Lernmodul Mathematik

Übersicht:

 

6.3 Lineare Funktionen - Lösungen

1. Aufgabe

1)
m = \dfrac{12-3}{2-(-1)} = \dfrac{9}{3} = 3
Einsetzen von m = 3 und A \left(2 \mid 12 \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: 12 = 3 \cdot 2 + n und damit n = 6
Also ist: f_1(x) = 3x + 6


2)
m = \dfrac{-1-4}{-1-\dfrac{3}{2}} = \dfrac{-5}{-\dfrac{5}{2}} = 2
Einsetzen von m = 2 und A \left(-1 \mid -1 \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: -1 = 2 \cdot (-1) + n und damit n = 1
Also ist: f_2(x) = 2x + 1


3)
m = \dfrac{5-0}{0-10} = \dfrac{5}{-10} = -\dfrac{1}{2}
Einsetzen von m = -\dfrac{1}{2} und P \left(0 \mid 5 \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: 5 = -\dfrac{1}{2} \cdot 0 + n und damit n = 5
Also ist: f_3(x) = - \dfrac{1}{2}x + 5


4)
m = \dfrac{\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{-\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}} = -1
Einsetzen von m = -1 und Q \left( \dfrac{1}{3} \mid \dfrac{1}{3} \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert:  \dfrac{1}{3} = -1 \cdot \dfrac{1}{3} + n und damit n = \dfrac{2}{3}
Also ist: f_4(x) = -x + \dfrac{2}{3}


5)
m = \dfrac{8-(-3)}{3-2} = 11
Einsetzen von m = 11 und B \left(3 \mid 8 \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: 8 = 11 \cdot 3 + n und damit n = -25
Also ist: f_5(x) = 11x - 25

5 Geraden im Koordinatensystem

Diese Skaleneinteilung ist für f_5(x) nicht ideal, weil ihr y-Achsenabschnitt außerhalb des gezeigten Bereichs liegt. Daher noch eine Grafik mit entsprechend angepassten Skalen:

die gleichen 5 Geraden in einem anderen Koordinatensystem

Diese Skaleneinteilung ist für die anderen Geraden nicht so geschickt, weil die Details aufgrund des großen Maßstabs verloren gehen. Daher haben beide Grafiken ihre Berechtigung.

6)
m = \dfrac{-4-(-4)}{22-(-14)} = \dfrac{0}{36} = 0 
Einsetzen von m=0 und R \left (22 \mid -4\right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: -4 = 0 \cdot 22 + n und damit n= -4
Also ist: f_6(x) = -4


7)
m = \dfrac {\dfrac{1}{4}- \left(-\dfrac{7}{2}\right)}{\dfrac{1}{2}-(-2)}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{3}{2}
Einsetzen von m=\dfrac{3}{2} und L \left(-2 \mid -\dfrac {7}{2} \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: -\dfrac{7}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot (-2) + n und damit n= -\dfrac{1}{2}
Also ist: f_7(x) = \dfrac{3}{2}x -\dfrac{1}{2}


8)
m = \dfrac{\dfrac{7}{8}- \left(-\dfrac{1}{8} \right)}{3-(-1)} = \dfrac{\dfrac{8}{8}}{4} = \dfrac{1}{4}
Einsetzen von m=\dfrac14 und B \left (-1 \mid -\dfrac18 \right ) in die allgemeine Geradengleichung liefert: -\dfrac18 = \dfrac14 \cdot (-1) + n und damit n= \dfrac18
Also ist: f_8(x) = \dfrac{1}{4}x +\dfrac{1}{8}


9)
m = \dfrac{-8-7}{\dfrac14 - (-1)} = \dfrac{-15}{\dfrac{5}{4}} = -12
Einsetzen von m=-12 und P \left (\dfrac14 \mid -8 \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: -8= -12 \cdot \dfrac14 + n und damit n = -5
Also ist: f_9(x) = -12x -5


10)
m = \dfrac{\dfrac{11}{6}-\left(-\dfrac16\right)}{-3-0}= \dfrac{\dfrac{12}{6}}{-3} = -\dfrac{2}{3}
Einsetzen von m = -\dfrac{2}{3} und H \left(0 \mid -\dfrac16 \right) in die allgemeine Geradengleichung liefert: -\dfrac16 = -\dfrac{2}{3} \cdot 0 +n und damit n = -\dfrac16
Also ist: f_{10}(x) = -\dfrac{2}{3}x - \dfrac16

die nächsten 5 Geraden im Koordinatensystem

 

2. Aufgabe

Um festzustellen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, muss der Funktionswert von f(x) für den gegebenen x-Wert ausgerechnet werden und dieser mit dem gegebenen y-Wert verglichen werden.

1) f(2)=15\cdot 2-6=24
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also auf der Geraden f(x).


2) f(8)=0{,}4\cdot 8+6=9{,}2
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also nicht auf der Geraden f(x).


3) f(25)=-63\cdot 25+15=-1560
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also nicht auf der Geraden f(x).


4) f(14)=\dfrac{7}{8}\cdot 14=12{,}25
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also auf der Geraden f(x)


5) f(-6)=4\cdot \left(-6\right)+3=-21
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also auf der Geraden f(x).


6) f(0{,}1)=-296\cdot 0{,}1=-29{,}6
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also nicht auf der Geraden f(x).


7) f(0)=288\cdot 0=0
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also auf der Geraden f(x).


8) f(14)=-347\cdot 14-101=-4959
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also auf der Geraden f(x).


9) f(7)=11\cdot 7+24=101
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also nicht auf der Geraden f(x).


10) f(22)=\dfrac{12}{11}\cdot 22-\dfrac{1}{9}\approx23{,}89
Der ausgerechnete Funktionswert stimmt nicht mit dem gegebenen Wert überein. Der Punkt P liegt also nicht auf der Geraden f(x).

 

3. Aufgabe

1) Der Graph von f(x) ist konstant, da m=0, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da n < 0.


2) Der Graph von f(x) steigt, da m>0, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da n < 0.


3) Der Graph von f(b) fällt, da m < 0, und schneidet die y-Achse bei einer positiven Zahl, da n > 0.


4) Der Graph von f(a) steigt, da m>0, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da n < 0.


5) Der Graph von g(x) fällt, da m < 0, und schneidet die y-Achse bei einer positiven Zahl, da n > 0.


6) Der Graph von f(x) steigt, da m>0, und schneidet die y-Achse bei 0.


7) Der Graph von f(x) ist konstant, da m=0, und schneidet die y-Achse bei einer negativen Zahl, da n < 0.

Bemerkung: Da die Funktion f(x) heißt, wissen wir, dass die Variable x ist und nicht a, wie man denken könnte. a\in\mathbb{R}^- ist eine negative Konstante.


Wer (noch) nicht weiß, was Potenzausdrücke, wie (-754)^{39}, bedeuten, kann die folgenden drei Aufgaben zurückstellen und erst das Kapitel Potenzen, Wurzeln, Logarithmen bearbeiten.

8) Der Graph von f(z) fällt, da m < 0, und schneidet die y-Achse bei 0.

Bemerkung: Man muss (-754)^{39} nicht ausrechnen, um die Frage nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse beantworten zu können. Es reicht festzustellen, dass hier eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird. Da "minus mal minus gleich plus" ist, hebt sich eine gerade Anzahl an Minuszeichen auf. Ein Minuszeichen bleibt quasi übrig. Das Ergebnis ist also negativ.


9) Der Graph von v(x) steigt, da m>0, und schneidet die -Achse bei einer negativen Zahl, da n < 0.


10) Der Graph von u(x) fällt, da m < 0, und schneidet die y-Achse bei einer positiven Zahl, da n>0.

 

4. Aufgabe

Schnittpunkt mit der x-Achse S_x: Beim Schnittpunkt eines Graphen mit der x-Achse muss die y-Koordinate 0 sein. Wäre die y-Koordinate ungleich 0, würde der Punkt ober- oder unterhalb der x-Achse liegen. Der Funktionsterm, der ja für die y-Koordinate steht, muss also nullgesetzt werden. Die Lösung der entstehenden lineare Gleichung ist die gesuchte Koordinate.

Schnittpunkt mit der y-Achse S_y: Bei linearen Funktionen ist es einfach, den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zu bestimmen. Der y-Achsenabschnitt ist ja definiert als Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse, sodass die gesuchte Koordinate direkt abgelesen werden kann. Die x-Koordinate dieses Schnittpunkts ist 0. Bei komplizierteren Funktionen müsste x=0 in den Funktionsterm eingesetzt und das Ergebnis ausgerechnet werden.


1)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} 24x-6 &=& 0 &\vert & +6 \cr 24x &=& 6 &\vert& : 24 \cr x &=& \dfrac{1}{4} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(\dfrac{1}{4} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid -6\right) .


2)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} \dfrac{4}{3}x-2 &=& 0 &\vert& +2 \cr \dfrac{4}{3}x &=& 2 &\vert& \cdot \dfrac{3}{4} \cr x &=& \dfrac{6}{4} \cr\cr x &=& \dfrac{3}{2} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(\dfrac{3}{2} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid -2\right) .


3)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} -6x+8 &=& 0 &\vert& -8 \cr -6x &=& -8 &\vert& :(-6) \cr x &=& \dfrac{8}{6} \cr\cr x &=& \dfrac{4}{3} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(\dfrac{4}{3} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid 8\right) .


4)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} x+48 &=& 0 &\vert& -48 \cr x &=& -48 \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(-48 \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid 48\right) .


5)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} 15x-11 &=& 0 &\vert& +11 \cr 15x &=& 11 &\vert& :15 \cr x &=& \dfrac{11}{15} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(\dfrac{11}{15} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid -11\right) .


6)
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
\begin{array}{rclcl} \dfrac{5}{4}x+41 &=& 0 &\vert& -41 \cr \dfrac{5}{4}x &=& -41 &\vert& \cdot \dfrac{4}{5} \cr x &=& -\dfrac{164}{5} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(-\dfrac{164}{5} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid 41\right) .


7)
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
\begin{array}{rclcl} \dfrac{6}{7} x-10 &=& 0 &\vert&+10 \cr \dfrac{6}{7}x &=& 10 &\vert& \cdot \dfrac{7}{6} \cr x &=& \dfrac{70}{6} \cr\cr x &=& \dfrac{35}{3} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(\dfrac{35}{3} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid -10\right) .


8)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} -12x &=& 0 &\vert& :(-12) \cr x &=& 0 \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(0 \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid 0\right) .


9)
Schnittpunkt mit der x-Achse:
\begin{array}{rclcl} -\dfrac{3}{2}x-2 &=& 0 &\vert& +2 \cr -\dfrac{3}{2}x &=& 2 &\vert& \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cr x &=& -\dfrac{4}{3} \end{array}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also  S_x \left(-\dfrac{4}{3} \mid 0\right) .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid -2\right) .


10)
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
\begin{array}{rclcl} -23 &=& 0 \end{array}

Diese Gleichung hat keine Lösung. S_x existiert also nicht. Grafisch erkennt man dies daran, dass die Gerade horizontal verläuft. Daher schneidet sie die x-Achse nicht.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  S_y \left(0\mid -23\right) .

 

5. Aufgabe

1)
a)
\begin{array}{rclll} f(2{,}5) &=& 3 \cdot 2{,}5+5 &=& 12{,}5 \quad \rightarrow \quad P_1(2{,}5 \mid 12{,}5) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} 26 &=& 3x+5 &\vert & -5 \cr21 &=& 3x &\vert & :3 \cr7 &=& x & & \rightarrow \quad P_2(7 \mid 26) \end{array}


2)
a)
\begin{array}{rclll} f(31) &=& -31-\dfrac{1}{2} &=& -31{,}5 \quad \rightarrow \quad P_1(31 \mid -31{,}5) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} 7{,}5 &=& -x-\dfrac{1}{2} & \vert & +\dfrac{1}{2} \cr8 &=& -x & \vert & \cdot (-1) \cr-8 &=& x && \rightarrow \quad P_2(-8 \mid 7{,}5) \end{array}


3)
a)
\begin{array}{rclll} f(2) &=& -4{,}5 \cdot 2+37 &=& 28 \quad \rightarrow \quad P_1(2 \mid 28) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} 130 &=& -4{,}5x+37 &\vert & -37 \cr93 &=& -4{,}5x &\vert & :(-4{,}5) \cr-\dfrac{62}{3} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(-\dfrac{62}{3} \mid 130\right) \end{array}


4)
a)
\begin{array}{rclll} f(-5) &=& \dfrac{3}{2} \cdot (-5)-24 &=& -31{,}5 \quad \rightarrow \quad P_1(-5 \mid -31{,}5) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} -20 &=& \dfrac{3}{2}x-24 &\vert & +24 \cr4 &=& \dfrac{3}{2}x &\vert & : \dfrac{3}{2} \cr\dfrac{8}{3} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{8}{3} \mid -20\right) \end{array}


5)
a)
\begin{array}{rclll} f(2) &=& \dfrac{2}{3} \cdot 2-\dfrac{5}{4} &=& \dfrac{1}{12} \quad \rightarrow \quad P_1\left(2 \mid \dfrac{1}{12}\right) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} \dfrac{19}{12} &=& \dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{4} &\vert & +\dfrac{5}{4} \cr\dfrac{17}{6} &=& \dfrac{2}{3}x &\vert & : \dfrac{2}{3} \cr\dfrac{17}{4} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{17}{4} \mid \dfrac{19}{12}\right) \end{array}


6)
a)
\begin{array}{rclll} f(5) &=& -13 \cdot 5 &=& -65 \quad \rightarrow \quad P_1(5 \mid -65) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} -104 &=& -13x &\vert & :(-13) \cr8 &=& x && \rightarrow \quad P_2(8 \mid -104) \end{array}


7)
a)
\begin{array}{rclll} f\left(\dfrac{3}{4}\right) &=& -3 \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4} &=& -1 \quad \rightarrow \quad P_1\left(\dfrac{3}{4} \mid -1\right) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} -16 &=& -3x+\dfrac{5}{4} &\vert & -\dfrac{5}{4} \cr-\dfrac{69}{4} &=& -3x &\vert & :(-3) \cr\dfrac{23}{4} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{23}{4} \mid -16\right) \end{array}


8)
a)
\begin{array}{rclll} f(18) &=& \dfrac{1}{20} \cdot 18+20 &=& 20{,}9 \quad \rightarrow \quad P_1(18 \mid 20{,}9) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} 20{,}45 &=& \dfrac{1}{20}x+20 &\vert & -20 \cr0{,}45 &=& \dfrac{1}{20}x &\vert & \cdot 20 \cr9 &=& x && \rightarrow \quad P_2(9 \mid 20{,}45) \end{array}


9)
a)
\begin{array}{rclll} f(11) &=& -\dfrac{2}{5} \cdot 11+1 &=& -3{,}4 \quad \rightarrow \quad P_1(11 \mid -3{,}4) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} 0 &=& -\dfrac{2}{5}x+1 &\vert & -1 \cr-1 &=& -\dfrac{2}{5}x &\vert & : \left(-\dfrac{2}{5}\right) \cr\dfrac{5}{2} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{5}{2} \mid 0\right) \end{array}


10)
a)
\begin{array}{rclll} f\left(-\dfrac{2}{5}\right) &=& -12 \cdot -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5} &=& 7 \quad \rightarrow \quad P_1\left(-\dfrac{2}{5} \mid 7\right) \end{array}

b)
\begin{array}{rclll} 4{,}2 &=& -12x+\dfrac{11}{5} &\vert & -\dfrac{11}{5} \cr2 &=& -12x &\vert & :(-12) \cr-\dfrac{1}{6} &=& x && \rightarrow \quad P_2\left(-\dfrac{1}{6} \mid 4{,}2\right) \end{array}

 

6. Aufgabe

Lagebeziehung von f_1(x) und f_2(x)
Wir prüfen zuerst, ob die Funktionen f_1(x) und f_2(x) die gleiche Steigung haben: m_1=3 und m_2=-7. Da die Steigungen offensichtlich unterschiedlich sind, können die Geraden weder parallel noch identisch sein. Sie müssen also einen Schnittpunkt, nennen wir ihn S(x_s \mid y_s), haben.

x-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
\begin{array}{rclcl} f_1(x_s) &=& f_2(x_s) \cr 3x_s-6 &=& -7x_s-6 &\vert & +6 \cr 3x_s &=& -7x_s &\vert & +7x_s \cr 10x_s &=& 0 &\vert & :10 \cr x_s &=& 0\end{array}

y-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
\begin{array}{rcl} f_1(x_s) &=& f_1(0) \cr &=& 3 \cdot 0 -6 \cr &=& -6 \end{array}

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind S (0 \mid -6). Zur Überprüfung kann man den y-Wert mit f_2(x) noch einmal berechnen (und dabei hoffentlich das gleiche Ergebnis erhalten) oder eine Punktprobe durchführen.

Bemerkung: Wer in diesem Fall direkt sieht, dass beide Geraden den gleichen y-Achsenabschnitt haben, darf den Schnittpunkt auch einfach ablesen ... Mehr als diesen einen kann es hier ja nicht geben.


Lagebeziehung von f_1(x) und f_3(x)
Wir prüfen zuerst, ob f_1(x) und f_3(x) die gleiche Steigung haben: m_1=3 und m_3=\frac{27}{9}=3. Da die Steigungen gleich sind, können die Geraden parallel oder identisch sein. Einen einzelnen Schnittpunkt können sie nicht haben.

Zu prüfen ist jetzt, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Dazu vergleichen wir die Schnittpunkte mit der y-Achse: n_1=-6 und n_3=1. Die beiden Geraden schneiden die y-Achse an unterschiedlichen Punkten. Sie sind somit nicht identisch, sondern verlaufen parallel.


Lagebeziehung von
f_1(x) und f_4(x)
Wir prüfen zuerst, ob f_1(x) und f_4(x) die gleiche Steigung haben: m_1=3 und m_4=-\frac{21}{3}=-7. Da die Steigungen offensichtlich unterschiedlich sind, können die Geraden weder parallel noch identisch sein. Sie müssen also einen Schnittpunkt, nennen wir ihn S(x_s \mid y_s), haben.

An den Geradengleichungen kann man ablesen, dass n_1=-6 und n_4=-6 ist. Beide Geraden schneiden die y-Achse bei -6. Damit hat der Schnittpunkt der Funktionen f_1(x) und f_4(x) die Koordinaten S (0 \mid -6).


Lagebeziehung von
f_2(x) und f_3(x)
Zunächst prüfen wir wieder, ob die Funktionen f_2(x) und f_3(x) die gleiche Steigung haben: m_2=-7 und m_3=\frac{27}{9}=3. Da die Steigungen offensichtlich unterschiedlich sind, können die Geraden weder parallel noch identisch sein. Sie müssen also einen Schnittpunkt S(x_s \mid y_s) haben.

x-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
\begin{array}{rclcl} f_2(x_s) &=& f_3(x_s) \cr -7x_s-6 &=& \dfrac{27}{9}x_s+1 \cr -7x_s-6 &=& 3x_s+1 &\vert & +6 \cr -7x_s &=& 3x_s+7 &\vert & -3x_s \cr -10x_s &=& 7 &\vert & :(-10) \cr x_s &=& -\dfrac{7}{10}\end{array}

y-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
\begin{array}{rcl} f_2(x_s) &=& f_2\left(-\dfrac{7}{10}\right) \cr &=& -7 \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) -6 \cr &=& -\dfrac{11}{10} \end{array}

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind S \left(-\dfrac{7}{10} \mid -\dfrac{11}{10}\right).


Lagebeziehung von f_2(x) und f_4(x)
Wir prüfen zuerst, ob f_2(x) und f_4(x) die gleiche Steigung haben: m_2=-7 und m_4=-\frac{21}{3}=-7. Da die Steigungen gleich sind, können die Geraden parallel oder identisch sein. Einen einzelnen Schnittpunkt können sie nicht haben.

Um zu prüfen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, lesen wir den jeweiligen Schnittpunkt mit der y-Achse ab: n_2=-6 und n_4=-\frac{24}{4}=-6. Die beiden Geraden schneiden die y-Achse im selben Punkt. Sie sind also identisch.


Lagebeziehung von f_3(x) und f_4(x)
Wir prüfen wieder zuerst, ob f_3(x) und f_4(x) die gleiche Steigung haben: m_3=\frac{27}{9}=3 und m_4=-\frac{21}{3}=-7. Anhand der unterschiedlichen Steigungen ist zu erkennen, dass die Geraden weder parallel noch identisch sein können. Sie werden also einen Schnittpunkt S(x_s \mid y_s) haben.

x-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
\begin{array}{rclcl} f_3(x_s) &=& f_4(x_s) \cr\dfrac{27}{9}x_s+1 &=& -\dfrac{21}{3}x_s-\dfrac{24}{4} \cr 3x_s+1 &=& -7x_s-6 &\vert & -1 \cr 3x_s &=& -7x_s-7 &\vert & +7x_s \cr 10x_s &=& -7 &\vert & :10 \cr x_s &=& -\dfrac{7}{10} \end{array}

y-Wert vom Schnittpunkt berechnen:
\begin{array}{rcl} f_3(x_s) &=& f_3\left(-\dfrac{7}{10}\right) \cr &=&\dfrac{27}{9} \cdot \left(-\dfrac{7}{10} \right)+1 \cr &=&3\cdot\left(-\dfrac{7}{10} \right)+\dfrac{10}{10}\cr &=&-\dfrac{11}{10}\end{array}

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind S \left(-\dfrac{7}{10} \mid -\dfrac{11}{10}\right).

Bemerkung: Wer die Idee hatte, die Brüche in der Funktion vor dem Berechnen zu kürzen, ist vermutlich schneller zu diesem Ergebnis gekommen: f_4(x)=-\dfrac{21}{3}x-\dfrac{24}{4}=-7x-6. Diese Funktion kennen wir schon als f_2(x) ...

 

7. Aufgabe

f_1(x) = -4x+0 = -4x
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt direkt im Nullpunkt, also bei 0.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier \dfrac{-4}{1}. Die Steigung ist also -4.
 
f_2(x) = 5x+2
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei 2.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier \dfrac{5}{1}. Die Steigung ist also 5.
 
f_3(x) = \dfrac{1}{4}x-3
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei -3.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier \dfrac{1}{4}. Die Steigung ist also \dfrac{1}{4}.
 
f_4(x) = 0x+ 7 = 7
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei 7.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier \dfrac{0}{0}. Die Steigung ist also 0.
 
f_5(x) = -2x-6
Begründung:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt -6.
Die Änderung des y-Wertes im Verhältnis zum x-Wert ist hier \dfrac{-2}{1}. Die Steigung ist also -2.

 

8. Aufgabe

Sei L die Länge der Kerzen zum Zeitpunkt 0. Die Zeit ist dabei die unabhängige Variable und wird auf der x-Achse eingetragen. Die Länge der Kerze, die ja von der (Brenn-)Zeit abhängt, ist die abhängige Variable und wird auf der y-Achse eingetragen. Mathematisch kann man die erste Aussage daher als Punkt P(0 \mid L) notieren.

Für die erste Kerze kennen wir also den Punkt P_1(0 \mid L). Außerdem wissen wir, dass sie nach 8 Stunden die Länge 0 hat, was wir als Punkt Q_1(8 \mid 0) notieren können.

Für die zweite Kerze kennen wir ebenfalls den Punkt P_2(0 \mid L) und außerdem Q_2(4 \mid 0), weil sie nach 4 Stunden die Länge 0 hat.

Zeichnet man für jede Kerze die beiden Punkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, ergibt sich folgende Grafik (Bitte beachten Sie, dass die Längen-Achse keine Einheiten hat - diese ist ja in der Aufgabe nicht gegeben!):

Koordinatensystem mit Graphen zu dieser Aufgabe

Daraus kann man nun lineare Funktionen  f(x) = mx + n berechnen:

f_1(x):
Steigung: m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0-L}{8-0} = -\dfrac{L}{8}

y-Achsenabschnitt: n = L (Das sieht man z. B. in der Grafik.)

\Rightarrow f_1(x) = -\dfrac{L}{8}x+L =\left(-\dfrac{1}{8}x+1\right)L

f_2(x):

Steigung: m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0-L}{4-0} = -\dfrac{L}{4}

y-Achsenabschnitt: n = L (Kann man ebenfalls in der Grafik ablesen.)

\Rightarrow f_2(x) = -\dfrac{L}{4}x+L =\left(-\dfrac{1}{4}x+1\right)L


Gesucht ist nun der Zeitpunkt x_0, an dem die erste Kerze doppelt so lang ist wie die zweite. Anders gesagt: "2 mal die Länge der zweiten Kerze" ist genauso groß wie die Länge der ersten Kerze.

Mathematisch schreibt man:

\begin{array}{rclll} 2\left(-\dfrac{1}{4}x_0+1\right)L &=& \left(-\dfrac{1}{8}x_0+1\right)L &\vert& :L \cr\cr 2\left(-\dfrac{1}{4}x_0+1\right) &=& -\dfrac{1}{8}x_0+1 \cr\cr -\dfrac{1}{2}x_0+2 &=& -\dfrac{1}{8}x_0+1 &\vert& +\dfrac{1}{8}x_0-2 \cr\cr-\dfrac{3}{8}x_0 &=& -1 &\vert& :\left(-\dfrac{3}{8}\right) \cr\cr x_0 &=& \dfrac{8}{3}\end{array}

Nach \frac{8}{3} Stunden ist also die erste Kerze doppelt so lang ist wie die zweite. Das könnte man grundsätzlich so stehen lassen, meist würde man aber eher umrechnen und sagen: Nach 2 Stunden und 40 Minuten ist die erste Kerze doppelt so lang wie die zweite.

 

9. Aufgabe

Im dreidimensionalen Raum gibt es zunächst mal die gleichen Lagebeziehungen wie im zweidimensionalen: Die Geraden können parallel zueinander sein, sie können aufeinander liegen und sie können einen Schnittpunkt haben. Da eine Ebene ja Teil des dreidimensionalen Raumes ist, kann sich an diesen Möglichkeiten gar nichts ändern.

Durch die zusätzliche Dimension wird aber eine weitere Lagebeziehung möglich: Hier ist es möglich, dass zwei nicht parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte haben. Dies wird als windschief bezeichnet.
Ein (leicht idealisiertes ...) Beispiel aus dem Alltag: Stellen Sie sich zwei schnurgerade Straßen vor. Die eine verbindet Berlin und Köln miteinander, die andere Hamburg und München. Verliefen beide auf dem Erdboden (also annähernd zweidimensional) gäbe es irgendwo in der Mitte Deutschlands eine Kreuzung; mathematisch gesehen wäre dies ein Schnittpunkt. Im Dreidimensionalen kann man sich vorstellen, dass die eine Straße auf einer Brücke in 10 \,\text{m} Höhe verläuft. Nun "schneiden" sich die Straßen nicht mehr; sie verlaufen aneinander vorbei. Da sie auch nicht parallel sind (sie verlaufen ja offensichtlich in unterschiedlichen Richtungen), sind sie also windschief.