Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe

15.3 Wurzelgleichungen und -funktionen - Lösungen

Erste Bemerkung zur Bestimmung des Definitionsbereichs: Auch bei unkomplizierten Wurzeln wie $\sqrt{x}$ (Aufgabe 1.15) muss im Definitionsbereich berücksichtigt werden, dass der Radikand nicht negativ werden darf. Möglich sind in diesem Fall alle positiven reellen Zahlen und $0$, also ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^+$. Da der Radikand hier so einfach ist, wurde dafür in den folgenden Aufgaben keine Rechnung aufgeschrieben.
Bei Wurzeln mit ungeraden Wurzelexponenten sind grundsätzlich alle reellen Zahlen zulässig. Insofern ist hierfür keine gesonderte Bestimmung des Definitionsbereichs nötig.

Zweite Bemerkung zur Bestimmung des Definitionsbereichs: Da der Radikand bei Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten größer oder gleich $0$ sein muss, müssen zur Bestimmung des Definitionsbereichs Ungleichungen gelöst werden. Wenn Sie damit Schwierigkeiten haben, schauen Sie bitte im entsprechenden Kapitel nach.

1. Aufgabe

1)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
Da ein Quadrat im Bereich der reellen Zahlen immer nichtnegativ ist, ist der Radikand als Summe aus einem Quadrat und der Zahl $13$ immer positiv. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} \sqrt{x^2+13} &=& 7 &\vert& ()^2 \cr x^2+13 &=& 49 &\vert& -13 \cr x^2 &=& 36 &\vert& \pm\sqrt{} \cr\cr x_1 &=& 6\;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& -6\;\in\;\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{6^2+13} &=& 7 \cr \sqrt{49} &=& 7 \cr 7 &=& 7 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{(-6)^2+13} &=& 7 \cr \sqrt{49} &=& 7 \cr 7 &=& 7 \end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = 6$ sowie $x_2 = -6$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{-6; 6 \right\}$

2)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} -1+x &\geq & 0 &\vert & +1\\x &\geq & 1\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[1;\infty\right[$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} 5\sqrt{-1+x}+80 &=& 5x+15 &\vert& -80 \cr 5\sqrt{-1+x} &=& 5x-65 &\vert& :5 \cr \sqrt{-1+x} &=& x-13 &\vert& ()^2 \cr -1+x &=& (x-13)^2 \cr -1+x &=& x^2-26x+169 &\vert& +1-x \cr 0 &=& x^2-27x+170 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{27}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{27}{2}\right)^2-170} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{27}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{27}{2} + \dfrac{7}{2} = 17\;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& \dfrac{27}{2} - \dfrac{7}{2} = 10\;\in\;\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} 5 \cdot \sqrt{-1+17}+80 &=& 5 \cdot 17+15 \cr 100 &=& 100 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} 5 \cdot \sqrt{-1+10}+80 &=& 5 \cdot 10+15 \cr 95 &=& 65 \end{array}$

Ergebnis: Nur für $x_1 = 17$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{17 \right\}$

3)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. Radikand links:
$\begin{array}{rclll} 4x-17 &\geq & 0 &\vert & +17\\4x &\geq & 17 &\vert & :4\\x &\geq & \dfrac{17}{4}\\\\\end{array}$

2. Radikand links:
$\begin{array}{rclll} 17+4x &\geq & 0 &\vert & -17\\4x &\geq & -17 &\vert & :4\\x &\geq & -\dfrac{17}{4}\\\\\end{array}$

Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll} 16x^2-289 &\geq & 0 &\vert & +289\\16x^2 &\geq & 289 &\vert & :16\\x^2 &\geq & \dfrac{289}{16} &\vert & \sqrt{}\\\\\vert x\vert &\geq & \dfrac{17}{4}\end{array}$

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $x\geq \dfrac{17}{4}$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[\dfrac{17}{4};\infty\right[$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} \sqrt{4x-17} \cdot \sqrt{17+4x} &=& \sqrt{16x^2-289} \cr \sqrt{(4x-17) \cdot (17+4x)} &=& \sqrt{16x^2-289} \cr \sqrt{16x^2-289} &=& \sqrt{16x^2-289} \cr 0 &=& 0 \cr\cr \mathbb{L} &=& \left[\dfrac{17}{4};\infty\right[ \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

4)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll} 3+k &\geq & 0 &\vert & -3\\k &\geq & -3\\\\\end{array}$

2. Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll} 1-k &\geq & 0 &\vert & -1 \\-k &\geq & -1 &\vert& \cdot (-1) \\k &\leq& 1\end{array}$

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $-3 \leq k \leq 1$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[-3 ;1\right]$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} 5 &=& \sqrt{3+k}-\sqrt{1-k} &\vert& ()^2 \cr 25 &=& (3+k)-2\sqrt{3+k}\sqrt{1-k}+(1-k) \cr 25 &=& 4-2\sqrt{(3+k)(1-k)} &\vert& -4 \cr 21 &=& -2\sqrt{-k^2-2k+3} &\vert& ()^2 \cr 441 &=& 4(-k^2-2k+3) \cr 441 &=& -4k^2-8k+12 &\vert& -441 \cr 0 &=& -4k^2-8k-429 &\vert& :(-4) \cr 0 &=& k^2+2k+\dfrac{429}{4} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr k_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{1-\dfrac{429}{4}} \cr k_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{-\dfrac{425}{4}} \end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

5)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$x^4-x^2+9 \geq 0$

Um diese biquadratische Ungleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die zugehörige biquadratische Gleichung gelöst:
$x^4-x^2+9 = 0$

Substitution: $z=x^2$
$\begin{array}{rclcl}z^2-z+9 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\z_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-9}\\z_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{35}{4}}\end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung. Somit hat auch die biquadratische Gleichung keine Lösung.
Jetzt muss noch geprüft werden, ob der Term nur positive oder nur negative Werte annimmt. Es ist sinnvoll, für die Prüfung einen möglichst einfachen Wert für $x$ zu verwenden. Z. B. liefert $x=0$ als Ergebnis $9$. Das bedeutet, dass $x^4-x^2+9$ für jeden x-Wert positiv ist.

Bemerkung: Nach der Feststellung, dass die Gleichung $x^4-x^2+9=0$ keine Lösungen hat, hätte man die Eigenschaft, dass der Term zwingend positiv ist, auch daran erkennen können, dass das zugehörige Polynom 4. Grades nach oben geöffnet ist.

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclcl} & \sqrt{x^4-x^2+9} &=& 3 &\vert& ()^2 \cr & x^4-x^2+9 &=& 9 &\vert& -9 \cr & x^4-x^2 &=& 0 \cr & x^2 \cdot (x^2-1) &=& 0 & \vert & \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0\;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \text{Faktor 2:} & x^2-1 &=& 0 & \vert & +1 \cr & x^2 &=& 1 &\vert& \pm \sqrt{} \cr\cr & x_2 &=& 1\;\in\;\mathbb{D} \cr & x_3 &=& -1\;\in\;\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{0^4-0^2+9} &=& 3 \cr 3 &=& 3 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{1^4-1^2+9} &=& 3 \cr 3 &=& 3 \end{array}$

Für $x_3$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{(-1)^4-(-1)^2+9} &=& 3 \cr 3 &=& 3 \end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ sowie $x_3 = -1$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \{-1;0;1\}$

6)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclcl} & y \cdot \sqrt[3]{y^2+4} &=& 0 & \vert & \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \cr \text{Faktor 1:} & y_1 &=& 0\;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \text{Faktor 2:} & \sqrt[3]{y^2+4} &=& 0 &\vert& ()^3 \cr & y^2+4 &=& 0 &\vert& -4 \cr & y^2 &=& -4 &\vert& \pm\sqrt{} \cr & y_{2,3} &=& \pm \sqrt{-4} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, kommt nur $0$ als Lösung der Gleichung infrage.

Probe:
$\begin{array}{rcl} 0 \cdot \sqrt[3]{0^2+4} &=& 0 \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Ergebnis: Für $y_1 = 0$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \{0\}$

7)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclcl} & x+\sqrt[3]{6x^2+5x} &=& 0 &\vert& -x \cr & \sqrt[3]{6x^2+5x} &=& -x &\vert& ()^3 \cr & 6x^2+5x &=& -x^3 &\vert& +x^3 \cr & x^3+6x^2+5x &=& 0 \cr & x \cdot (x^2+6x+5) &=& 0 &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \cr\text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0\;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \text{Faktor 2:} & x^2+6x+5 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr & x_{2,3} &=& -3 \pm \sqrt{3^2-5} \cr & &=& -3 \pm \sqrt{4} \cr\cr & x_2 &=& -3+2 = -1\;\in\;\mathbb{D} \cr & x_3 &=& -3-2 = -5\;\in\;\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} 0+\sqrt[3]{6 \cdot 0^2+5 \cdot 0} &=& 0 \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} -1+\sqrt[3]{6 \cdot (-1)^2+5 \cdot (-1)} &=& 0 \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Für $x_3$:
$\begin{array}{rcl} -5+\sqrt[3]{6 \cdot (-5)^2+5 \cdot (-5)} &=& 0 \cr 0 &=& 0 \end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ sowie $x_3 = -5$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \{-5;-1;0\}$

8)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
Radikand links:
$144x^2-192x+64 \geq 0$

Um diese quadratische Ungleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die zugehörige quadratische Gleichung gelöst:
$\begin{array}{rclll} 144x^2-192x+64 &=& 0 &\vert & :144\\x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& \dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{4}{9}}\\x_{1,2} &=& \dfrac{2}{3}\pm0\\x_{1,2} &=& \dfrac{2}{3}\end{array}$

Diese Gleichung hat also genau eine Lösung bei $x = \dfrac{2}{3}$. Dieser x-Wert ist auf jeden Fall Teil des Definitionsbereichs. Es ergeben sich die Intervalle $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[$ und $\left]\dfrac{2}{3};\infty\right[$.
Jetzt muss noch geprüft werden, in welchen Intervallen der Term positive bzw. negative Werte annimmt. Es ist sinnvoll, für die Prüfung möglichst einfache x-Werte zu verwenden. Z. B. liefert $x=0$ als Ergebnis $64$ und für $x=1$ ergibt sich $16$. Das bedeutet, dass $144x^2-192x+64$ niemals negativ wird und somit der Definitionsbereich an dieser Stelle nicht eingeschränkt werden muss.

Bemerkung: Nach der Feststellung, dass die Gleichung $144x^2-192x+64=0$ genau eine Lösung hat, hätte man die Eigenschaft, dass der Term zwingend nichtnegativ ist, auch daran erkennen können, dass die zugehörige Parabel nach oben geöffnet ist.

Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll}-12x+8 &\geq & 0 &\vert & -8\\-12x &\geq & -8 &\vert & :(-12) \\x &\leq & \dfrac{2}{3}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} \sqrt[4]{144x^2-192x+64} &=& \sqrt{-12x+8} &\vert& ()^4 \cr 144x^2-192x+64 &=& (-12x+8)^2 \cr 144x^2-192x+64 &=& 144x^2-192x+64 \cr 0 &=& 0 \cr\cr \mathbb{L} &=& \left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right] \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

9)
Bei dieser Aufgabe lohnt es sich, nicht einfach loszurechnen (Die Rechnung wird auch tatsächlich recht hässlich ...), sondern sich die Struktur der Gleichung zuvor etwas genauer anzuschauen: Auf der linken Seite steht ein nichtnegativer Term (Zur Erinnerung: Das Ergebnis der Wurzel ist immer $0$ oder positiv. Wenn man dies durch eine positive Zahl, nämlich die $8$, teilt, bleibt das so.). Auf der rechten Seite haben wir eine positive Zahl, die $101$, und eine positive Wurzel, die ja im Nenner steht und daher nicht $0$ sein darf. Das Minuszeichen vor dem Bruch sorgt dann dafür, dass alles negativ wird. Auf der rechten Seite steht also ein negativer Term. Damit können die beiden Seiten nie gleich sein. Diese Gleichung hat also keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

10)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & x^4+2x^2 &\geq & 0 \\& x^2 \cdot (x^2+2) &\geq & 0\end{array}$

Das Produkt zweier Faktoren ist genau dann nichtnegativ, wenn entweder mindestens ein Faktor $0$ ist oder beide Faktoren das gleiche Vorzeichen besitzen. Der erste Faktor ist ein Quadrat, das immer nichtnegativ ist. Für $x=0$ wird das Quadrat $0$, so dass dieser Wert auf jeden Fall Teil des Definitionsbereichs ist.
Beim zweiten Faktor wird zu einem Quadrat die Zahl $2$ addiert. Somit ist der zweite Faktor zwingend positiv, da das Quadrat mindestens den Wert $0$ hat.
Das bedeutet, dass die Ungleichung $x^2(x^2+2)\geq 0$ für jeden x-Wert wahr ist. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} 22+\sqrt{x^4+2x^2} &=& 23 &\vert& -22 \cr \sqrt{x^4+2x^2} &=& 1 &\vert& ()^2 \cr x^4+2x^2 &=& 1 &\vert& -1\cr \left(x^2\right)^2+2x^2-1 &=& 0 \end{array}$

Substitution: $u=x^2$
$\begin{array}{rclcl} u^2+2u-1 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr u_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{1+1} \cr\cr u_1 &=& -1+\sqrt{2} \cr u_2 &=& -1-\sqrt{2}\end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclcl} u_1 = x^2 &=& -1+\sqrt{2} &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_1 &=& \sqrt{-1+\sqrt{2}}\approx 0{,}64\;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& -\sqrt{-1+\sqrt{2}}\approx -0{,}64\;\in\;\mathbb{D} \cr\cr u_2 = x^2 &=& -1-\sqrt{2} &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_3 &=& \sqrt{-1-\sqrt{2}} \cr x_4 &=& -\sqrt{-1-\sqrt{2}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, kommen nur $x_1 = \sqrt{-1+\sqrt{2}}$ und $x_2 = -\sqrt{-1+\sqrt{2}}$ als Lösungen der Gleichung infrage.

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} 22+\sqrt{(\sqrt{-1+\sqrt{2}})^4+2 \cdot (\sqrt{-1+\sqrt{2}})^2} &=& 23 \cr 23 &=& 23 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} 22+\sqrt{(-\sqrt{-1+\sqrt{2}})^4+2 \cdot (-\sqrt{-1+\sqrt{2}})^2} &=& 23 \cr 23 &=& 23 \end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = \sqrt{-1+\sqrt{2}}$ sowie $x_2 = -\sqrt{-1+\sqrt{2}}$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{-\sqrt{-1+\sqrt{2}};\sqrt{-1+\sqrt{2}}\right\}$

11)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+_0$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll}x-5\sqrt{x}+6 &=& 0 \\\\\left(\sqrt{x}\right)^2-5\sqrt{x}+6 &=& 0\end{array}$

Substitution: $a=\sqrt{x}$
$\begin{array}{rclll}a^2-5a+6 &=& 0 & \vert & \text{p-q-Formel}\\a_{1,2} &=& \dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-6}\\a_{1,2} &=& \dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\\\a_1 &=& \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2} = 3\\a_2 &=& \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2} = 2\end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclcl}a_1 = \sqrt{x} &=& 3 &\vert& ()^2 \\x_1 &=& 9 \\\\a_1 = \sqrt{x} &=& 2 &\vert& ()^2 \\x_2 &=& 4 \end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl}9-5\sqrt{9}+6 &= & 0 \\0 &=& 0\end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl}4-5\sqrt{4}+6 &=& 0 \cr 0 &=& 0\end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = 9$ sowie $x_2 = 4$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{4; 9 \right\}$

Bemerkung: Man könnte diese Gleichung auch lösen, indem man die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert $\sqrt{x} = \dfrac{x-6}{5}$ und dann quadriert. Dabei die 2. binomische Formel im Zähler nicht vergessen!

12)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & 23y^3+4y^2+7y &\geq & 0 \\& y\cdot \left(23y^2+4y+7\right) &\geq & 0\end{array}$

Das Produkt zweier Faktoren ist genau dann nichtnegativ, wenn entweder mindestens ein Faktor $0$ ist oder beide Faktoren das gleiche Vorzeichen besitzen. Der erste Faktor nimmt im Intervall $]-\infty;0[$ negative Werte, im Intervall $]0;\infty[$ positive Werte und für $y=0$ den Wert $0$ an. $y=0$ ist somit auf jeden Fall Teil des Definitionsbereichs.
Der zweite Faktor ist eine Parabel. Wir lösen wieder die zugehörige quadratische Gleichung:
$\begin{array}{rclll}23y^2+4y+7 & = & 0 &\vert & :23\\y^2+\dfrac{4}{23}y+\dfrac{7}{23} & = & 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\y_{1,2} & = & \dfrac{2}{23}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{2}{23}\right)^2-\dfrac{7}{23}}\\\\y_{1,2} & = & \dfrac{2}{23}\pm\sqrt{-\dfrac{157}{529}}\\\\\end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung.
Jetzt muss noch geprüft werden, ob der Term nur positive oder nur negative Werte annimmt. Es ist sinnvoll, für die Prüfung einen möglichst einfachen Wert für $y$ zu verwenden. Z. B. liefert $y=0$ als Ergebnis $7$. Das bedeutet, dass $23y^2+4y+7$ für jeden y-Wert positiv ist.

Bemerkung: Nach der Feststellung, dass die Gleichung $23y^2+4y+7=0$ keine Lösungen hat, hätte man die Eigenschaft, dass der Term zwingend positiv ist, auch daran erkennen können, dass die zugehörige Parabel nach oben geöffnet ist.

Da der zweite Faktor immer positiv ist, kann die Ungleichung $y\cdot \left(23y^2+4y+7\right) \geq 0$ nur dann wahr sein, wenn der erste Faktor $0$ oder positiv ist. Das trifft im Intervall $[0;\infty[$ zu. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+_0$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclll} & \sqrt{23y^3+4y^2+7y} &=& 0\\& \sqrt{y\left(23y^2+4y+7\right)} &=& 0 \\& \sqrt{y} \cdot \sqrt{23y^2+4y+7} &=& 0 &\vert & \text{Satz vom Nullprodukt}\\\\\text{Faktor 1:} & \sqrt{y} &=& 0 &\vert& ()^2 \\& y &=& 0 \;\in\;\mathbb{D}\\\\\text{Faktor 2:} & \sqrt{23y^2+4y+7} &=& 0 &\vert & ()^2 \\& 23y^2+4y+7 &=& 0 &\vert & :23 \\& y^2+\dfrac{4}{23}y+\dfrac{7}{23} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\& y_{1,2} &=& -\dfrac{2}{23}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{2}{23}\right)^2-\dfrac{7}{23}}\\& y_{1,2} &=& -\dfrac{2}{23}\pm\sqrt{-\dfrac{157}{529}}\end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, kommt nur $0$ als Lösung der Gleichung infrage.

Bemerkung: Wenn Sie die Gleichung erst quadrieren und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden, ist das natürlich auch in Ordnung.

Probe:
$\begin{array}{rcl}\sqrt{23\cdot 0^3+4\cdot 0^2+7\cdot 0} &=& 0 \\\sqrt{0} &=& 0 \\0 &=& 0\end{array}$

Ergebnis: Für $y_1 = 0$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{0 \right\}$

13)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} -15x+49 &\geq & 0 &\vert & -49\\-15x &\geq & -49 &\vert & :\left(-15\right)\\x &\leq & \dfrac{49}{15}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left]-\infty; \dfrac{49}{15}\right]$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \sqrt[3]{-5+x} &=& \sqrt[6]{-15x+49} &\vert & ()^6\\\left(-5+x\right)^2 &=& -15x+49 \\25-10x+x^2 &=& -15x+49 &\vert & +15x-49\\x^2+5x-24 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& -\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+24}\\x_{1,2} &=& -\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{121}{4}}\\\\x_1 &=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{11}{2} = 3\;\in\;\mathbb{D}\\x_2 &=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{11}{2} = -8\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{-5+3} &=& \sqrt[6]{-15\cdot 3+49} \\\sqrt[3]{-2} &=& \sqrt[6]{4}\\\sqrt[3]{-2} &=& \sqrt[6]{2^2} \\(-2)^{\frac{1}{3}} &=& 2^{2\cdot\frac{1}{6}} \\(-2)^{\frac{1}{3}} &=& 2^{\frac{1}{3}} \\\end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{-5-8} &=& \sqrt[6]{-15\cdot (-8)+49} \\\sqrt[3]{-13} &=& \sqrt[6]{169}\\\sqrt[3]{-13} &=& \sqrt[6]{13^2} \\(-13)^{\frac{1}{3}} &=& 13^{2\cdot\frac{1}{6}} \\(-13)^{\frac{1}{3}} &=& 13^{\frac{1}{3}} \\\end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = 3$ sowie $x_2 = -8$ ergeben sich falsche Aussagen: $\mathbb{L} = \emptyset$

14)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
innerer Radikand:
$\begin{array}{rclll} p-\dfrac{1}{2} &\geq & 0 &\vert & +\dfrac{1}{2} \\p &\geq & \dfrac{1}{2}\end{array}$

äußerer Radikand:
Der Term $p^2+1+3\sqrt{p-\dfrac{1}{2}}$ ist zwingend positiv, da sowohl der quadratische Ausdruck $p^2$ als auch das Produkt $3\sqrt{p-\dfrac{1}{2}}$ jeweils mindestens den Wert $0$ haben und durch die Addition von $1$ der Term unter der Wurzel mindestens den Wert $1$ hat. Somit bleibt es bei der Einschränkung des Definitionsbereichs, die sich aus der Betrachtung der inneren Wurzel ergibt.

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[\dfrac{1}{2}; \infty\right[$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \sqrt{p^2+1+3\sqrt{p-\dfrac{1}{2}}} &=& p+1 &\vert & ()^2 \\p^2+1+3\sqrt{p-\dfrac{1}{2}} &=& p^2+2p+1 &\vert & -p^2-1 \\3\sqrt{p-\dfrac{1}{2}} &=& 2p &\vert& :3 \\\sqrt{p-\dfrac{1}{2}} &=& \dfrac{2p}{3} &\vert & ()^2 \\p-\dfrac{1}{2} &=& \dfrac{4p^2}{9} &\vert & -\dfrac{4p^2}{9} \\-\dfrac{4}{9}p^2+p-\dfrac{1}{2} &=& 0 &\vert & :\left(-\dfrac{4}{9}\right) \\p^2-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel} \\p_{1,2} &=& \dfrac{9}{8}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{9}{8}\right)^2-\dfrac{9}{8}} \\p_{1,2} &=& \dfrac{9}{8}\pm\sqrt{\dfrac{9}{64}} \\\\p_{1} &=& \dfrac{9}{8}+\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2} \in\mathbb{D} \\\\p_{2} &=& \dfrac{9}{8}\pm\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{4} \in\mathbb{D}\end{array}$

Bemerkung: Bitte beachten Sie bei der ersten Umformung, dass auf der rechten Gleichungsseite die 1. binomische Formel angewendet werden muss, da eine Summe quadriert wird.

Probe:
Für $p_1$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+1+3\sqrt{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}}} &=& \dfrac{3}{2}+1 \\\\\sqrt{\dfrac{9}{4}+1+3\sqrt{1}} &=& \dfrac{5}{2} \\\\\sqrt{\dfrac{25}{4}} &=& \dfrac{5}{2} \\\\\dfrac{5}{2} &=& \dfrac{5}{2}\end{array}$

Für $p_2$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+1+3\sqrt{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}}} &=& \dfrac{3}{4}+1 \\\\\sqrt{\dfrac{9}{16}+1+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}} &=& \dfrac{7}{4} \\\\\sqrt{\dfrac{9}{16}+1+\dfrac{3}{2}} &=& \dfrac{7}{4} \\\\\sqrt{\dfrac{49}{16}} &=& \dfrac{7}{4} \\\\\dfrac{7}{4} &=& \dfrac{7}{4}\end{array}$

Ergebnis: Für $p_1 = \dfrac{3}{2}$ sowie $p_2 = \dfrac{3}{4}$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{3}{4}; \dfrac{3}{2} \right\}$

15)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. Radikand links und 1. Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll} x &\geq & 0 \\\\\end{array}$

2. Radikand links:
$\begin{array}{rclll} x+1 &\geq & 0 &\vert & -1 \\x &\geq & -1 \\\\\end{array}$

2. Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll} x+2 &\geq & 0 &\vert & -2\\x &\geq & -2 \\ \end{array}$

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $x\geq 0$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+_0$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \sqrt{x}\sqrt{x+1}-1 &=& -\sqrt{x}\sqrt{x+2} &\vert & +1+\sqrt{x}\sqrt{x+2}\\\\\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\sqrt{x+2} &=& 1 \\\\\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right) &=& 1 &\vert & ()^2\\\\x\left(x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+2}+x+2\right) &=& 1 \\\\2x^2+3x+2x\sqrt{x+1}\sqrt{x+2} &=& 1 &\vert & -2x^2-3x\\\\2x\sqrt{x+1}\sqrt{x+2} &=& -2x^2-3x+1 &\vert & ()^2\\\\4x^2\left(x+1\right)\left(x+2\right) &=& \left(-2x^2-3x+1\right)\left(-2x^2-3x+1\right)\\\\4x^2\left(x^2+3x+2\right) &=& 4x^4+6x^3-2x^2+6x^3+9x^2-3x-2x^2-3x+1 \\\\4x^4+12x^3+8x^2 &=& 4x^4+12x^3+5x^2-6x+1 &\vert& -4x^4-12x^3-5x^2+6x-1\\\\3x^2+6x-1 &=& 0 &\vert & :3\\x^2+2x-\dfrac{1}{3} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}\\\\x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{\dfrac{4}{3}} \\\\ x_1 &=& -1+\sqrt{\dfrac{4}{3}} = -1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \;\in\;\mathbb{D}\\x_2 &=& -1-\sqrt{\dfrac{4}{3}} = -1-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \;\not\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Bemerkung: Bitte beachten Sie bei der siebten Umformung, dass auf der rechten Gleichungsseite das Distributivgesetz angewendet werden muss, da eine Summe quadriert wird.

Probe:
$\begin{array}{rcl} \sqrt{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\sqrt{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+1}-1 &=& -\sqrt{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\sqrt{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+2} \\\\\sqrt{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}-1 &=& -\sqrt{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\sqrt{1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \\\\\sqrt{\left(-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}-1 &=& -\sqrt{\left(-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\left(1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)} \\\\\sqrt{-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{4\cdot 3}{9}}-1 &=& -\sqrt{-1-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{4\cdot 3}{9}} \\\\\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{3}}-1 &=& -\sqrt{-1+\dfrac{4}{3}} \\\\\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} &=& -\sqrt{\dfrac{1}{3}} \\\\\dfrac{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} &=& -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\\\\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} &=& -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\\\\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} &=& -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\\\\dfrac{-1}{\sqrt{3}} &=& \dfrac{-1}{\sqrt{3}}\end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = -1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{-1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right\}$

16)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} 2+\sqrt[3]{x^3-4x^2+8x-14} &=& x &\vert & -2\\\sqrt[3]{x^3-4x^2+8x-14} &=& x-2 &\vert & ()^3\\x^3-4x^2+8x-14 &=& (x-2)(x-2)(x-2) \\x^3-4x^2+8x-14 &=& (x^2-4x+4)(x-2) \\x^3-4x^2+8x-14 &=& x^3-2x^2-4x^2+8x+4x-8 \\x^3-4x^2+8x-14 &=& x^3-6x^2+12x-8 &\vert & -x^3+6x^2-12x+8\\2x^2-4x-6 &=& 0 &\vert & :2\\x^2-2x-3 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{1+3}\\x_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{4}\\\\x_1 &=& 1+2 = 3 \;\in\;\mathbb{D}\\x_2 &=& 1-2 = -1\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Bemerkung: Wer für die Umformung $(x-2)^3$ (dritte Zeile) andere Möglichkeiten, wie das pascalsche Dreieck, kennt, darf diese natürlich auch nutzen. Hauptsache, die dritte Potenz dieser Summe wird korrekt berechnet.

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl} 2+\sqrt[3]{3^3-4\cdot 3^2+8\cdot 3-14} &=& 3\\2+\sqrt[3]{27-36+24-14} &=& 3\\2+\sqrt[3]{1} &=& 3\\2+1 &=& 3 \\3 &=& 3\end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl} 2+\sqrt[3]{(-1)^3-4\cdot (-1)^2+8\cdot (-1)-14} &=& -1 \cr 2+\sqrt[3]{-1-4-8-14} &=& -1 \cr 2+\sqrt[3]{-27} &=& -1 \cr2-3 &=& -1\\-1 &=& -1\end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = 3$ sowie $x_2 = -1$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{-1; 3 \right\}$

17)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclll} & \sqrt[3]{z}+10 &=& \sqrt[3]{z+1.000} &\vert &-10-\sqrt[3]{z+1.000}\\& \sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{z+1000} &=& -10 &\vert& ()^3\\& z-3\left(\sqrt[3]{z}\right)^2\cdot\sqrt[3]{z+1.000}+3\sqrt[3]{z}\cdot\left(\sqrt[3]{z+1.000}\right)^2-z-1.000 &=& -1.000 &\vert& +1.000\\& 3\sqrt[3]{z}\cdot\sqrt[3]{z+1.000}\left(\sqrt[3]{z+1.000}-\sqrt[3]{z}\right) &=& 0 &\vert & \text{Satz vom Nullprodukt}\\\\\text{Faktor 1:} & 3\sqrt[3]{z} &=& 0 &\vert & :3 \\ & \sqrt[3]{z} &=& 0 &\vert & ()^3\\& z_1 &=& 0\;\in\;\mathbb{D}\\\\\text{Faktor 2:} & \sqrt[3]{z+1.000} &=& 0 &\vert & ()^3\\& z+1.000 &=& 0 &\vert & -1.000\\& z_2 &=& -1.000\;\in\;\mathbb{D}\\\\\text{Faktor 3:s} & \sqrt[3]{z+1.000}-\sqrt[3]{z} &=& 0 &\vert& +\sqrt[3]{x}\\ & \sqrt[3]{x+1.000} &=& \sqrt[3]{x} &\vert& ()^3 \\ & x+1.000 &=& x &\vert& -x \\& 1.000 &=& 0\end{array}$

Da der dritte Faktor auf einen Widerspruch hinausläuft, liefert er keine weiteren Lösungen.

Probe:
Für $z_1$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{0}+10 &=& \sqrt[3]{0+1.000} \\10 &=& 10\end{array}$

Für $z_2$:
$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{-1.000}+10 &=& \sqrt[3]{-1.000+1.000} \\0 &=& 0\end{array}$

Ergebnis: Für $z_1 = 0$ sowie $z_2 = -1.000$ ergeben sich wahre Aussagen: $\mathbb{L} = \left\{-1.000; 0 \right\}$

18)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
Radikand im Zähler:
$\begin{array}{rclll} 4k+3 &\geq & 0 &\vert & -3 \\4k &\geq & -3 &\vert & :4 \\k &\geq & -\dfrac{3}{4}\\\\\end{array}$

Radikand im Nenner:
$\begin{array}{rclll} k+2 &\geq & 0 &\vert & -2\\k &\geq & -2 \\\\\end{array}$

Nenner:
$\begin{array}{rclll} 2-\sqrt{k+2} &\neq & 0 &\vert & -2 \\-\sqrt{k+2} &\neq & -2 &\vert & \left(\right)^2\\k+2 &\neq & 4 &\vert & -2 \\k &\neq & 2\end{array}$

Korrekterweise müssen wir für die letzte Berechnung noch eine Probe machen, weil beim Quadrieren ja Scheinlösungen auftreten können: $2-\sqrt{2+2} = 2-2 = 0$. Also alles in Ordnung!

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $k\geq -\dfrac{3}{4}$ unter Ausschluss der Zahl $2$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left\{k\in\mathbb{R} \mid k\geq -\dfrac{3}{4} \text{ und } k\neq 2 \right\}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{\sqrt{4k+3}+1}{2-\sqrt{k+2}} &=& 3 &\vert & \cdot \left(2-\sqrt{k+2}\right) \\\\\sqrt{4k+3}+1 &=& 6-3\sqrt{k+2} &\vert & -1+3\sqrt{k+2} \\\sqrt{4k+3}+3\sqrt{k+2} &=& 5 &\vert & ()^2\\4k+3+6\sqrt{\left(4k+3\right)\left(k+2\right)}+9\left(k+2\right) &=& 25 \\6\sqrt{4k^2+11k+6}+13k+21 &=& 25 &\vert & -13k-21\\6\sqrt{4k^2+11k+6} &=& 4-13k &\vert & ()^2\\36\left(4k^2+11k+6\right) &=& 16-104k+169k^2 \\144k^2+396k+216 &=& 16-104k+169k^2 &\vert & -16+104k-169k^2\\-25k^2+500k+200 &=& 0 &\vert & :(-25)\\k^2-20k-8 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\k_{1,2} &=& 10\pm\sqrt{(-10)^2+8}\\k_{1,2} &=& 10\pm\sqrt{108}\\\\ k_1 &=& 10+6\sqrt{3}\;\in\;\mathbb{D}\\k_2 &=& 10-6\sqrt{3}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Bemerkung 1: Die Multiplikation mit $\left(2- \sqrt{k+2}\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $k=2 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

Bemerkung 2: Bitte beachten Sie bei der dritten Umformung, dass auf der linken Gleichungsseite die 1. binomische Formel angewendet werden muss, da eine Summe (mit Wurzeltermen als Summanden) quadriert wird, ebenso bei der sechsten Umformung auf der rechten Seite.

Probe:
Für $k_1$:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{4\left(10+6\sqrt{3}\right)+3}+1}{2-\sqrt{10+6\sqrt{3}+2}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{40+24\sqrt{3}+3}+1}{2-\sqrt{12+6\sqrt{3}}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{43+24\sqrt{3}}+1}{2-\sqrt{9+6\sqrt{3}+3}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{16+24\sqrt{3}+27}+1}{2-\sqrt{\left(3+\sqrt{3}\right)^2}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{16+24\sqrt{3}+9\left(\sqrt{3}\right)^2}+1}{2-3-\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{\left(4+3\sqrt{3}\right)^2}+1}{-1-\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{4+3\sqrt{3}+1}{-1-\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{5+3\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{5+3\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{-1+\sqrt{3}}{-1+\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{-5-3\sqrt{3}+5\sqrt{3}+3\cdot 3}{-1-3} &=& 3 \\\\\dfrac{4+2\sqrt{3}}{-2} &=& 3 \\\\-2-\sqrt{3} &=& 3\end{array}$

Für $k_2$:
$\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{4\left(10-6\sqrt{3}\right)+3}+1}{2-\sqrt{10-6\sqrt{3}+2}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{40-24\sqrt{3}+3}+1}{2-\sqrt{12-6\sqrt{3}}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{43-24\sqrt{3}}+1}{2-\sqrt{9-6\sqrt{3}+3}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{16-24\sqrt{3}+27}+1}{2-\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{16-24\sqrt{3}+9\left(\sqrt{3}\right)^2}+1}{2-3+\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{\sqrt{\left(4-3\sqrt{3}\right)^2}+1}{-1+\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{-4+3\sqrt{3}+1}{-1+\sqrt{3}} &=& 3\\\\\dfrac{-3+3\sqrt{3}}{-1+\sqrt{3}} &=& 3\\\\3\cdot \left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{-1+\sqrt{3}}\right) &=& 3\\\\3 &=& 3 \end{array}$

Ergebnis: Nur für $k_2 = 10-6\sqrt{3}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{10-6\sqrt{3} \right\}$

19)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
Radikand im Radikanden links:
$\begin{array}{rclll}2t+5 &\geq & 0 &\vert & -5\\2t &\geq & -5 &\vert & :2\\t &\geq & -\dfrac{5}{2}\end{array}$

gesamter Radikand links:
$t+\sqrt{2t+5} \geq 0$

Um diese quadratische Ungleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die zugehörige quadratische Gleichung gelöst:
$\begin{array}{rclll}t+\sqrt{2t+5} &=& 0 &\vert & -t \\\sqrt{2t+5} &=& -t &\vert & \left(\right)^2 \\2t+5 &=& t^2 &\vert & -2t-5 \\t^2-2t-5 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel} \\t_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{(-1)^2+5} \\t_1 &=& 1+\sqrt{6} \approx 3{,}45 \\t_2 &=& 1-\sqrt{6} \approx -1{,}45\end{array}$

Korrekterweise müssen wir für die letzte Berechnung noch eine Probe machen, weil beim Quadrieren ja Scheinlösungen auftreten können:
Für $t_1$: $1+\sqrt{6}+\sqrt{2\left(1+\sqrt{6}\right)+5} = 2+2\sqrt{6} \neq 0$. Bei $t_1$ handelt es sich also um eine Scheinlösung.
Für $t_2$: $1-\sqrt{6}+\sqrt{2\left(1-\sqrt{6}\right)+5} = 0$. Bei $t_2$ ist also alles in Ordnung!

Diese Gleichung hat also genau eine Lösung bei $t_2 = 1-\sqrt{6}$. Dieser t-Wert ist auf jeden Fall Teil des Definitionsbereichs. Im Abgleich zwischen Eintrittsbedingung und Lösung ergeben sich die Intervalle $\left]-\frac{5}{2};1-\sqrt{6}\right[$ bzw. $\left]1-\sqrt{6};\infty\right[$
Jetzt muss noch geprüft werden, in welchen Intervallen der Term positive bzw. negative Werte annimmt. Es ist sinnvoll, für die Prüfung möglichst einfache Werte für $t$ zu verwenden. Z. B. liefert $t=-2$ als Ergebnis $-1$ und für $t=0$ ergibt sich $64$. Das bedeutet, dass $t+\sqrt{2t+5}$ im zweiten Intervall positiv ist. Die ursprüngliche Ungleichung $t+\sqrt{2t+5} \geq 0$ ist also nur in diesem Intervall wahr.

Radikand rechts:
$\begin{array}{rclll}3t+1 &\geq & 0 &\vert & -1\\3t &\geq & -1 &\vert & :3\\t &\geq & -\dfrac{1}{3}\end{array}$

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $t\geq -\dfrac{1}{3}$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[-\dfrac{1}{3};\infty\right[$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \sqrt{t+\sqrt{2t+5}} &=& \sqrt{3t+1} &\vert & ()^2\\t+\sqrt{2t+5} &=& 3t+1 &\vert & -t \\\sqrt{2t+5} &=& 2t+1 &\vert & ()^2\\2t+5 &=& 4t^2+4t+1 &\vert & -4t^2-4t-1\\-4t^2-2t+4 &=& 0 &\vert & :(-4)\\t^2+\dfrac{1}{2}t-1 &=& 0 &\vert &\text{p-q-Formel}\\t_{1,2} &=& -\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+1}\\t_{1,2} &=& -\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\dfrac{17}{16}}\\\\t_1 &=& \dfrac{-1+\sqrt{17}}{4} \approx 0{,}78 \;\in\;\mathbb{D}\\t_2 &=& \dfrac{-1-\sqrt{17}}{4} \approx -1{,}28 \;\not\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Bemerkung: Bitte beachten Sie bei der dritten Umformung, dass auf der rechten Gleichungsseite die 1. binomische Formel angewendet werden muss, da eine Summe quadriert wird.

Probe:
Für $t_1$:
$\begin{array}{rcl}\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\sqrt{2\cdot\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+5}} &=& \sqrt{3\cdot\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+1}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\sqrt{\dfrac{-2+2\sqrt{17}}{4}+\dfrac{20}{4}}} &=& \sqrt{\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{4}+\dfrac{4}{4}}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\sqrt{\dfrac{18+2\sqrt{17}}{4}}} &=& \sqrt{\dfrac{1+3\sqrt{17}}{4}}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{18+2\sqrt{17}}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+2\sqrt{17}+17}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\left(1+\sqrt{17}\right)^2}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\\\\\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{2+2\sqrt{17}}{4}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\\\\\sqrt{\dfrac{1+3\sqrt{17}}{4}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\\\\\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1+3\sqrt{17}}\end{array}$

Ergebnis: Für $t_1 = \dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}$ ergibt sich eine wahre Aussage: $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4} \right\}$

20)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$9x^2-42x+49 \geq 0$

Um diese quadratische Ungleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die zugehörige quadratische Gleichung gelöst:
$\begin{array}{rclll} 9x^2-42x+49 &=& 0 &\vert & :9\\x^2-\dfrac{14}{3}x+\dfrac{49}{9} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &=& \dfrac{7}{3}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{7}{3}\right)^2-\dfrac{49}{9}}\\x_{1,2} &=& \dfrac{7}{3}\pm 0\end{array}$

Diese Gleichung hat also genau eine Lösung bei $x = \dfrac{7}{3}$. Dieser x-Wert ist auf jeden Fall Teil des Definitionsbereichs. Es ergeben sich die Intervalle $\left]-\infty;\dfrac{7}{3}\right[$ und $\left]\dfrac{7}{3};\infty\right[$.
Jetzt muss noch geprüft werden, in welchen Intervallen der Term positive bzw. negative Werte annimmt. Es ist sinnvoll, für die Prüfung möglichst einfache x-Werte zu verwenden. Z. B. liefert $x=0$ als Ergebnis $49$ und für $x=3$ ergibt sich $4$. Das bedeutet, dass $9x^2-42x+49$ niemals negativ wird und somit der Definitionsbereich nicht eingeschränkt werden muss.

Bemerkung: Nach der Feststellung, dass die Gleichung $9x^2-42x+49=0$ genau eine Lösung hat, hätte man die Eigenschaft, dass der Term zwingend nichtnegativ ist, auch daran erkennen können, dass die zugehörige Parabel nach oben geöffnet ist.

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclll} & \sqrt{9x^2-42x+49}+3x &=& 7 \\\\& \sqrt{\left(3x-7\right)^2}+3x &=& 7 \\& \left\vert 3x-7\right\vert +3x &=& 7 \end{array}$

Hier ist eine Fallunterscheidung nötig, da die Gleichung einen Betrag enthält.

Fall 1: Wir nehmen an, dass $x \geq \dfrac{7}{3}$ ist.
$\begin{array}{rclcl}\left(3x-7\right)+3x &=& 7 \\ 3x-7+3x &=& 7 &\vert & +7 \\ 6x &=& 14 &\vert & :6 \\ x &=& \dfrac{7}{3} \end{array}$

Fall 2: Wir nehmen an, dass $x < \dfrac{7}{3}$ ist.
$\begin{array}{rclcl}-\left(3x-7\right)+3x &=& 7 \\ -3x+7+3x &=& 7 \\ 7 &=& 7\end{array}$

Da im 2. Fall eine wahre Aussage entsteht, sind alle Werte, die wir laut Eintrittsbedingung betrachtet haben, auch Lösungen der Gleichung: $x < \dfrac{7}{3}$. Hinzu kommt die Lösung, die wir im 1. Fall berechnet haben: $x = \dfrac{7}{3}$.
Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L} = \left]-\infty;\dfrac{7}{3}\right]$.

Eine Alternative? Nun kommt man ja vielleicht nicht sofort drauf, den Radikanden über die 2. binomische Formel zusammenzufassen, dann die Wurzel zu ziehen und schlussendlich mit dem Betrag weiterzurechnen. Schauen wir uns an, was beim "Standardweg" für das Auflösen einer Wurzelgleichung passieren würde:
$\begin{array}{rclcll}\sqrt{9x^2-42x+49}+3x &=& 7 &\vert & -3x \\\sqrt{9x^2-42x+49} &=& -3x+7 &\vert & ()^2 \\9x^2-42x+49 &=& 9x^2-42x+49 &\vert& -9x^2+42x-49 \\0 &=& 0 \end{array}$

Da $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ ist, könnte man an dieser Stelle meinen, dass auch $\mathbb{L}=\mathbb{R}$ ist. Allerdings haben wir auf dem Lösungsweg quadriert und somit eine Nicht-Äquivalenzumformung durchgeführt. Das bedeutet, dass wir mit Scheinlösungen rechnen müssen. Also müssten wir für alle gefundenen Lösungen eine Probe durchführen, um mögliche Scheinlösungen zu finden und aus der Lösungsmenge auszuschließen. Dummerweise ist das bei unendlichen vielen Lösungen nicht möglich. Somit wird es uns nicht gelingen, alle eventuell vorhandenen Scheinlösungen auszusortieren. Wir können die Lösungsmenge auf diesem Weg daher nicht bestimmen.

2. Aufgabe

1)
a)
$\begin{array}{rclll} f(0) &=& \sqrt{14\cdot 0+35} &=& \sqrt{35} \quad \rightarrow \quad P_1(0 \mid \sqrt{35}) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 0 &=& \sqrt{14x+35} &\vert & ()^2 \cr 0 &=& 14x+35 &\vert & -35 \cr -35 &=& 14x &\vert & :14 \cr -\dfrac{35}{14} &=& x \cr x &=& -\dfrac{5}{2} \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl} f\left(-\dfrac{5}{2}\right) &=& \sqrt{14 \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)+35} \cr &=& 0 \end{array}$

Ergebnis: Für $x = -\dfrac{5}{2}$ ergibt sich der richtige Funktionswert: $P_2\left( -\dfrac{5}{2} \mid 0\right)$ ist also tatsächlich ein Punkt des Graphen.

2)
a)
$\begin{array}{rclll} f(9) &=& -\sqrt{9^3+28}+7 &=& -\sqrt{757}+7 \quad \rightarrow \quad P_1(9 \mid -\sqrt{757}+7) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 8 &=& -\sqrt{x^3+28}+7 &\vert & -7 \cr 1 &=& -\sqrt{x^3+28} &\vert & ()^2 \cr 1 &=& x^3+28 &\vert & -28\cr -27 &=& x^3 &\vert & \sqrt[3]{ } \cr x &=& -3 \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(-3) &=& -\sqrt{(-3)^3+28}+7\\&=& -\sqrt{-27+28}+7\\&=& -\sqrt{1}+7 \\&=& 6 \\&\neq& 8\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x = -3$ ergibt sich eine falsche Aussage: $-3$ ist also nicht Lösung der Gleichung. Das bedeutet, dass die Funktion nirgends den Funktionswert $8$ annimmt.

3)
a)
$\begin{array}{rclll} f(1.321) &=& 5-\sqrt[3]{1.321+10} &=& -6 \quad \rightarrow \quad P_1(1.321 \mid -6) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 515 &=& 5-\sqrt[3]{x+10} &\vert & -5 \cr 510 &=& -\sqrt[3]{x+10} &\vert & \cdot (-1) \cr -510 &=& \sqrt[3]{x+10} &\vert & ()^3 \cr -132.651.000 &=& x+10 &\vert & -10 \cr x &=& -132.651.010 \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(-132.651.010) &=& 5-\sqrt[3]{-132.651.010+10}\\&=& 5-\sqrt[3]{-132.651.000}\\&=& 5-(-510)\\&=& 515\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x = -132.651.010$ ergibt sich der richtige Funktionswert: $P_2\left(-132.651.010 \mid 515 \right)$ ist also tatsächlich ein Punkt des Graphen. 

4)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-33) &=& \sqrt[4]{(-33)^2+4}-1 &=& \sqrt[4]{957}-1 \quad \rightarrow \quad P_1(-33 \mid \sqrt[4]{957}-1) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll}1 &=& \sqrt[4]{x^2+4x}-1 &\vert & +1\cr 2 &=& \sqrt[4]{x^2+4x} &\vert & ()^4\cr 16 &=& x^2+4x &\vert & -16 \cr 0 &=& x^2+4x-16 &\vert& \text{p-q-Formel}\cr x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{4+16}\cr\cr x_{1} &=&-2+\sqrt{20}\approx 2{,}47 \in\mathbb{D}\cr x_{2} &=&-2-\sqrt{20}\approx -6{,}47 \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl}f\left(-2+\sqrt{20}\right) &=& \sqrt[4]{\left(-2+\sqrt{20}\right)^2+4\left(-2+\sqrt{20}\right)}-1\\&=& \sqrt[4]{4+20-4\sqrt{20}-8+4\sqrt{20}}-1\\&=& \sqrt[4]{16}-1\\&=& 2-1\\&=& 1\\\end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl}f\left(-2-\sqrt{20}\right) &=& \sqrt[4]{\left(-2-\sqrt{20}\right)^2+4\left(-2-\sqrt{20}\right)}-1\\&=& \sqrt[4]{4+20+4\sqrt{20}-8-4\sqrt{20}}-1\\&=& \sqrt[4]{16}-1\\&=& 2-1\\&=& 1\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = -2+\sqrt{20}$ sowie $x_2 = -2-\sqrt{20}$ ergeben sich die richtigen Funktionswerte: $P_2\left(-2+\sqrt{20} \mid 1 \right)$ und $P_3\left(-2-\sqrt{20} \mid 1 \right)$ sind also tatsächlich Punkte des Graphen.

5)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(\dfrac{5}{2}\right) &=& \sqrt{4\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^2-2\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)}-4 &=& \sqrt{20}-4 \quad \rightarrow \quad P_1\left( \dfrac{5}{2} \mid \sqrt{20}-4\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll}-5 &=& \sqrt{4x^2-2x}-4 &\vert & +4\cr -1 &=& \sqrt{4x^2-2x}\end{array}$

Wer an dieser Stelle bemerkt, dass die Gleichung nicht lösbar ist (Da Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten ja immer nichtnegativ sind, kann $-1$ als Ergebnis nicht sein!), kann die Rechnung abbrechen. Alle anderen rechnen zwei Werte aus, die aber nur Scheinlösungen sind. Denken Sie also bei solchen Aufgaben unbedingt daran, die Probe zu machen!

6)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(1\right) &=& \dfrac{1}{32}\sqrt[3]{1^3-1} &=&0 \quad \rightarrow \quad P_1\left( 1 \mid 0\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll}\dfrac{5}{16} &=& \dfrac{1}{32}\sqrt[3]{x^3-1} &\vert & \cdot 32\cr 10 &=& \sqrt[3]{x^3-1} &\vert & ()^3\cr 1.000 &=& x^3-1 &\vert & +1\cr 1.001 &=& x^3 &\vert & \sqrt[3]{ }\cr x &=&\sqrt[3]{1.001}\approx 10{,}0033 \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f\left(\sqrt[3]{1.001}\right) &=& \dfrac{1}{32} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{1.001}\right)^3-1}\\\\&=& \dfrac{1}{32} \cdot \sqrt[3]{1.001-1}\\\\&=& \dfrac{1}{32} \cdot \sqrt[3]{1.000}\\\\&=& \dfrac{1}{32} \cdot 10\\\\&=& \dfrac{5}{16}\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x = \sqrt[3]{1.001}$ ergibt sich der richtige Funktionswert: $P_2\left(\sqrt[3]{1.001} \mid \dfrac{5}{16} \right)$ ist also tatsächlich ein Punkt des Graphen.

7)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(11\right) &=&\dfrac{\sqrt{2\cdot 11+14}}{6}-14 &=&-13 \quad \rightarrow \quad P_1\left( 11 \mid -13\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll}-1 &=& \dfrac{\sqrt{2x+14}}{6}-14 &\vert & +14\cr 13 &=& \dfrac{\sqrt{2x+14}}{6} &\vert & \cdot 6\cr 78 &=& \sqrt{2x+14} &\vert & ()^2\cr 6.084 &=& 2x+14 &\vert & -14\cr 6.070 &=& 2x &\vert & :2\cr x &=& 3.035 \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(3.035) &=& \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3.035+14}}{6}-14\\\\&=& \dfrac{\sqrt{6.084}}{6}-14\\\\&=& \dfrac{78}{6}-14\\&=& 13-14\\&=&-1\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x = 3.035$ ergibt sich der richtige Funktionswert: $P_2\left(3.035 \mid -1 \right)$ ist also tatsächlich ein Punkt des Graphen.

8)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-2) &=& -\sqrt[4]{16-(-2)^4}+17 &=& 17 \quad \rightarrow \quad P_1(-2 \mid 17)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 25 &=& -\sqrt[4]{16-x^4}+17 &\vert & -17 \cr 8 &=& -\sqrt[4]{16-x^4} &\vert & ()^4 \cr 4096 &=& 16-x^4 &\vert & +x^4 -4.096 \cr x^4 &=& -4.080 &\vert & \pm\sqrt[4]{} \cr x &=& \pm\sqrt[4]{-4.080} \end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung. Das bedeutet, dass die Funktion nirgends den Funktionswert $25$ annimmt.

9)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-11) &=& \dfrac{\sqrt{(-11)^2-9}}{4}-3 &=& \sqrt{7}-3 \quad \rightarrow \quad P_1(-11 \mid \sqrt{7}-3) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} 27 &=& \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{4}-3 &\vert& +3 \cr 30 &=& \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{4} &\vert& \cdot 4 \cr 120 &=& \sqrt{x^2-9} &\vert& ()^2 \cr 14.400 &=& x^2-9 &\vert& +9 \cr 14.409 &=& x^2 &\vert &\pm\sqrt{} \cr\cr x_1 &=& \sqrt{14.409}\approx 120{,}04 \in\mathbb{D}\cr x_2 &=& -\sqrt{14.409}\approx -120{,}04\in\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl}f\left(\sqrt{14.409}\right) &=& \dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{14.409}\right)^2-9}}{4}-3\\\\&=& \dfrac{\sqrt{14.409-9}}{4}-3\\\\&=& \dfrac{\sqrt{14.400}}{4}-3\\\\&=& \dfrac{120}{4}-3\\\\&=& 30-3\\&=& 27\\\end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl}f\left(\sqrt{-14.409}\right) &=& \dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{-14.409}\right)^2-9}}{4}-3\\\\&=& \dfrac{\sqrt{14.409-9}}{4}-3\\\\&=& \dfrac{\sqrt{14.400}}{4}-3\\\\&=& \dfrac{120}{4}-3\\\\&=& 30-3\\&=& 27\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x_1 = -\sqrt{14.409}$ sowie  $x_2 = \sqrt{14.409}$ ergeben sich die richtigen Funktionswerte: $P_2\left(-\sqrt{14.409} \mid 27\right)$ und $P_3\left(\sqrt{14.409} \mid 27\right)$ sind also tatsächlich Punkte des Graphen.

10)
a)
$\begin{array}{rclll} f(32) &=& \sqrt[5]{32}-10 &=& -8 \quad \rightarrow \quad P_1(32 \mid -8)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclll} -7 &=& \sqrt[5]{x}-10 &\vert& +10 \cr 3 &=& \sqrt[5]{x} &\vert& ()^5 \cr x &=& 243 \in\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(243) &=& \sqrt[5]{243}-10\\&=& 3-10\\&=& -7\\\end{array}$

Ergebnis: Für $x = 243$ ergibt sich der richtige Funktionswert: $P_2\left(243 \mid -7\right)$ ist also tatsächlich ein Punkt des Graphen.

3. Aufgabe

1)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} 2x-15 & \geq & 0 &\vert& :2 \\x-\dfrac{15}{2} &\geq & 0 &\vert& +\dfrac{15}{2} \\x &\geq& \dfrac{15}{2} \\\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[\dfrac{15}{2};\infty \right[$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll}0 &=& 20\sqrt{2x-15}-15 &\vert& +15 \\15 &=& 20\sqrt{2x-15} &\vert& :20 \\\dfrac{3}{4} &=& \sqrt{2x-15} &\vert& ()^2 \\\\\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 &=& 2x-15 &\vert& +15 \\\\\dfrac{249}{16} &=& 2x &\vert & :2 \\\\x &=& \dfrac{249}{32}\approx 7{,}78\;\in\;\mathbb{D}\\\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcll}f\left(\dfrac{249}{32}\right) &=& 20\sqrt{2\cdot\dfrac{249}{32}-15}-15 \\\\&=& 20\sqrt{\dfrac{9}{16}}-15 \\&=& 20\cdot\dfrac{3}{4}-15 \\&=& 0 \\\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=\dfrac{249}{32}$.

2)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} 100-x^2 & \geq & 0 & \vert & +x^2\\ 100 & \geq & x^2 & \vert & \pm\sqrt{} \\ 10 &\geq& \vert x\vert \end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[-10;10 \right]$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl} 0 &=& \sqrt{100-x^2} &\vert& ()^2 \cr 0 &=& 100-x^2 &\vert& +x^2 \cr x^2 &=& 100 &\vert& \pm\sqrt{} \cr x_{1,2} &=& \pm \sqrt{100} \cr\cr x_1 &=& 10\;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& -10\;\in\;\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rclll} g(10) &=& \sqrt{100-(10)^2} \cr &=& 0 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rclll} g(-10) &=& \sqrt{100-(-10)^2} \cr &=& 0 \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $g(x)$ liegen also bei $x_1=10$ und $x_2=-10$.

3)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll}0 &=& 2\sqrt[3]{t^2-8}-1 &\vert& +1 \\1 &=& 2\sqrt[3]{t^2-8} &\vert& :2 \\ \\\dfrac{1}{2} &=& \sqrt[3]{t^2-8} &\vert& ()^3 \\ \\\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 &=& t^2-8 \\ \\\dfrac{1}{8} &=& t^2-8 &\vert& +8 \\ \\\dfrac{65}{8} &=& t^2 &\vert& \pm\sqrt{} \\ \\t_{1,2} &=& \pm\sqrt{\dfrac{65}{8}} \\ \\t_1 &=& \sqrt{\dfrac{65}{8}} \approx 2{,}85 \;\in\;\mathbb{D} \\ \\t_2 &=& -\sqrt{\dfrac{65}{8}} \approx -2{,}85 \;\in\;\mathbb{D} \\\end{array}$

Probe:
Für $t_1$:
$\begin{array}{rcllll}f\left(\sqrt{\dfrac{65}{8}}\right) &=& 2\sqrt[3]{\left(\sqrt{\dfrac{65}{8}}\right)^2-8}-1 \\ \\&=& 2\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}-1 \\&=& 2\cdot\dfrac{1}{2}-1 \\&=& 0 \end{array}$

Für $t_2$:
$\begin{array}{rcllll}f\left(-\sqrt{\dfrac{65}{8}}\right) &=& 2\sqrt[3]{\left(-\sqrt{\dfrac{65}{8}}\right)^2-8}-1 \\ \\&=& 2\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}-1 \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(t)$ liegen also bei $t_1=\sqrt{\dfrac{65}{8}}$ und bei $t_2=-\sqrt{\dfrac{65}{8}}$.

4)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & x^3-x^2 & \geq & 0 \\& x^2(x-1) & \geq & 0\end{array}$

Das Produkt zweier Faktoren ist genau dann nichtnegativ, wenn entweder mindestens ein Faktor $0$ ist oder beide Faktoren das gleiche Vorzeichen besitzen. Der erste Faktor ist ein Quadrat, das immer nichtnegativ ist. Für $x=0$ wird das Quadrat $0$, sodass dieser Wert auf jeden Fall Teil des Definitionsbereichs ist.
Nun stellt sich die Frage, wann der zweite Faktor ebenfalls positiv oder $0$ wird. Dazu lösen wir folgende Ungleichung:
$\begin{array}{rclll}x-1 &\geq & 0 &\vert & +1\\x &\geq & 1\end{array}$

Das bedeutet, dass im Intervall $[1;\infty [$ beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben bzw. der zweite Faktor $0$ ist.

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $x=0$ oder für $x\geq 1$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x=0 \text{ oder } x \geq 1\right\}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{crclcl}& 0 &=& \sqrt{x^3-x^2} &\vert& ()^2 \\& 0 &=& x^3-x^2 \\& 0 &=& x^2\cdot(x-1) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \\\\\text{Faktor 1:} & 0 &=& x^2 &\vert& \pm\sqrt{} \\& x_1 &=& 0\;\in\;\mathbb{D} \\ \\\text{Faktor 2:} & 0 &=& x-1 &\vert &+1 \\& x_2 &=& 1\;\in\;\mathbb{D} \\\end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcll}f(0) &=& \sqrt{0^3-0^2}\\&=& \sqrt{0}\\&=& 0 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcll}f(1) &=& \sqrt{1^3-1^2}\\&=& \sqrt{0}\\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen also bei $x_1=0$ und bei $x_2=1$.

5)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x+7 &\geq& 0 &\vert& -7\\x &\geq& -7\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[-7;\infty \right[$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll}0 &=& \dfrac{\sqrt{x+7}}{2}+77 &\vert& -\dfrac{\sqrt{x+7}}{2} \\-\dfrac{\sqrt{x+7}}{2} &=& 77 &\vert& \cdot (-2) \\\sqrt{x+7} &=& -154 &\vert& ()^2 \\x+7 &=& 23.716 &\vert& -7 \\x &=& 23.709\;\in\;\mathbb{D} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcll}f(23.709) &=& \dfrac{\sqrt{23.709+7}}{2}+77 \\&=& \dfrac{\sqrt{23.716}}{2}+77 \\&=& \dfrac{154}{2}+77 \\&=& 154 \\&\neq& 0\end{array}$

Ergebnis: Es ergibt sich ein falscher Funktionswert. Die Funktion $f(x)$ hat also keine Nullstellen.

Bemerkung: Wer in der Zeile $\sqrt{x+7} = -154$ genau hinschaut, merkt schon dort, dass wir keine Nullstellen erhalten: Auf der linken Seite steht ja eine Wurzel, die immer nichtnegativ ist und damit niemals $-154$ werden kann.

6)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\dfrac{x^4}{2} \geq 0$

Da eine Potenz mit geradem Exponenten immer nichtnegativ ist, ist der Radikand als Quotient aus einer solcher Potenz und der Zahl $2$ ebenfalls immer nichtnegativ. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{crclcl}& 0 &=& \sqrt{\dfrac{x^4}{2}}-x &\vert& +x \\ \\& x &=& \sqrt{\dfrac{x^4}{2}} &\vert& ()^2 \\ \\& x^2 &=& \dfrac{x^4}{2} &\vert &\cdot 2 \\ \\& 2x^2 &=& x^4 &\vert& -2x^2 \\& 0 &=& x^4-2x^2 \\& 0 &=& x^2\cdot(x^2-2) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \\\\\text{Faktor 1:} & 0 &=& x^2 &\vert &\pm\sqrt{} \\& x_1 &=& 0\;\in\;\mathbb{D} \\ \\\text{Faktor 2:} & 0 &=& x^2-2 &\vert& +2 \\& 2 &=& x^2 &\vert &\pm\sqrt{} \\ \\& x_2 &=& \sqrt{2}\;\in\;\mathbb{D} \\& x_3 &=& -\sqrt{2}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcll}r(0) &=& \sqrt{\dfrac{0^4}{2}}-0 \\&=& 0 \end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcll}r\left(\sqrt{2}\right) &=& \sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^4}{2}}-\sqrt{2} \\&=& \sqrt{\dfrac{4}{2}}-\sqrt{2} \\&=& \sqrt{2}-\sqrt{2} \\&=& 0 \end{array}$

Für $x_3$:
$\begin{array}{rcll}r\left(-\sqrt{2}\right) &=& \sqrt{\dfrac{\left(-\sqrt{2}\right)^4}{2}}-\left(-\sqrt{2}\right) \\&=& \sqrt{2}+\sqrt{2} \\&=& 2\sqrt{2} \\&\neq& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $r(x)$ liegen also bei $x_1=0$ und bei $x_2=\sqrt{2}$.

7)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}x^3 &>& 0 &\vert & \sqrt[3]{}\\x &>& 0\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$.

Bemerkung: Da $x^3$ nicht nur unter der Quadratwurzel steht, sondern die Wurzel auch im Nenner zu finden ist, muss bei dieser Aufgabe zum einen - wie üblich bei Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten - ausgeschlossen werden, dass der Radikand negativ wird. Zum anderen darf der Radikand auch nicht $0$ werden, da ansonsten der Nenner $0$ wird. Deswegen wurde die Ungleichung nicht mit "größer gleich" sondern mit "echt größer" formuliert.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll}0 &=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}}-\sqrt[3]{x^2} &\vert& +\sqrt[3]{x^2} \\ \\\sqrt[3]{x^2} &=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}} \\ \\x^{\frac{2}{3}} &=& \dfrac{1}{x^{\frac{3}{4}}} &\vert& \cdot x^{\frac{3}{4}} \\x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{3}{4}} &=& 1 \\x^{\frac{17}{12}} &=& 1 &\vert& ()^{\frac{12}{17}} \\x &=& 1\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcll}f(1) &=& \dfrac{1}{\sqrt[4]{1^3}}-\sqrt[3]{1^2} \\ \\&=& \dfrac{1}{1}-1 \\ \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=1$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $x^{\frac{3}{4}}$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

8)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^3+3 &\geq& 0 &\vert& -3 \\x^3 &\geq& -3 &\vert& \sqrt[3]{} \\x &\geq& \sqrt[3]{-3}\\x &\geq& -\sqrt[3]{\vert -3\vert}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[-\sqrt[3]{3};\infty \right[$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll}0 &=& 3-\sqrt{x^3+3} &\vert& +\sqrt{x^3+3} \\\sqrt{x^3+3} &=& 3 &\vert& ()^2 \\x^3+3 &=& 9 &\vert& -3 \\x^3 &=& 6 &\vert& \sqrt[3]{} \\x &=& \sqrt[3]{6}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcll}f(\sqrt[3]{6}) &=& 3-\sqrt{\sqrt[3]{6}^3+3} \\&=& 3-\sqrt{9} \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=\sqrt[3]{6}$.

9)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll} 0 &=& \sqrt[3]{x^2-9}+4 &\vert& -4 \\ -4 &=& \sqrt[3]{x^2-9} &\vert& ()^3 \\ -64 &=& x^2-9 &\vert& +9 \\ -55 &=& x^2 &\vert& \pm\sqrt{} \\ \pm\sqrt{-55} &=& x \\ \end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Funktion keine Nullstellen.

10)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x+15 &\geq& 0 &\vert& -15\\x &\geq& -15\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \left[-15;\infty \right[$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcll}0 &=& -2\sqrt{x+15}+7 &\vert& +2\sqrt{x+15} \\2\sqrt{x+15} &=& 7 &\vert& :2 \\ \\\sqrt{x+15} &=& \dfrac{7}{2} &\vert& ()^2 \\ \\x+15 &=& \dfrac{49}{4} &\vert& -15 \\ \\x &=& -\dfrac{11}{4}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcll}f\left(-\dfrac{11}{4}\right) &=& -2\cdot\sqrt{-\dfrac{11}{4}+15}+7 \\ \\&=& -2\cdot\sqrt{\dfrac{49}{4}}+7 \\ \\&=& -2\cdot\dfrac{7}{2}+7 \\ \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=-\dfrac{11}{4}$.

11)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} 17+x &>& 0 &\vert& -17 \\x &>& -17\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D}=\left]-17;\infty \right[$.

Bemerkung: Da $17+x$ nicht nur unter der Quadratwurzel steht, sondern die Wurzel auch im Nenner zu finden ist, muss bei dieser Aufgabe zum einen - wie üblich bei Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten - ausgeschlossen werden, dass der Radikand negativ wird. Zum anderen darf der Radikand auch nicht $0$ werden, da ansonsten der Nenner $0$ wird. Deswegen wurde die Ungleichung nicht mit "größer gleich" sondern mit "echt größer" formuliert.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}0 &=& \dfrac{\sqrt[3]{\left(x^2+8x+16\right)^3}}{\sqrt{17+x}} \\\\0 &=& \dfrac{x^2+8x+16}{\sqrt{17+x}} \\\\0 &=& \dfrac{\left(x+4\right)^2}{\sqrt{17+x}} &\vert& \cdot \sqrt{17+x} \\\\0 &=& \left(x+4\right)^2 &\vert& \pm\sqrt{} \\ 0 &=& x+4 &\vert& -4 \\ x &=& -4 \in \mathbb{D} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(-4) &=& \dfrac{\sqrt[3]{\left((-4)^2+8\cdot(-4)+16\right)^3}}{\sqrt{17-4}} \\\\&=& \dfrac{\sqrt[3]{\left(16-32+16\right)^3}}{\sqrt{13}} \\\\&=& \dfrac{\sqrt[3]{0^3}}{\sqrt{13}}\\\\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=-4$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\sqrt{17+x}$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-17 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

12)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. Radikand links:
$\begin{array}{rclll} 4x+8 &\geq& 0 &\vert& -8 \\4x &\geq& -8 &\vert& :4 \\x &\geq& -2 \end{array}$

2. Radikand links:
$\begin{array}{rclll}12x-24 &\geq& 0 &\vert& +24 \\12x &\geq& 24 &\vert& :12 \\x &\geq& 2 \\\end{array}$

Für die abschließende Ermittlung des Definitionsbereichs muss nun überprüft werden, für welche x-Werte alle ermittelten Bedingungen erfüllt sind. Das ist nur der Fall für $x\geq 2$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D}=\left[2;\infty \right[$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}\sqrt{4x+8}+\sqrt{12x-24} &=& 0 &\vert& -\sqrt{12x-24} \\\sqrt{4x+8} &=& -\sqrt{12x-24} &\vert& ()^2 \\4x+8 &=& 12x-24 &\vert& -8 -12x \\-8x &=& -32 &\vert& :(-8) \\x &=& 4 \in \mathbb{D} \\\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(4) &=& \sqrt{4\cdot 4+8}+\sqrt{12\cdot 4-24} \\&=& \sqrt{24}+\sqrt{24} \\&\neq& 0\end{array}$

Ergebnis: Es ergibt sich ein falscher Funktionswert. Die Funktion $f(x)$ hat also keine Nullstellen.

13)
Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{lrclcl}& 0 &=& -34x\cdot\sqrt[5]{\dfrac{11x}{32}}+51x \\& 0 &=& x\cdot\left(-34\cdot\sqrt[5]{\dfrac{11x}{32}}+51\right) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \\\\\text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \in \mathbb{D}\\\\\\\text{Faktor 2:} & 0 &=& -34\cdot\sqrt[5]{\dfrac{11x}{32}}+51 &\vert& -51 \\\\& -51 &=& -34\cdot\sqrt[5]{\dfrac{11x}{32}} &\vert& :(-34) \\\\& \dfrac{3}{2} &=& \sqrt[5]{\dfrac{11x}{32}} &\vert& ()^5 \\\\& \dfrac{243}{32} &=& \dfrac{11x}{32} &\vert& :\dfrac{11}{32} \\\\& x_2 &=& \dfrac{243}{11} \in \mathbb{D}\end{array}$

Probe:
Für $x_1$:
$\begin{array}{rcl}f(0) &=& -34\cdot 0 \cdot\sqrt[5]{\dfrac{11\cdot 0}{32}}+51\cdot 0 \\&=& 0 \cdot\sqrt[5]{0}+0 \\&=& 0 \\\end{array}$

Für $x_2$:
$\begin{array}{rcl}f\left(\dfrac{243}{11}\right)&=& -34\cdot\dfrac{243}{11}\cdot\sqrt[5]{\genfrac{}{}{1pt}{0}{11\cdot\frac{243}{11}}{32}}+51\cdot\dfrac{243}{11}\\\\&=& -\dfrac{8.262}{11}\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{12.393}{11}\\\\&=& -\dfrac{12.393}{11}+\dfrac{12.393}{11} \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen also bei $x_1=0$ und $x_2=\dfrac{243}{11}$.

14)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}0 &=& \sqrt[3]{x^3-37\cdot10^3}+40 &\vert& -40 \\-40 &=& \sqrt[3]{x^3-37.000} &\vert& ()^3 \\ -64.000 &=& x^3-37.000 &\vert& +37.000 \\-27.000 &=& x^3 &\vert& \sqrt[3]{} \\-30 &=& x \in \mathbb{D} \\ \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(-30) &=& \sqrt[3]{(-30)^3-37\cdot10^3}+40 \\&=& \sqrt[3]{-64.000}+40 \\&=& -40+40 \\&=& 0 \\\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=-30$.

15)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
innere Radikand:
$\begin{array}{rclcl}49^{\frac{1}{2}}\cdot x &\geq & 0 &\vert & :49^{\frac{1}{2}} \\x &\geq & 0\end{array}$

äußerer Radikand:
Der Radikand der äußeren Quadratwurzel $\sqrt[2]{49^{\frac{1}{2}}\cdot x}\cdot 19$ muss nicht geprüft werden, da das Produkt zwingend nichtnegativ sein muss. Es wird ja der nichtnegative Wert der inneren Quadratwurzel mit einer positiven Zahl multipliziert.

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+_0$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}0 &=& \sqrt[2]{\sqrt[2]{49^{\frac{1}{2}}\cdot x}\cdot 19}\\0 &=& \sqrt[4]{7x}\cdot\sqrt{19} &\vert& :\sqrt{19}\\0 &=& \sqrt[4]{7x} &\vert& ()^4\\ 0 &=& 7x &\vert& :7\\0 &=& x \in \mathbb{D} \end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f(0) &=& \sqrt[2]{\sqrt[2]{49^{\frac{1}{2}}\cdot 0}\cdot 19}\\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=0$.

16)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}-63x+9x^2 &\geq& 0 &\vert& :9 \\-7x+x^2 &\geq& 0 &\vert& +7x \\x^2 &\geq& 7x\end{array}$

Hier ist eine Fallunterscheidung nötig, da wir durch die Variable dividieren.

Fall 1: Wir nehmen an, dass $x>0$ ist.
$\begin{array}{rcllll}x^2&\geq& 7x &\vert& :x \\x &\geq& 7\end{array}$

Im Abgleich zwischen Eintrittsbedingung und Lösung des 1. Falls ergibt sich folgendes Zwischenergebnis: $x \geq 7$

Fall 2: Wir nehmen an, dass $x < 0$ ist.
$\begin{array}{rcllll}x^2&\geq& 7x &\vert& :x \\x &\leq& 7\end{array}$

Im Abgleich zwischen Eintrittsbedingung und Lösung des 2. Falls ergibt sich folgendes Zwischenergebnis: $x < 0$

Fall 3: Wir nehmen an, dass $x=0$ ist.
$\begin{array}{rcllll}x^2&\geq& 7x &\vert& \text{0 einsetzen} \\0 &\geq& 0\end{array}$

Im Abgleich zwischen Eintrittsbedingung und Lösung des 3. Falls ergibt sich folgendes Zwischenergebnis: $x=0$

Die Fallunterscheidung liefert uns $x \leq 0$ oder $x \geq 7$. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D}=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq 0 \text{ oder } x \geq 7 \right\}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{lrclcl}&0 &=& \dfrac{7}{8} \sqrt{-63x+9x^2} &\vert& : \dfrac{7}{8}\\&0 &=& \sqrt{-63x+9x^2} &\vert& ()^2\\&0 &=& -63x+9x^2 \\&0 &=& x \cdot (63+9x) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt}\\\\\text{Faktor 1: } & x_1 &=& 0 \in \mathbb{D}\\\\\text{Faktor 2: } & -63+9x &=& 0 &\vert& +63\\& 9x &=& 63 &\vert& :9\\& x_2 &=& 7 \in \mathbb{D}\\\end{array}$

Probe:
Für$x_1$:
$\begin{array}{rcl}f(0) &=& \dfrac{7}{8} \sqrt{-63\cdot 0+9\cdot 0^2} \\\\&=& \dfrac{7}{8} \sqrt{-63\cdot 0+9\cdot 0^2} \\\\&=& \dfrac{7}{8} \sqrt{0} \\\\&=& 0\end{array}$

Für$x_2$:
$\begin{array}{rcl}f(7) &=& \dfrac{7}{8} \sqrt{-63\cdot 7+9\cdot 7^2} \\\\&=& \dfrac{7}{8} \sqrt{-441+441} \\\\&=& \dfrac{7}{8} \sqrt{0} \\\\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen also bei $x_1=0$ und $x_2=7$.

17)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. Radikand rechts:
$104x^2+36 \geq 0$
Da ein Quadrat im Bereich der reellen Zahlen immer nichtnegativ ist, ist der Radikand als Summe aus einem Quadrat mit positivem Koeffizienten und der Zahl $36$ immer positiv. Somit folgt hieraus keine Einschränkung für den Definitionsbereich.

2. Radikand rechts:
$224x^2+11 \geq 0$
Für den zweiten Radikanden gilt die gleiche Argumentation wie für den ersten.

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}0 &=& \sqrt{104x^2+36}-\sqrt{225x^2+11} &\vert& +\sqrt{225x^2+11}\\\sqrt{225x^2+11} &=& \sqrt{104x^2+36} &\vert& ()^2\\225x^2+11 &=& 104x^2+36 &\vert& -11 -104x^2\\121x^2 &=& 25 &\vert& :121\\\\x^2 &=& \dfrac{25}{121} &\vert& \pm\sqrt{}\\\\x_{1} &=& \dfrac{5}{11} \in \mathbb{D} \\x_{2} &=& -\dfrac{5}{11} \in \mathbb{D}\end{array}$

Probe:
Für $x_{1}$:
$\begin{array}{rcl}f\left(\dfrac{5}{11}\right) &=& \sqrt{104\cdot\left(\dfrac{5}{11}\right)^2+36}-\sqrt{225\cdot\left(\dfrac{5}{11}\right)^2+11}\\&=& \sqrt{\dfrac{6.956}{121}}-\sqrt{\dfrac{6.956}{121}}\\&=& 0\end{array}$

Für $x_{2}$:
$\begin{array}{rcl}f\left(-\dfrac{5}{11}\right) &=& \sqrt{104\cdot\left(-\dfrac{5}{11}\right)^2+36}-\sqrt{225\cdot\left(-\dfrac{5}{11}\right)^2+11}\\&=& \sqrt{\dfrac{6.956}{121}}-\sqrt{\dfrac{6.956}{121}}\\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen also bei $x_{1}=\dfrac{5}{11}$ und $x_{2}=-\dfrac{5}{11}$.

18)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclcl}15x^3 &\geq& 0 &\vert& :15 \\x^3 &\geq& 0 &\vert& \sqrt[3]{} \\x &\geq& 0 \end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}0 &=& \dfrac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}\right)^3 &\vert& +\left(\sqrt{5}\right)^3 \\\\\left(\sqrt{5}\right)^3 &=& \dfrac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5}} &\vert& \cdot\sqrt{5} \\\\\left(\sqrt{5}\right)^4 &=& \sqrt{15x^3} \\\\25 &=& \sqrt{15x^3} &\vert& ()^2 \\\\625 &=& 15x^3 &\vert& :15 \\\\\dfrac{125}{3} &=& x^3 &\vert& \sqrt[3]{} \\\\\sqrt[3]{\dfrac{125}{3}} &=& x \in \mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f\left(\sqrt[3]{\dfrac{125}{3}}\right) &=& \genfrac{}{}{1pt}{0}{\sqrt{15\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{125}{3}}\right)^3}}{\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}\right)^3\\\\&=& \genfrac{}{}{1pt}{0}{\sqrt{15\cdot\frac{125}{3}}}{\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}\right)^3 \\\\&=& \dfrac{\sqrt{625}}{\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}\right)^3 \\\\&=& \dfrac{\sqrt{5^4}}{\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}\right)^3 \\\\&=& \sqrt{5^3}-\left(\sqrt{5}\right)^3 \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=\sqrt[3]{\dfrac{125}{3}}$.

19)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclcl}8x &>& 0 &\vert & :8 \\x &>& 0\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$.

Bemerkung: Da $8x$ nicht nur unter der Quadratwurzel steht, sondern die Wurzel auch im Nenner zu finden ist, muss bei dieser Aufgabe zum einen - wie üblich bei Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten - ausgeschlossen werden, dass der Radikand negativ wird. Zum anderen darf der Radikand auch nicht $0$ werden, da ansonsten der Nenner $0$ wird. Deswegen wurde die Ungleichung nicht mit "größer gleich" sondern mit "echt größer" formuliert.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclcl}0 &=& \dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{8x}}-128 &\vert& +128 \\\\128 &=& \dfrac{8}{\sqrt{8x}} &\vert& : 8 \\\\16 &=& \dfrac{1}{\sqrt{8x}} &\vert& \text{Kehrwert} \\\\\dfrac{1}{16} &=& \sqrt{8x} &\vert& ()^2 \\\\\dfrac{1}{256} &=& 8x &\vert& :8 \\\\\dfrac{1}{2.048} &=& x \in \mathbb{D}\end{array}$

Probe:
$\begin{array}{rcl}f\left(\dfrac{1}{2.048}\right) &=& \genfrac{}{}{1pt}{0}{\sqrt{64}}{\sqrt{8\cdot\frac{1}{2.048}}}-128\\\\&=& \dfrac{8}{\frac{1}{16}}-128\\\\&=& 128-128\\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt also bei $x=\dfrac{1}{2.048}$.

20)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{lrclcl}& 0 &=& \dfrac{x}{\sqrt{3}}+\sqrt[3]{3x^2}\cdot \sqrt[3]{3^2} &\vert& -\dfrac{x}{\sqrt{3}} \\\\& -\dfrac{x}{\sqrt{3}} &=& \sqrt[3]{3x^2\cdot3^2} \\\\& -\dfrac{x}{\sqrt{3}} &=& \sqrt[3]{27x^2} &\vert& ()^3 \\\\& -\dfrac{x^3}{\left(\sqrt{3}\right)^3} &=& 27x^2 &\vert& +\dfrac{x^3}{\left(\sqrt{3}\right)^3} \\\\& 0 &=& 27x^2+\dfrac{x^3}{\left(\sqrt{3}\right)^3} \\\\& 0 &=& x^2\cdot\left(27+\dfrac{x}{\left(\sqrt{3}\right)^3}\right) &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \\\\\text{Faktor 1:} & x^2 &=& 0 &\vert& \pm\sqrt{} \\\\& x_1 &=& 0 \in \mathbb{D} \\\\\\\text{Faktor 2:} & 0 &=& 27+\dfrac{x}{\left(\sqrt{3}\right)^3} &\vert& -\dfrac{x}{\left(\sqrt{3}\right)^3} \\\\& -\dfrac{x}{\left(\sqrt{3}\right)^3} &=& 3^3 &\vert& \cdot \left(-\left(\sqrt{3}\right)^3\right) \\\\& x &=& 3^3\cdot\left(-\left(\sqrt{3}\right)^3\right) \\& x &=& -(\sqrt{3})^{2 \cdot 3}\cdot (\sqrt{3})^3 \\& x &=& -(\sqrt{3})^9 \\\\& x_2 &=& -\sqrt{3^9} \approx -140{,}30 \in \mathbb{D}\end{array}$

Probe:
Für $x_1$
$\begin{array}{rcl}f(0) &=& \dfrac{0}{\sqrt{3}}+\sqrt[3]{3\cdot0^2}\cdot \sqrt[3]{3^2} \\&=& 0+0 \\&=& 0\end{array}$

Für $x_2$
$\begin{array}{rcl}f\left(-\sqrt{3^9}\right) &=& \dfrac{-\sqrt{3^9}}{\sqrt{3}}+\sqrt[3]{3\cdot\left(-\left(\sqrt{3^9}\right)\right)^2}\cdot \sqrt[3]{3^2} \\&=& -81+81 \\&=& 0\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen also bei $x_1=0$ und$x_2=-\sqrt{3^9}$ .