Lernmodul Mathematik

Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

 

22.3 Ableitungen - Erklärungen

Mathematischer Hinweis vorab: Um den Begriff "Ableitung" mathematisch korrekt zu fassen, müssten wir Grenzwerte betrachten. Darauf wird im Rahmen dieses Brückenkurses aber verzichtet, da hier der Umgang mit und das Berechnen von Ableitungen im Mittelpunkt stehen und ein grobes Verständnis der Hintergründe dafür ausreicht.

 

Zum Einstieg:
Wir starten in dieses Kapitel mit einer kleinen Wiederholung ... Nehmen wir die Funktion f(x)=4x^2-4x und erstellen eine Wertetabelle:

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) 120 80 48 24 8 0 0 8 24 48 80

 

Wenn Sie sich in Erinnerung rufen, was Sie über quadratische Funktionen - um eine solche handelt es sich ja - gelernt haben, sollte Ihnen etwas auffallen!
Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graph und diese weisen keine „Knicke“ bzw. konstante Abschnitte auf. Da bei der gegebenen Funktion der Koeffizient vor dem quadratischen Term positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und hat damit genau einen Tiefpunkt. Es kann also nicht zwei x-Werte für den kleinsten y-Wert geben!

Was ist die Erklärung dafür?
Natürlich verläuft diese Parabel wie alle und hat genau einen Scheitelpunkt. Nur ist der x-Wert dieses Scheitelpunkts nicht ganzzahlig. Allerdings haben wir nur solche Werte in unserer Wertetabelle berücksichtigt. Das "Problem" ist also nicht die Funktion, sondern unsere Wahl der x-Werte für die Wertetabelle. Um das Problem zu beheben, ist es naheliegend, die x-Werte nicht im Abstand von 1, sondern von 0{,}5 zu wählen:

x -2{,}5 -2 -1{,}5 -1 -0{,}5 0 0{,}5 1 1{,}5 2 2{,}5
f(x) 35 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15

Damit wäre bei dieser Funktion alles in Ordnung gebracht.
Stellen Sie sich nun aber vor, dass der Scheitelpunkt bei x=-\frac{19}{65} oder x=\sqrt{127} liegen würde (soll alles schon mal vorgekommen sein ...). Dann wäre der entsprechende Wert nicht einfach durch Ausprobieren zu finden gewesen!

Mithilfe von Ableitungen - um die es ja in diesem Kapitel gehen wird - lassen sich solche Schwierigkeiten (und auch noch andere) vermeiden. Ableitungen gehören in den Bereich der Differenzialrechnung, die es u. a. ermöglicht, charakteristische Punkte und Eigenschaften von Funktionen exakt zu bestimmen. Die Erkenntnisse über eine Funktion hängen damit nicht mehr von einer häufig nur mäßig guten Zeichnung (welche das Ablesen von Werten schwierig bis unmöglich macht) oder dem willkürlich gewählten Ausschnitt des Koordinatensystems (welcher vielleicht die relevanten Bereiche gar nicht umfasst) ab. Und - ganz wichtig - auch bei Funktionen mit mehreren Variablen, die sich grundsätzlich nicht vernünftig zeichnen lassen, liefert die Differenzialrechnung Erkenntnisse.

 

Allgemeines zu Ableitungen

Die Ableitung f'(x) (gesprochen: "f Strich von x") einer Funktion f(x) ist die Funktion, die die Steigung der Funktion f(x) beschreibt.

Bemerkung: Die Ableitung einer Funktion kennzeichnet man häufig mit einem hochgestellten Strich an der Funktionsbezeichnung: Die Ableitung von f(x) heißt dann f'(x). Später wird auch die Schreibweise \dfrac{df}{dx} nützlich sein. In beiden Fällen gilt, dass schon durch die Bezeichnungen klar wird, wie die Funktionen zusammenhängen. Und das ist ziemlich praktisch ...

Das Konzept "Steigung" kennen Sie schon aus dem Kapitel Lineare Funktionen - allerdings mit dem Unterschied, dass bei linearen Funktionen die Steigung konstant ist und es eine konkrete Formel gibt, mit deren Hilfe man sie ausrechnen kann. Es gibt aber auch Funktionen, bei denen die Steigung nicht überall gleich ist. Und das sind eigentlich die spannenderen Funktionen ... Sie haben solche Funktionen auch schon kennengelernt; die einfachsten unter ihnen sind die quadratischen Funktionen. Dass die Steigung hier nicht überall gleich ist, sieht man schon daran, dass die Funktionen teilweise ansteigen und teilweise fallen. Die Steigung muss also teilweise positiv und teilweise negativ sein.


Die Steigung der Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle lässt sich mithilfe der Tangente t(x) an dieser Stelle veranschaulichen. Die Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt und in der Umgebung dieses Punktes approximiert. Im Berührpunkt haben Graph und Tangente die gleiche Steigung. Da die Tangente eine Gerade ist, kann man für sie die Steigung unkompliziert berechnen, z. B. über ein Steigungsdreieck, wie in der folgenden Grafik gezeigt.

Parabel und eine Tangente mit Steigungsdreieck


Ganz wichtig:
f(2) bedeutet etwas Anderes als f'(2).

  • f(2)=3 bedeutet: Die Funktion f(x) hat an der Stelle x=2 den Funktionswert 3.
  • f'(2)=3 bedeutet: Die Funktion f(x) hat an der Stelle x=2 die Steigung 3.

 

Da die Ableitung einer Funktion f(x) (so sie existiert, siehe unten) wieder eine Funktion ist, nämlich f'(x), kann sie erneut abgeleitet werden. So erhält man die zweite Ableitung f''(x). Leitet man diese wieder ab, kommt man zur dritten Ableitung f'''(x). f''(x) und f'''(x) werden auch höhere Ableitungen oder Ableitungen höherer Ordnung genannt. Sie sind für die Bestimmung "besonderer Punkte" und Eigenschaften der Funktion wichtig.

 

Ableitungsregeln

Für die Berechnung von Ableitungen einer Funktion f(x) gibt es verschiedene Regeln, die in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind. Dabei sind u(x), v(x), g(x) und h(x) Teilfunktionen, aus denen f(x) zusammengesetzt ist.

Funktion Ableitung Bemerkung

grundlegende Regeln
Konstantenregel f(x)=a f'(x) =0 a \in \mathbb{R}
Faktorregel f(x)=a \cdot u(x) f'(x)=a \cdot u'(x) a \in \mathbb{R}
Summenregel f(x)=u (x)+v(x) f'(x)=u'(x) + v'(x)

weitergehende Regeln
Produktregel f(x)=u(x) \cdot v(x) f'(x)=u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x)
Quotientenregel f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v (x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} v(x)\neq 0 für alle x\in\mathbb{D}
Kettenregel f(x)=g\left(h(x)\right) f'(x)=g'\left(h (x)\right) \cdot h'(x)

Regeln für spezielle Funktionen
Potenzfunktion f(x)=x^n f'(x)=nx^{n-1} x\in\mathbb{R}, n \in \mathbb{R}
Wurzelfunktion f(x)=\sqrt[n]{x} f'(x)=\dfrac{1}{n\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}} x\in\mathbb{R}_0^+, n \in \mathbb{N}\setminus_{\{0;1\}}
Exponentialfunktion f(x)=e^x f'(x)=e^x x\in\mathbb{R}
f(x)=a^x f'(x)=\ln(a)\cdot a^x x\in\mathbb{R}, a\in\mathbb{R}^+\setminus_{\{1\}}
Logarithmusfunktion f(x)= \ln(x) f'(x)=\dfrac{1}{x} x\in\mathbb{R}^+
f(x)=\log_a(x) f'(x)=\dfrac{1}{x\cdot \ln(a)} x\in\mathbb{R}^+, a\in\mathbb{R}^+\setminus_{\{1\}}
Sinusfunktion f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x) x\in\mathbb{R}
Kosinusfunktion f(x)=\cos(x) f'(x)=- \sin(x) x\in\mathbb{R}
Tangensfunktion f(x)=\tan(x) f'(x)= \dfrac{1}{(\cos(x))^2} x\in\mathbb{R}\setminus_{\{k\pi+\frac{\pi}{2}; k \in \mathbb{Z}\}}



Beispiele für die Ableitungsregeln

Funktion Ableitung

grundlegende Regeln
Konstantenregel f(x) = -32 f'(x) = 0
f(x) ist eine konstante Funktion. Da kann bei der Steigung nicht viel passieren ...

Faktorregel f(x) = 5\cdot x^2 f'(x) = 5\cdot 2x = 10x
Der Faktor, hier die 5, bleibt beim Berechnen der Ableitung als Faktor bestehen.

Summenregel f(x) = x^3+x^2 f'(x) = 3x^2+2x
Die beiden Summanden werden jeder für sich abgeleitet und anschließend wieder addiert.


Bei den meisten Funktionen müssen diese Regeln kombiniert angewendet werden:
f(x) = x^3+5\cdot x^2-32 f'(x) = 3x^2+10x

weitergehende Regeln

Tipp: Bei Funktionen, die mit den weitergehenden Regeln abgeleitet werden müssen, ist es immer nützlich, die Teilfunktionen und ihre Ableitungen separat aufzuschreiben und Schritt für Schritt, ggf. auch mit Nebenrechnungen, vorzugehen.

Produktregel f(x) = \left(x^3+5x^2-32\right)\left(x^4-x\right) \begin{array}{rcl}f'(x) &=& \left(x^3+5x^2-32\right)\left(4x^3-1\right) + \left(3x^2+10x\right)\left(x^4-x\right) \cr &=& 4x^6-x^3+20x^5-5x^2-128x^3+32+3x^6-3x^3+10x^5-10x^2 \cr &=& 7x^6+30x^5-132x^3-15x^2+32 \end{array} \begin{array}{rcl} u &=& x^3+5x^2-32 \cr u' &=& 3x^2+10x \cr\cr v &=& x^4-x \cr v' &=& 4x^3-1 \end{array}
Wichtig: Das Ableiten von Produkten geht nicht so einfach wie das Ableiten von Summen. Daher ist es für das Ableiten günstig, eine Funktion vorab so weit wie möglich auszumultiplizieren, sodass möglichst wenig Produkte übrig sind:
\begin{array}{rcl}f(x) &=& \left(x^3+5\cdot x^2-32\right)\left(x^4-x\right) \cr &=& x^7-x^4+5x^6-5x^3-32x^4+32x \cr &=& x^7+5x^6-33x^4-5x^3+32x \end{array} f'(x) = 7x^6+30x^5-132x^3-15x^2+32
Wie man sieht, ist das Ausmultiplizieren wirklich eine gute Idee, um den weiteren Rechenweg kürzer und leicher zu gestalten. Allerdings lässt sich natürlich nicht jede Funktion in dieser Art und Weise vereinfachen. Wenn das nicht geht, z. B. bei f(x) =x\cdot e^x, muss die Produktregel angewendet werden. Beide Faktoren einzeln abzuleiten und dann zu multiplizieren, ist keine Alternative!

Quotientenregel f(x) = \dfrac{x^3+5x^2-32}{x^4-x}
mit \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\{0;1\}}
\begin{array}{rcl} f'(x) &=& \dfrac{\left(3x^2+10x\right)\left(x^4-x\right)-\left(x^3+5x^2-32\right)\left(4x^3-1\right)}{\left(x^4-x\right)^2} \cr &=& \dfrac{3x^6-3x^3+10x^5-10x^2-\left(4x^6-x^3+20x^5-5x^2-128x^3+32\right)}{\left(x^4-x\right)^2} \cr &=& \dfrac{3x^6-3x^3+10x^5-10x^2-4x^6+x^3-20x^5+5x^2+128x^3-32}{\left(x^4-x\right)^2} \cr &=& \dfrac{-x^6-10x^5+126x^3-5x^2-32}{\left(x^4-x\right)^2} \end{array} \begin{array}{rcl} u &=& x^3+5x^2-32 \cr u' &=& 3x^2+10x \cr\cr v &=& x^4-x \cr v' &=& 4x^3-1 \end{array}

Wichtig: Im Zähler steht - anders als bei der Produktregel - ein Minuszeichen zwischen den beiden Produkten. Deshalb muss unbedingt darauf geachtet werden, dass

  1. u'v vor dem Minuszeichen und uv' danach steht.
  2. der Subtrahend in Klammern gesetzt wird, sobald er aus mehreren Summanden besteht. Es steht ja ein Minuszeichen vor der Klammer ... Ohne die Klammern erhielten wir in unserem Beispiel f(x) = \dfrac{-x^6+30x^5-132x^3-15x^2+32}{\left(x^4-x\right)^2}, also offensichtlich eine ganz andere Funktion als die oben korrekt berechnete Ableitung.

Auch hier ist es keine Option, Zähler und Nenner separat abzuleiten und dann durcheinander zu teilen! Bei allen Funktionen, bei denen eine Teilfunktion im Nenner steht, muss die Quotientenregel angewendet werden. Steht nur eine Zahl im Nenner, kann diese als Faktor vor die Funktion gezogen werden, sodass man mit der Faktorregel weiterkommt.

Kettenregel f(x)=\left(x^3+5x^2-32\right)^4 \begin{array}{rcl} f'(x) &=& 4\left(h(x)\right)^3 \cdot h'(x) \cr &=& 4\left(x^3+5x^2-32\right)^3\cdot\left(3x^2+10x\right) \cr &=& \left(12x^2+40x\right)\cdot\left(x^3+5x^2-32\right)^3\end{array} \begin{array}{rcl} g\left(h(x)\right) &=& \left(h(x)\right)^4 \cr g'\left(h(x)\right) &=& 4\left(h(x)\right)^3 \cr\cr h(x) &=& x^3+5x^2-32 \cr h'(x) &=& 3x^2+10x \end{array}

g heißt dabei äußere Funktion und h innere Funktion.
Bei der Anwendung der Kettenregel gibt es einiges zu beachten:

  1. Verkettete Funktionen müssen immer gemäß dieser Regel abgeleitet werden. Alternativen dazu gibt es nicht.
  2. Wenn die Ableitung der inneren Funktion aus mehreren Summanden besteht, muss diese Ableitung in Klammern gesetzt werden, sonst gehen Punkt- und Strichrechnung durcheinander.

Nun noch ein paar Überlegungen dazu, wie man erkennt, dass eine Funktion verkettet ist: Ein gutes Indiz ist, dass in einer Potenz, unter einer Wurzel, im Argument einer Logarithmus-, einer Sinus-, Kosinus- etc. Funktion ein Polynom mit mehreren Faktoren/Summenanden und nicht nur eine einzelne Variable steht. Würde man in so einer Situation Funktionswerte berechnen, müsste man erst den Wert der Polynoms bestimmen und anschließend diesen Wert in die Potenz/Wurzel/... einsetzen.


Von den Regeln für spezielle Funktionen schauen wir uns nur die für Potenzfunktionen genauer an:
Die Regel zum Ableiten einer Potenzfunktion bereitet im klassischen Fall, also bei Funktionen wie f(x) = x^3+5x^2-32, meist wenig Schwierigkeiten. Aber diese Regel kann auch angewendet werden, wenn der Exponent nicht ganzzahlig und positiv, sondern negativ oder gebrochen ist.
\begin{array}{rcl} f(x) &=& \dfrac{3}{x^6} \cr &=& 3\cdot x^{-6} \end{array} \begin{array}{rcl} f'(x) &=& 3\cdot (-6)\cdot x^{-6-1} \cr &=& -18x^{-7} \cr &=& -\dfrac{18}{x^7}\end{array}
Mithilfe der Potenzgesetze lässt sich diese Funktion in eine Form bringen, die die Anwendung der bekannten Regel für Potenzfunktionen erlaubt.
Achten Sie beim Zusammenrechnen im Exponenten darauf, dass -6-1=-7 und nicht -5.

\begin{array}{rcl} f(x) &=& \sqrt{x} \cr &=& x^{\frac{1}{2}} \end{array} \begin{array}{rcl} f'(x) &=& \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} \cr &=& \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cr &=& \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\end{array}
Letztendlich sehen Sie hier, dass man für das Ableiten von Wurzelfunktionen keine spezielle Regel benötigt, weil (wieder) die Potenzgesetze helfen. Die oben aufgeführte Vorschrift ist daher auch in vielen Formelsammlungen nicht enthalten. Aus mathematischer Sicht ist der Weg über die Potenzschreibweise die beste Möglichkeit, weil man nichts zusätzlich benötigt. Die Kombination von zwei bereits bekannten Regeln reicht aus. Vorteil dieses Weges ist auch, dass man ggf. leichter erkennt, wenn sich Wurzelexponenten und Exponenten vom Radikand zusammenfassen lassen.
Wichtig ist nur, dass man sich an die Regeln der Bruchrechnung erinnert, damit man die Brüche im Exponenten richtig zusammenrechnet.

 

Nicht differenzierbare Funktionen

Es gibt Funktionen, bei denen sich an bestimmten Stellen die Steigung nicht bestimmen lässt. Die folgende Grafik zeigt eine solche Funktion:

Betragsfunktion als nicht differenzierbare Funktion

Was ist hier das Problem? Im Tiefpunkt der fett gezeichneten Funktion (es ist eine Betragsfunktion, nämlich f(x)=\vert x+1\vert+1), lässt sich keine Tangente finden. Hier sind zur Illustration drei Geraden mit unterschiedlicher Steigung eingezeichnet. Es existieren unendlich viele Geraden, die den Funktionsgraphen in diesem Punkt berühren, ohne dass eine "besser" oder "schlechter" wäre als die anderen. Entsprechend kann in diesem Punkt keine Steigung der Funktion bestimmt werden. Man sagt: Die Funktion ist im Punkt (-1\mid 1) nicht differenzierbar.

 

Berechnung von Extrempunkten

In Kapitel 11 hatten wir uns schon verschiedene "besondere Punkte" von Funktionen angeschaut, u. a. Hochpunkte und Tiefpunkte. Im Folgenden soll es nun darum gehen, diese rechnerisch zu bestimmen.


Vorgehen:
1.
Um Extremstellen zu bestimmen, leitet man klassischerweise die Funktion zuerst ab und löst anschließend die Gleichung, die entsteht, wenn man den abgeleiteten Funktionsterm nullsetzt.

Dieses Verfahren wird plausibel, wenn man sich das Ganze grafisch anschaut:
Graph mit Tangenten in Tief-, Hoch- und Sattelpunkt

Dort, wo die Funktion Hoch- und Tiefpunkte hat, ist die Tangente waagerecht, sprich die Steigung ist 0. Genau diese Stellen berechnen wir mithilfe der nullgesetzten Ableitung.
Sie sehen in diesen Grafiken aber auch, dass es noch eine weitere Stelle mit einer waagerechten Tangente gibt, nämlich den Sattelpunkt bei x=0. Dieses Verfahren liefert also Kandidaten für Extremstellen, gibt aber noch keine sichere Auskunft über die "besonderen Punkte" der Funktion. Wir sind also noch nicht fertig ...


2.
Im nächsten Schritt überprüft man die Kandidatenstellen mithilfe der zweiten Ableitung: Man setzt die zuvor berechneten x-Werte in die zweite Ableitung ein und prüft, ob das Ergebnis ungleich 0 ist. Folgende Zusammenhänge bestehen:
Ist das Ergebnis größer als 0, hat die Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt.
Ist das Ergebnis kleiner als 0, hat die Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt.

Für diesen zweiten Schritt gibt es auch andere Verfahren, die hier aber nicht weiter thematisiert werden sollen.


3.
Nicht vergessen, den Funktionswert zu berechnen - ein Punkt braucht ja immer zwei Koordinaten ...


Ein Beispiel:
f(x)=\dfrac{1}{24}x^3-\dfrac{1}{8}x^2-x

1. Schritt: Kandidaten für die Extrempunkte berechnen (Um die hier relevanten Schritte in den Fokus zu rücken, wurde das Auflösen der quadratischen Gleichung hier nicht notiert. Macht man wie immer ...)
\begin{array}{rclll} \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \cr\cr f'(x) &=& \dfrac{1}{8}x^2-\dfrac{1}{4}x-1 & \vert & \text{nullsetzen} \cr \cr 0 &=&\dfrac{1}{8}x^2-\dfrac{1}{4}x-1 \cr &...& \cr x_1 &=& -2 \cr x_2 &=& 4 \end{array}


2. Schritt: gefundene Stellen überprüfen & ggf. Art des Extrempunkts ermitteln
\begin{array}{rclll} f''(x) &=& \dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{4} & \vert & \text{x-Wert einsetzen} \cr \cr f''(-2) &=& -\dfrac{3}{4} & < & 0 \quad \Rightarrow \text{Hochpunkt} \cr f''(4) &=& \dfrac{3}{4} & > & 0 \quad \Rightarrow \text{Tiefpunkt}\end{array}


3. Schritt: Funktionswert ausrechnen
\begin{array}{rclll} f(-2) &=&\dfrac{1}{24}\cdot(-2)^3-\dfrac{1}{8}\cdot(-2)^2-(-2) &=& \dfrac{7}{6} \cr\cr f(4) &=&\dfrac{1}{24}\cdot 4^3-\dfrac{1}{8}\cdot4^2-4 &=& -\dfrac{10}{3} \end{array}


Ergebnis: Die Funktion hat bei \left(-2\mid \dfrac{7}{6}\right) einen Hochpunkt und bei \left(4\mid -\dfrac{10}{3}\right) einen Tiefpunkt. Grafisch sieht das so aus:
Graph zu Beispiel


Achtung:
Es gibt Extremstellen, z. B. an den Rändern des Definitionsbereichs oder an Stellen, an denen keine Steigung bestimmt werden kann (siehe oben), die mithilfe dieses Verfahrens nicht gefunden werden können. Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, müssen die Randwerte also immer separat überprüft werden.

 

Weitergehende Informationen zum Thema: diff0.pdf (150 KB)