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17.1 Logarithmusgleichungen und -funktionen - Aufgaben 

1. Aufgabe

Lösen Sie folgende Logarithmusgleichungen! Geben Sie jeweils den Definitionsbereich an!

1) \lg(x-1)+\lg(x+2)=1

11) 2\ln(x-1)+2\ln(3) = 2\ln(1)+3\ln(2)

2) x \cdot \ln(x)=2x

12) 8\ln(ex+2) = 8

3) 5 \lg(x)=3 \lg(12)+\lg(32)-3(\lg(4)+\lg(3))

13) \ln\left(\sqrt{-s+13}\right)+\ln\left(\sqrt[3]{-s+13}\right)-1 = 0

4) \log_3(x-75)-3=\log_3(x+3)

14) \ln\left(4x^{\frac{7}{8}}\right)+\ln\left(3x^{-\frac{1}{8}}\right)=\dfrac{7}{4}\ln\left(\sqrt[7]{16}x\right)

5) \ln(x-2)+\ln(x+3)=\ln(x^2+x-6)

15) \dfrac{\log_4(x-3)}{\log_4(x)}=-1

6) \log_2(16^x)+\log_5(25^{x^2})=16

16) \log_{27}\left(\sqrt[3]{9x^2}\right)=\log_{27}\left(\dfrac{1}{x}\right)

7) \ln(\sqrt{5x+2})+\ln((5x+2)^2)=1

17) \log_{4}(-3x+15)=\ln(4)

8) \dfrac{1}{2}\log_5\left(\dfrac{x}{4}+1\right) = \dfrac{1}{4}

18) \ln\left(\dfrac{1}{5}e^7 \cdot 2x^2\right)=2\ln\left(6x\right)

9) \log_2(3)-\lg(100) = \log_2(2x-1)

19) x \cdot \log_{10}(4x)=6x\cdot\log_{10}\left(\sqrt{10}\right)

10) \lg\left(x^2+6x+9\right)-\log_3(81) = \lg(x+3) 20) \log_{\pi}(37x) =14\log_{\pi}(e)

 

2. Aufgabe

Ermitteln Sie, ausgehend von der Funktion f(x)= \ln(x), die Graphen der folgenden Funktionen!

1) f_1(x)=\ln(x)+3  5) f_5(x)=3\ln(x)

2) f_2(x)=\ln(x)-3 6) f_6(x)= -3\ln(x)

3) f_3(x)=\ln(x+3) 7) f_7(x)=\ln(3x)
4) f_4(x)=\ln(x-3)

8) f_8(x)=\ln(-3x)

 

3. Aufgabe

1)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \dfrac{1}{4} \ln(9x-10) mit \mathbb{D} = \left\{x\in \mathbb{R} \mid x >\dfrac{10}{9}\right\}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=\dfrac{11}{9}
b) wenn y=0

6)
Gegeben sei die Funktion f(x)= -\log_{2} \left( \dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{1}{2}x \right) mit \mathbb{D} = \left\{x\in\mathbb{R} \mid x < 0 \text{ oder } x>8 \right\}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=9
b) wenn y=4

2)
Gegeben sei die Funktion f(x)= -\dfrac{\ln(x^2-8)+1}{20} mit \mathbb{D} = \left\{x\in\mathbb{R}\mid x < -\sqrt{8} \text{ oder } x>\sqrt{8}\right\}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=8
b) wenn y=-\dfrac{1}{20}

7)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \ln \left( \dfrac{-x+5}{12}\right) mit \mathbb{D} = \left\{x\in \mathbb{R} \mid x < 5 \right\}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=3
b) wenn y=\ln(7)

3)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \log_8(x^3)+15 mit \mathbb{D} = \mathbb{R^+}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=10
b) wenn y=2

8)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \log_{10} (x)-3 mit \mathbb{D} = \mathbb{R}^+.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=1.000
b) wenn y=2

4)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \log_5(x^2+2x) mit \mathbb{D}=\left\{x\in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ oder } x>0 \right\}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-5
b) wenn y=23

9)
Gegeben sei die Funktion f(x)= 10 \ln (x^2-4x+4)-10 mit \mathbb{D} =\mathbb{R}\setminus_{\{2\}}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-\dfrac{2}{5}
b) wenn y=30

5)
Gegeben sei die Funktion f(x)= -2 \log_{10}\left(x^4-\dfrac{8}{5} \right) mit \mathbb{D} =\left\{x\in\mathbb{R} \mid x < -\sqrt[4]{\dfrac{8}{5}} \text{ oder } x>\sqrt[4]{\dfrac{8}{5}}\right\}.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=-6
b) wenn y=0

10)
Gegeben sei die Funktion f(x)= \dfrac{2}{3} \log_2 \left(\dfrac{2}{x}\right)+1 mit \mathbb{D} = \mathbb{R}^+.
Gesucht ist jeweils die fehlende Koordinate des Punktes P(x\mid y),
a) wenn x=12
b) wenn y=-27

 

4. Aufgabe

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen den Definitionsbereich und die Nullstellen!

1) f_1(x)=\ln\left((x-81)^2\right)

11) f(x)=2\log_{10}(5x)+3\log_{10}(x)+8

2) f_2(x)=x\ln(x)+x\ln\left(x^2\right)+x\ln(27)

12) f(x)=\ln(x-2)\cdot \dfrac{2x}{x^2-1}

3) f_3(x)=\log_7\left(6x^2+12x-17\right)

13) f(z)=\ln\left(\dfrac{3z}{44z+11}\right)-\ln\left(-\dfrac{9}{22z}\right)

4) f_4(x)=\left(x^3-8\right)\lg(x+2)

14) f(x)= 5\ln(-7+13x)+5\ln\left(\dfrac{x^2}{13x-7}\right)-10

5) f(x)=\left(x^2-4\right)\ln\left(x^2+x-6\right)

15) f(z)= \log_3\left(5z^2\right)-\log_3(10z)-3

6) g(x)=3x\log_8\left(2\right)+x\log_8\left(2x\right)+2x\log_8\left(10x\right)

16) f(x)= \dfrac{\log_4(-x+47)}{\log_4(e) \cdot \ln(-x+47)}\cdot \left(-14x^2+56x+98\right)

7) f(w)=(-100w^4-225)\cdot \log_7\left(w^2+17\right)

17) f(x)= \log_{76} \left(12x^2+18x-11\right)

8) f(x)=\left(x^2-2\right)\cdot\log_{11}\left(x^2+2x+2\right)

18) f(x)= \log_{28}\left(-\left(5x^2+1\right)\left(x^2+20\right)\right)

9) f(x)=\dfrac{\ln(6x)}{\sqrt{9}}+2

19) f(x)= \dfrac{5}{4}\log_{10}\left(16e^x+1\right)\cdot \ln\left(x^3+9\right)

10) f(x)=\dfrac{\log_{12}\left(\frac{5}{4}x\right)\cdot\ln(7)}{\ln(2x)} 20) g(k)= \log_{314}(-k+9)+\log_{314}(4k)