Übersicht:

 

24.3 Komplexe Zahlen - Lösungen

1. Aufgabe

Bemerkung: Bei den folgenden Lösungen wurde das Gradmaß verwendet, weil sich keine "vernünftigen" Vielfache von \pi ergeben.

1) z_1=-10+7i
Betrag: r=\sqrt{10^2+7^2}=\sqrt{149}\approx 12{,}21
Argument: \varphi=180^\circ-\arctan\left(\dfrac{7}{10}\right)\approx 145{,}01^\circ

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: z_1\approx 12{,}21\left(\cos\left(145{,}01^\circ\right)+i\sin\left(145{,}01^\circ\right)\right)
Exponentielle Darstellung: z_1\approx 12{,}21\,e^{i\,145{,}01^\circ}
 
2) z_2=-\dfrac{-18+37i}{8}=-\left(-\dfrac{18}{8}\right)-\dfrac{37}{8}i=\dfrac{9}{4}-\dfrac{37}{8}i
Betrag: r=\sqrt{\left(\dfrac{9}{4}\right)^2+\left(\dfrac{37}{8}\right)^2}\approx 5{,}14
Argument: \varphi=360^\circ-\arctan\left(\dfrac{37}{8}\cdot\dfrac{4}{9}\right)\approx 295{,}94^\circ

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: z_2\approx 5{,}14\left(\cos\left(295{,}94^\circ\right)+i\sin\left(295{,}94^\circ\right)\right)
Exponentielle Darstellung: z_2\approx 5{,}14e^{i\, 295{,}94^\circ}
 
3) z_3=-4-\dfrac{21}{5}i
Betrag: r=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{21}{5}\right)^2}=5{,}8
Argument: \varphi=180^\circ+\arctan\left(\dfrac{21}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\right)\approx 226{,}40^\circ

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: z_3\approx 5{,}8 \left(\cos\left(226{,}40^\circ\right)+i\sin\left(226{,}40^\circ\right)\right)
Exponentielle Darstellung: z_3\approx 5{,}8e^{i\, 226{,}40^\circ}
 
4) z_4=\dfrac{13+3i}{2}=\dfrac{13}{2}+\dfrac{3}{2}i
Betrag: r=\sqrt{\left(\dfrac{13}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}\approx 6{,}67
Argument: \varphi=\arctan\left(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{13}\right)\approx 12{,}99^\circ

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: z_4\approx 6{,}67\left(\cos\left(12{,}99^\circ\right)+i\sin\left(12{,}99^\circ\right)\right)
Exponentielle Darstellung: z_4\approx 6{,}67e^{i \, 12{,}99^\circ}
 
5) z_5=-\dfrac{22}{3}-\dfrac{19}{4}i
Betrag: r=\sqrt{\left(\dfrac{22}{3}\right)^2+\left(\dfrac{19}{4}\right)^2}\approx 8{,}74
Argument: \varphi=180^\circ+\arctan\left(\dfrac{19}{4}\cdot\dfrac{3}{22}\right)\approx 212{,}93^\circ

Daraus ergibt sich folgendes:
Trigonometrische Darstellung: z_5\approx 8{,}74\left(\cos\left(212{,}93^\circ\right)+i\sin\left(212{,}93^\circ\right)\right)
Exponentielle Darstellung: z_5\approx 8{,}74e^{i\, 212{,}93^\circ}

z1 bis z5 in der gaußschen Zahlenebene

 

6) z_6=6\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\right)
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: z_6=6e^{i\,\frac{3\pi}{5}}
Für die kartesische Form ergibt sich \textit{Re}(z_6)=6\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\approx -1{,}85 und  \textit{Im}(z_6)=6\sin\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\approx 5{,}70 und daraus  z_6\approx -1{,}85+5{,}70i
 
7) z_7=\dfrac{12}{7}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: z_7=\frac{12}{7}\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}
Für die kartesische Form ergibt sich \textit{Re}(z_7)=\dfrac{12}{7}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 und \textit{Im}(z_7)=\dfrac{12}{7}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{12}{7} und daraus z_7=\dfrac{12}{7}i
 
8) z_8=\dfrac{30}{11}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: z_8=\frac{30}{11}\,e^{i\,\frac{\pi}{6}}
Für die kartesische Form ergibt sich \textit{Re}(z_8)=\dfrac{30}{11}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{15\sqrt{3}}{11} und \textit{Im}(z_8)=\dfrac{30}{11}\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{15}{11} und daraus z_8=\dfrac{15\sqrt{3}}{11}+\dfrac{15}{11}i
 
9) z_9=\dfrac{49}{10}\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\right)
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: z_9=\dfrac{49}{10}\,e^{i\,\frac{9\pi}{8}}
Für die kartesische Form ergibt sich \textit{Re}(z_9)=\dfrac{49}{10}\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\approx -4{,}53 und \textit{Im}(z_9)=\dfrac{49}{10}\sin\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\approx -1{,}88 und daraus z_9\approx -4{,}53-1{,}88i
 
10) z_{10}=\dfrac{14}{3}\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)\right)
Die exponentielle Form lässt sich ohne Rechnen ermitteln, nämlich: z_{10}=\dfrac{14}{3}\,e^{i\,\frac{5\pi}{2}}
Für die kartesische Form ergibt sich \textit{Re}(z_{10})=\dfrac{14}{3}\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=0 und \textit{Im}(z_{10})=\dfrac{14}{3}\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=\dfrac{14}{3} und daraus z_{10}=\dfrac{14}{3}i

z6 bis z10 in der gaußschen Zahlenebene

 

11) z_{11}=8e^{i\,\frac{17\pi}{10}}
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: z_{11}=8\left(\cos\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)+i\sin\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)\right)
Für die kartesische Form berechnet man \textit{Re}(z_{11})=8\cos\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)\approx 4{,}70 und \textit{Im}(z_{11})=8\sin\left(\dfrac{17\pi}{10}\right)\approx -6{,}47 und erhält damit z_{11}\approx 4{,}70-6{,}47i
 
12) z_{12}=\dfrac{33}{4}\,e^{i\,\frac{41\pi}{22}}
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: z_{12}=\dfrac{33}{4}\left(\cos\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)+i\sin\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)\right)
Für die kartesische Form berechnet man: \textit{Re}(z_{12})=\dfrac{33}{4}\cos\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)\approx 7{,}50 und \textit{Im}(z_{12})=\dfrac{33}{4}\sin\left(\dfrac{41\pi}{22}\right)\approx -3{,}43 und erhält damit z_{12}\approx 7{,}50-3{,}43i
 
13) z_{13}=\dfrac{27}{7}\,e^{i\,3\pi}
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: z_{13}=\dfrac{27}{7}\left(\cos\left(3\pi\right)+i\sin\left(3\pi\right)\right)
Für die kartesische Form berechnet man: \textit{Re}(z_{13})=\dfrac{27}{7}\cos\left(3\pi\right)=-\dfrac{27}{7} und \textit{Im}(z_{13})=\dfrac{27}{6}\sin\left(3\pi\right)=0 und erhält damit z_{13}=-\dfrac{27}{7}
 
14) z_{14}=6e^{i\,\frac{7\pi}{9}}
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: z_{14}=6\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\right)
Für die kartesische Form berechnet man: \textit{Re}(z_{14})=6\cos\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\approx -4{,}60 und \textit{Im}(z_{14})=6\sin\left(\dfrac{7\pi}{9}\right)\approx 3{,}86 und erhält damit z_{14}\approx -4{,}60+3{,}86i
 
15) z_{15}=\dfrac{9}{2}\,e^{i\,8\pi}
Hier kann man die trigonometrische Form quasi ablesen: z_{15}=\dfrac{9}{2}\left(\cos\left(8\pi\right)+i\sin\left(8\pi\right)\right)
Für die kartesische Form berechnet man: \textit{Re}(z_{15})=\dfrac{9}{2}\cos\left(8\pi\right)= \dfrac{9}{2} und \textit{Im}(z_{15})=\dfrac{9}{2}\sin\left(8\pi\right)=0 und erhält damit z_{15}=\dfrac{9}{2}

z11 bis z15 in der gaußschen Zahlenebene

 

2. Aufgabe

Hinweis 1: Basale Umformungen, wie das Erweitern und Kürzen von Brüchen, das Zusammenfassen von Zahlenwerten, das Auflösen von Klammern etc. wurde hier nicht mehr extra aufgeschrieben und ausgewiesen. Bitte denken Sie daran, dass die "normalen" Regeln der Bruchrechnung auch hier gelten!
Hinweis 2: Auch hier gilt (nach wie vor) "Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung". Das bedeutet zum Beispiel: -10 und 10i lassen sich nicht zusammenfassen!

a)

1)
 (7 \; ; \; 4) + (12 \; ; \; -35 ) \; = \; (7+12 \; ; \; 4-35) \; = \; (19 \; ; \; -31)


2)
 -\dfrac{1}{21} + \dfrac{2}{5}i + \dfrac{2}{3} + \dfrac{7} {8}i \; = \; -\dfrac{1}{21}+\dfrac{2}{3}+\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{7}{8}\right)i \; = \; \dfrac{13}{21}+\dfrac{51}{40}i


3)
 \left(\dfrac{3}{4} \; ; \; -5 \right) - \left(\dfrac{11}{8} \; ; \; \dfrac{5} {6} \right) \; = \; \left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{8} \; ; \; -5-\dfrac{5}{6}\right) \; = \; \left(-\dfrac{5}{8} \; ; \; -\dfrac{35}{6}\right)


4)
 7-4i - (18-3i) \; = \; 7-18+(-4+3)i \; = \; -11-i


5)
(10-2i) \cdot (3-6i) \; = \; 30-60i-6i+12i^2 \; = \; 18-66i


6)
 \left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) \cdot \left(\dfrac{7}{20} - \dfrac{1}{10}i \right) \; = \; -\dfrac{7}{40}+\dfrac{1}{20}i+\dfrac{7}{40}i-\dfrac{1}{20}i^2 \; = \; -\dfrac{1}{8}+\dfrac{9}{40}i


7)
 (11-10i) \cdot (-5-2i) \; = \; -55-22i+50i+20i^2 \; = \; -75+28i


8)
 \dfrac{11-8i}{-4i} \; = \; \dfrac{(11-8i)i}{(-4i)i} \; = \; \dfrac{11i-8i^2} {-4i^2} \; = \; \dfrac{11i+8}{4} \; = \; 2 + \dfrac{11}{4}i


9)
{ \dfrac{i-10}{-1-i} \; = \; \dfrac{(-10+i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} \; = \; \dfrac{10-10i-i+i^2}{(-1)^2-i^2} \; = \; \dfrac{9-11i}{2} \; = \; \dfrac{9}{2} - \dfrac{11} {2} i }


10)
{ \dfrac{4}{2+\sqrt{2}i} \; = \; \dfrac{4(2-\sqrt{2}i)}{(2+\sqrt{2}i)(2-\sqrt{2}i)} \; = \; \dfrac{8-4\sqrt{2}i}{2^2-(\sqrt{2}i)^2} \; = \; \dfrac{2(4-2\sqrt{2}i)}{6} \; = \; \dfrac{4} {3} - \dfrac{2\sqrt{2}}{3}i}

Bemerkung: Bei der letzten Umformung wurde zusätzlich gekürzt.

b)

Bemerkung 1: Für diese Aufgaben benötigt man den Satz von de Moivre.

Bemerkung 2: Bitte beachten Sie, dass bei einigen Aufgaben eine letzte Umformung nötig wird, weil laut Aufgabenstellung gefordert ist, dass  \varphi \; \in \; [0 \, ; \, 2\pi[ .


1)
{ \left(\cos(\pi) + i \sin(\pi)\right) \cdot 7 \left( \cos(\pi)+i \sin(\pi) \right) \; = \; 7(\cos(\pi+\pi)+i\sin(\pi+\pi)) \; = \; 7(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)) \; = \; (7 \; ; \; 0) }


2)
{ \dfrac{1}{8} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{4} \right) \right) \; \cdot \; \dfrac{12}{11} \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi} {5} \right) \right) \; = \; \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{12}{11} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{5} \right) \right) \; = \; \dfrac{3}{22} \left(\cos\left(\dfrac{13\pi}{20}\right)+i \sin\left(\dfrac{13\pi}{20}\right)\right)}


3)
{\dfrac{7}{5}\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)\right) \; \cdot \; \dfrac{20}{21}\left(\cos\left(\dfrac{21\pi}{20}\right)+i\sin\left(\dfrac{21\pi}{20}\right)\right) \; = \; \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{20}{21} \left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}+\dfrac{21\pi}{20} \right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi}{5}+\dfrac{21\pi}{20} \right) \right) \; = \; \dfrac{4}{3} \left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{20}\right)+i \sin\left(\dfrac{49\pi}{20}\right)\right) \; = \; \dfrac{4}{3} \left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{20}\right)+i \sin\left(\dfrac{9\pi}{20}\right)\right)}


4)
 5e^{i \, \frac{\pi}{10}} \; \cdot \; 12 e^{i \, \frac{\pi}{8}} \; = \; 5 \cdot 12 \, e^{i \, \left(\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{8}\right)} \; = \; 60 e^{i \, \frac{9 \pi}{40}}


5)
 \dfrac{4}{7} \, e^{i \frac{5\pi}{6}} \; \cdot \; \dfrac{21}{8} \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}} \; = \; \dfrac{4}{7} \, \cdot \, \dfrac{21}{8} \, e^{i \, \left(\frac{5\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\right)} \; = \; \dfrac{3}{2} \, e^{i \, \frac{3\pi}{2}} \; = \; -\dfrac{3}{2} i


6)
\dfrac{12}{5} \, e^{i \, \frac{3\pi}{10}} \cdot 15 e^{i \, \frac{5\pi}{12}} \; = \; \dfrac{12}{5} \cdot 15 \, e^{i \, \left(\frac{3\pi}{10}+\frac{5\pi}{12}\right)} \; = \; 36 e^{i \, \frac{43 \pi}{60}}


7)
{ 4 \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{4} \right) \right) \; : \; \left( \dfrac{2}{5} \left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{5\pi} {12} \right) \right) \right) \; = \; 4\cdot\dfrac{5}{2} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{12} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{12} \right) \right) \; = \; 10 \, \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi} {3}\right)\right) }


8)
{ \dfrac{8}{9} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) \right) \; : \; \left( \dfrac{16}{27} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{10} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{10} \right) \right) \right)\; = \; \dfrac{8}{9} \cdot \, \dfrac{27}{16} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{10} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{10} \right) \right) \; = \; \dfrac{3}{2} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right)}

 
9)
{ \dfrac{45} {2}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{5} \right) \right) \; : \; \left(9\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi} {9} \right)\right)\right) \; = \; \dfrac{45}{2} \cdot \, \dfrac{1}{9} \left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}-\dfrac{4\pi}{9} \right)+i \sin\left(\dfrac{3\pi}{5}-\dfrac{4\pi}{9} \right) \right) \; = \; \dfrac{5}{2} \left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{45}\right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi} {45} \right)\right)}


10)
 5 e^{i \, \frac{\pi}{10}} \; : \; \left( 12 e^{i \, \frac{\pi}{8}} \right) \; = \; \dfrac{5}{12} \, e^{i \, \left(\frac{\pi}{10}-\frac{\pi}{8}\right)} \; = \; \dfrac{5}{12} \, e^{i \, \left(-\frac{1\pi} {40}\right) } \; = \; \dfrac{5}{12} \, e^{i \, \frac{79\pi} {40} }


11)
 \dfrac{3}{8} \, e^{i \, \frac{3\pi}{4}} \; : \; \left(\dfrac{9}{16} \, e^{i \, \frac{\pi}{6}} \right) \; = \; \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{16}{9} \, e^{i \, \left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)} \; = \; \dfrac{2}{3} \, e^{i \, \frac{7\pi}{12}}


12)
 \dfrac{1}{51} \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}} \; : \; \left(\dfrac{2}{17} \, e^{i \, \frac{3\pi} {4}} \right) \; = \; \dfrac{1}{51} \cdot \dfrac{17}{2} \, e^{i \, \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{3\pi}{4}\right)} \; = \; \dfrac{1}{6} \, e^{i \, \left(-\frac{1\pi}{12}\right)} \; = \; \dfrac{1}{6} \, e^{i \, \frac{23\pi}{12}}

  

3. Aufgabe

Bemerkung: Auch hier werden einige letzte Umformungen nötig, weil gefordert ist, dass  \varphi \; \in \; [0 \, ; \, 2\pi[ .

1)
{ \left(\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{8} \right) \right) \right)^4 \; = \; \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \left(\cos\left(4 \cdot \dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin\left(4 \cdot \dfrac{\pi}{8} \right) \right) \; = \; \dfrac{1}{16} \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{16}i}


2)
 {\left(\dfrac{2}{3}\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\right)\right)^3 \; = \; \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \left(\cos\left(3 \cdot \dfrac{7\pi}{12}\right)+i \sin\left(3 \cdot \dfrac{7\pi}{12}\right)\right) \; = \; \dfrac{8}{27} \left( \cos\left( \dfrac{7 \pi} {4}\right)+i \sin \left( \dfrac{7\pi} {4} \right) \right)}


3)
 \left(8 \, e^{i \, \frac{4\pi}{3}}\right)^2 \; = \; 8^2 \, e^{2 \cdot i \, \frac{4\pi}{3}} \; = \; 64 \, e^{i \, \frac{8\pi}{3}} \; = \; 64 \, e^{i \, \frac{2\pi}{3}}


4)
 \left(2 \, e^{i \, \frac{7\pi}{5}}\right)^5 \; = \; 2^5 \, e^{5 \cdot i \, \frac{7\pi}{5}}\; = \; 32 \, e^{i \cdot 7\pi} \; = \; 32 \, e^{i\pi} \; = \; -32

Bemerkung: Für die letzte Umformung wurde die eulersche Identität e^{i \, \pi}=-1 verwendet.


5)
 \sqrt[3]{64(\cos(6\pi)+i \sin(6 \pi))}

{z_0 \; = \; \sqrt[3]{64} \, \left(\cos\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right)\right) \; = \; 4(\cos(2\pi)+i \sin(2\pi)) \; = \; 4 }
{z_1 \; = \; \sqrt[3]{64} \, \left(\cos\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) \right) \; = \; 4 \left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)\right) \; = \; 4\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) }
{z_2 \; = \; \sqrt[3]{64} \, \left(\cos\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{6\pi+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) \right) \; = \; 4\left(\cos\left(\dfrac{10\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{10\pi}{3}\right)\right) \; = \; 4\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right) }


6)
 \sqrt{\dfrac{1}{49}\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)}

{z_0 \; = \; \sqrt{\dfrac{1}{49}}\left(\cos\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 0\cdot \pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 0\cdot \pi}{2}\right)\right) \; = \; \dfrac{1}{7}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) }
{z_1 \; = \; \sqrt{\dfrac{1}{49}}\left(\cos\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{2\pi}{3}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}\right)\right) \; = \; \dfrac{1}{7}\left(\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+i \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right) }


7)
 \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{5} \right)+i\sin\left(\dfrac{8\pi}{5} \right) \right)}

{z_0 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{4}\right)\right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)+i \sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\right)}
{z_1 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{4}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{10}\right)+i \sin\left(\dfrac{9\pi}{10}\right)\right)}
{z_2 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{4}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)+i \sin\left(\dfrac{7\pi}{5}\right)\right)}
{z_3 \; = \; \sqrt[4]{\dfrac{1}{256}} \, \left(\cos\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 3 \cdot \pi}{4}\right)+i \sin\left(\dfrac{\frac{8\pi}{5}+2 \cdot 3 \cdot \pi}{4}\right) \right) \; = \; \dfrac{1}{4} \, \left(\cos\left(\dfrac{19\pi}{10}\right)+i \sin\left(\dfrac{19\pi}{10}\right)\right)}


8)
 \sqrt{\dfrac{81} {4} \, e^{i \, \frac{\pi}{5}}}

z_0 \; = \; \sqrt{\dfrac{81} {4}} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{5}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{2}} \; = \; \dfrac{9}{2} \, e^{i \, \frac{\pi}{10}}
z_1 \; = \; \sqrt{\dfrac{81} {4}} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{5}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}} \; = \; \dfrac{9}{2} \, e^{i \, \frac{11\pi}{10}}


9)
 \sqrt[3]{e^{i \, \frac{3\pi}{4}}}

z_0 \; = \; e^{i \, \frac{\frac{3\pi}{4}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}} \; = \; e^{i \, \frac{\pi}{4}}
z_1 \; = \; e^{i \, \frac{\frac{3\pi}{4}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}} \; = \; e^{i \, \frac{11\pi}{12}}
z_2 \; = \; e^{i \, \frac{\frac{3\pi}{4}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}} \; = \; e^{i \, \frac{19\pi}{12}}


10)
 \sqrt[5]{32 \, e^{i \, \frac{\pi}{3}}}

z_0 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 0 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{\pi}{15}}
z_1 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 1 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{7\pi}{15}}
z_2 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 2 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{13\pi}{15}}
z_3 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 3 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{19\pi}{15}}
z_4 \; = \; \sqrt[5]{32} \, e^{i \, \frac{\frac{\pi}{3}+2 \cdot 4 \cdot \pi}{5}} \; = \; 2 \, e^{i \, \frac{5\pi}{3}}

 

4. Aufgabe

Bemerkung: Es gibt absichtlich keine umfangreichen Erklärungen zu diesen Aufgaben, denn Gleichungen bleiben Gleichungen und komplexe Zahlen sind in erster Linie einmal Zahlen und erst in zweiter Linie komplex. Insofern ist hier vorab nicht viel zu sagen. Rechnen Sie einfach drauf los!
Wer Schwierigkeiten hat, schaue in den Kapiteln Quadratische Gleichungen bzw. Polynome nach.

1)
\begin{array}{rclcl} -3x^2+6x-8 &=& 0 &\vert& :(-3) \cr x^2-2x-\dfrac{8}{3} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt{1-\dfrac{8}{3}} \cr &=& 1 \pm \sqrt{-\dfrac{5}{3}} \cr \cr x_1 &=& 1+i\sqrt{\dfrac{5}{3}} \cr x_2 &=& 1-i\sqrt{\dfrac{5}{3}} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{1+i\sqrt{\dfrac{5}{3}} \; ; \; 1-i\sqrt{\dfrac{5}{3}}\right\} \end{array}


2)
\begin{array}{rclcl} \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{289}{3} &=& 16x &\vert& -16x \cr \dfrac{2}{3}x^2-16x+\dfrac{289}{3} &=& 0 &\vert& : \dfrac{2}{3} \cr x^2-24x+\dfrac{289}{2} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 12 \pm \sqrt{144-\dfrac{289}{2}} \cr &=& 12 \pm \sqrt{-\dfrac{1}{2}} \cr \cr x_1 &=& 12+\dfrac{i}{\sqrt{2}} \cr x_2 &=& 12-\dfrac{i}{\sqrt{2}} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{12+\dfrac{i}{\sqrt{2}} \; ; \; 12-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right\}\end{array}


3)
\begin{array}{rclcl} 8x(2x-3) &=& -25 &\vert& +25 \cr 16x^2-24x+25 &=& 0 &\vert& :16 \cr x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{25}{16} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{3}{4} \pm \sqrt{\dfrac{9}{16}-\dfrac{25}{16}} \cr &=& \dfrac{3}{4} \pm \sqrt{-1} \cr \cr x_1 &=& \dfrac{3}{4}+i \cr\cr x_2 &=& \dfrac{3}{4}-i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{3}{4}+i \; ; \; \dfrac{3}{4}-i\right\}\end{array}


4)
\begin{array}{crclcl} & x(x^2-12(x-3)) &=& 6-2(6x^2+3) \cr & x^3-12x^2+36x &=& 6-12x^2-6 &\vert&+12x^2 \cr & x^3+36x &=& 0 \cr & x(x^2+36) &=& 0 & \vert & \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \cr\cr \text{Faktor 2:} & x^2+36 &=& 0 \cr & x^2 &=& -36 &\vert& \pm\sqrt{} \cr & x_{2,3} &=& \pm \sqrt{-36} \cr & &=& \pm 6i \cr \cr & \mathbb{L} &=& \left\{-6i \; ; \; 0 \; ; \; 6i \right\}\end{array}

Bemerkung: Bislang war der Satz vom Nullprodukt zwar immer so formuliert worden: "Ein Produkt reeller Zahlen ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist." Er gilt aber natürlich auch für komplexe Zahlen.


5)
\begin{array}{rclcl} -\dfrac{1}{2}z-2i &=& -\dfrac{1}{8}z^2-iz+\dfrac{3}{2} &\vert& +\dfrac{1}{8}z^2+iz-\dfrac{3}{2} \cr \dfrac{1}{8}z^2-\dfrac{1}{2}z+iz-\dfrac{3}{2}-2i &=& 0 \cr z^2+(-4+8i)z-12-16i &=& 0 \cr z_{1,2} &=& -\dfrac{-4+8i}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4+8i}{2}\right)^2-(-12-16i)} \cr &=& -\dfrac{-2(2-4i)}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16-64i-64}{4}+12+16i} \cr &=& 2-4i\pm\sqrt{-\dfrac{48}{4}-\dfrac{64}{4}i+12+16i} \cr &=& 2-4i\pm 0 \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{2-4i\right\}\end{array}

Bemerkung: z=2-4i ist eine doppelte Lösung.


6)
\begin{array}{rclcl} -2\left(x^2+\dfrac{5}{8}\right) &=& x^3+\dfrac{9}{4}x \cr -2x^2 -\dfrac{5}{4} &=& x^3+\dfrac{9}{4}x &\vert& +2x^2+\dfrac{5}{4} \cr x^3 + 2x^2 +\dfrac{9}{4}x + \dfrac {5}{4} &=& 0 \end{array}

Durch Probieren finden wir die Lösung x_1=-1, denn
\begin{array}{rcl}(-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 +\dfrac{9}{4}\cdot (-1) + \dfrac {5}{4} &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}

Polynomdivision mit x_1=-1:
Durchführung Polynomdivision

Lösung des reduzierten Polynoms:
\begin{array}{rclcl} x^2+x+\dfrac{5}{4}&=&0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{2,3}&=&-\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}} \cr &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_2 &=& -\dfrac{1}{2}+i \cr \cr x_3 &=& -\dfrac{1}{2}-i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-1 \; ; \; -\dfrac{1}{2}+i \; ; \; -\dfrac{1}{2}-i\right\}\end{array}


7)
\begin{array}{rclcl} 3x-19x^2 &=& -18x^2+\dfrac{10}{4} &\vert& -3x + 19x^2 \cr\cr 0 &=& x^2 -3x+ \dfrac{10}{4} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 -\dfrac{10}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{1}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{-1\cdot\dfrac{1}{4}} \cr\cr &=& \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr\cr\cr x_1 &=& \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i \cr\cr x_2 &=& \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i \cr \cr\cr \mathbb{L} &=& \left\{ \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i \; ; \; \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}i\right\} \end{array}


8)
\begin{array}{crclcl} & 0 &=& 4z^3 +20 z^2 +50z \cr & 0 &=& 4z \left( z^2 +5z + \dfrac{25}{2}\right) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \cr\cr \text{Faktor 1:} & 4z &=& 0 &\vert& : 4 \cr & z_1 &=& 0 \cr\cr\cr \text{Faktor 2:} & 0 &=& z^2+5z+\dfrac{25}{2} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr & z_{2,3} &=& -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}} \cr\cr& &=& -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{25}{4}}\cr\cr & &=& -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{-1\cdot\dfrac{25}{4}}\cr\cr& &=& -\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{5}{2}\sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr\cr & z_2 &=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}i \cr\cr & z_3 &=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}i \cr \cr\cr & \mathbb{L} &=& \left\{ 0 \; ; \; -\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}i \; ; \; -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}i\right\} \end{array}


9)
\begin{array}{rclcl} -217 &=& 7 (x^2-4x) \cr -217 &=& 7x^2-28x &\vert& +217 \cr0 &=& 7x^2-28x+217 &\vert& : 7 \cr0 &=& x^2-4x+31 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-31} \cr &=& 2\pm \sqrt{-27} \cr &=& 2 \pm \sqrt{9\cdot 3 \cdot (-1)} \cr &=& 2\pm 3 \cdot \sqrt{3} \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_1 &=& 2+3\sqrt{3} i \cr x_2 &=& 2-3\sqrt{3} i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{2+3\sqrt{3}i \; ; \; 2-3\sqrt{3}i \right\}\end{array}


10)
\begin{array}{rcl} -x^3+x^2i-4x^2+4xi-68x+68i &=& 0 \\-x^3+(-4+i)x^2+(-68+4i)x+68i &=& 0\end{array}

Durch Probieren finden wir die Lösung x_1=i, denn
\begin{array}{rcl}-i^3+(-4+i)\cdot i^2+(-68+4i)\cdot i +68i &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}

Polynomdivision mit x_1=i:
Durchführung Polynomdivision

Lösung des reduzierten Polynoms:
\begin{array}{rclcl} -x^2-4x-68 &=& 0 &\vert& \cdot (-1) \cr x^2+4x+68 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{2,3}&=&-2\pm \sqrt{2^2-68} \cr &=& -2\pm \sqrt{-64} \cr &=& -2\pm \sqrt{-1\cdot 64} \cr &=& -2 \pm 8 \cdot \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}= i \cr \cr x_2 &=&-2+8i \cr x_3 &=&-2-8i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{ i \; ; \; -2+8i \; ; \; -2-8i \right\} \end{array}


11)
\begin{array}{rclcl} -20x^2 &=& 4x^4+29 &\vert& +20x^2 \cr 0 &=& 4x^4+20x^2+29 \cr 0 &=& 4\left(x^2\right)^2+20x^2+29\end{array}

Substitution: z = x^2
\begin{array}{rclcl}0 &=& 4z^2+20z+29 &\vert& :4 \cr 0 &=& z^2+5z+\dfrac{29}{4} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr z_{1,2}&=&-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{29}{4}} \cr &=& -\dfrac{5}{2}\pm \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr\cr z_1 &=& -\dfrac{5}{2}+i \cr z_2 &=& - \dfrac{5}{2}-i \end{array}

Rücksubstitution:
\begin{array}{rclcl} z_1 = x^2 &=& -\dfrac{5}{2}+i &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_{1,2} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{5}{2}+i} \cr\cr z_2 =x^2 &=& -\dfrac{5}{2}-i &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_{3,4} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{5}{2}-i} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{ \sqrt{-\dfrac{5}{2}+i} \; ; \; -\sqrt{-\dfrac{5}{2}+i} \; ; \; \sqrt{-\dfrac{5}{2}-i} \; ; \; -\sqrt{-\dfrac{5}{2}-i} \right\}\end{array}


12)
\begin{array}{rclcl} -2x(-ix+5x-10i) &=& x^3+10(5x-10i) \cr 2ix^2-10x^2+20ix &=& x^3+50x-100i &\vert& -x^3-50x+100i \cr-x^3+2ix^2-10x^2+20ix-50x+100i &=& 0 \cr-x^3+(-10+2i)x^2+(-50+20i)x+100i &=& 0 \end{array}

Durch Probieren finden wir die Lösung x_1=2i, denn
\begin{array}{rcl}-(2i)^3+(-10+2i)\cdot (2i)^2+(-50+20i)\cdot 2i+100i &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}

Polynomdivision mit x_1=2i:
Durchführung Polynomdivision

Lösung des reduzierten Polynoms:
\begin{array}{rclcl} -x^2-10x-50 &=& 0 &\vert& \cdot (-1) \cr x^2+10x+50 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{2,3} &=& -5\pm \sqrt{5^2-50} \cr &=& -5\sqrt{-25} \cr &=& -5\sqrt{-1\cdot 25} \cr&=& -5 \pm 5 \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_2 &=& -5+5i \cr x_3 &=& -5-5i \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{2i \; ; \; -5+5i \; ; \; -5-5i \right\} \end{array}


13)
\begin{array}{rclcl} 21 x+125 &=& x^2+3x+215 &\vert& -21x-125 \cr 0 &=& x^2-18x+90 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& 9\pm \sqrt{9^2-90} \cr &=& 9\pm \sqrt{-9} \cr &=& 9\pm \sqrt{-1\cdot 9} \cr&=& 9\pm 3 \sqrt{-1} &\vert& \sqrt{-1}=i \cr \cr x_1&=&9+3i \cr x_2 &=& 9-3i \cr \cr \mathbb{L} &=& \{9+3i \; ; \; 9-3i\}\end{array}


14)
\begin{array}{rclll}\mathbb{D} &=& \mathbb{C}\setminus_{\{0+0\cdot i\}} \\\\x+4 &=& \dfrac{-10}{x}+3+i^2 &\vert & i^2=-1 \\\\x+4 &=& \dfrac{-10}{x}+2 &\vert & -2 \\\\x+2 &=& \dfrac{-10}{x} &\vert & \cdot x\\x^2+2x &=& -10 &\vert & +10\\x^2+2x+10 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-10}\\&=& -1\pm\sqrt{-9}\\&=& -1\pm\sqrt{-1\cdot 9}\\&=& -1\pm i\cdot 3\\\\x_1 &=& -1+3i\\x_2 &=& -1-3i\\\\\mathbb{L} &=& \left\{-1+3i\; ; \; -1-3i \right\}\end{array}

Bemerkung: Die Multiplikation mit x ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil x=0+0\cdot i \not\in \mathbb{D}. Eine Multiplikation mit 0 kann also nicht passieren.


15)
\begin{array}{rclll}\dfrac{x^2}{i}+\dfrac{5x\cdot i^{i+1}}{i^i}-7i &=& 0 \\\\\dfrac{x^2}{i}+5x\cdot i^{i+1-i}-7i &=& 0 &\vert & \cdot i\\\\x^2+5xi^2-7i^2 &=& 0 &\vert & i^2=-1\\x^2-5x+7 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel} \\x_{1,2} &=& \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-7}\\&=& \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{3}{4}}\\&=& \dfrac{5\pm\sqrt{-3}}{2}\\&=& \dfrac{5\pm\sqrt{-1\cdot 3}}{2} &\vert& \sqrt{-1}=i \\\\x_1 &=& \dfrac{5+\sqrt{3}\cdot i}{2}\\x_1 &=& \dfrac{5-\sqrt{3}\cdot i}{2}\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{5+\sqrt{3}\cdot i}{2}\; ; \; \dfrac{5-\sqrt{3}\cdot i}{2} \right\}\end{array}


16)
\begin{array}{rclcl} 0 &=& z^3 +64 &\vert& -64 \cr z^3 &=& -64 &\vert& \sqrt[3]{} \cr z &=& \sqrt[3]{-64}\end{array}

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)

Bestimmung von \vert\omega\vert und \varphi:
\begin{array}{rcl}\omega &=& -64 +0i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\left(-64\right)^2+0^2} \\\vert \omega \vert &=& 64\end{array}

Da \textit{Re}(\omega) < 0 und \textit{Im}(\omega)=0 ist \varphi = \pi.

Berechnung der Wurzeln:
\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[3]{64}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& 2+2\sqrt{3}i \\\\z_1 &=& \sqrt[3]{64}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\cos\left(\pi\right)+i\cdot\sin\left(\pi\right)\right) \\&=& 4\left(-1+i\cdot 0\right) \\&=& -4 \\\\z_2 &=& \sqrt[3]{64}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right) \\&=& 4\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& 2-2\sqrt{3}i \\\\\mathbb{L} &=& \{2+2\sqrt{3}i \; ; \; -4 \; ; \; 2-2\sqrt{3}i\}\end{array}


17)
\begin{array}{rclll}7z^3-189i &=& 0 &\vert & +189i \\7z^3 &=& 189i &\vert & :7\\z^3 &=& 27i &\vert & \sqrt[3]{}\\z &=& \sqrt[3]{27i}\end{array}

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)

Bestimmung von \vert\omega\vert und \varphi:
\begin{array}{rcl}\omega &=& 0+27i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{0^2+27^2} \\\vert \omega \vert &=& 27 \\\end{array}

Da \textit{Re}(\omega)=0 und \textit{Im}(\omega) > 0 ist \varphi = \dfrac{\pi}{2}.

Berechnung der Wurzeln:
\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[3]{27}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& \dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \\\\z_1 &=& \sqrt[3]{27}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \\\\z_2 &=& \sqrt[3]{27}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right) \\&=& 3\cdot\left(0-i\right) \\&=& -3i \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \; ; \; -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i \; ; \; -3i\right\}\end{array}


18)
\begin{array}{rclll}\dfrac{2z}{3}+\dfrac{-\sqrt{36i}+45}{9} &=& 5 &\vert& \cdot 9 \\6z-\sqrt{36i}+45 &=& 45 &\vert& -45+\sqrt{36i} \\6z &=& \sqrt{36i} \\6z &=& 6\sqrt{i} &\vert& :6 \\z &=& \sqrt{i}\end{array}

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)

Bestimmung von \vert\omega\vert und \varphi:
\begin{array}{rcl}\omega &=& 0+1i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{0^2+1^2} \\\vert \omega \vert &=& 1 \\\end{array}

Da \textit{Re}(\omega)=0 und \textit{Im}(\omega) > 0 ist \varphi = \dfrac{\pi}{2}.

Berechnung der Wurzeln:
\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt{1}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{2}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 0\cdot\pi}{2}\right)\right) \\&=& 1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \\&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \\\\z_1 &=& \sqrt{1}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{2}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{\pi}{2}+2\cdot 1\cdot\pi}{2}\right)\right) \\&=& 1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right) \\&=& -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \; ; \; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right\}\end{array}


19)
\begin{array}{rclll}-28z^4+7\sqrt{3}i &=& 7 &\vert& -7\sqrt{3}i \\-28z^4 &=& 7-7\sqrt{3}i &\vert& :(-28) \\z^4 &=& -\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i &\vert & \sqrt[4]{} \\z &=& \sqrt[4]{-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i}\end{array}

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)

Bestimmung von \vert\omega\vert und \varphi:
\begin{array}{rcl}\omega &=& -\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} \\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\\vert \omega \vert &=& \dfrac{1}{2}\end{array}

Da \textit{Re}(\omega) < 0 und \textit{Im}(\omega) > 0 liegt \omega im zweiten Quadranten.
\begin{array}{rcl}\varphi &=& \pi-\arctan\left(\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}}\right) \\\varphi &=& \pi-\arctan\left(\sqrt{3}\right) \\\varphi &=& \pi-\dfrac{\pi}{3} \\\varphi &=& \dfrac{2\pi}{3}\end{array}

Berechnung der Wurzeln:
\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 0\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 0\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \\\\z_1 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 1\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 1\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& -\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \end{array}

\begin{array}{rcl}z_2 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right) \\&=& -\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \\\\z_3 &=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 3\cdot\pi}{4}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{2\pi}{3}+2\cdot 3\cdot\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right) \\&=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\&=& \dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \; ; \; -\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \; ; \; -\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}i \; ; \; \dfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt[4]{2}}i \right\}\end{array}


20)
\begin{array}{rclll}-3z^3+81-3i &=& 84 & \vert & -81+3i \\-3z^3 &=& 3+3i &\vert & :(-3)\\z^3 &=& -1-i &\vert& \sqrt[3]{} \\z &=& \sqrt[3]{-1-i}\end{array}

allgemeine Formel für die Wurzeln aus einer komplexen Zahl:
z_k = \sqrt[n]{\omega} = \sqrt[n]{\vert\omega\vert}\left(\cos{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}+i\cdot\sin{\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}\right)

Bestimmung von \vert\omega\vert und \varphi:
\begin{array}{rcl}\omega &=& -1-1i \\\\\vert \omega \vert &=& \sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2} \\\vert \omega \vert &=& \sqrt{2}\end{array}

Da \textit{Re}(\omega) < 0 und \textit{Im}(\omega) < 0 liegt \omega im dritten Quadranten.
\begin{array}{rcl}\varphi &=& \pi+\arctan\left(\dfrac{-1}{-1}\right) \\\varphi &=& \pi+\arctan{\left(1\right)} \\\varphi &=& \pi+\dfrac{\pi}{4} \\\\\varphi &=& \dfrac{5\pi}{4}\end{array}

Berechnung der Wurzeln:
\begin{array}{rcl}z_0 &=& \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} i\right) \\&=& \dfrac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \\\\z_1 &=& \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} i\right) \\&=& \dfrac{\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(-\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \\\\z_2 &=& \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}\cdot\left(\cos\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 2\cdot\pi}{3}\right)+i\sin\left(\genfrac{}{}{1pt}{0}{\frac{5\pi}{4}+2\cdot 0\cdot\pi}{3}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\right) \\&=& \sqrt[6]{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right) \\&=& \dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}i \\\\\mathbb{L} &=& \left\{\dfrac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \; ; \; \dfrac{\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}+\dfrac{\left(-\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{2}}{4}i \; ; \; \dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt[6]{2}}{2}i \right\}\end{array}