Lernmodul Mathematik

Übersicht:

 

5.3 Lineare Gleichungen - Lösungen

1. Aufgabe

Erste Bemerkung vorab: Malpunkte zwischen den Variablen dürfen bei allen Aufgaben auch weggelassen werden. Das ist eigentlich die übliche Schreibweise. In diesem Kapitel wurden sie nur hingeschrieben, um deutlich zu machen, wo genau hier multipliziert wird.

Zweite Bemerkung vorab: Statt x\cdot x dürfen Sie natürlich auch x^2 und statt x\cdot x\cdot x auch x^3 schreiben. Hier wurde das nur deswegen nicht gemacht, weil die Potenzschreibweise "offiziell" erst in Kapitel 8 eingeführt wird ...

 

1)
\begin{array}{rclcl} -3(-4x \cdot x+2x) &=& -3 \cdot (-4x \cdot x)-3 \cdot 2x &=& 12x \cdot x-6x \end{array}

Vorgehen: Klammern auflösen

Bemerkung: Auf das Minuszeichen vor der Klammer achten!

 
2)
\begin{array}{rcl} 4x \cdot x-3x \cdot y+11x \cdot x+16x-40y+3y \cdot x &=& 4x \cdot x+11x \cdot x-3x \cdot y+3x \cdot y+16x-40y \cr &=& 15x \cdot x+16x-40y \end{array}

Vorgehen: zusammenfassen
 
Bemerkung 1: Gleiche Produkte von Variablen dürfen addiert und subtrahiert werden. Dabei ändert sich nur der Koeffizient.
 
Bemerkung 2: Die Reihenfolge der Variablen in einem Produkt ist egal. Üblich ist, die Variablen in alphabetischer Reihenfolge aufzuschreiben, weil das die Übersicht erleichtert.

 
3)
\begin{array}{rcl} 60a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot c +10a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot c-30a \cdot b \cdot c \cdot c \cdot c &=& 10a \cdot b \cdot c(6a \cdot a \cdot c+b \cdot b-3c \cdot c) \end{array}

Vorgehen: ausklammern

 
4)
\begin{array}{rcl} 6-(8x-4y)+2(10y-7)+12-18x &=& 6-8x+4y+20y-14+12-18x \cr &=& -26x+24y+4 \end{array}

Vorgehen: Klammern auflösen, anschließend zusammenfassen

 
5)
\begin{array}{rcl} -(2a+d)(-2d+a) &=& -(-4a \cdot d+2a \cdot a-2d \cdot d+a \cdot d) \cr &=& -(-3a \cdot d+2a \cdot a-2d \cdot d) \cr &=& -2a \cdot a+3a \cdot d+2d \cdot d \end{array}

Vorgehen: Klammern auflösen
 
Bemerkung: Auf das Minuszeichen vor den Klammern achten!

 
6)
\begin{array}{rcl} \dfrac{4}{5}t-\dfrac{t}{10}+\dfrac{7}{15}t &=& \dfrac{24}{30}t-\dfrac{3}{30}t+\dfrac{14}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{24-3+14}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{35}{30}t \cr \cr &=& \dfrac{7}{6}t \end{array}

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren, anschließend kürzen
 
Bemerkung 1: Ob die Variable auf oder hinter dem Bruchstrich steht, ist egal.
 
Bemerkung 2: Da die Variablen alle nur mit Zahlenwerten (und nicht mit weiteren Variablen) multipliziert werden, dürfen diese Koeffizienten einfach addiert bzw. subtrahiert werden.

 
7)
\begin {array}{rcl} \dfrac{3x}{8}-\dfrac{5}{12}x-\dfrac{4}{x} &=& \dfrac{9x \cdot x}{24x}-\dfrac{10x \cdot x}{24x}-\dfrac {96}{24x} \cr \cr &=& \dfrac{9x \cdot x-10x \cdot x-96}{24x} \cr \cr &=& \dfrac{-x \cdot x-96}{24x} \end{array}

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren
 
Bemerkung: Die Variable muss im Hauptnenner berücksichtigt werden, da sie beim dritten Bruch im Nenner steht.

 
8)
\begin{array}{rcl} \dfrac{2a}{b}+\dfrac{a}{m}+\dfrac{a}{b} &=& \dfrac{2a}{b}+\dfrac{a}{b}+ \dfrac{a}{m} \cr \cr &=& \dfrac{3a}{b}+\dfrac{a}{m} \cr \cr &=& \dfrac{3am}{bm}+\dfrac{ab}{bm} \cr \cr &=& \dfrac{3am+ab}{bm} \cr \cr &=& \dfrac{a(3m+b)}{bm} \end{array}

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren, anschließend ausklammern
 
Bemerkung: Den ersten und den dritten Bruch kann man sofort addieren, weil sie bereits den gleichen Nenner haben.

 
9)
\begin{array} {rcl} \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} &=& \dfrac{1\cdot(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{x-1-x-1}{(x-1)(x+1)} \cr \cr &=& \dfrac{- 2}{(x-1)(x+1)} \end{array}

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und subtrahieren

Bemerkung 1: Auf das Minuszeichen zwischen den Klammern im Zähler achten! Hier müssen unbedingt Klammern gesetzt werden, da der gesamte Zähler des zweiten Bruches subtrahiert werden muss.

Bemerkung 2: Man könnte im Nenner noch die Klammern auflösen.

 
10)
\begin{array}{rcl} \dfrac{y+2}{y-2}-\dfrac{2y- 2}{y+4} &=& \dfrac{(y+2)(y+4)}{(y-2)(y+4)}-\dfrac{(2y-2)(y-2)}{(y+4)(y-2)} \cr \cr &=& \dfrac{y \cdot y +6y+8}{(y-2)(y+4)}-\dfrac{2y \cdot y-6y+4}{(y-2)(y+4)} \cr \cr &=& \dfrac{y \cdot y+6y+8-(2y \cdot y-6y+4)}{(y- 2)(y+4)} \cr \cr &=& \dfrac{-y \cdot y+12y+4}{(y-2)(y+4)} \end{array}

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und subtrahieren
 
Bemerkung 1: Beim Zusammenfassen der Brüche müssen Klammern um den Zähler des zweiten Bruches gesetzt werden, da sich das Minuszeichen sonst nicht auf den gesamten Zähler auswirkt.
 
Bemerkung 2: Man könnte im Nenner noch die Klammern auflösen.

 
11)
\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3a-9} + \dfrac{b}{-3+a} &=& \dfrac{2}{3\left(a-3\right)} + \dfrac{b}{a-3} \cr \cr &=& \dfrac{2}{3\left(a-3\right)} + \dfrac{3b}{3\left(a-3\right)} \cr \cr &=& \dfrac{2+3b}{3\left(a-3\right)}\end{array}

Vorgehen: Brüche gleichnamig machen und addieren

Bemerkung: -3+a ist das Gleiche wie a-3

 
12)
\begin{array}{rclcl} \dfrac{4x}{5} \cdot \dfrac{2}{3x} &=& \dfrac{8x} {15x} &=& \dfrac{8}{15} \end{array}

Vorgehen: Brüche multiplizieren ("Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner"), anschließend kürzen
 
Bemerkung: x muss bei dieser Aufgabe ungleich 0 sein, da durch 0 nicht geteilt werden darf.

 
13)
\begin{array}{rclcl} \dfrac{2a}{5} : \dfrac{a}{10} &=& \dfrac{2a}{5} \cdot \dfrac{10}{a} &=& 4 \end{array}

Vorgehen: Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren), anschließend kürzen

Bemerkung: a muss bei dieser Aufgabe ungleich 0 sein, da durch 0 nicht geteilt werden darf.

 
14)
\begin{array}{rcl} \dfrac{8}{z} + \left(\dfrac{z} {2}-12\right) \left(1+\dfrac{4}{z}\right) &=& \dfrac{8}{z} + \dfrac{z}{2} \cdot 1 + \dfrac{z}{2} \cdot \dfrac{4}{z} - 12 \cdot 1 -12 \cdot \dfrac{4}{z} \cr \cr &=& \dfrac{8}{z} + \dfrac{z}{2} + 2 - 12 - \dfrac{48}{z} \cr \cr &=& \dfrac{z}{2} - 10 - \dfrac{40}{z} \end{array}

Vorgehen: Klammer auflösen nach dem Distributivgesetz, anschließend zusammenfassen

 
15)
\begin{array}{rcl} \dfrac{n-2}{n\cdot n+5n} : \dfrac{3n-6}{10n} &=& \dfrac{n-2}{n\cdot n+5n} \cdot \dfrac{10n}{3n-6} \cr \cr &=& \dfrac{n-2}{n\left(n+5\right)} \cdot \dfrac{10n} {3\left(n-2\right)} \cr \cr &=& \dfrac{1}{n+5} \cdot \dfrac{10}{3} \cr \cr &=& \dfrac{10}{3\left(n +5\right)} \end{array}

Vorgehen: Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren), anschließend kürzen und zusammenfassen

Bemerkung 1: Aus der Summe n+5 darf nicht gekürzt werden.

Bemerkung 2: Der Term n-2 als Ganzes darf gekürzt werden. Bitte darauf achten, dass nach dem Kürzen im Zähler des ersten Bruches eine 1 stehen bleibt.

 
16)
\begin{array}{rcl} 6yz-\{12+7[yz +16-3x(15+8y)]\}+13x &=&6yz-\{12+7[yz+16-3x\cdot 15+(-3x)\cdot 8y]\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7[yz+16-45x-24xy]\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7\cdot yz+7\cdot 16+7\cdot(-45x)+7\cdot (-24xy)\}+13x \cr\cr &=&6yz-\{12+7yz+112-315x-168xy\}+13x \cr\cr &=&6yz-12-7yz-112+315x+168xy+13x \cr\cr &=&-yz-124+328x+168xy \cr\cr &=&168xy-yz+328x-124 \end{array}

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die runden Klammern, dann die eckigen und zum Schluss die geschweiften) und anschließend zusammenfassen

 
17)
\begin{array}{rcl} \{8x[2+(13-5x)\cdot9x]-5\}\cdot4 &=&\{8x[2+13\cdot9x-5x\cdot9x]-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{8x[2+117x-45x\cdot x]-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{8x\cdot 2+8x\cdot 117x+8x\cdot (-45x\cdot x)-5\}\cdot4 \cr\cr &=&\{16x+936x\cdot x-360x\cdot x\cdot x-5\}\cdot4 \cr\cr &=&16x\cdot4+936x\cdot x\cdot4-360x\cdot x\cdot x\cdot4-5\cdot4 \cr\cr &=&64x+3744x\cdot x-1440x\cdot x\cdot x-20 \cr\cr &=&-1440x\cdot x\cdot x+3744x\cdot x+64x-20 \end{array}

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die runden Klammern, dann die eckigen und zum Schluss die geschweiften) und anschließend zusammenfassen

 
18)
\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}[6(12+4ab)\cdot3c-b(10a+20c)]+19 &=&\dfrac{1}{2}[(6\cdot12+6\cdot4ab)\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[(72+24ab)\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[72\cdot3c+24ab\cdot3c-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}[216c+72abc-10ab-20bc]+19 \cr\cr &=&\dfrac{1}{2}\cdot216c+\dfrac{1}{2}\cdot72abc+\dfrac{1}{2}\cdot(-10ab)+\dfrac{1}{2}\cdot(-20bc)+19 \cr\cr &=&36abc-5ab-10bc+108c+19 \end{array}

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die beiden runden Klammern und dann die eckigen) und anschließend zusammenfassen

 
19)
\begin{array}{rcl} (x-15)[-u(2x+14ux-7)+16u-24xu] &=&(x-15)[-u\cdot2x-u\cdot14ux-u\cdot(-7)+16u-24ux] \cr\cr &=&(x-15)[-2ux-14uux+7u+16u-24ux] \cr\cr &=&(x-15)[-14uux-26ux+23u] \cr\cr &=&x\cdot(-14uux)+x\cdot(-26ux)+x\cdot23u-15\cdot(-14uux)-15\cdot(-26ux)-15\cdot23u \cr\cr &=&-14uuxx-26uxx+23ux+210uux+390ux-345u \cr\cr &=&-14uuxx+210uux-26uxx+413ux-345u \end{array}

Vorgehen: erst innerhalb der eckigen Klammern "aufräumen" (runde Klammern nach dem Distributivgesetz auflösen, zusammenfassen, sortieren), dann runde Klammer von ganz vorne mit der eckigen Klammer mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und anschließend zusammenfassen
 
Bemerkung: Innerhalb der einzelnen Produkte sollten die Variablen in alphabetischer Reihenfolge geschrieben werden. Dann sieht man nämlich beispielsweise besser, dass -2ux und -24ux zusammengefasst werden können. Bei den Produkten selbst werden die mit den "meisten" Variablen zuerst geschrieben.

 
20)
\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3}[21+(11+18y)(-x-3)-2x\{9xy-5x+12\}-27x] &=&\dfrac{2}{3}[21+11\cdot(-x)+11\cdot(-3)+18y\cdot(-x)+18y\cdot(-3)-2x\cdot9xy-2x\cdot(-5x)-2x\cdot12-27x] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}[21-11x-33-18xy-54y-18xxy+10xx-24x-27x] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}[-18xxy+10xx-18xy-62x-54y-12] \cr\cr &=&\dfrac{2}{3}\cdot(-18xxy)+\dfrac{2}{3}\cdot10xx+\dfrac{2}{3}\cdot(-18xy)+\dfrac{2}{3}\cdot(-62x)+\dfrac{2}{3}\cdot(-54y)+\dfrac{2}{3}\cdot(-12) \cr\cr &=&-12xxy+\dfrac{20}{3}xx-12xy-\dfrac{124}{3}x-36y-8 \end{array}

Vorgehen: Klammern nach dem Distributivgesetz von innen nach außen auflösen (erst die beiden runden sowie die geschweiften Klammern und dann die eckigen) und anschließend zusammenfassen

 

2. Aufgabe

Wichtig: Treffen Punkt- und Strichrechnung aufeinander, müssen Klammern gesetzt werden!

1)
\begin{array}{cclll} a &=& 2b+c & \vert & \text{Setze b ein} \cr a &=& 2(3+c)+c & \vert & \text{Setze c ein} \cr a &=& 2(3+1)+1 \cr a &=& 2 \cdot 4+1 \cr a &=& 9 \end{array}


2)
\begin{array}{cclll} 2s &=& -4r-t+12 & \vert & \text{Setze r ein} \cr 2s &=& -4(3t-16)-t+12 & \vert & \text {Setze t ein} \cr 2s &=& -4(3 \cdot 24-16)-24+12 \cr 2s &=& -4 \cdot 56-24+12 \cr 2s &=& -224 -24+12 \cr 2s &=& -236 & \vert & :2 \cr s &=& -118 \end{array}


3)
\begin {array}{cclll} 2a &=& 18z+2 & \vert & :2 \cr a &=& 9z+1 \cr \cr x &=& a-10-4z & \vert & \text{Setze a ein} \cr x &=& 9z+1-10-4z & \vert & \text{Setze z ein} \cr x &=& 9 \cdot (-5)+1-10-4 \cdot (-5) \cr x &=& -45+1-10+20 \cr x &=& -44-10+20 \cr x &=& -34 \end {array}

Bemerkung: Um x zu berechnen, muss in der entsprechenden Zeile a eingesetzt werden. Es ist aber kein Term für a gegeben, sondern nur einer für 2a. Daher muss diese Zeile zunächst umgeformt werden.

 
4)
\begin{array}{cclll} 2l &=& 2z-14 & \vert & :2 \cr l &=& z-7 \cr \cr 12b &=& 3l+ \dfrac{1}{3}z+11 & \vert & \text{Setze l ein} \cr 12b &=& 3(z-7)+\dfrac{1}{3}z+11 & \vert & \text{Setze z ein} \cr 12b &=& 3(-9-7)+ \dfrac{1}{3} \cdot (-9)+11 \cr 12b &=& 3 \cdot (-16)-3+11 \cr 12b &=& -48-3+11 \cr 12b &=& -40 & \vert & :12 \cr b &=& -\dfrac{40}{12} = - \dfrac{10} {3} \end{array}


5)
\begin{array}{cclll} 2v &=& 16-8w & \vert & :2 \cr v &=& 8-4w \cr \cr -3w &=& 27 & \vert &:(-3) \cr w &=& -9 \cr \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25v-8w & \vert & \text{Setze v ein} \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8-4w)-8w & \vert & \text{Setze w ein} \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8-4 \cdot(-9))-8 \cdot (-9) \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25(8+36)+72 \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-25 \cdot 44+72 \cr \dfrac{1}{5}u &=& 100-1100+72 \cr \dfrac{1} {5}u &=& -928 & \vert & \cdot 5 \cr u &=& -4640 \end{array}

 

3. Aufgabe

1) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Ob die Variable x auf oder hinter dem Bruchstrich steht, ist egal. Dies sind nur zwei verschiedene Schreibweisen, die das Gleiche meinen.

 
2) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da auf der linken Seite der Kosinus auf die Variable angewendet wird. Außerdem entsteht beim Ausmultiplizieren der Klammern auf der rechten Seite x\cdot x = x^2 .


3) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable x auch quadriert auftritt.


4) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable x im Nenner eines Bruches auftritt.


5) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.


6) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Durch das Wurzelzeichen sieht die Gleichung zwar auf den ersten Blick nicht linear aus. Da unter der Wurzel aber "nur" eine Zahl steht, kann die Wurzel einfach berechnet werden: \sqrt{4}=2 , also steht auf der linken Seite der Gleichung nichts anderes als 1+2x.


7) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da nach dem Ausmultiplizieren der Klammern die Variable x auch quadriert auftritt.


8) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.


9) Es handelt sich um eine lineare Gleichung.

Bemerkung: Die Wurzel im Nenner kann einfach berechnet werden, weil sie "nur" eine Zahl enthält. Also steht auf der linken Seite \dfrac{x}{8}. Das ist gleichbedeutend mit \dfrac{1}{8} \cdot x. Also, alles in Ordnung.


10) Es handelt sich nicht um eine lineare Gleichung, da die Variable x im Nenner eines Bruches auftritt.

 

4. Aufgabe

1)
\begin{array}{rclll} 2x - 4 \, &=& \, -4x - 1 & \vert & +4x+4 \cr 2x+4x &=& -1+4 \cr 6x &=& 3 & \vert & :6 \cr x &=& \dfrac{1}{2} \end{array}
 
Probe:
\begin{array}{rcl} 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 4 \, &=& \, -4 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 \cr 1-4 &=& -2-1 \cr -3 &=& -3 \end{array}

Für x = \dfrac{1}{2} ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{\dfrac{1}{2} \right\}


2)
\begin{array}{rclll} 3 (2x-1) &=& -5 (17+7x) \cr 6x-3 &=& -85-35x & \vert & -6x+85 \cr -3+85 &=& -35x-6x \cr 82 &=& -41x & \vert & :(-41) \cr -2 &=& x \end{array}

Probe:
\begin {array}{rcl} 3 \cdot (2 \cdot \left(-2\right)-1) &=& -5\cdot (17+7 \cdot \left(-2\right)) \cr 3 \cdot (-4-1) &=& -5 \cdot (17-14) \cr 3 \cdot (-5) &=& -5 \cdot 3 \cr -15 &=& -15 \end{array}

Für x = -2 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{-2 \right\}


3)
\begin{array}{rclll} 6(4x-8) &=& (-12x+24) \cdot (-2) \cr 24x-48 &=& 24x-48 & \vert & -24x+48 \cr 24x-24x &=& - 48+48 \cr 0&=& 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R} \end{array}

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. 0=0 ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.


4)
\begin{array}{rclll} 3x \, (-4x-10) &=& (2-2x) \cdot (6x+15) \cr -12x^2-30x &=& 12x+30-12x^2-30x & \vert & +12x^2+30x-12x \cr -12x^2+12x^2-30x+30x-12x &=& 30 \cr -12x &=& 30 & \vert & :(-12)\cr x &=& -\dfrac{30}{12} = -\dfrac{5}{2} \end{array}

Probe:
\begin{array}{rcl} 3 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right) \cdot \, \left(-4 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)-10\right) &=& \left(2-2 \, \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)+15\right) \cr -\dfrac{15}{2} \cdot (10-10) &=& (2+5) \cdot (-15+15) \cr 0 &=& 0 \end{array}

Für x = -\dfrac{5}{2} ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{-\dfrac{5}{2} \right\}

5)
\begin{array}{rclll} 4 \, (4a-1) &=& 8 \, \left(\dfrac{1}{2}+2a\right) \cr 16a-4 &=& 4+16a & \vert & - 16a+4 \cr 16a-16a &=& 4+4 \cr 0 &=& 8 \cr \cr \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}

Bemerkung: Beim Umformen der Gleichung entsteht ein Widerspruch: 0=8 kann nie stimmen. Daher ist diese Gleichung nicht lösbar: \mathbb{L} = \emptyset

 
6)
\begin{array}{rclll} -3 \, (6y+2) &=& 12y-5 \cr -18y-6 &=& 12y-5 & \vert & -12y+6 \cr -18y-12y &=& -5+6 \cr -30y &=& 1 & \vert & :(-30) \cr y &=& -\dfrac{1}{30} \not\in\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \emptyset \end{array}

Bemerkung: Als Definitionsbereich ist hier die Menge der natürlichen Zahlen (\mathbb{D} = \mathbb{N}) gegeben. -\frac{1}{30} ist aber nun mal keine natürliche Zahl (-\frac{1}{30} \not\in\mathbb{N}). Also kann für diese Gleichung keine Zahl gefunden werden, die beide Seiten gleich groß werden lässt und im Definitionsbereich liegt.


7)
\begin{array}{rclll} 2 \, (3x-1) &=& 3(2+5x)+1 \cr 6x-2 &=& 6+15x+1 \cr 6x-2 &=& 15x+7 & \vert & -15x+2 \cr 6x-15x &=& 7+2 \cr -9x &=& 9 & \vert & :(-9) \cr x &=& -1 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 2\cdot (3\cdot (-1)-1) &=& 3\cdot (2+5\cdot (-1))+1 \cr 2\cdot (-4) &=& 3\cdot(-3)+1 \cr -8 &=& -8 \end{array}

Für x = -1 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{-1 \right\}


8)
\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{3} (-3y+6) &=& \dfrac{3}{2} (6y-2) \cr -y+2 &=& 9y-3 & \vert & -9y-2 \cr -y-9y &=& -3-2 \cr -10y &=& -5 & \vert & :(-10) \cr y &=& \dfrac{1}{2} \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{3}\cdot\left(-3\cdot \dfrac{1}{2}+6\right) &=& \dfrac{3}{2}\cdot\left(6\cdot\dfrac{1}{2}-2\right) \cr\cr \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{2} &=& \dfrac{3}{2}\cdot 1 \cr\cr \dfrac{3}{2} &=& \dfrac{3}{2} \end{array}

Für x = \dfrac{1}{2} ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{\dfrac{1}{2} \right\}


9)
\begin{array}{rclll} 6 \, (2x-4)-7 &=& 9-8\left(\dfrac{1}{4}x+5\right) \cr 12x-24-7 &=& 9-2x-40 \cr 12x-31 &=& -2x-31 & \vert & +2x+31 \cr 12x+2x &=& -31+31 \cr 14x &=& 0 & \vert & :14 \cr x &=& 0 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 6\cdot (2\cdot 0 -4)-7 &=& 9-8\cdot \left(\dfrac{1}{4}\cdot0+5\right) \cr 6\cdot(-4)-7 &=& 9-8\cdot 5 \cr -24-7 &=& 9-40 \cr\cr -31 &=& -31 \end{array}

Für x = 0 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{0 \right\}


10)
\begin{array}{rclll} 4 \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+5\left(\dfrac{x}{5}-\dfrac{1}{3}\right) &=& 0 \cr 2x-\dfrac{4}{3}+x-\dfrac{5}{3} &=& 0 \cr 3x-3 &=& 0 & \vert & +3 \cr 3x &=& 3 & \vert & :3 \cr x &=& 1 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 4\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+5\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right) &=& 0 \cr\cr 4\cdot\dfrac{1}{6}+5\cdot\left(-\dfrac{2}{15}\right) &=& 0 \cr\cr \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3} &=& 0 \cr\cr 0 &=& 0 \end{array}

Für x = 1 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{1 \right\}


11)
\begin{array}{rclll} 13m+m+30-23m-45+17+12m &=& -31 \cr 3m+2 &=& -31 & \vert & -2 \cr 3m &=& -31-2 \cr 3m &=& -33 & \vert & :3 \cr m &=& -11 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 13\cdot(-11)+(-11)+30-23\cdot(-11)-45+17+12\cdot(-11) &=& -31 \cr -143-11+30+253-45+17-132 &=& -31 \cr -31 &=& -31 \end{array}

Für x = -11 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{-11 \right\}


12)
\begin{array}{rclll} \dfrac{x+3}{2} &=& \dfrac{x+3}{4}&\vert&\cdot4 \cr 2(x+3)&=&x+3 \cr 2x+6&=&x+3&\vert&-6-x \cr 2x-x&=&3-6 \cr x&=&-3\end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} \dfrac{-3+3}{2} &=& \dfrac{-3+3}{4} \cr\cr \dfrac{0}{2} &=& \dfrac{0}{4} \cr\cr 0 &=& 0 \end{array}

Für x = -3 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{-3 \right\}


13)
\begin{array}{rclll}5\left(x+\dfrac{18}{25}\right) &=& 3\left(x-\dfrac{4}{5}\right) \cr 5x+\dfrac{18}{5} &=& 3x-\dfrac{12}{5} & \vert & -\dfrac{18}{5}-3x \cr 5x-3x &=& -\dfrac{12}{5}-\dfrac{18}{5} \cr 2x &=& -6 & \vert & : 2 \cr x &=& -3 \not\in\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L}&=&\emptyset \end{array}

Bemerkung: Als Definitionsbereich ist hier die Menge der positiven reellen Zahlen (\mathbb{D} = \mathbb{R}^+) gegeben. -3 ist nun mal negativ. Also kann für diese Gleichung keine Zahl gefunden werden, die beide Seiten gleich groß werden lässt und im Definitionsbereich liegt.


14)
\begin{array}{rclll}0{,}2a-0{,}3-0{,}5a+3{,}1a+0{,}7a &=& 1{,}9a+5-0{,}4a+0{,}5+2{,}2 \cr 3{,}5a-0{,}3 &=& 1{,}5a+7{,}7 & \vert & +0{,}3-1{,}5a \cr 3{,}5a-1{,}5a &=& 7{,}7+0{,}3 \cr 2a &=& 8 & \vert & : 2 \cr a &=& 4 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 0{,}2\cdot 4-0{,}3-0{,}5\cdot 4+3{,}1\cdot 4+0{,}7\cdot 4 &=& 1{,}9\cdot 4+5-0{,}4\cdot 4+0{,}5+2{,}2 \cr 0{,}8-0{,}3-2+12{,}4+2{,}8 &=& 7{,}6+5-1{,}6+0{,}5+2{,}2 \cr 13{,}7 &=& 13{,}7 \end{array}

Für x = 4 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{4 \right\}


15)
\begin{array}{rclll}\dfrac{-12x+24}{6} &=& 2(3x-38) \cr \dfrac{1}{6}(-12x+24) &=& 2(3x-38) \cr -2x+4 &=& 6x-76 & \vert & -4-6x \cr -2x-6x &=& -76-4 \cr -8x &=& -80 &\vert & : \left(-8\right) \cr x &=& 10 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} \dfrac{-12\cdot 10+24}{6} &=& 2\cdot(3\cdot 10-38) \cr \dfrac{-96}{6} &=& 2\cdot (-8) \cr -16 &=& -16 \end{array}

Für x = 10 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{10 \right\}


16)
\begin{array}{rclll}\dfrac{3x}{5}-\dfrac{4}{5}x+2x &=& x+4 \cr\cr \dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{10}{5}x &=& x+4 \cr\cr \dfrac{9}{5}x &=& x+4 & \vert & -x \cr\cr \dfrac{9}{5}x-\dfrac{5}{5}x &=& 4 \cr\cr \dfrac{4}{5}x &=& 4 &\vert & \cdot \dfrac{5}{4} \cr\cr x &=& 5 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} \dfrac{3\cdot 5}{5}-\dfrac{4}{5}\cdot 5 +2\cdot 5 &=& 5+4 \cr 3-4+10 &=& 9 \cr 9 &=& 9 \end{array}

Für x = 5 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{5 \right\}


17)
\begin{array}{rclll}0&=&7+3x+4-5x+4x-8+x+30 \cr 0&=& 33+3x &\vert & -3x \cr -3x&=&33 &\vert & :\left(-3\right) \cr x &=& -11 \end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 0 &=& 7+3\cdot(-11)+4-5\cdot(-11)+4\cdot(-11)-8+(-11)+30 \cr 0 &=& 7-33+4+55-44-8-11+30 \cr 0 &=& 0 \end{array}

Für x = -11 ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{-11 \right\}


18)
\begin{array}{rclll}-9+3\left(-8p+3\right)&=&-2\left(10p-2\right)+4\left(-1-p\right)\cr-9-24p+9&=&-20p+4-4-4p\cr-24p&=&-24p &\vert& +24p \cr 0&=&0 \cr\cr\mathbb{L}&=&\mathbb{R}\end{array}

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. 0=0 ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.


19)
\begin{array}{rclll}3\left(5b+1\right)-3b&=&21-2\left(4+\dfrac{5}{2}b\right)\cr\cr15b+3-3b&=&21-8-5b \cr 12b+3&=&-5b+13&\vert&+5b-3 \cr 17b&=&10&\vert&:17 \cr b&=&\dfrac{10}{17}\end{array}

Probe:
\begin{array}{rclll} 3\left(5\cdot\dfrac{10}{17}+1\right)-3\cdot\dfrac{10}{17}&=&21-2\left(4+\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{10}{17}\right) \cr\cr 3\left(\dfrac{50}{17}+1\right)-\dfrac{30}{17}&=&21-2\left(4+\dfrac{25}{17}\right) \cr\cr 3\cdot\dfrac{67}{17}-\dfrac{30}{17}&=&21-2\cdot\dfrac{93}{17} \cr\cr \dfrac{201}{17}-\dfrac{30}{17}&=&21-\dfrac{186}{17} \cr\cr \dfrac{171}{17}&=&\dfrac{171}{17} \end{array}

Für x = \dfrac{10}{17} ergibt sich eine wahre Aussage: \mathbb{L} = \left\{\dfrac{10}{17} \right\}


20)
\begin{array}{rclll} 30z-26\left(\dfrac{2z}{13}-1\right)+5z&=&-6+2\left(25z+16\right)-19z \cr\cr 30z-4z+26+5z&=&-6+50z+32-19z \cr 31z+26&=&31z+26&\vert&-26 \cr 31z&=&31z &\vert& -31z \cr 0&=&0 \cr\cr \mathbb{L}&=&\mathbb{R} \end{array}

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. 0=0 ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

 

5. Aufgabe

Sei x die Anzahl der Schüler des Pythagoras.
Dann "übersetzt" man:

  • "die Hälfte studiert Mathematik" mit \dfrac {x}{2}
  • "ein Viertel studiert Physik" mit \dfrac {x}{4}
  • "ein Siebtel lernt das Schweigen" mit \dfrac {x}{7}

Zusammen ergibt sich also:
\begin{array}{rclcl}x &=& \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{7}+3 & \vert& \text{erweitern} \cr x &=& \dfrac{14x}{28}+\dfrac{7x}{28}+\dfrac{4x}{28}+3 &\vert& \cdot 28 \cr 28x &=& 14x+7x+4x+84 \cr 28x &=& 25x+84 &\vert& -25x \cr 3x &=& 84 &\vert& \cdot \dfrac{1}{3} \cr x &=& 28 \end{array}

Pythagoras hat also 28 Schüler.

 

Bemerkung zu Textaufgaben allgemein:

Der erste Schritt beim Lösen einer Textaufgabe ist immer, sich die benötigten Variablen zu definieren. Anders formuliert: Es muss die Frage "Was ist hier eigentlich gesucht?" bzw. "Was soll hier eigentlich berechnet werden?" beantwortet werden. Das ist zum einen wichtig, da es einfacher wird, die Logik der Aufgabe zu durchschauen, wenn man das Ziel kennt. Zum anderen kann nur dann eine sinnvolle Gleichung formuliert werden, wenn klar ist, was die Variablen genau bezeichnen. Welche Bezeichnung Sie dabei wählen, ist nicht wichtig. Es hat eine gewisse Tradition, die unbekannte Größe x zu nennen. Wenn sich aus inhaltlichen Gründen eine andere Bezeichnung anbietet (hier könnte man z. B. die Anzahl der Schüler auch gut s nennen), spricht üblicherweise nichts dagegen, diese Bezeichnung zu verwenden. Im Gegenteil: Solche Benennungen können helfen, eine möglicherweise komplexere Aufgabe samt Lösungsweg übersichtlich zu halten.
Eine Schritt-für-Schritt-"Übersetzung" der in der Aufgabenstellung gegebenen Sachverhalte in mathematische Formeln kann ebenfalls helfen, die Gleichung aufzustellen (und bringt evtl. in der Klausur noch dringend benötigte Teilpunkte ...).
Den Antwortsatz nicht vergessen!