Übersicht:

 

13.1 Polynomgleichungen und -funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils den Grad des Polynoms!

1) p(x)=3x^2-2x+1

  6) p(x)=0x^7-4x^6+17x^5-23x^4+109x^3+77x^2-x+48
2) p(x)=17x^4-x+\dfrac{2}{11}

  7) p(x)=33x^7-\dfrac{2}{5} x^9+\dfrac{11}{30} x^{11}+100

3) p(x)=-180x^{21}-0{,}1x^{19}-13x^{13}+228

  8) p(x)=-22x^{19}+x^{16}-\dfrac{22}{9} x^{13}-20

4) p(x)=87

  9) p(x)=-x^{31}-x^{22}+\dfrac{41}{3} x^2-22

5) p(x)=-\dfrac{1}{6}x^{16}+\dfrac{2}{7}x^7-34x^5+15x^2-9   10) p(x)=-1+\dfrac{2}{30} x^2+\dfrac{4}{30} x^9-20x^{18}

 

2. Aufgabe

Lösen Sie die folgenden Polynomgleichungen!
Für einige Aufgaben finden Sie Lösungshinweise am Ende der Seite.

1) 0=x^3-5x^2-6x   11) -12x\left(x^2-19\right) = 24\left(-x^2+10\right)
2) \dfrac{1}{3}x^4+12=0   12) -\dfrac{1}{81}z^3\left(9z\left(-9z^4+2\right)\right) = \dfrac{2}{27}
3) \dfrac{x^3}{8} = x^2+2x-16   13) 2(x+5)^2-(x-4)(x+5) = (x-4)^2
4) 2x^3-x^2+6x=3x^2   14) 14x^2\left(x^2-2\right)+28x^3 = 14x
5) x^{10}+768=56x^5   15) \dfrac{9}{4}\left(\dfrac{4x}{3}\right)^4-4x\left(\dfrac{4x}{3}\right)^3 = -192
6) y^3+y^2+4 = -4y   16) \left(x^2-1\right)^2=x^3+1
7) \dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{13}{2}x^2-2x = 26   17) \left(5x^2-\sqrt{5}x\right)\left(x^3+x^2-4x+2\right) = 0
8) 11x^3+5x^5+2x=0   18) 12x^2(x-1) = -\sqrt{144p} \cdot x (x-1)
mit p\in\mathbb{R}_0^+ konstant
9) x^4+5x^3-x^3\ln(5)-x^25\ln(5) = 0   19) 0 = \left(-\pi-k^2+x^2\right)\left(x^2-\pi^2-kx^2+k^2\pi^2\right)
mit k\in\mathbb{R} konstant
10) 8\left(\dfrac{3}{8}x^4-6\right) = 3\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)   20) 3x^{2n}=2x^{2n-1}+x^{2n-1} mit n \in \mathbb{N}^+

 

3. Aufgabe

Welche Eigenschaften haben die folgenden Polynomfunktionen (alle mit \mathbb{D}=\mathbb{R})?
Es geht bei dieser Aufgabe darum, den Funktionsterm zu verstehen und daraus Informationen über den Funktionsgraphen abzulesen - und das Alles: Ohne zu rechnen! 
Skizzieren Sie die Graphen anhand Ihrer Überlegungen zu den Eigenschaften!

1) f(x)=-x^3+5x^2-x+5

2) f(x)=10x^4-3x^3+8x^2

3) f(x)=15x^4+21x^2-9

4) f(x)=2x^5+x^3-4x

5) f(x)=-x^6-x^4+4x^2+7

 

4. Aufgabe

Für einige Aufgaben finden Sie Lösungshinweise am Ende der Seite.

1)
Gegeben sei die Funktion f(x)=3x^4-4x^3 mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=1{,}5
b) wenn y=0

  6)
Gegeben sei die Funktion f(x)=3\left(\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+1\right) mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-\dfrac{3}{2}
b) wenn y=3

2)
Gegeben sei die Funktion f(x)=2x^4-x^3+3x^2+13 mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-\dfrac{1}{3}
b) wenn y=13

  7)
Gegeben sei die Funktion f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^3-12x^2+5x\right)+80 mit x\in \mathbb{R}
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-32
b) wenn y=5

3)
Gegeben sei die Funktion f(x)=4x^3+7x^2-2x-5 mit x\in \mathbb{R}
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-11
b) wenn y=0

  8) 
Gegeben sei die Funktion f(x)=5x^{13}-7x^9-7 mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-1
b) wenn y=-7

4)
Gegeben sei die Funktion f(x)=7x^6-4x^3+5 mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=0{,}1
b) \wenn y=485

  9) 
Gegeben sei die Funktion f(x)=3x^3-10x^2+7x-26 mit x\in \mathbb{R}
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=12
b) wenn y=-14

5)
Gegeben sei die Funktion f(x)=x^{16}-x^8-256 mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=0
b) wenn y=-256

  10)
Gegeben sei die Funktion f(x)=x^4-2x^2+1 mit x\in \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=5
b) wenn y=9

 

5. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen die Nullstellen!
Für einige Aufgaben finden Sie Lösungshinweise am Ende der Seite.

1) f(a)=8a^5+6a^3-20a

  11) h(x)=(6x^4+17)(9x^4+3x^2-2)

2) f(x)=3x^3+6x^2-3x^2-6x

  12) f(x)=(2x^3+8x^2-6x)(9x^3-10x)

3) f(x)=x^3+4x^2-51x-54

  13) f(x)=(x^3-x^2-50x-48)

4) f(x)=4x^3+8x^2-x-2

  14) f(x)= \dfrac45 x^5 +16x^3

5) f(x)=2x^3+12x^2-48x-128

  15) f(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12
6) f(x)=\dfrac{3}{4}x^4+2x^2-4   16) g(x)=2x^6+ \sqrt{2} x^3-15
7) f(y)=\left(y-3\right)\cdot\left(y^2-\dfrac{2}{3}y-3\right)   17) f(x) = (2x^3+8x^2-6x)(9x^3-30)(4x^4-12x^2+2)
8) f(x)=x^4-17x^2+16   18) f(x)= x^3-ax^2-x^2+ax-2x+2a
9) f(x)=\dfrac{1}{4}x^3+x^2+x   19) -x^3 +3x^2 +33x-35
10) f(x)=x^3+5x^2-2x-24   20) x^4 -3x^2-88

 

Lösungshinweise

Aufgabe 2.3: x_0=4 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.7: x_0=-13 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.11: x_0=1 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.14: x_0=1 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 2.17: x_0=1 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.3: x_0=-1 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.7: x_0=5 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 4.9: x_0=3 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.3: x_0=-1 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.4: x_0=-2 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.5: x_0=4 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.10: x_0=2 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.13: x_0=-1 ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.15: x_0=-2 und x_1=2 sind Lösungen der Gleichung.
Aufgabe 5.18: x_0=a ist eine Lösung der Gleichung.
Aufgabe 5.19: x_0=1 ist eine Lösung der Gleichung.