarithmengesetz, ausmultiplizieren

Bemerkung: Es gibt kein Gesetz für die Vereinfachung eines Produkts aus mehreren Logarithmustermen. Hier können nur die allgemeinen Rechenregeln angewendet werden.

 
45)
Für alle $a,x \in \mathbb{R}^+$ gilt:
$\begin{array}{ccl} \log_5\left(\genfrac{}{}{1pt}{}{\dfrac{375}{2a^6}}{\dfrac{3}{10x^2}}\right) &=& \log_5\left(\dfrac{375}{2a^6} : \dfrac{3}{10x^2}\right) \cr\cr &=& \log_5\left(\dfrac{375}{2a^6} \cdot \dfrac{10x^2}{3}\right) \cr\cr &=& \log_5\left(\dfrac{375 \cdot 10}{2 \cdot 3} \cdot \dfrac{x^2}{a^6}\right) \cr\cr &=& \log_5\left(625 \cdot \dfrac{x^2}{a^6}\right) \cr\cr &=& \log_5\left(625\right) + \log_5\left( \left(\dfrac{x}{a^3}\right)^2 \right) \cr\cr &=& 4+2\log_5\left(\dfrac{x}{a^3}\right) \cr &=& 4+2(\log_5(x)-\log_5\left(a^3\right)) \cr &=& 4+2(\log_5(x)-3\log_5(a)) \cr &=& 4+2\log_5(x)-6\log_5(a) \end{array}$

Vorgehen: Doppelbruch auflösen durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Nennerbruches, $625=5^4$, 1., 2. und 3. Logarithmengesetz

7. Aufgabe

Den Katzen sind $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^5 = 16.807$ Maß Gerste zu verdanken.

Funfact am Rande: Der Titel des Papyrus Rhind lautet "Genaues Rechnen. Einführung in die Kenntnisse aller existierenden Gegenstände und aller dunklen Geheimnisse".

8. Aufgabe

1)
Schauen wir uns zunächst ein paar Zahlen konkret an:
$2^{-1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$
$2^{-2}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$
$2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$
$2^{-4}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$
Es sieht also so aus, als hätte $2^{-n}$ mit $n\in\mathbb{N}^+$ jeweils $n$ Stellen nach dem Komma. In der Mathematik ist man aber immer auf der Suche nach einer allgemeingültigen Antwort, sodass ein paar Beispiele nicht ausreichen. Wir müssen also ein bisschen rechnen und argumentieren ...
Dazu schreiben wir $2^{-n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \left(\dfrac{5}{10}\right)^n = 5^n \cdot \dfrac{1}{10^n}$ und betrachten dann die beiden Faktoren separat:
1. Faktor: $5^n$ mit $n\in\mathbb{N}^+$ ist eine natürliche Zahl, z. B. $25$, $125$, und hat als solche keine Nachkommastellen. Die letzte Ziffer von $5^n$ ist immer eine $5$, egal welche Zahl $n$ ist, da die Zahl $5$ ja nur mit sich selbst multipliziert wird.
2. Faktor: $\dfrac{1}{10^n}$ liefert uns für die verschiedenen Werte von $n$ die Zahlenfolge $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$, $\dfrac{1}{10^2} = 0{,}01$, $\dfrac{1}{10^3} = 0{,}001$, ...
Nun fassen wir die Erkenntnisse über die beiden Faktoren wieder zusammen: Bei der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$, ... hat das Produkt so viele Nachkommastellen wie der zweite Faktor. Es sei denn, die natürliche Zahl würde auf $0$ enden, da die $0$ als letzte Nachkommastelle wegfallen würde. Dieser Fall kann hier aber nicht eintreten, weil wir oben festgestellt haben, dass $5^n$ immer auf $5$ endet. Unsere Vermutung, dass $2^{-n}$ mit $n\in\mathbb{N}^+$ jeweils $n$ Nachkommastellen hat, ist also richtig.

2)
Wie Sie sich vermutlich denken können, gibt es hierbei einen Trick ... Wir müssen uns nämlich nur die letzte Stelle der Zahl anschauen.
Überlegen wir uns zunächst, welche Endziffern Quadratzahlen haben können:

• Die letzte Stelle von $1^2$ ist $1$.
• Die letzte Stelle von $2^2$ ist $4$.
• Die letzte Stelle von $3^2$ ist $9$.
• Die letzte Stelle von $4^2$ ist $6$.
• Die letzte Stelle von $5^2$ ist $5$.
• Die letzte Stelle von $6^2$ ist $6$.
• Die letzte Stelle von $7^2$ ist $9$.
• Die letzte Stelle von $8^2$ ist $4$.
• Die letzte Stelle von $9^2$ ist $1$.
• Die letzte Stelle von $10^2$ ist $0$.
  
  
• Die letzte Stelle von $11^2$ ist $1$.
• Die letzte Stelle von $12^2$ ist $4$.
• Die letzte Stelle von $13^2$ ist $9$.
• Die letzte Stelle von $14^2$ ist $6$.
• Die letzte Stelle von $15^2$ ist $5$.
• Die letzte Stelle von $16^2$ ist $6$.
• Die letzte Stelle von $17^2$ ist $9$.
• Die letzte Stelle von $18^2$ ist $4$.
• Die letzte Stelle von $19^2$ ist $1$.
• Die letzte Stelle von $20^2$ ist $0$.

Und so geht es auch weiter ... Eine Quadratzahl endet also immer auf $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ oder $9$.
Da "unsere" Zahl $3.141.592.653$ an der letzten Stelle eine $3$ hat, kann sie also keine Quadratzahl sein.

Wichtig: Umgekehrt funktioniert die Argumentation nicht! Beispielsweise ist die $44$ keine Quadratzahl, obwohl sie eine $4$ an letzter Stelle hat.

3)
Zunächst stellen wir fest, dass in jeder Klammer zwei Quadratzahlen subtrahiert werden. Daher formen wir jede Klammer mithilfe der dritten binomischen Formel in zwei Klammer um. Dadurch wird der Term zwar länger, aber letztendlich einfacher:
$\begin{array}{rcl}\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{9}\right)\left(1-\dfrac{1}{16}\right)\left(1-\dfrac{1}{25}\right)\dots\left(1-\dfrac{1}{100}\right) &=& \left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1+\dfrac{1}{5}\right)\dots\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\left(1+\dfrac{1}{10}\right) \cr\cr&=& \dfrac{1}{2}\cdot\;\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\;\cdot\;\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\;\cdot\;\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\;\cdot\;\dfrac{6}{5}\cdot\;\dots\;\cdot\dfrac{9}{10}\cdot\;\dfrac{11}{10} \cr\cr&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot\;\dots\;\cdot\dfrac{11}{10} \cr\cr&=& \dfrac{11}{20}\end{array}$
In der zweiten Zeile der Rechnung haben sich lauter Paare von Brüchen gebildet, deren Produkt $1$ ist, z. B. der zweite und der dritte Bruch. Es bleiben nur der erste und der letzte Bruch "übrig", die wir dann noch multiplizieren müssen.

4)
Ein kleiner Tipp vorneweg: Die Aufgabe steht absichtlich in diesem Kapitel ... Eine der hier besprochenen Formeln hilft prima weiter.

$\begin{array}{rcl}999.936 &=& 1.000.000-64 \\&=& 1.000^2-8^2 \\&=& (1.000-8)\cdot(1.000+8) \\&=& 992\cdot 1.008\end{array}$

Also ist $999.936 = 992\cdot 1.008$ und damit keine Primzahl.
Genutzt wurde die dritte binomische Formel (Umformung von der zweiten zur dritten Zeile).