Übersicht:

• Lösung zur 1. Aufgabe
• Lösung zur 2. Aufgabe
• Lösung zur 3. Aufgabe

14.3 Bruchgleichungen und gebrochen rationale Funktionen - Lösungen

Eine Bemerkung zur Bestimmung des Definitionsbereichs: Auch bei unkomplizierten Brüchen wie $\dfrac{1}{x}$ (Aufgabe 1.4) oder $-\dfrac{2(y-2)^2}{y}$ (Aufgabe 1.12) muss im Definitionsbereich berücksichtigt werden, dass der Nenner nicht $0$ werden darf. Möglich sind in diesem Fall alle reellen Zahlen außer der $0$, also ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$. Da der Nenner hier so einfach ist, wurde dafür in den folgenden Aufgaben keine Rechnung aufgeschrieben.

1. Aufgabe

1)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x-3 &\neq& 0 &\vert& +3 \\x &\neq& 3\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{3\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{x^2+2x-30}{x-3} &=& 2 & \vert & \cdot(x-3) \cr x^2+2x-30 &=& 2(x-3) \cr x^2+2x-30 &=& 2x-6 & \vert & -2x+30 \cr x^2 &=& 24 & \vert & \pm\sqrt{} \cr\cr x_1 &=& \sqrt{24} \;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& -\sqrt{24} \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr\mathbb{L} &=& \left\{-\sqrt{24};\sqrt{24}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(x-3)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=3 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

2)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
linker Nenner:
$\begin{array}{rclll}8-x^2 &\neq & 0 & \vert & +x^2 \\x^2 &\neq & 8 & \vert &\pm\sqrt{} \\x &\neq & \pm\sqrt{8}\\\\\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}x^2-8 &\neq & 0 & \vert & +8 \\x^2 &\neq & 8 & \vert &\pm\sqrt{} \\x &\neq & \pm\sqrt{8}\\\\\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-\sqrt{8};\;\sqrt{8}\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{x}{8-x^2} &=& -\dfrac{1}{x^2-8} &\vert & \cdot \left(8-x^2\right) \cr x &=& -\dfrac{-(-8+x^2)}{x^2-8} \cr x &=& \dfrac{x^2-8}{x^2-8} \cr x &=&1 \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr\mathbb{L} &=& \left\{1\right\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(8-x^2\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-\sqrt{8} \not\in \mathbb{D}$ und $x=\sqrt{8} \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

3)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} t+2 &\neq & 0 &\vert &-2\\t &\neq & -2\\\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-2\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll} \mathbb{D} &=& \mathbb{R}\setminus_{\left\{-2\right\}} \cr\cr \dfrac{t^2+16t-4}{t+2}-10 &=& t &\vert & \cdot(t+2) \cr t^2+16t-4-10(t+2) &=& t(t+2) \cr t^2+16t-4-10t-20 &=& t^2+2t \cr t^2+6t-24 &=& t^2+2t &\vert & -t^2-2t+24 \cr 4t &=& 24 &\vert & :4 \cr t &=& 6 \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L} &=& \left\{6\right\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(t+2)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $t=-2 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

4)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x+21}{2}-4+\dfrac{1}{x} &=& 7 &\vert & -7 \cr\cr\dfrac{x}{2}+\dfrac{21}{2}-11+\dfrac{1}{x} &=& 0 &\vert & \cdot x \cr\cr\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+1 &=& 0 &\vert& \cdot 2 \cr x^2-x+2 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-2} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{7}{4}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $x$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

5)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & x^3-7x &\neq & 0 \\& x\left(x^2-7\right) & \neq & 0\\\text{Faktor 1:} & x &\neq & 0\\\\\text{Faktor 2:} & x^2-7 & \neq & 0 &\vert & +7\\& x^2 &\neq & 7 &\vert &\pm\sqrt{}\\& x &\neq & \pm\sqrt{7}\\\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-\sqrt{7};\;0;\;\sqrt{7}\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{21}{x^3-7x}-4x &=& \dfrac{6}{x^3-7x} &\vert & \cdot \left(x^3-7x\right) \cr 21-4x(x^3-7x) &=& 6 &\vert & -6 \cr -4x^4+28x^2+15 &=& 0 \cr -4\left(x^2\right)^2+28x^2+15 &=& 0 \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^3-7x\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-\sqrt{7} \not\in \mathbb{D}$, $x=0 \not\in\mathbb{D}$ und $x=\sqrt{7} \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

Substitution: $z=x^2$
$\begin{array}{rclcl} -4z^2+28z+15 &=& 0 &\vert & :(-4) \cr z^2-7z-\dfrac{15}{4} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel} \cr z_{1,2} &=& \dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}} \cr z_{1,2} &=& \dfrac{7}{2}\pm\sqrt{16} \cr\cr z_1 &=& \dfrac{7}{2}+4 = \dfrac{15}{2} \cr\cr z_2 &=& \dfrac{7}{2}- 4 = -\dfrac{1}{2} \end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclcl} z_1 = x^2 &=& \dfrac{15}{2} &\vert & \pm\sqrt{} \cr x_{1,2} &=& \pm\sqrt{\dfrac{15}{2}} \approx\pm 2{,}74\;\in\;\mathbb{D} \cr\cr z_2 = x^2 &=& -\dfrac{1}{2} &\vert & \pm\sqrt{} \cr x_{3,4} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{1}{2}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, liefert die Rücksubstitution von $z_2$ keine weiteren Lösungen: $\mathbb{L} = \left\{-\sqrt{\dfrac{15}{2}};\sqrt{\dfrac{15}{2}}\right\}$

Bemerkung: Am Anfang der Rechnung beim Multiplizieren mit dem Nenner die Klammern nicht vergessen! Hier treffen ja Punkt- und Strichrechnung aufeinander ...

6)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
linker Nenner:
$\begin{array}{rclll}x^2-81 &\neq & 0 &\vert & +81\\x^2 &\neq & 81 &\vert & \pm\sqrt{}\\x &\neq & \pm 9\\\\\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}x-9 &\neq & 0 &\vert & +9\\x &\neq & 9\\\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-9;\;9\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{1}{x^2-81} &=& \dfrac{x}{x-9}-1 &\vert& -\dfrac{1}{x^2-81} \cr0 &=& -\dfrac{1}{x^2-81}+\dfrac{x}{x-9}-1 \cr0 &=& -\dfrac{1}{x^2-81}+\dfrac{x\cdot\left(x+9\right)}{\left(x-9\right)\left(x+9\right)}-1 \cr0 &=& \dfrac{-1+x^2+9x}{x^2-81}-1 &\vert& \cdot\left(x^2-81\right) \cr0 &=& -1+x^2+9x-1\cdot\left(x^2-81\right) \cr 0 &=& 9x+80 &\vert & -9x \cr -9x &=& 80 &\vert & :(-9) \cr x &=& -\dfrac{80}{9} \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{80}{9}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Bitte beachten Sie, dass der Hauptnenner $x^2-81=\left(x-9\right)\left(x+9\right)$ ist.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-81\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-9 \not\in \mathbb{D}$ und $x=9 \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

7)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^3 &\neq & 0 &\vert &\sqrt[3]{}\\x &\neq & 0\\\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{crclll}& 6+\dfrac{5x^3+9x}{x^3} &=& -\dfrac{1}{x}+11 &\vert & +\dfrac{1}{x}-11 \cr\cr & -5+\dfrac{5x^3+9x}{x^3}+\dfrac{1}{x} &=& 0 \cr\cr & -5+\dfrac{5x^3+9x}{x^3}+\dfrac{x^2}{x^3} &=& 0 \cr\cr & -5+\dfrac{5x^3+x^2+9x}{x^3} &=& 0 &\vert & \cdot x^3 \cr\cr & -5x^3+5x^3+x^2+9x &=& 0 \cr & x^2+9x &=& 0 \cr & x(x+9) &=& 0 & \vert & \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0 \;\not\in\;\mathbb{D} \cr\cr \text{Faktor 2:} & x_2+9 &=& 0 &\vert & -9 \cr & x_2 &=& -9 \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr & \mathbb{L} &=& \left\{-9\right\} \end{array}$

Bemerkung: Bitte beachten Sie, dass der Hauptnenner $x^3=x\cdot x^2$ ist.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $x^3$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

8)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} 27z^2+72z+48 &\neq & 0 &\vert & :27\\\\z^2+\dfrac{8}{3}z+\dfrac{16}{9} &\neq & 0 &\vert & \text{ p-q-Formel}\\\\z_{1,2} &\neq & -\dfrac{4}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{16}{9}}\\\\z_{1,2} &\neq & -\dfrac{4}{3}\pm\sqrt{0}\\\\\\\end{array}$

2. linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} 6z &\neq & 0 &\vert & :6\\z &\neq & 0\\\\\\\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll} 3z+4 &\neq & 0 &\vert & -4\\3z &\neq & -4 &\vert & :3\\z &\neq & -\dfrac{4}{3}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-\frac{4}{3};\;0\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{3z+4}{27z^2+72z+48}+\dfrac{z-6}{6z} &=& \dfrac{1}{3z+4} \cr\cr \dfrac{3z+4}{3\left(9z^2+24z+16\right)}+\dfrac{z-6}{6z} &=& \dfrac{1}{3z+4} &\vert & -\dfrac{1}{3z+4} \cr\cr \dfrac{1}{3(3z+4)}+\dfrac{z-6}{6z}-\dfrac{1}{3z+4} &=& 0 \cr\cr \dfrac{2z}{6z(3z+4)}+\dfrac{(z-6)(3z+4)}{6z(3z+4)}-\dfrac{6z}{6z(3z+4)} &=& 0 \cr\cr \dfrac{2z}{6z(3z+4)}+\dfrac{3z^2+4z-18z-24}{6z(3z+4)}-\dfrac{6z}{6z(3z+4)} &=& 0 \cr\cr\dfrac{2z+3z^2-14z-24-6z}{6z(3z+4)} &=& 0 &\vert & \cdot 6z(3z+4)\cr\cr 3z^2-18z-24 &=& 0 &\vert& :3\cr z^2-6z-8 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr z_{1,2} &=& 3\pm \sqrt{(-3)^2-(-8)} \cr z_{1,2} &=& 3 \pm \sqrt{17} \cr\cr z_{1,2} &=& 3+\sqrt{17} \approx 7{,}12 \;\in\;\mathbb{D} \cr z_{1,2} &=& 3-\sqrt{17} \approx -1{,}12 \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr\mathbb{L} &=& \left\{3-\sqrt{17};3+\sqrt{17}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Bitte beachten Sie, dass der Hauptnenner $6z(3z+4)$ ist.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $6z(3z+4)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $z=-\dfrac43 \not\in \mathbb{D}$ und $z=0 \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

9)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} 3(x-4) &\neq & 0 &\vert & :3 \\x-4 &\neq & 0 &\vert & +4 \\x & \neq & 4\\\\\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}3x^2-9x-12 &\neq & 0 & \vert & :3\\x^2-3x-4 &\neq & 0 &\vert &\textrm{p-q-Formel}\\x_{1,2} &\neq & \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+4}\\\\x_{1,2} &\neq & \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\\\x_1 &\neq & \dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2} = 4 \\x_2 &\neq & \dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2} = -1\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-1;\;4\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x^2-8}{3(x-4)} &=& \dfrac{x^3-4x(-0{,}25x+2)-8}{3x^2-9x-12} \cr\cr \dfrac{x^2-8}{3(x-4)} &=& \dfrac{x^3+x^2-8x-8}{3(x^2-3x-4)} &\vert & \cdot 3 \cr\cr \dfrac{x^2-8}{x-4} &=& \dfrac{x^3+x^2-8x-8}{x^2-3x-4} \cr\cr \dfrac{\left(x^2-8\right)\left(x^2-3x-4\right)}{(x-4)\left(x^2-3x-4\right)} &=& \dfrac{\left(x^3+x^2-8x-8\right)(x-4)}{\left(x^2-3x-4\right)(x-4)} &\vert & \cdot\left(x^2-3x-4\right)(x-4)\cr\cr x^4-3x^3-12x^2+24x+32 &=& x^4-3x^3-12x^2+24x+32 &\vert & -x^4+3x^3+12x^2-24x-32 \cr\cr 0 &=& 0\cr\cr \mathbb{L} &=& \mathbb{R}\setminus_{\left\{-1;\;4\right\}} \end{array}$

Bemerkung: Unabhängig davon, welches Element des Definitionsbereichs in diese Gleichung eingesetzt wird, erhält man immer auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis. $0=0$ ist schließlich immer richtig. Jede reelle Zahl löst also diese Gleichung, d. h. die Lösungsmenge entspricht dem Definitionsbereich.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-3x-4\right)(x-4)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-1 \not\in \mathbb{D}$ und $x=4 \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

10)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} -4x-72 &\neq & 0 &\vert & +72\\-4x &\neq & 72 &\vert & :-4\\x &\neq & -18\\\\\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll} 2x+3 &\neq & 0 &\vert & -3\\2x &\neq & -3 &\vert & :2\\x &\neq & -\dfrac{3}{2}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-18;\;-\frac{3}{2}\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{4x}{-4x-72} &=& \dfrac{9}{2x+3}&\vert & \cdot\left(-4x-72\right)\left(2x+3\right) \cr\cr4x\cdot\left(2x+3\right) &=& 9\cdot\left(-4x-72\right) \cr8x^2+12x &=& -36x-648 &\vert &+36x+648 \cr8x^2+48x+648 &=& 0 &\vert & : 8 \cr x^2+6x+81 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& -3\pm\sqrt{3^2-81} \cr x_{1,2} &=& -3\pm\sqrt{-72} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(-4x-72)(2x+3)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-18 \not\in \mathbb{D}$ und $x= -\dfrac32 \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

11)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll} x-2 &\neq & 0 &\vert & +2\\x &\neq & 2\\\\\end{array}$

2. rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}x+2 &\neq & 0 &\vert & -2\\x &\neq & -2\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash_{\{-2;2\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl}2 &=& \dfrac{10}{x-2}-\dfrac{10}{x+2} &\vert& \cdot (x+2)(x-2) \cr\cr 2(x+2)(x-2) &=& 10(x+2) - 10(x-2) \cr 2(x^2-4) &=& 10x+20-10x+20 \cr 2x^2-8 &=& 40 &\vert& +8 \cr 2x^2 &=& 48 &\vert& :2 \cr x^2 &=& 24 &\vert& \pm \sqrt{} \cr\cr x_{1,2} &=& \pm \sqrt{24} \cr&=& \pm \sqrt{4 \cdot 6} \cr &=& \pm 2\sqrt{6} \approx \pm 4{,}90 \;\in\;\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-2\sqrt{6}; 2\sqrt{6}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(x+2)(x-2)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-2 \not\in \mathbb{D}$ und $x=2 \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

12)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} 3y &\neq & 0 &\vert &:3\\y &\neq & 0\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} -\dfrac{2(y-2)^2}{y}-2+\dfrac{(3y-8)^2}{3y} &=& \dfrac{14}{3y} &\vert& \cdot 3y \cr\cr -6(y-2)^2-6y+(3y-8)^2 &=& 14 &\vert& -14\cr -6y^2+24y-24-6y+9y^2-48y+64-14 &=& 0 \cr 3y^2-30y+26 &=& 0 &\vert& : 3 \cr y^2-10y+\dfrac{26}{3} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr y_{1,2} &=& 5 \pm \sqrt{(-5)^2-\dfrac{26}{3}} \cr\cr y_{1,2} &=& 5 \pm \sqrt{\dfrac{49}{3}} \cr \cr\cr y_1 &=& 5+\dfrac{7}{\sqrt{3}} = 5+\dfrac{7\sqrt{3}}{3} \approx 9{,}04 \;\in\;\mathbb{D} \cr y_2 &=& 5-\dfrac{7}{\sqrt{3}} = 5-\dfrac{7\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}96 \;\in\;\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{5+\dfrac{7\sqrt{3}}{3}; 5-\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Da man im Nenner ungerne Wurzeln zu stehen hat, wurden $y_1$ und $y_2$ jeweils mit $\sqrt{3}$ erweitert. Das nennt man "den Nenner rational machen".

Bemerkung: Die Multiplikation mit $3y$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $y=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

13)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} 6(6t+1) &=& \dfrac{9+6t}{t} &\vert& \cdot t \cr\cr 6t(6t+1) &=& 9+6t \cr 36t^2+6t &=& 9+6t &\vert& -6t \cr 36t^2 &=& 9 &\vert& :36 \cr t^2 &=& \dfrac{1}{4} &\vert& \pm \sqrt{} \cr\cr t_{1,2} &=& \pm \dfrac{1}{2} \in\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $t$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $t=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

14)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} 2x+2 &\neq & 0 &\vert & -2\\2x &\neq & -2 &\vert & :2\\x &\neq & -1\\\\\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll} 4x+2 &\neq & 0 &\vert &-2\\4x &\neq & -2 &\vert & :4 \\x &\neq & -\dfrac{1}{2}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash_{\left\{-1; -\frac{1}{2}\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl}4 \cdot \dfrac{2x+1}{2x+2} &=& \dfrac{x+1}{4x+2} &\vert& \cdot (4x+2)(2x+2) \cr\cr 4(2x+1)(4x+2) &=& (x+1)(2x+2) \cr 32x^2+32x+8 &=& 2x^2+4x+2 &\vert& -2x^2-4x-2 \cr 30x^2+28x+6 &=& 0 &\vert& :30 \cr x^2+\dfrac{14}{15}x+\dfrac{1}{5} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{7}{15} \pm \sqrt{\left(\dfrac{7}{15}\right)^2-\dfrac{1}{5}} \cr\cr &=& -\dfrac{7}{15} \pm \sqrt{\dfrac{4}{225}} \cr\cr x_1 &=& -\dfrac{7}{15} + \dfrac{2}{15} = -\dfrac{1}{3} \in\mathbb{D} \cr\cr x_2 &=& -\dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} = -\dfrac{3}{5} \in\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{3}{5}; -\dfrac{1}{3} \right\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(4x+2)(2x+2)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-1 \not\in \mathbb{D}$ und $x= -\dfrac12 \not\in\mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

15)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}x+1 &\neq & 0 &\vert & -1\\x &\neq & -1\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash_{\{-1\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} \dfrac{x^2-2x+10}{x+1} &=& \dfrac{3x+16}{x+1} &\vert& \cdot (x+1) \cr\cr x^2-2x+10 &=& 3x+16 &\vert& -3x-16 \cr x^2-5x-6 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+6} \cr\cr &=& \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{5}{2} + \dfrac{7}{2} = 6 \in\mathbb{D} \cr\cr x_2 &=& \dfrac{5}{2} - \dfrac{7}{2} = -1 \;\not\in\;\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \{6\} \end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(x+1)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-1 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

16)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}14+2x &\neq & 0 &\vert & -14\\2x &\neq & -14 &\vert & :2\\x &\neq & -7\\\\\end{array}$

2. rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}196-4x^2 &\neq & 0 &\vert & +4x^2\\4x^2 &\neq & 196 &\vert & :4\\x^2 &\neq & 49 &\vert &\pm\sqrt{}\\x &\neq & \pm 7 \end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash_{\{-7; 0; 7\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcl} -x\left(-x+2+\dfrac{2}{x}\right) &=& \dfrac{x}{14+2x} : \dfrac{x}{196-4x^2} \cr\cr x^2-2x-2 &=& \dfrac{x}{14+2x} \cdot \dfrac{(14+2x)(14-2x)}{x} \cr\cr x^2-2x-2 &=& 14-2x &\vert& +2x+2 \cr x^2 &=& 16 &\vert& \pm \sqrt{} \cr\cr x_{1,2} &=& \pm 4 \;\in\;\mathbb{D} \cr \cr \mathbb{L} &=& \{-4;4\} \end{array}$

Bemerkung: Auf der rechten Seite: Kehrwert bilden, 3. binomische Formel und kürzen!

17)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}x+4 &\neq& 0 &\vert& -4 \\x &\neq& -4\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-4;\;0\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcll} \left(\dfrac{1}{x}-3\right) \cdot 2x^2 &=& \dfrac{x^2+8x+16}{x+4} \cr 2x-6x^2 &=& \dfrac{(x+4)^2}{x+4} \cr 2x-6x^2 &=& x+4 & \vert & -2x+6x^2 \cr 0 &=& 6x^2-x+4 & \vert & :6 \cr 0 &=& x^2-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{3} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{12} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{12}\right)^2-\dfrac{2}{3}} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{12} \pm \sqrt{-\dfrac{95}{144}} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Gleichung keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$

18)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}x+1 &\neq & 0 &\vert & -1\\x &\neq & -1\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-1;\;0\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcll}\dfrac{16x^2-120x}{x} &=& 8x^2 \cdot \dfrac{-x-1}{x+1} \cr\cr 16x-120 &=& 8x^2 \cdot \dfrac{-1(x+1)}{x+1} \cr\cr 16x-120 &=& -8x^2 & \vert & -16x+120 \cr 0 &=& -8x^2-16x+120 & \vert & :(-8) \cr 0 &=& x^2+2x-15 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{1^2+15} \cr x_{1,2} &=& -1 \pm \sqrt{16} \cr\cr x_1 &=& -1+4 = 3 \;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& -1-4 = -5 \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L} &=& \{-5;3\} \end{array}$

19)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll}& 16x-36x^2 &\neq & 0 \\& x\left(16-36x\right) &\neq & 0\\\text{Faktor 1:} & x &\neq & 0\\\\\text{Faktor 2:} & 16-36x &\neq & 0 &\vert & +36x\\& 36x &\neq & 16 &\vert & :36\\& x &\neq & \dfrac{4}{9}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0;\;\frac{4}{9}\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcll}\dfrac{10x^2+4x}{16x-36x^2} &=& \dfrac{3}{x} \cr\cr \dfrac{2x(5x+2)}{2x(8-18x)} &=& \dfrac{3}{x} \cr\cr \dfrac{5x+2}{-18x+8} &=& \dfrac{3}{x} &\vert& \text{Kehrwert} \cr\cr \dfrac{-18x+8}{5x+2} &=& \dfrac{x}{3} & \vert & \cdot (5x+2)\cdot 3 \cr -54x+24 &=& 5x^2+2x & \vert & +54x-24 \cr 0 &=& 5x^2+56x-24 & \vert & :5 \cr 0 &=& x^2+\dfrac{56}{5}x-\dfrac{24}{5} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{28}{5} \pm \sqrt{\left(\dfrac{28}{5}\right)^2+\dfrac{24}{5}} \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{28}{5} \pm \sqrt{\dfrac{904}{25}} \cr\cr x_1 &=& -\dfrac{28+\sqrt{904}}{5} \approx 0{,}41 \;\in\;\mathbb{D} \cr x_2 &=& -\dfrac{28-\sqrt{904}}{5} \approx -11{,}61 \;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Da wir bei der Lösung der Gleichung den Kehrwert bilden, erhalten wir einen neuen Nenner, bei dem wir noch nicht ausgeschlossen haben, dass er den Wert $0$ annimmt:
$\begin{array}{rclll}5x+2 &\neq & 0 & \vert & -2\\5x &\neq & -2 & \vert & :5\\x &\neq & -\dfrac{2}{5}\end{array}$

Das Bilden des Kehrwertes ist also nur dann erlaubt, wenn $x\neq-\dfrac{2}{5}$ ist. Allerdings ist dieser Wert Teil des Definitionsbereichs und kommt damit grundsätzlich als Lösung infrage. Wir müssen also separat prüfen, ob $x=-\dfrac{2}{5}$ eine Lösung der Gleichung ist, indem wir diesen Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{10\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2+4\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)}{16\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)-36\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2} &=& \dfrac{3}{-\frac{2}{5}} \\0 &=& -\dfrac{15}{2}\end{array}$

Da dies ein Widerspruch ist, ist $x=-\dfrac{2}{5}$ keine Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{-28-\sqrt{904}}{5};\dfrac{-28+\sqrt{904}}{5}\right\}$.

20)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
linker Nenner:
$\begin{array}{rclll}3x &\neq & 0 & \vert & :3\\x &\neq & 0\end{array}$

rechter Nenner:
$\begin{array}{rclll}27(x+2) &\neq & 0 &\vert & :27\\x+2 &\neq & 0 &\vert & -2\\x &\neq & -2\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-2;\;0\right\}}$.

Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{rclcll}\dfrac{27x^3+6x^2}{3x} &=& -\dfrac{3x+6}{27(x+2)} \cr\cr \dfrac{3x(9x^2+2x)}{3x} &=& -\dfrac{3(x+2)}{27(x+2)} \cr\cr 9x^2+2x &=& -\dfrac{1}{9} & \vert & +\dfrac{1}{9} \cr 9x^2+2x+\dfrac{1}{9} &=& 0 & \vert & :9 \cr x^2+\dfrac{2}{9}x+\dfrac{1}{81} &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{9} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{9}\right)^2-\dfrac{1}{81}} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{9} \pm\sqrt{0} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{9} \;\in\;\mathbb{D} \cr\cr \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{1}{9}\right\} \end{array}$

2. Aufgabe

1)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(\dfrac{5}{3}\right) &=& \dfrac{2+\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}-1} &=& \dfrac{11}{2} \quad \rightarrow \quad P_1\left(\dfrac{5}{3} \mid \dfrac{11}{2}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} -\dfrac{5}{2} &=& \dfrac{2+x}{x-1} & \vert & \cdot (x-1) \cr -\dfrac{5}{2}(x-1) &=& 2+x \cr -\dfrac{5}{2}x+\dfrac{5}{2} &=& 2+x & \vert & -\dfrac{5}{2}-x \cr -\dfrac{7}{2}x &=& -\dfrac{1}{2} & \vert & :\left(-\dfrac{7}{2}\right) \cr x &=& \dfrac{1}{7} \in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{1}{7} \mid -\dfrac{5}{2}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(x-1)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=1 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

2)
a)
$\begin{array}{rclll} f(6) &=& \dfrac{1}{6^2-4} &=& \dfrac{1}{32} \quad \rightarrow \quad P_1\left(6 \mid \dfrac{1}{32}\right) \end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} \dfrac{1}{5} &=& \dfrac{1}{x^2-4} & \vert & \cdot 5\left(x^2-4\right) \cr x^2-4 &=& 5 & \vert & +4 \cr x^2 &=& 9 &\vert& \pm\sqrt{} \cr\cr x_1 &=& -3\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(-3 \mid \dfrac{1}{5}\right) \cr x_2 &=& 3\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_3\left(3 \mid \dfrac{1}{5}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-4\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-2 \not\in \mathbb{D}$ und $x=2 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

3)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-4) &=& \dfrac{5 \cdot (-4)-11}{(-4)^3-8} &=& \dfrac{31}{72} \quad \rightarrow \quad P_1\left(-4 \mid \dfrac{31}{72}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} 0 &=& \dfrac{5x-11}{x^3-8} & \vert & \cdot \left(x^3-8\right) \cr 0 &=& 5x-11 & \vert & +11 \cr 5x &=& 11 & \vert & :5 \cr\cr x &=& \dfrac{11}{5}\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{11}{5} \mid 0\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^3-8\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=2 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

4)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-21) &=& \dfrac{2 \cdot (-21)^2-2 \cdot (-21)}{(-21)^3+2 \cdot (-21)^2-3 \cdot (-21)} &=& -\dfrac{1}{9} \quad \rightarrow \quad P_1\left(-21 \mid -\dfrac{1}{9}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{lrclclll} &-\dfrac{1}{8} &=& \dfrac{2x^2-2x}{x^3+2x^2-3x} & \vert & \cdot \left(x^3+2x^2-3x\right) \cr &-\dfrac{1}{8}(x^3+2x^2-3x) &=& 2x^2-2x \cr &-\dfrac{1}{8}x^3-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{8}x &=& 2x^2-2x & \vert& +\dfrac{1}{8}x^3+\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{8}x \cr &0 &=& \dfrac{1}{8}x^3+\dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{19}{8}x \cr &0 &=& x\left(\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{19}{8}\right) & \vert & \textrm{Satz vom Nullpunkt} \cr\cr\text{Faktor 1:} & x_1 &=& 0\not\in\; \mathbb{D} \cr\cr \text{Faktor 2:} & \dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{19}{8} &=& 0 &\vert& :\dfrac{1}{8} \cr & x^2+18x-19 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr &x_{2,3} &=& -9 \pm \sqrt{9^2+19} \cr &&=& -9 \pm \sqrt{100} \cr\cr &x_2 &=& -9+10 = 1\not\in\; \mathbb{D} \cr &x_3 &=& -9-10 = -19\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(-19 \mid -\dfrac{1}{8}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^3+2x^2-3x\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$ und $x=1 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

5)
a)
$\begin{array}{rclll} f(6) &=& \dfrac{-15+6}{6} &=& -\dfrac{3}{2} \quad \rightarrow \quad P_1\left(6 \mid -\dfrac{3}{2}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} 1 &=& \dfrac{-15+x}{x} & \vert & \cdot x \cr x &=& -15+x & \vert & -x \cr 0 &=& -15 \end{array}$

Da dies ein Widerspruch ist, hat diese Gleichung keine Lösung. Das bedeutet, dass die Funktion nirgends den Funktionswert $1$ annimmt.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $x$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

6)
a)
$\begin{array}{rclll} f(0) &=& \dfrac{0^2-2}{0^2+4}-2 &=& -\dfrac{5}{2} \quad \rightarrow \quad P_1\left(0 \mid -\dfrac{5}{2}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} -\dfrac{23}{20} &=& \dfrac{x^2-2}{x^2+4}-2 & \vert & +2 \cr\cr \dfrac{17}{20} &=& \dfrac{x^2-2}{x^2+4} &\vert& \cdot \left(x^2+4\right) \cr\cr \dfrac{17}{20}\cdot \left(x^2+4\right) &=& x^2-2 \cr\cr\dfrac{17}{20}x^2+\dfrac{17}{5} &=& x^2-2 & \vert & -x^2-\dfrac{17}{5} \cr\cr -\dfrac{3}{20}x^2 &=& -\dfrac{27}{5} &\vert& :\left(-\dfrac{3}{20}\right) \cr x^2 &=& 36 &\vert& \pm\sqrt{} \cr\cr x_1 &=& 6\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(6 \mid -\dfrac{23}{20}\right) \cr x_2 &=& -6\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_3\left(-6 \mid -\dfrac{23}{20}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2+4\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x^2+4$ immer größer $0$ ist. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

7)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(\dfrac{1}{10}\right) &=& \dfrac{20 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2}{2 \cdot \frac{1}{10}-100} &=& -\dfrac{1}{499} \quad \rightarrow \quad P_1\left(\dfrac{1}{10} \mid -\dfrac{1}{499}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} -\dfrac{25}{19} &=& \dfrac{20x^2}{2x-100} & \vert & \cdot (2x-100) \cr\cr -\dfrac{25}{19}(2x-100) &=& 20x^2 \cr\cr -\dfrac{50}{19}x+\dfrac{2.500}{19} &=& 20x^2 &\vert& +\dfrac{50}{19}x-\dfrac{2.500}{19} \cr\cr 0 &=& 20x^2+\dfrac{50}{19}x-\dfrac{2.500}{19} & \vert & :20 \cr\cr 0 &=& x^2+\dfrac{5}{38}x-\dfrac{125}{19} &\vert& \text{p-q-Formel} \cr\cr x_{1,2} &=& -\dfrac{5}{76} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{76}\right)^2+\dfrac{125}{19}} \cr &=& -\dfrac{5}{76} \pm \sqrt{\dfrac{38.025}{5.776}} \cr\cr x_1 &=& -\dfrac{5}{76} + \dfrac{195}{76} = \dfrac{5}{2}\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(\dfrac{5}{2} \mid -\dfrac{25}{19}\right) \cr x_2 &=& -\dfrac{5}{76} - \dfrac{195}{76} = -\dfrac{50}{19}\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_3\left(-\dfrac{50}{19} \mid -\dfrac{25}{19}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(2x-100)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=50 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

8)
a)
$\begin{array}{rclll} f(-5) &=& \dfrac{-5 \cdot (-5)^3+16 \cdot (-5)^2-24 \cdot (-5)+160}{-2 \cdot (-5)^2+3 \cdot (-5)} &=& -\dfrac{261}{13} \quad \rightarrow \quad P_1\left(-5 \mid -\dfrac{261}{13}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} -8 &=& \dfrac{-5x^3+16x^2-24x+160}{-2x^2+3x} & \vert & \cdot \left(-2x^2+3x\right) \cr\cr -8\cdot \left(-2x^2+3x\right) &=& -5x^3+16x^2-24x+160 \cr 16x^2-24x &=& -5x^3+16x^2-24x+160 & \vert & -16x^2+24x \cr 0 &=& -5x^3+160 & \vert & +5x^3 \cr 5x^3 &=& 160 & \vert & :5 \cr x^3 &=& 32 & \vert & \sqrt[3]{} \cr x &=& \sqrt[3]{32}\approx 3{,}17\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(\sqrt[3]{32} \mid -8\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(-2x^2+3x\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$ und $x= \dfrac32 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

9)
a)
$\begin{array}{rclll} f(7) &=& \dfrac{7}{(7-2)^2} &=& \dfrac{7}{25} \quad \rightarrow \quad P_1\left(7 \mid \dfrac{7}{25}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} \dfrac{7}{169} &=& \dfrac{x}{(x-2)^2} \cr\cr \dfrac{7}{169} &=& \dfrac{x}{x^2-4x+4} & \vert & \cdot \left(x^2-4x+4\right) \cr\cr \dfrac{7}{169}\cdot \left(x^2-4x+4\right) &=& x \cr\cr\dfrac{7}{169}x^2-\dfrac{28}{169}x+\dfrac{28}{169} &=& x & \vert & -x \cr\cr \dfrac{7}{169}x^2-\dfrac{197}{169}x+\dfrac{28}{169} &=& 0 & \vert & :\dfrac{7}{169} \cr\cr x^2-\dfrac{197}{7}x+4 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{197}{14} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{197}{14}\right)^2-4} \cr &=& \dfrac{197}{14} \pm \sqrt{\dfrac{38.025}{196}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{197}{14} + \dfrac{195}{14} = 28\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(28 \mid \dfrac{7}{169}\right) \cr x_2 &=& \dfrac{197}{14} - \dfrac{195}{14} = \dfrac{1}{7}\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_3\left(\dfrac{1}{7} \mid \dfrac{7}{169}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-4x+4\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=2 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

10)
a)
$\begin{array}{rclll} f\left(-14\right) &=& \dfrac{2}{-14 \cdot (-14-5)}-1 &=& -\dfrac{132}{133} \quad \rightarrow \quad P_1\left(-14 \mid -\dfrac{132}{133}\right)\end{array}$

b)
$\begin{array}{rclcll} -\dfrac{24}{25} &=& \dfrac{2}{x(x-5)}-1 & \vert & +1 \cr \dfrac{1}{25} &=& \dfrac{2}{x(x-5)} \cr \dfrac{1}{25} &=& \dfrac{2}{x^2-5x} & \vert & \cdot \left(x^2-5x\right) \cr \dfrac{x^2-5x}{25} &=& 2 & \vert & \cdot 25 \cr x^2-5x &=& 50 & \vert & -50 \cr x^2-5x-50 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+50} \cr &=& \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{225}{4}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{5}{2}+\dfrac{15}{2} = 10\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_2\left(10 \mid -\dfrac{24}{25}\right) \cr x_2 &=& \dfrac{5}{2}-\dfrac{15}{2} = -5\in\mathbb{D} & & \rightarrow \quad P_3\left(-5 \mid -\dfrac{24}{25}\right)\end{array}$

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-5x\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$ und $x=5 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

3. Aufgabe

1)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}x-2 &\neq & 0 & \vert & +2\\x &\neq & 2\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{2\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{x+3}{x-2} &=& 0 &\vert& \cdot(x-2) \cr x+3 &=& 0 & \vert& -3 \cr x &=& -3 \in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt bei $x=-3$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(x-2)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=2 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

2)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^2-3x+8 &\neq & 0 &\vert &\text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &\neq & \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-8}\\x_{1,2} &\neq & \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{23}{4}}\end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, ist der Definitionsbereich $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x^2-x+6}{x^2-3x+8} &=& 0 &\vert& \cdot\left(x^2-3x+8\right) \cr x^2-x+6 &=& 0 & \vert & \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-6} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{23}{4}}\end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Funktion keine Nullstellen.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-3x+8\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $\left(x^2-3x+8\right)$ immer größer als $0$ ist. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

3)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & x^3-10x^2+27x &\neq & 0 \\& x \left(x^2-10x+27\right) &\neq & 0\\\text{Faktor 1:} & x &\neq & 0\\\\\text{Faktor 2:} & x^2-10x+27 &\neq & 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\& x_{2,3} &\neq & \dfrac{10}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2-27}\\& x_{2,3} &\neq & 5\pm\sqrt{-2}\end{array}$

Da der zweite Faktor keine weiteren Nullstellen des Nenners liefert, ist der Definitionsbereich also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{2x^2-4x+4}{x^3-10x^2+27} &=& 0 & \vert & \cdot\left(x^3-10x^2+27x\right) \cr\cr 2x^2-4x+4 &=& 0 & \vert & \text{a-b-c-Formel} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{4\pm\sqrt{16-32}}{4} \cr\cr x_{1,2} &=& \dfrac{4\pm\sqrt{-16}}{4} \end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Funktion keine Nullstellen.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^3-10x^2+27x\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

4)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & z^3+3z &\neq & 0 \\& z\left(z^2+3\right) &\neq & 0\\\text{Faktor 1:} & z &\neq & 0\\\\\text{Faktor 2:} & z^2+3 &\neq & 0 &\vert & -3\\& z^2 &\neq & -3 &\vert & \pm\sqrt{}\\& z &\neq & \sqrt{-3}\end{array}$

Da der zweite Faktor keine weiteren Nullstellen des Nenners liefert, ist der Definitionsbereich also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{z^2-4}{z^3+3z} &=& 0 &\vert& \cdot\left(z^3+3z\right) \cr z^2-4 &=& 0 &\vert& +4 \cr z^2 &=& 4 &\vert& \pm\sqrt{} \cr z^2 &=& \pm\sqrt{4} \cr\cr z_{1} &=& 2 \in\mathbb{D} \cr z_{2} &=& -2 \in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(z)$ liegen bei $z_1=2$ und $z_2=-2$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(z^3+3z\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $z=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

5)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll}x^4+2x^2-8 &\neq & 0\\\left(x^2\right)^2+2x^2-8 &\neq& 0\end{array}$

Substitution: $u=x^2$
$\begin{array}{rclll}u^2+2u-8 &\neq & 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\u_{1,2} &\neq & -1\pm\sqrt{1^2+8}\\u_{1,2} &\neq & -1\pm\sqrt{9}\\\\u_1 &\neq & -1+3 = 2\\u_2 &\neq & -1-3 = -4\end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclll}u_1 = x^2 &\neq& 2 &\vert& \pm\sqrt{} \\x_{1,2} &\neq& \pm\sqrt{2}\\\\u_2 = x &\neq& -4 &\vert& \pm\sqrt{}\\x_{3,4} &\neq& \pm\sqrt{-4}\end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, liefert die Rücksubstitution von $u_2$ keine weiteren Nullstellen des Nenners. Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{(x^2+x-2)^2}{x^4+2x^2-8} &=& 0 &\vert& \cdot \left(x^4+2x^2-8\right)\cr (x^2+x-2)^2 &=& 0 &\vert& \pm\sqrt{} \cr x^2+x-2 &=& 0 &\vert& \text{a-b-c-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} \cr\cr x_{1} &=& 1 \in\mathbb{D} \cr x_{2} &=& -2 \in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen bei $x_1=1$ und $x_2=-2$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^4+2x^2-8\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-\sqrt{2} \not\in \mathbb{D}$ und $x=\sqrt{2} \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

6)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^2-2x-15 &\neq & 0 &\vert &\text{p-q-Formel}\\x_{1,2} &\neq & 1\pm\sqrt{1^2+15}\\x_{1,2} &\neq & 1\pm\sqrt{16}\\\\x_1 &\neq & 1+4 = 5\\x_2 &\neq & 1-4 = -3\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\{-3;5\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x^2-x-12}{x^2-2x-15} &=& 0 &\vert& \cdot\left(x^2-2x-15\right) \cr x^2-x-12 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+12} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}} \cr\cr x_1 &=& \dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2} = 4 \in\mathbb{D} \cr x_2 &=& \dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2} = -3 \not\in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt bei $x=4$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-2x-15\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-3 \not\in \mathbb{D}$ und $x=5 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

7)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x+4 &\neq & 0 &\vert & -4\\x &\neq & -4\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\{-4\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x^2+8x+16}{x+4} &=& 0 \cr\dfrac{(x+4)^2}{x+4} &=& 0 \cr x+4 &=& 0 &\vert& -4 \cr x &=& -4 \not\in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Da $x=-4$ nicht im Definitionsbereich liegt, hat diese Funktion keine Nullstellen.

8)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^4+1 &\neq & 0 &\vert & -1\\x^4 &\neq & -1 &\vert & \pm\sqrt[4]{}\\x &\neq & \pm\sqrt[4]{-1}\end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, ist der Definitionsbereich $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{x+7-x^2}{x^4+1} &=& 0 &\vert& \cdot\left(x^4+1\right) \cr -x^2+x+7 &=& 0 &\vert& \text{a-b-c-Formel} \cr x_{1,2} &=& \dfrac{-1\pm\sqrt{1+28}}{-2} \cr\cr x_{1} &=& \dfrac{1+\sqrt{29}}{2} \approx 3{,}19 \in\mathbb{D} \cr x_{2} &=& \dfrac{1-\sqrt{29}}{2} \approx -2{,}19 \in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen bei $x_1=\dfrac{1+\sqrt{29}}{2}$ und $x_2=\dfrac{1-\sqrt{29}}{2}$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^4+1\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $\left(x^4+1\right)$ immer größer $0$ ist. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

9)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} \left(x^2-3\right)^4 &\neq & 0 &\vert & \pm\sqrt[4]{}\\x^2-3 &\neq & 0 &\vert & +3\\x^2 &\neq & 3 &\vert & \pm\sqrt{}\\x_{1,2} &\neq & \pm\sqrt{3}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{2x+6}{\left(x^2-3\right)^4} &=& 0 &\vert& \cdot \left(x^2-3\right)^4 \cr 2x+6 &=& 0 &\vert& -6 \cr 2x &=& -6 &\vert& :2 \cr x &=& -3 \in\mathbb{D} \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt bei $x=-3$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2-3\right)^4$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-\sqrt{3} \not\in \mathbb{D}$ und $x= \sqrt{3} \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

10)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} \left(x-1\right)^2 &\neq & 0 &\vert & \pm\sqrt{}\\x-1 &\neq & 0 &\vert & +1\\x &\neq & 1\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\{1\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{crclcl}& \mathbb{D} &=& \mathbb{R}\setminus_{\{1\}} \\ \\& \dfrac{2x^3-5x^2+4x}{(x-1)^2} &=& 0 &\vert& \cdot (x-1)^2 \cr & 2x^3-5x^2+4x &=& 0 \cr & x\left(2x^2-5x+4\right) &=& 0 &\vert& \text{Satz vom Nullprodukt} \cr \text{Faktor 1:} & x_{1} &=& 0 \in\mathbb{D} \cr\cr \text{Faktor 2:} & 2x^2-5x+4 &=& 0 &\vert& \text{a-b-c-Formel} \cr & x_{2,3} &=& \dfrac{5\pm\sqrt{25-32}}{4} \cr& x_{2,3} &=& \dfrac{5\pm\sqrt{-7}}{4} \end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, liefert der zweite Faktor keine weiteren Nullstellen. Die einzige Nullstelle von $f(x)$ liegt bei $x=0$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(x-1)^2$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=1 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

11)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\{0\}}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{s^2+2}{s} &=& 0 &\vert& \cdot s \cr s^2+2 &=& 0 &\vert& -2 \cr s^2 &=& -2 &\vert& \pm\sqrt{} \cr\cr s_{1,2} &=& \pm\sqrt{-2} \end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Funktion keine Nullstellen.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $s$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $s=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

12)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^4-5 &\neq & 0 &\vert & +5\\x^4 &\neq & 5 &\vert &\pm\sqrt[4]{}\\x &\neq & \pm\sqrt[4]{5}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-\sqrt[4]{5};\sqrt[4]{5}\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{3x+4}{x^4 -5} &=& 0 & \vert & \cdot \left(x^4-5\right) \cr\cr 3x+4 &=& 0 & \vert & -4 \cr\cr 3x &=& -4 & \vert & :3 \cr\cr x &=& -\dfrac43 \in \mathbb{D} \cr\cr \end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt bei $x=-\dfrac{4}{3}$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^4-5\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=-\sqrt[4]{5} \not\in \mathbb{D}$ und $x= \sqrt[4]{5}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

13)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} p+5 &\neq& 0 &\vert& -5 \\p &\neq& -5\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{-5\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{2}{p+5}+3 &=& 0 &\vert & \cdot \left(p+5\right)\\2+3\left(p+5\right) &=& 0 \\2+3p+15 &=& 0 \\3p+17 &=& 0 &\vert & -17\\3p &=& -17 &\vert & :3\\p &=& -\dfrac{17}{3}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(p)$ liegt bei $p=-\dfrac{17}{3}$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(p+5)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $p=-5 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

14)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & x^7+x^3 &\neq & 0 \\& x^3\left(x^4+1\right) &\neq & 0\\\text{Faktor 1:} & x^3 &\neq & 0 &\vert& \sqrt[3]{}\\& x &\neq & 0\\\\\text{Faktor 2:} & x^4+1 &\neq & 0 &\vert & -1 \\& x^4 &\neq & -1 &\vert& \pm\sqrt[4]{}\\& x &\neq & \pm\sqrt[4]{-1}\end{array}$

Da der zweite Faktor keine weiteren Nullstellen des Nenners liefert, ist der Definitionsbereich also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{crclll} & \dfrac{\frac{3}{2}x^3+\frac{4}{3}x^2+\frac{5}{4}x}{x^7+x^3} &=& 0 &\vert & \cdot \left(x^7+x^3\right)\\\\& \dfrac{3}{2}x^3+\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{5}{4}x &=& 0 \\\\& x\left(\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{4}\right) &=& 0 &\vert & \text{Satz vom Nullpunkt}\\\text{Faktor 1:} & x &=& 0 \;\not\in\;\mathbb{D}\\\\\text{Faktor 2:} & \dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{4} &=& 0 &\vert & :\dfrac{3}{2}\\\\& x^2+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{10}{12} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\\\& x_{1,2} &=& -\dfrac{4}{9}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2-\dfrac{5}{6}}\\\\& x_{1,2} &=& -\dfrac{4}{9}\pm\sqrt{-\dfrac{309}{486}}\end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Funktion keine Nullstellen.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^7 +x^3\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

15)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} 4x-1 &\neq & 0 &\vert & +1\\4x &\neq & 1 &\vert & :4\\x &\neq & \dfrac{1}{4}\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{\frac{1}{4}\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll}\dfrac{4x^2+2}{4x-1}+1 &=& 0 &\vert &\cdot \left(4x-1\right)\\4x^2+2+1\cdot(4x-1) &=& 0\\4x^2+4x+1 &=& 0 &\vert & :4\\x^2+x+\dfrac{1}{4} &=& 0 &\vert &\text{1. binomische Formel} \\\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 &=& 0 &\vert &\sqrt{}\\x+\dfrac{1}{2} &=& 0 &\vert & -\dfrac{1}{2}\\x &=& -\dfrac{1}{2}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstelle von $f(x)$ liegt bei $x=-\dfrac{1}{2}$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $(4x-1)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $x=\dfrac14 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

16)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} y^2 &\neq & 0 &\vert& \pm\sqrt{}\\y &\neq & 0\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{y^2-5}{2}-\dfrac{2}{y^2}+3 &=& 0 &\vert &\cdot 2y^2\\\\\dfrac{y^2-5}{2}\cdot 2y^2-\dfrac{2}{y^2}\cdot 2y^2+3\cdot 2y^2 &=& 0\\\\\left(y^2-5\right)\cdot y^2-4+6y^2 &=& 0\\y^4-5y^2-4+6y^2 &=& 0\\y^4+y^2-4 &=& 0 \\\left(y^2\right)^2+y^2-4 &=& 0\end{array}$

Substitution: $z=y^2$
$\begin{array}{rclll} z^2+z-4 &=& 0 &\vert& \text{p-q-Formel}\\z_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+4}\\z_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{17}{4}}\\z_1 &=& \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} \approx 1{,}56\\z_2 &=& \dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} \approx -2{,}56\\\end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclcl}z_1 = y^2 &=& \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} &\vert& \pm\sqrt{} \\y_{1,2} &=&\pm\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}} \approx\pm 1{,}25 \;\in\;\mathbb{D}\\\\z_2 = y^2 &=& \dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} &\vert& \pm\sqrt{} \\y_{3,4} &=& \pm\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, liefert die Rücksubstitution von $z_2$ keine weiteren Nullstellen. Die Nullstellen von $f(y)$ liegen bei  $y_1=-\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}}$ und $y_2=\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}}$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $2y^2$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $y=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

17)
Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{crclll} & \dfrac{x^5-x^2}{x}+\dfrac{x^3-4x^4}{4} &=& 0 \\& \dfrac{x\left(x^4-x\right)}{x}+\dfrac{4\left(\frac{1}{4}x^3-x^4\right)}{4} &=& 0 \\& x^4-x+\dfrac{1}{4}x^3-x^4 &=& 0 \\& \dfrac{1}{4}x^3-x &=& 0 \\& x\left(\dfrac{1}{4}x^2-1\right) &=& 0 &\vert & \text{Satz vom Nullprodukt}\\\text{Faktor 1:} & x &=& 0 \;\not\in\;\mathbb{D}\\\\\text{Faktor 2:} & \dfrac{1}{4}x^2-1 &=& 0 &\vert & +1\\& \dfrac{1}{4}x^2 &=& 1 &\vert & :\dfrac{1}{4}\\& x^2 &=& 4 &\vert & \pm\sqrt{}\\& x &=& \pm\sqrt{4}\\\\& x_1 &=& 2\;\in\;\mathbb{D}\\& x_2 &=& -2\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $g(x)$ liegen bei $x_1=2$ und bei $x_2=-2$

18)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
1. linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} 4x^3 &\neq & 0 &\vert & :4\\x^3 &\neq & 0 &\vert & \sqrt[3]{}\\x &\neq & 0 \\\\\end{array}$

2. linker Nenner:
$\begin{array}{rclll} x^2 &\neq & 0 &\vert& \pm\sqrt{}\\x &\neq & 0\end{array}$

Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{4x}{4x^3}-\left(\dfrac{1}{x^2}-4\right)+\dfrac{x^6-16}{2} &=& 0 \\\\\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+4+\dfrac{x^6-16}{2} &=& 0 \\\\4+\dfrac{x^6-16}{2} &=& 0 &\vert & -4\\\\\dfrac{x^6-16}{2} &=& -4 &\vert & \cdot 2\\\\x^6-16 &=& -8 &\vert & +16\\x^6 &=& 8 &\vert & \pm\sqrt[6]{}\\x &=& \pm\sqrt[6]{8} \\x &=& \pm\left(2^3\right)^{\frac{1}{6}}\\x &=& \pm\left(2^3\right)^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}\\x &=& \pm2^{3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}\\x &=& \pm2^{\frac{1}{2}}\\x &=& \pm\sqrt{2}\\\\x_1 &=& \sqrt{2}\;\in\;\mathbb{D}\\x_2 &=& -\sqrt{2}\;\in\;\mathbb{D}\end{array}$

Ergebnis: Die Nullstellen von $f(x)$ liegen bei $x_1=\sqrt{2}$ und bei $x_2=-\sqrt{2}$.

19)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{rclll} x^2+2 &\neq & 0 &\vert & -2\\x^2 &\neq & -2 &\vert & \pm\sqrt{}\\x &\neq & \pm\sqrt{-2} \end{array}$

Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, ist der Definitionsbereich also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{crclll} & \dfrac{x^3+5x}{x^2+2}+3 &=& 0 &\vert & \cdot \left(x^2+2\right)\\\\& x^3+5x+3\left(x^2+2\right) &=& 0 \\& x^3+3x^2+5x+6 &=& 0 \\& x^3+2x^2 \;+\; x^2+5x+6 &=& 0 \\& x^2(x+2) \;+\; (x+2)(x+3) &=& 0 \\& (x+2)\left(x^2+x+3\right) &=& 0 &\vert & \text{Satz vom Nullprodukt}\\\text{Faktor 1:} & x+2 &=& 0 &\vert& -2\\& x &=& -2 \;\in\;\mathbb{D}\\\\\text{Faktor 2:} & x^2+x+3 &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\& x^2 &=& -\dfrac{1}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-3}\\\end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, liefert der zweite Faktor keine weiteren Nullstellen. Die einzige Nullstellen von $f(x)$ liegt bei  $x=-2$.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(x^2+2\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $\left(x^2+2\right)$ immer größer $0$ ist. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.

20)
Bestimmung des Definitionsbereichs:
$\begin{array}{crclll} & b^3+5b &\neq & 0 \\& b\left(b^2+5\right) &\neq & 0 &\vert & \text{Satz vom Nullprodukt}\\\text{Faktor 1:} & b &\neq & 0 \\\\\text{Faktor 2:} & b^2+5 &\neq & 0 &\vert & -5\\& b^2 &\neq & -5 &\vert & \pm\sqrt{}\\& b &\neq & \pm\sqrt{-5}\end{array}$

Da der zweite Faktor keine weiteren Nullstellen des Nenners liefert, ist der Definitionsbereich also $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus_{\left\{0\right\}}$.

Berechnung der Nullstellen:
$\begin{array}{rclll} \dfrac{1}{b^3+5b}+2b &=& 0 &\vert & \cdot \left(b^3+5b\right)\\\\1+2b\left(b^3+5b\right) &=& 0\\2\left(b^2\right)^2+10b^2+1 &=& 0 \\\end{array}$

Substitution: $z=b^2$
$\begin{array}{rclll} 2z^2+10z+1 &=& 0 & \vert & :2\\z^2+5z+\dfrac{1}{2} &=& 0 &\vert & \text{p-q-Formel}\\z_{1,2} &=& -\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}}\\z_{1,2} &=& -\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{23}{4}}\\\\z_1 &=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{23}}{2} \approx -0{,}10\\z_2 &=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{23}}{2} \approx -4{,}90\\\end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rclll} z_1 = b^2 &=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{23}}{2} &\vert& \pm\sqrt{} \\b_{1,2} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{23}}{2}}\\\\z_2 = b^2 &=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{23}}{2} &\vert& \pm\sqrt{} \\b_{3,4} &=& \pm\sqrt{-\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{23}}{2}}\end{array}$

Ergebnis: Da aus negativen reellen Zahlen keine Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden können, hat diese Funktion keine Nullstellen.

Bemerkung: Die Multiplikation mit $\left(b^3+5b\right)$ ist hier ohne Einschränkungen möglich, weil $b=0 \not\in \mathbb{D}$. Eine Multiplikation mit $0$ kann also nicht passieren.