Lernmodul Mathematik

Übersicht:

 

16.1 Exponentialgleichungen und -funktionen - Aufgaben

1. Aufgabe

Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen! Geben Sie jeweils den Definitionsbereich an!

1) 26^x = 15

11) -33+5^{3x-7}=12

2) 2^{5+x}=8^x

12) 7 \cdot e^{15x^2-30x}=21

3) 27^x+4=0

13) 5^{2t}-16 \cdot 5^t=0

4) e^{2x+3}=2 \cdot e^x

14) 4 \cdot e^{25x+18}-1=51

5) 10^x=100^{x+1}

15) e^x \cdot e^{2x}-e^{18}=0

6) 11^{x+2}=8

16) 2^{5z^2} \cdot 2^{95z-45} \cdot 2^{-55}=1

7) 1{,}06^{x-1}=2{,}08^x

17) \dfrac{1.000^{x+1}}{10^{5x}}-12=43

8) 17^s=e

18) 2 \cdot 10^{2x} - 16 \cdot 10^x+30=0

9) 66^y=1

19) -9 \cdot e^{4x}+45 \cdot e^{2x}=0

10) 48^{\frac{1}{18}x-39}=48

20) 3\left(\dfrac{1}{3} x^2-112\right) e^{2x+6} = -\dfrac{109x}{e^{-2x-6}}

 

2. Aufgabe

1000 EUR werden zu einem Zinssatz von 2{,}5 \;\% p.a. angelegt. Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf 5000 EUR angewachsen?
Hinweis: Sie können diese Aufgaben rechnerisch oder grafisch lösen.

 

3. Aufgabe

Ermitteln Sie, ausgehend von der Funktion f(x)=e^x, die Graphen der folgenden Funktionen!

1) f_1(x)=e^x+2 7) f_7(x)=e^{x+2}

2) f_2(x)=e^x-2 8) f_8(x)=e^{x-2}

3) f_3(x)=2 e^x 9) f_9(x)=\left(2e\right)^x
4) f_4(x)= -2e^x

10) f_{10}(x)=\left(-2e\right)^x
5) f_5(x)=e^{2x} 11) f_{11}(x)=\dfrac{1}{e^{2x}}
6) f_6(x)=e^{-2x} 12) f_{12}(x)=\dfrac{1}{e^{-2x}}

Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Graphen von f_5(x) und f_6(x) miteinander vergleichen?
Fällt Ihnen an f_{11}(x) und f_{12}(x) etwas auf?

 

4. Aufgabe

1)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \dfrac{5^{x-1}}{10} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=0
b) wenn y=0{,}2

6)
Gegeben sei die Funktion f(x)= -13 \cdot e^{22x} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=\dfrac{1}{11}
b) wenn y=-13

2)
Gegeben sei die Funktion f(a)= 2^{5a-3} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(a\mid y),
a) wenn a=-32
b) wenn y=8

7)
Gegeben sei die Funktion f(x)= 10^{x^2-4}-1 mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-9
b) wenn y=9

3)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}5^{2x} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-14
b) wenn y=\dfrac{49}{8}

8)
Gegeben sei die Funktion f(x)= 27 \cdot e^{x^3-x^2} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-0{,}5
b) wenn y=27

4)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \dfrac{100}{3^{x-5}} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=0{,}1
b) wenn y=8.100

9)
Gegeben sei die Funktion g(y)= 2^{\frac{1}{2}y^2-1}+1 mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=\dfrac{11}{10}
b) wenn y=1

5)
Gegeben sei die Funktion f(x)= e^{7x-15} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=10
b) wenn y=-15

10)
Gegeben sei die Funktion f(x)= 1+\dfrac{2.000}{4^{x+1}} mit \mathbb{D} = \mathbb{R}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=17
b) wenn y=32.001

 

5. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen die Nullstellen!

1) f(x)=x e^x

11) f(z) = (-5z^2+35)\cdot e^{z}

2) f(x)=6e^x+xe^x+2e^x

12) f(a) = (a^2x-3a)\cdot e^{2-ax}

3) f(x)=123(x+13)10^{2x+5}

13) g(y) = \left(\dfrac{5}{3}y^2-\dfrac{7}{4}y+8\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}y^2+2}

4) f(x)=2x\left(2x^2e^{x^3+1}-9exe^{x^3}-5e^{x^3+1}\right)

14) f(x)=\dfrac{e^{x^2}\cdot e^{-2}}{e^x}-1

5) f(v) = (v^2+2v-2)\cdot e^{-6v}

15) g(x)=\dfrac{8}{2^{x^2}}-2^{-2x}

6) f(x)=3^x-2

16) f(a)=a\cdot4^a-2\dfrac{1}{4^{-a}}+a^2\cdot 4^a

7) f(y)=\dfrac{e^y}{e^{2y+1}}-{e^y}^2

17) g(t)=t\cdot e^{t-1}+e^t-e^{t-1}

8) f(x)=10^x+100^x-10

18) f(x)= \dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\cdot\left(e^{\frac{4}{5}x+3}-3\right)

9) f(x) = -12\cdot 5^{3x}\cdot 5^{-x+1}+60


19) f(y) = 3e^{-\frac{2}{3}y+5}\cdot\left(y^3+3y^2-4y\right)

10) f(x) = -2\cdot 3^x+9^x-2

20) f(x) = \dfrac{e^{13x}-64}{201e^{x+52}}