Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

2.1 Grundlagen - Mengen u. a.

In den folgenden Abschnitten wird es um einige Grundlagenbegriffe gehen, die später in verschiedenen Zusammenhängen wichtig werden. Das Kapitel hat nicht den Anspruch, ein mathematisch umfassendes Bild von Mengen etc. aufzuzeigen, sondern vielmehr, Ihnen eine Idee zu vermitteln, was Ihre Mathematikdozenten und -dozentinnen meinen, wenn sie beispielsweise etwas in geschweifte Klammern schreiben oder von n-Tupel reden.

Vorab

Ist eine Zahl $x$ größer als $0$ , geschrieben $x>0$ , nennt man sie positiv.
Ist eine Zahl $x$ größer oder gleich $0$ , geschrieben $x \geq 0$ , nennt man sie nichtnegativ.
Ist eine Zahl $x$ kleiner als $0$ , geschrieben $x < 0$ , nennt man sie negativ.
Den Begriff nichtpositiv für Zahlen, die $x$ kleiner oder gleich $0$ sind, geschrieben $x \leq 0$ , verwendet man nicht oder nur sehr selten - aus welchen Gründen auch immer ...

Wichtig: $0$ ist weder positiv noch negativ.

Und noch ein wichtiges Zeichen: $\neq$ bedeutet "ungleich". Beispielsweise ist $3\neq 14$ , also " $3$ ungleich $14$ ".

Mengen

Grundlegendes zu Mengen

Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Es muss entscheidbar sein, ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht. Die Reihenfolge der Elemente ist hingegen nicht von Belang.
Die etwas "unmathematische" Vorstellung: Man hat einen Beutel, in den man Objekte hineinlegt. Entscheidend ist dann die Frage: Ist das Objekt im Beutel enthalten oder nicht? Diese Vorstellung passt auch deswegen, weil Objekte in einem Beutel durcheinander fallen, also keine festgelegte Reihenfolge haben.

Zur Notation: Mengen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, besonders $M$ wird (naheliegenderweise) gerne verwendet. Hat man mehrere Mengen, die $M$ heißen sollen, kann man für die Unterscheidung einen so genannten Index, also eine kleine, tiefgestellte Zahl, zum Durchnummerieren verwenden (Plural von Index ist Indizes, gesprochen: "Indizees"). Für die Angabe der Elemente verwendet man geschweifte Klammern, z. B.

$M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeutet: Die Menge, die die Elemente $1$ , $2$ und $3$ (und sonst nichts) enthält.
$M_2=\{1; 3; 5;...\}$ bedeutet: Die Menge aller positiven, ungeraden Zahlen. Die drei Punkte $\ldots$ am Ende verwendet man, da es unendlich viele positive, ungerade Zahlen gibt und man eben nicht alle aufschreiben kann.
$M_3=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n,m \; \text{ungerade}\right\}$ bedeutet: Die Menge aller Brüche (das ist der Teil vor dem $\vert$ ) mit der Eigenschaft, dass Zähler und Nenner ungerade Zahlen sind (das ist der Teil nach dem $\vert$ ). Z. B. sind $\frac{1} {5}$ und $\frac{9}{3}=3$ in dieser Menge enthalten.

Es gibt verschiedene Aspekte, in denen sich Mengen unterscheiden können:

Sie können entweder über eine Aufzählung von Elementen (wie bei Mengen $M_1$ und $M_2$ ) oder über erklärende Eigenschaften (wie bei Menge $M_3$ ) definiert werden.
Mengen können endlich viele Elemente (siehe Menge $M_1$ ) oder unendlich viele Elemente (siehe Mengen $M_2$ und $M_3$ ) enthalten.

Vielleicht ist es überraschend: Eine ganz wichtige Menge ist die leere Menge, die keine Elemente enthält. Dafür schreibt man das Symbol $\emptyset$ .

Und noch ein paar Symbole, die in diesem Zusammenhang wichtig sind:
Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man das Symbol $\in$ . Z. B. meint $x \in M_1$ (gesprochen: "x ist Element von M 1"), dass $x$ Teil der Menge $M_1$ ist oder sein soll. $x$ könnte also $1$ , $2$ oder $3$ sein.

Ein Symbol für das Gegenteil gibt es natürlich auch: Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert nicht Teil einer Menge ist oder sein soll, verwendet man $\not \in$ . Z. B. meint $0{,}5 \not\in M_2$ (gesprochen: " $0{,}5$ ist nicht Element von M 2"), dass $0{,}5$ nicht Teil der Menge $M_2$ ist. $0{,}5$ ist eben keine positive, ungerade Zahl.

Bemerkung 1: Um Missverständnissen vorzubeugen, ist es manchmal sinnvoll, Zahlen in einer Menge mit Semikolons zu trennen. Sonst könnte $M_1=\{1, 2, 3\}$ sowohl $M_1=\{1{,}2; 3\}$ als auch $M_1=\{1; 2{,}3\}$ oder $M_1=\{1; 2; 3\}$ bedeuten - und solche Mehrdeutigkeiten sind bei der Verständigung z. B. über Lösungswege sehr hinderlich und auch grundsätzlich in der Mathematik äußerst unbeliebt ...
Bemerkung 2: Üblich ist, die Elemente der Größe nach zu sortieren. Wenn Variablen enthalten sind, werden diese alphabetisch sortiert. Dies hat keine mathematischen Hintergründe (Die Reihenfolge spielt ja hier keine Rolle ...), sorgt aber dafür, dass man den Überblick behält - und das ist ja nie verkehrt!

Spezielle Mengen

Nun noch ein paar Begriffe, die wir später brauchen werden:
Die Schnittmenge $M_S$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Alle Elemente der Schnittmenge müssen in $A$ und in $B$ liegen. Mengen, deren Schnittmenge leer ist, nennt man disjunkt. Dann haben die Mengen keine gemeinsamen Elemente.
Beispiel: Nehmen wir $M_1$ und $M_2$ von oben. Nur die Elemente $1$ und $3$ sind in beiden Mengen enthalten, also besteht daraus ihre Schnittmenge. Mathematisch schreibt man das: $M_S=M_1\cap M_2=\{1;3\}$

Die Vereinigungsmenge $M_V$ zweier gegebener Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ enthalten sind. Anders formuliert: Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in einer der beiden Mengen liegen.
Beispiel: Wir schauen wieder $M_1$ und $M_2$ von oben an. Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nehmen wir erst mal alle Elemente, die in $M_2$ enthalten sind (das sind schließlich mehr). Hinzukommt die $2$ aus der Menge $M_1$ . Um die $1$ und die $3$ aus $M_1$ brauchen wir uns nicht mehr zu kümmern, weil sie ja sowieso schon in $M_2$ enthalten sind. Mathematisch schreibt man das: $M_V=M_1\cup M_2=\{1; 2; 3; 5; 7; 9; \dots \}$

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$ , wenn alle Elemente von $A$ auch in $B$ enthalten sind.
Beispiel: $M_4=\{3; 5; 9\}$ ist eine Teilmenge von $M_2=\{1; 3; 5;...\}$ , weil $3$ , $5$ und $9$ positive, ungerade Zahlen sind. Mathematisch schreibt man hier: $M_4 \subseteq M_2$ . Um genau zu sein, handelt es sich sogar um eine echte Teilmenge, da in $M_4$ nicht alle Elemente aus $M_2$ enthalten sind, z. B. ist die $1$ ein Element von $M_2$ , aber nicht von $M_4$ . Auch hierfür gibt es (natürlich) eine mathematische Schreibweise: $M_4\subset M_2$ . Wenn man einfach von einer Teilmenge (ohne "echt") spricht, können die Mengen also auch gleich sein. Das deutet man bei $\subseteq$ durch den Strich unter dem Bogen an, der an ein Gleichheitszeichen erinnern soll.

Zahlenbereiche

Einige Mengen sind in der Mathematik so wichtig, dass sie eigene Symbole bekommen haben. Diese Symbole haben meistens irgendwo einen Doppelstrich. Beispiele für solch wichtige Mengen sind die verschiedenen Zahlenbereiche:

$\mathbb{N}$ : Menge der natürlichen Zahlen, also $0$ , $1$ , $2$ , ...

$\mathbb{Z}$ : Menge der ganzen Zahlen, also ..., $-3$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , ...

$\mathbb{Q}$ : Menge der rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die sich als Bruch und damit als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen lassen, mathematisch formuliert: $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{n}{m} \; \vert \; n, m \in \mathbb{Z}\textrm{; } m \neq 0 \right\}$ , z. B. $-4$ , $0$ , $0{,}\overline{1}$ , $0{,}3$ , $\frac13$ , $\frac22$ , $2.000$ , ...

$\mathbb{R}$ : Menge der reellen Zahlen. Zusätzlich zu den rationalen Zahlen sind hier alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen enthalten, z. B. $0{,}1010010001...$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt [3]{5}$ , $\pi$ , ...
Diese "zusätzlichen" Zahlen werden irrationale Zahlen genannt.

Diese Zahlenbereiche sind so gestaltet, dass sie jeweils echte Teilmengen voneinander sind: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen und die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum ist das so? Da in den reellen Zahlen alle Brüche (und noch viel mehr Zahlen) enthalten sind, sind natürlich auch die periodischen und endlichen dabei, sprich die rationalen Zahlen. Bastelt man in den rationalen Zahlen einen Bruch mit dem Nenner $1$ , also z. B. $\frac{4}{1}=4$ , landet man bei einer ganzen Zahl. Jede nichtnegative, ganze Zahl ist gleichzeitig eine natürliche Zahl.
Wer möchte, kann das mathematisch so aufschreiben: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Benennung von Variablen

Für den besseren Überblick werden Variablen

aus der Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen meist $n$ oder $m$ ,
aus der Menge der rationalen Zahlen meist $p$ oder $q$ sowie
aus der Menge der reellen Zahlen meist $x$ , $y$ oder $z$

genannt. Es ist natürlich nicht verpflichtend, Variablen so zu benennen - manchmal geht es auch gar nicht ... Diese Namenskonventionen haben sich nur eingebürgert, weil es damit einfacher ist, den Überblick zu behalten, welche Variable aus welchem Zahlenbereich stammt.

Zur Notation: Im Zusammenhang mit den Zahlenbereichen werden häufig weitere Symbole und Schreibweisen verwendet, u. a.

Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $+$ bedeutet, dass nur der positive Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ( $0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^+$ (gesprochen: "R plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer als $0$ sind.
Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes $-$ bedeutet, dass nur der negative Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ( $0$ nicht eingeschlossen), z. B. meint $\mathbb{R}^-$ (gesprochen: "R minus") die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als $0$ sind.
Eine hinter dem Zahlenbereichssymbol tiefgestellte $0$ bedeutet, dass die $0$ in den Zahlenbereich eingeschlossen wird, z. B. meint $\mathbb{R}^+_0$ (gesprochen: "R null plus") die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $0$ sind. Das ist natürlich nur dann nötig, wenn die $0$ ansonsten nicht in dem Zahlenbereich enthalten wäre.
Möchte man einzelne Zahlen oder Intervalle aus einem Zahlenbereich ausschließen, verwendet man $\setminus$ , z. B. meint $\mathbb{R} \setminus_{ \{0\} }$ (gesprochen: "R ohne null") die Menge der reellen Zahlen ohne die Zahl $0$ .

Bemerkung: Manchmal werden auch andere (ähnliche) Symbole verwendet. Es sollte dann zu Beginn des Textes erklärt sein, welches Symbol für welchen Zusammenhang verwendet wird.

Intervalle

Definition: Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei gegebenen Zahlen $a$ und $b$ liegen, wobei $a$ sein muss. Diese Bedingung $a$ bedeutet dabei nur, dass der untere Rand kleiner sein muss als der obere. Anders gesagt: Ein Intervall ist eine Menge von reellen Zahlen ohne Lücken.
Man unterscheidet abgeschlossene, halboffene und offene Intervalle: Bei offenen Intervallen sind die Randwerte nicht im Intervall enthalten. Abgeschlossene Intervalle umfassen auch die Randwerte. Halboffene Intervalle beinhalten einen der beiden Randwerte.

Zur Notation: Leider ist die Notation hier nicht ganz eindeutig: Man verwendet für die Darstellung von Intervallen eckige und teilweise auch runde Klammern. Nach innen gerichtete eckige Klammern schließen den Randwert in das Intervall ein. Nach außen gerichtete eckige Klammern und innen gerichtete runde Klammern schließen den Randwert aus. Da $+\infty$ (also "plus unendlich") und $-\infty$ (also "minus unendlich") keine (reellen) Zahlen sind, muss das Intervall hier immer offen bzw. halboffen sein. Hier ein paar Beispiele:

Das abgeschlossene Intervall $\lbrack -1;2 \rbrack$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
Wenn man die Mengenschreibweise von oben wiederholen möchte, kann man dafür auch $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x \leq 2\}$ schreiben.

Das halboffene Intervall $[-1;2[$ bzw. $[-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich $-1$ und kleiner $2$ sind. Die $2$ selber ist in dem Intervall nicht enthalten. Wichtig: Das bedeutet nicht, dass das Intervall bei $1$ endet! Zwischen $1$ und $2$ liegen ja noch ganz viele weitere reelle Zahlen (z. B. $1{,}000001$ ; $\sqrt{2}$ ; $1{,}5$ ; $\frac{17}{9}$ ), die alle in diesem Intervall enthalten sind.
In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 \leq x < 2\}$
Das halboffene Intervall $]-1;2]$ bzw. $(-1;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner oder gleich $2$ sind.
In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x \leq 2\}$
Das halboffene Intervall $]-\infty;2]$ bzw. $(-\infty;2]$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer $-\infty$ und kleiner oder gleich $2$ sind. Man benötigt diese Schreibweise z. B., wenn man mithilfe eines Intervalls alle Zahlen beschreiben möchte, die kleiner oder gleich $2$ sind. Da das Intervall ja auch eine untere Grenze braucht, nicht nur eine obere, schreibt man dort $-\infty$ .
In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -\infty < x \leq 2\}$

Das offene Intervall $]-1;2[$ bzw. $(-1;2)$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich $-1$ und kleiner, aber nicht gleich $2$ sind. In Mengenschreibweise: $\{x\in\mathbb{R} \, \vert \, -1 < x < 2\}$

So etwas wie $[5;2]$ geht nicht, weil der untere Randwert kleiner sein muss als der obere.

Bemerkung: Auch bei Intervallen können das $\in$ -und das $\not \in$ -Zeichen verwendet werden, z. B. gelten $1{,}5 \in [1;2[$ und $2 \not \in [1;2[$

n-Tupel

Definition: Ein n-Tupel ist eine geordnete Liste von $n$ Zahlen.
Geordnet bedeutet, dass (anders als bei Mengen) die Reihenfolge, in der die Zahlen notiert sind, wichtig ist. $(1;2)$ bedeutet also etwas Anderes als $(2;1)$ . Deswegen darf man hier natürlich auch nicht der Größe nach sortieren, wie es für Mengen empfohlen wird.
Statt 2-Tupel sagt man Paar und statt 3-Tupel Tripel.

Kartesisches Produkt von Mengen: Möchte man die Zahlenbereiche festlegen, aus denen die einzelnen Komponenten eines n-Tupels stammen sollen, so notiert man die entsprechenden Zahlenbereichssymbole mit dem Symbol $\times$ dazwischen. Soll beispielsweise die erste Komponente eines Zahlenpaars ein Element der reellen Zahlen und die zweite Komponente ein Element der positiven reellen Zahlen sein, schreibt man $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$ .

Zur Notation: Man verwendet für die Darstellung von n-Tupeln runde Klammern, z. B.

$(1{,}5;-4{,}3)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $1{,}5$ und dessen zweite Komponente $-4{,}3$ ist. So könnte z. B. ein Punkt in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem beschrieben werden.
$(7;7)$ ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente $7$ und dessen zweite Komponente auch $7$ ist. So etwas könnte bei Mengen nicht passieren.
$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right)$ ist ein Zahlentripel, dessen erste Komponente $\frac{1} {2}$ , dessen zweite Komponente $\frac{1} {3}$ und dessen dritte Komponente $\frac{1} {4}$ ist. Hierbei könnte es sich um einen Punkt in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem handeln.
$(-12;0;5;28;-35)$ ist ein 5-Tupel, dessen erste Komponente $-12$ , dessen zweite Komponente $0$ , dessen dritte Komponente $5$ , dessen vierte Komponente $28$ und dessen fünfte Komponente $-35$ ist. Solche Angaben werden später bei Vektoren wichtig.