Dieses Kapitel enthält die folgenden Themen:

• Funktionen allgemein
• Der Funktionsgraph
• Lineare Funktionen
• Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene

6.2 Lineare Funktionen - Erklärungen

Nachdem im vorherigen Kapitel Gleichungen als etwas sehr Grundlegendes in der Mathematik vorgestellt wurden, soll es nun um Funktionen gehen. Funktionen sind das zweite wirklich grundlegende Konzept in der Mathematik. Bevor wir uns - wie der Name des Kapitels verspricht - um lineare Funktionen kümmern, wird es daher um Funktionen an sich gehen.

Funktionen allgemein

Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge, Definitionsbereich (Formelzeichen: $\mathbb{D}$) genannt, genau ein Element einer anderen Menge, Wertebereich (Formelzeichen: $\mathbb{W}$) genannt, zuordnet. Das Element des Definitionsbereichs nennt man üblicherweise x-Wert, unabhängige Variable oder Argument der Funktion, das Element des Wertebereichs y-Wert oder abhängige Variable.

Beispiel: Eine Vorschrift, die jedem Monat in einem normalen Jahr (gemeint ist ein Jahr, welches kein Schaltjahr ist) die Zahl seiner Tage zuordnet, ist eine Funktion. Im blauen Schaubild sieht man, dass von jedem Element im Definitionsbereich (also von jedem Monat) genau ein Pfeil ausgeht. Was im Wertebereich passiert, ist dabei egal: Bei den einzelnen Elementen dürfen mehrere Pfeile ankommen oder auch gar keine.
Drehen wir die Vorschrift um, sodass nun den Monatslängen jeweils die betreffenden Monate zugeordnet werden. Im orangefarbenen Schaubild sieht man, dass von zwei Elementen des Definitionsbereichs ("30 Tage" und "31 Tage") mehrere Pfeile ausgehen und von einem anderen Element "29 Tage" keiner. Dies ist laut Funktionsdefinition nicht erlaubt, sodass diese Zuordnung keine Funktion ist. Dass bei den Elementen im Wertebereich jeweils nur genau ein Pfeil ankommt, kann die Situation auch nicht retten ...

In diesem Lernmodul werden nur Funktionen betrachtet, deren Definitions- und Wertebereiche aus Teilmengen der reellen Zahlen bestehen und die sich im weitesten Sinne "vernünftig" verhalten. Es gibt Funktionen, bei denen einige der hier besprochenen Eigenschaften so nicht gelten - aber darum können Sie sich, wenn nötig, später kümmern ...

Meistens nennt man Funktionen (naheliegenderweise) $f$. Hinter das $f$ schreibt man in Klammern die Variable, meist $x$. Das ergibt dann also $f(x)$ (gesprochen: "f von x"). Auf der anderen Seite vom Gleichheitszeichen folgt dann der Funktionsterm, z. B. so etwas wie $-3x+12$.
Das erste, was man mit Funktionen machen kann, ist das Berechnen von Funktionswerten (statt Funktionswert sagt man auch y-Wert): Ist eine Funktion $f(x)$ mit der Variable $x$ gegeben, dann bedeutet "Funktionswerte berechnen", dass man für die Variable konkrete Zahlenwerte einsetzt und das dann ausrechnet. 

Ein Beispiel
$\begin{array}{lclcr} f(x) &=& -3x+12 \cr \cr f(-4) &=& -3 \cdot (-4)+12 &=& 24 \cr f(0) &=& -3 \cdot 0+12 &=& 12 \cr f(1) &=& -3 \cdot 1+12 &=& 9 \cr & \dots \end{array}$

Bemerkung 1: Bitte beachten Sie die Schreibweise: Im ersten Schritt wird die Variable auf beiden Seiten der Funktionsgleichung durch den Zahlenwert ersetzt. Erst danach wird ausgerechnet.
Bemerkung 2: Dass für dieses Beispiel die x-Werte $-4$, $0$ und $1$ ausgewählt wurden, hat keinen wichtigen Hintergrund. Es geht ja nur darum, dass Prinzip des "Funktionswerte-Ausrechnen" zu verdeutlichen. Dafür hätte man auch ganz andere Zahlenwerte nehmen können.

Fasst man die oben ausgerechneten und noch einige weitere Werte zusammen und ordnet sie nach der Größe der x-Werte, erhält man folgende Wertetabelle:

Bemerkung: Bei der Wahl der x-Werte für die Wertetabelle muss man auf die Besonderheiten der Funktion achten. Hätte die Funktion beispielsweise eine Nullstelle bei $\frac{1} {2}$ , würden wir das bei dieser Wertetabelle nur schlecht bemerken. Zumindest für den Anfang sind die ganzen Zahlen von $-5$ bis $5$ aber schon recht gute Kandidaten. Sollte dies nicht reichen, kann man ja immer noch mehr Werte berechnen ...

Der Funktionsgraph

Definition: Ein Funktionsgraph ist die grafische Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem.
Für eine solche grafische Darstellung zeichnet man zunächst die Punkte aus der Wertetabelle in der Form $P (x \mid y)$ in das Koordinatensystem und verbindet diese anschließend - soweit möglich - mit einer Linie. Das bedeutet, dass die Elemente des Definitionsbereiches bezogen auf die x-Achse und die Elemente des Wertebereiches bezogen auf die y-Achse eingezeichnet werden.

Beispiele für Funktionsgraphen

Beispiele für Kurven in einem Koordinatensystem, die keine Funktionen darstellen

Bei allen folgenden Beispielen wird nicht jedem x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet. Hier gibt es immer auch x-Werte, zu denen mehrere y-Werte gefunden werden, und/oder x-Werte, die keinen y-Wert zugeordnet bekommen. Z. B. findet man im ersten Bild zu $x=0$ einen positiven und einen negativen y-Wert. Auf der anderen Seite findet man zu $x=10$ (und zu vielen anderen x-Werten) gar keinen y-Wert. Daher handelt es sich bei den Zuordnungen nicht um Funktionen und bei ihren grafischen Darstellungen nicht um Funktionsgraphen.

Lineare Funktionen

Was man allgemein wissen sollte

Lineare Funktionen werden durch die allgemeine Geradengleichung beschrieben. Sie lautet: $f(x) = m x + n$, wobei $m$ und $n$ reelle Zahlen sind ($m, n \in \mathbb{R}$). $m$ bezeichnet die Steigung und $n$ den y-Achsenabschnitt. Das bedeutet:

1. An $m$ kann man ablesen, um wie viele Einheiten sich der y-Wert ändert, wenn $x$ um eine Einheit größer wird.
2. $n$ gibt die y-Koordinate des Punktes an, an dem der Graph der linearen Funktion die y-Achse des Koordinatensystems schneidet.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Bemerkung 1: Nicht jede Gerade in einem Koordinatensystem ist Graph einer linearen Funktion. Senkrechte Geraden verletzen die Funktionsdefinition, da bei ihnen zu einem x-Werte unendlich viele y-Werte gefunden werden können (siehe Bild oben).
Bemerkung 2: Zwei Punkte reichen aus, um eine Gerade eindeutig zu bestimmen. Anders formuliert: Durch zwei Punkte verläuft genau eine Gerade. Das wusste schon der griechische Mathematiker Euklid vor knapp 2500 Jahren!

Wissenswertes zur Steigung:
Ist die Steigung $m$ negativ, fällt die Gerade.
Ist die Steigung $m=0$, ist die Gerade konstant.
Ist die Steigung $m$ positiv, steigt die Gerade.

Wissenswertes zum y-Achsenabschnitt:
Ist der y-Achsenabschnitt $n$ negativ, schneidet die Gerade die y-Achse unterhalb der x-Achse.
Ist der y-Achsenabschnitt $n=0$, verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung. Eine solche Gerade nennt man Ursprungsgerade.
Ist der y-Achsenabschnitt $n$ positiv, schneidet die Gerade die y-Achse oberhalb der x-Achse.

Hier ein paar Beispiele, die uns im restlichen Kapitel noch etwas begleiten werden:
$f_1(x)$ ist eine fallende Ursprungsgerade.
$f_2(x)$ ist eine steigende Gerade.
$f_3(x)$ ist eine konstante Gerade.

Klassischerweise möchte (oder muss) man mit linearen Funktionen rechnen. Das heißt vor allem, dass man die Steigung und den y-Achsenabschnitt aus gegebenen Punkten bestimmen muss.

Ermittlung der Steigung

Sind die Punkte $P_1 \left(x_1 \mid y_1 \right)$ und $P_2 \left(x_2 \mid y_2 \right)$ gegeben, lässt sich die Steigung nach folgender Formel berechnen: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ (gesprochen: "delta y geteilt durch delta x"). Anders formuliert: Die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte ergibt die Steigung.
Falls keine Punkte gegeben sind, kann man aus der Zeichnung zwei Punkte des Graphen ablesen. Dabei muss man allerdings mit der Einschränkung leben, dass man auch knapp daneben liegen kann. Ob eine Funktion durch den Punkt $P (-4 \mid 7)$ oder durch $P (-3{,}98 \mid 7{,}0000123)$ verläuft, lässt sich nämlich nur schwer erkennen...

Zu unseren Beispielen von oben

Bemerkung 1: Mit diesen Rechnungen haben wir bestätigt, was wir oben schon über die Steigung der Geraden ausgesagt hatten.
Bemerkung 2: $\Delta$ ist der griechische Buchstabe "delta", der in der Mathematik gerne für Differenzen verwendet wird.

Um die Steigung zu veranschaulichen, nutzt man Steigungsdreiecke. In der nächsten Grafik sieht man, dass bei $f_3(x)$ kein Steigungsdreieck eingezeichnet werden kann, denn egal, wie groß man $\Delta x$ wählt, $\Delta y$ ist immer $0$. Daraus ergibt sich dann auch rechnerisch, dass bei konstanten Geraden die Steigung $0$ ist, was ja anschaulich offensichtlich ist.

Wichtig: Die Größe und die Lage des Steigungsdreiecks haben keinen Einfluss auf die Größe der Steigung, da nur das Verhältnis aus den Längen der beiden Dreiecksseiten berechnet wird. Um das zu verdeutlichen, wurden in der nächsten Grafik beispielhaft für $f_2(x)$ verschiedene Steigungsdreiecke eingezeichnet und daraus die Steigung berechnet:

Ebenfalls keinen Einfluss auf die Steigung hat die Reihenfolge, in der man die Punkte in die Steigungsformel einsetzt. Ein Beispiel: Für das mittlere Steigungsdreieck könnte man auch $m=\dfrac{7-1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2$ rechnen. Das Ergebnis bleibt (glücklicherweise) gleich.

Ermittlung des y-Achsenabschnitts

Wie der y-Achsenabschnitt $n$ ermittelt werden kann, hängt von der Aufgabenstellung ab:

1. mögliche Aufgabenstellung:
Soll die Geradengleichung $f(x)=mx+n$ aus zwei gegebenen Punkten ermittelt werden, benötigt man zunächst die Steigung $m$ (haben wir ja gerade schon berechnet). Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzt man dann $m$ und die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Gleichung ein. $f(x)$ entspricht dabei der y-Koordinate. So erhält man eine lineare Gleichung, die nach $n$ aufgelöst werden kann.
Welchen Punkt man für diese Rechnung verwendet, ist egal, da die Gerade ja ohnehin durch beide Punkte verlaufen soll. Der zweite Punkt kann dann zur Überprüfung des Ergebnisses genutzt werden: Man setzt seine Koordinaten in die ermittelte Geradengleichung ein und schaut, ob beide Seiten gleich groß werden. Das nennt man Punktprobe.

Bei unseren Beispielen berechnet man also

Punktproben

Damit sind die Geradengleichungen vollständig bestimmt. Sie lauten:
$\begin{array}{lcl} f_1(x) &=& - 4x \cr f_2(x) &=& 2x-3 \cr f_3(x) &=& 5{,}7 \end{array}$
FERTIG!

2. mögliche Aufgabenstellung:
Soll die Geradengleichung $f(x)=mx+n$ aus einem gegebenen Graph ermittelt werden, stellt man einfach fest, wo der Graph die y-Achse schneidet. Der y-Wert dieses Punktes ist der y-Achsenabschnitt.

Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene

Stellen Sie sich zwei Geraden in einer Ebene vor, z. B. in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Vor Ihrem geistigen Auge sollte nun (mindestens) eine der folgenden Grafiken entstehen:

Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, wie zwei Geraden in der Ebene zueinander liegen können. Man nennt dies die Lagebeziehung der beiden Geraden:

1. Die beiden Geraden können parallel zueinander sein. In diesem Fall haben die Geraden keine gemeinsamen Punkte. In der Geradengleichung erkennt man dies daran, dass die Geraden die gleiche Steigung aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt haben. Im Beispiel oben handelt es sich um die Geraden $f_1(x)=3x+3$ und $f_2(x)=3x-6$.
2. Die beiden Geraden können aufeinander liegen. Sie haben in diesem Fall unendlich viele gemeinsame Punkte. Anders formuliert: Sie sind identisch. Damit sind natürlich auch die Geradengleichungen gleich - auch wenn man das nicht immer auf den ersten Blick sieht. Manchmal muss man erst ein bisschen umformen. Im mittleren Bild oben sind die Geraden $f_3(x)=0{,}5x+5$ und $f_4(x)=\frac{1}{2}x+\frac{20}{4}$ eingezeichnet.
3. Die beiden Geraden können einen Schnittpunkt haben. Dann haben sie exakt einen Punkt gemeinsam. Feststellen kann man diesen Fall anhand unterschiedlicher Steigungen in der Geradengleichung. Der y-Achsenabschnitt spielt keine Rolle. In diesem Beispiel schneiden sich die Geraden $f_5(x)=4x-8$ und $f_6(x)=-2x+8$ in einem Punkt, den wir unten gleich berechnen.

Mehr Möglichkeiten gibt es nicht! Wenn zwei Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt (und weniger als unendlich) hätten, wären sie krumm ...

Wenn zwei Geraden einen Schnittpunkt haben, möchte man üblicherweise wissen, wo dieser liegt. Man muss den Schnittpunkt also berechnen können: Da ein Schnittpunkt - man schreibt dafür üblicherweise $S$ mit den Koordinaten $x_s$ und $y_s$ - ein gemeinsamer Punkt der beiden Funktionen ist, müssen die zu $x_s$ gehörenden Funktionswerte beider Geraden übereinstimmen. In unserem Beispiel müssen also $f_5(x_s)$ und $f_6(x_s)$ gleich groß sein. Man setzt daher die beiden Funktionsterme gleich. Löst man die entstehende lineare Gleichung, erhält man den x-Wert des Schnittpunktes.

In unserem Beispiel
x-Wert berechnen:
$\begin{array}{rclcl} f_5 (x_s) &=& f_6(x_s) \cr \cr 4x_s-8 &=& -2x_s+8 &\vert& +8+2x_s \cr \cr 6x_s &=& 16 & \vert& : (6) \cr \cr x_s &=& \dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3} \end{array}$

y-Wert berechnen:
$\begin{array} {rcl} f_5(x_s) &=& f_5\left(\dfrac{8}{3}\right) \cr \cr &=& 4 \cdot \dfrac{8}{3}-8 \cr \cr &=& \dfrac{32}{3}-\dfrac{24}{3} \cr\cr &=& \dfrac{8}{3} \end {array}$
ODER
$\begin{array}{rcl} f_6(x_s) &=& f_6\left(\dfrac{8}{3}\right) \cr \cr &=& -2 \cdot \dfrac {8}{3} +8\cr \cr &=&-\dfrac{16}{3}+\dfrac{24}{3} \cr\cr &=& \dfrac{8}{3} \end{array}$

Die zweite Rechnung für den y-Wert dient gleichzeitig als Probe. Der Punkt $S\left(\dfrac{8}{3} \mid \dfrac{8}{3}\right)$ liegt tatsächlich auf beiden Geraden und ist somit der (einzige) Schnittpunkt von $f_5(x)$ und $f_6(x)$.